如何提高高中数学教学成绩-王后雄高中数学选修矩阵
高中数学必修4 综合测试
一．选择题（第小题5分，总共60分）
1．（2020·庐江县高一上期末）
sin(?600)
的值是（ ）
o
33
11
A．
?
B．
?
C． D．
22
2
2
解析：本题考诱导公式及特殊角的三角函数值
sin(?
600
o
)?sin(?2?360
o
?120
o
)
?sin60
o
?
3
，选D
2
2．（202
0·上海理工大学附中高一下期中）
?ABC
中，若
sin(A?B)cosB?co
s(A?B)sinB?1
，则
?ABC
是 （ ）
A.锐角三角形； B.直角三角形； C.钝角三角形；
D.直角三角形或钝
角三角形
解析：本题考查两角和的正弦公式及三角函数的性质
由已知，得
sinA?1
，所以只有
sinA?1
，即
A?90
3．（2020·杭州高级中学高一下期中）已知非零向量
a
、
b，且
AB?a?2b
，
BC??5a?6b
，
CD?7a?2b
，则一定共线的三点是( )
o
A．A、B、D
B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
解析：本题考查向量共线的基本定理
uuuruuuruuurrr
uuur
1
uuur
Q
AB?a?2b
，
BD?BC?BD?2a?4b<
br>，
AB?BD
，所以A、B、D共
2
线
4．已知
M
(?2,7)
，
N(10,?2)
，点
P
是线段
MN
上的点，且
PN
??2PM
，则
P
点
的坐标为（
）.
A.
(?14,16)
B.
(22,?11)
C.
(6,1)
D.
(2,4)
解析：本题考查共线向量与向量相等的条件
???
???
设
P(x,y)
，则
PN?(10?x,?2?y)
，
PM?(?2?
x,7?y)
，
???
?
10?x??2(?2?x),
?
x?2,
PN
??2PM?
?
，选D
?
?
?<
br>?2?y??2(7?y),
?
y?4.
???
5．将函数
f
(x)?2sin(2x?)
的图象向右平移
3
3
?
?
个单
位，所得图象对应的
函数为（ ）
A．
y?2sin2x
B.
y?2sin(2x?
2
?
)
3
C.
y?2sin(2x?)
D.
y??2sin2x
3
?
解析:本题考查三角函数图象的平移变换
所得图象对应的函数为
选C
f(x?)?2sin[2(x?)?]?2sin(2
x?)
,
3333
????
1
6．若
?
是△
ABC
的一个内角，且
sin
?
cos
?
??
，
则
sin
?
?cos
?
的值为（ ）.
8
A.
?
35
35
B.
C.
?
D.
22
22
解析：本题考查同角三角函关系及三角函数符号的判断
1
sin
?
cos
?
???sin
?
?0
且
cos
?
?0?sin
?
?cos
?
?0
， 8
?sin
?
?cos
?
?(sin
?
?co
s
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?1
?
15
?
，选D
42
7．同时具有以下性质：“①最小正周期实<
br>?
；②图象关于直线
x?
?
3
对称；③在
[?
??
，]
上是增函数”的一个函数是 （ ）
63
x
?
?
A.
y?sin(?)
B.
y?cos(2x?)
263
C.
y?sin(2x?)
6
?
D.
y?cos(2x?)
6
?
解析：本题考查三角函数性质
x
?
Qy?sin(?)
的最小正周期为
4
?，
?
A
26
2x?
当
x?
不正确；当
x?[?
??
，]
63
时，
?
3
?
3?[0,
?
]
，所以
y?cos(2x?
时，
2x?<
br>?
3
)
在
[?
??
6
，]
上是减函
数，
?
B不正确；
3
?
6
?
?
2
，所以
y?cos(2x?)
图象关于
(
6
3
?
?
,0)
对称，
?
D不
正确，从而选C
8．已知函数
y
如果
A?0,
?
?Asin(
?
x?
?
)?B
的一部分图象如右图所示，
?0,|
?
|?
?
2
，则（ ）
A.
A?4
B.
?
?1
C.
?
?
?
6
解析：本题考查五点法画三角函数的简图、三角函数的图象与性质
D.
B?4
由图可知，
?
A?B?4
?A?B?2
?
?
?A?B?0
，周期
5
??
T?4(?)?
?
126
，
?
?
?
2
?
?
??2
，将
(,4)
代入
y?2sin(2x?
?
)?2
，得
sin(?
?
)?1
，
T63
又
|<
br>?
|?
?
2
，得
?
?
?
6
，选C
9．已知
tanα?3
，则
2sin
2
α?4si
nαcosα?9cos
2
α
的值为（ ）.
21
1
1
C. D.
3
1030
解析：本题考查同角三角函数关系及三角恒等变换
A.
3
B.
2sin
2
?
?4sin
?
cos
?
?9cos
2
?
2sin<
br>?
?4sin
?
cos
?
?9cos
?
?<
br>22
sin
?
?cos
?
22
2tan
2<
br>?
?4tan
?
?921
??
. 选B
tan
2
?
?110
10.
若
?
、
β
是锐角
?ABC
的两个内角，则有( )
A.
sin
?
?sin
?
B.
cos
?
?cos
?
C.
sin
?
?cos
?
D.
sin
?
?cos
?
解析:本题考查三角函数的单调性与诱导公式
Q
?
、
β
是
锐角
?ABC
的两个内角，
?
?
2
?
?
?
?
?
?
，
?
?
?
?
?
2
?
?
?0
，
?sin
?
?sin(?
?<
br>)?cos
?
,
cos
?
?cos(?
?
)
?sin
?
,选C
22
13
11．若
cos(
?
?
?
)?,cos(
?
?
?
)?
，则tan
?
?tan
?
?
（ ）.
55
33
1
1
A.
?
B.
C.
?
D.
22
2
2
?
?<
br>解析：本题考查同角三角函数关系、两角和与差的余弦公式及函数与方程的思想
方法
1
1
??
cos(
?
?
?
)?cos
?
co
s
?
?sin
?
sin
?
?,sin
?
s
in
?
?,
??
??
55
?
?
?
32
?
cos(
?
?
?
)?cos
?<
br>cos
?
?sin
?
sin
?
?,
?
cos
?
cos
?
?,
??
55
??
?
tan
?
tan
?
?
sin
?
sin
?<
br>1
?
. 选D
cos
?
cos
?
2
rr
rrr
rr
12．若
|a|?1
,
|b|?2
,
(a?b)?a
,则
a
与
b
的夹角为( )
A.30
0
B.45
0
C.60
0
D.75
0
rrrrrrrrr
2
rr
解析:
Q
(a?b)?a,
?(a?b)?a?0
,
a?b?|a|?1
,设
a
与
b
的夹角为
?
,
rr
a?b1
rr
则<
br>cos
?
??
,
?
?60
o
,选C
|a||b|
2
二．填空题（第小题5分，总共30分）
rr
rr
13．已知向量
a?(0,1)
,向量
b?(3,?1)
,则
|2a?b|
的最大值
rr
Q
2a?b?2(0,1)?(3,?1)?(?3,3)
解析:本题考查平面向量的线性运算的坐标形式及向量的模的求法
rr
?|2a?b|?(?3)
2
?3
2
?23
填
23
14．若
f(x)?2sin(
?
x?)(
?
?0)
3
?
的最小正周期为
?
4
,则
g(x)?tan(2
?
x?)
的最小正周期为
8
解析:本题考查正弦函数与正切函数的周期性
?
??
?
?
,填
?
42
?
16
16
uuuruuur
o
15．已知
Rt?ABC
中,
?A
BC?90
,
AB?4
,
BC?3
,则
AC?BC?
由已知,得
2
?
?
?
?
?
?8
,所以
g(x)
的周期为
解析:本题考查平面向量的数量积及平面向量的夹角等 <
br>uuuruuur
uuuruuur
4
AC
与
BC
的
夹角为为
?
?C
,由已知,得
|BC|?3
,
|AC|?5
,
cosC?
,
5
uuuruuuruuuruuur
4
?AC?BC?|AC||BC|cos(
?
?C)?5?3?(?)??12
5
16．（2020·亳州一中高一下期中）已知
?
3
?
3
，
,
?
?(,
?
)sin(
?
??
)??
，
45
?
12
?
sin(
?
?)?
，
cos(
?
?)
=__________
4134
解析：本题考查同角三角函数关系、两角和与差的正余弦公式及角的变换
Q
?
,
?
?(
3
?
3
?
4
,
?
)
，
?
?
?
?
?(,2
?
)
，
?cos(
?
?
?
)?
4
25
3
?
??
3
?
?
5
Q
??(,
?
)
，
?
?
??(,)
，
?c
os(
?
?)??
4424413
所以
cos(
?
?)?cos[(
?
?
?
)?(
?
?)]
44
??
??
5656
?cos(
?
?
?
)cos(
?
?)?sin(
?
?
?
)sin
(
?
?)??
，填
?
446565
三．解答题
ur
uur
rr
17.设
e
1
，
e
2
是两个相互垂直的单位向量，且
a??(2e
1
?e
2
)
，
b?e
1
??e
2
.
rr
rr（1）若
ab
，求
?
的值；（2）若
a?b
，求
?
的值.
解析：本题考查平面向量数量积、共线向量、向量垂直及平面向量基本定理等 <
/p>
rrrr
rr
（1）由
ab
，且
a?0
，故存在唯一的实数
m
，使得
b?ma
，
uruururuur
ur
uur
?
1??2m
1
?
?
??e?
?
e??2me?me
即
1
.
212
，
Q
e
1
，
e
2
不共线，∴
?
?<
br>?
??m
2
?
rr
uruururuur
rr
（2）
Q
a?b
， ∴
a?b?0
， 即
(?2e1
?e
2
)?(e
1
?
?
e
2
)?0
，
ur
2
uruururuuruur
2
∴?2e
1
?2
?
e
1
?e
2
?e1
?e
2
?
?
e
2
?0
，
∴
?2?
?
?0
， ∴
?
?2
.
18．⑴已知角
?
cos(?
?
)sin(?
?
?
?
)
2
终边经过点
P(?4,3)
，求的值？
11?
9
?
cos(?
?
)sin(?
?
)
22
?
（2）已知函数
y?a?bcos(x?)
，
(b
3
1
为-，求
2a?b
的值？
2
?
?0)
在
0?x?
?
的最大值为
3
，最小值
2
解析：本
题考查三角函数的定义、诱导公式、同角基本关系、及三角函数的性质
⑴∵角
?
终边
经过点P（－4，3），∴
tan
?
?
y3
??
x4
cos(?
?
)sin(?
?
?
?
)
?sin
?
?sin
?
3
2
∴
??tan
?
??
11
?
9
?
?sin
?
?cos
?
4
cos(?
?
)sin(
?
?
)
22
??
2
?
1
?
（2）
∵
0?x?
?
∴
??x??
，∴
??cos(x?)?1
33323
3
1
∵b＞0并且在
0?x?
?
的最大值为，最小值为-
22
1
?
a?b??
?
?
2
∴
?
，解得：
a
13
?
a?b?
?
22
?
?
?
54
，
b?
，
?2a?b?3
63
?
19．（2020·广州二模）已知函数
f(x)?Asin(
?
x?)(A
?0,
?
?0)
在某一个周期
3
5
?
11
?
,?2)
内的图象的最高点和最低点的坐标分别为
(,2)
和
(
1212
?
4
(1)求A和
?
的值； (2)已知
?
?(0,)
，且
sin
?
?
，求
f(
?
)
的值
25
解析：本题考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦
、同角三角函数关
系、两角差的正弦等知识、考查化归与转化的数学思想方法和运算求解的能力
（1）
Q
函数
f(x)
的图象的最高点的为
(
5
?
,2)
，
?A?2
12
依题意，得f(x)
的周期为
T
11
?
5
?
2
?
?2(?)?
?
?
?
??2
1212T
?
（2）由（1）得
f(x)?2sin(2x?)
<
br>3
Q
?
?(0,
?
2
)
，且
sin
?
?
4
，
cos
?
5
?1?sin
2
?
?
3
5
247
2
，
co
s2
?
?1?2sin
?
??
?sin2
??2sin
?
cos
?
?
2525
?f(
?<
br>)?2sin(2
?
?)?2(sin2
?
cos?cos2
?
sin)?
333
???
24?73
25
20
．已知向量
a?
?
cosx,sinx
?
,b?
?
?cosx,cosx
?
,c?
?
?1,0
?
.
(1)若
x?
?
6
,求向量
a,c
的夹角; ?
?
2
?
?
9
?
?
(2)已知
f
?
x
?
?2a?b?1,
且
x?
?
,
?
,当
f
?
x
?
?
时，求
x的值.
2
28
??
解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算、向量
的夹角、两角和与差的三角
公式及三角函数的性质等
rrr
rr
（1）由已
知，得
|a|?|b|?|c|?1
，
a?c??cosx
rr<
br>rr
a?c
?
3
设
a
与
c
的夹角为
?
，则
cos
?
?
rr
??cosx??cos?
?
62
|a||c|
5
?
Q0?
?
?<
br>?
，
?
?
?
6
(2)
f
?
x
?
?2a?b?1
=
2
?
?cos
2
x?sinxcosx
?
?1
=
2sinxcosx?
?<
br>2cos
2
x?1
?
?
??
=
s
in2x?cos2x
=
2sin
?
2x?
?
4
??
由
f
?
x
?
?
2
?
?
1
?
?
3
?
??
?
9
?
??
，得
sin
?
2x?
?
?
?x?
?
,
?
?2x??
?
,2
?
?
2
4
?
24
?
4
??
28
??
?
当
2x
?
?
4
?
2
5
?
13
?
,
即
x?
时,
f
?
x
?
?
224
6
21．如图，在平行四边形
ABCD
中，AB?3
，BC?2，
e
1
＝
AB
与
AD
的夹角为
AB
AB
，
e
2
＝
AD
AD
，
?
．
3
D
C
（1）若
AC?xe
1
?ye
2
，求
x
、
y
的值；
（2）求
AC?BD
的值；
（3）求
AC
与
BD
的夹角的余弦值．
A B
解析：本题考查向量的线性运算、三角形法则、平行四边形法则、平面向量基本
定理、平面向量的数量积
能及向量的模及夹角等
（1）因为
AB?3
，
BC?2
，
e
1
＝
AB
AB
，
e
2
＝
AD<
br>AD
，
所以
AC?AB?BC
＝3
e
1
+
2
e
2
， 即
x?3
，
y?2
．
（2）由向量的运算法则知,
BD?AD?AB
＝2
e
2
－3
e
1
，
所以
AC?BD?(2e
2
?3e
1
)?(2e<
br>2
?3e
1
)?4e
2
?9e
1
??5．
（3）因为
AB
与
AD
的夹角为
又
e1
?e
2
?1
,所以
uurur
uuuruuuru
uur
AC?AD?AB
＝
2e
2
+3e
1
2
2
??
,
所以
e
1
与
e
2
的夹角为,
33
?4e
2
?9e
1
?12e
2
?e
1
?4?9?
12?cos
22
?
3
?19
，
uurur
uu
uruuuruuur
22
?
BD?AD?AB
＝
2e
2<
br>-3e
1
?4e
2
?9e
1
?12e
2?e
1
?4?9?12?cos
?7
．
3
设
AC
与
BD
的夹角为
?
，可得 uururuurur
uur
2
ur
2
uuuruuur
2e?3e?2e?3e
2121
4e?9e
1
AC?BD5133
．
cos
?
?
uuu
?
2
??
ruu
ur
?
133
19?7133
AC?BD
????
所以AC
与
BD
的夹角的余弦值为
?
5133
．
133
22．（2020·福建仙游大济中学高一期中）如图，某公园摩天轮的半径为4
0ｍ，圆
心O距地面的高度为50ｍ，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P
的起始位置在最低点处．
（Ⅰ）已知在时刻（时点P距离地面的高度
f(t)?Asin(<
br>?
t?
?
)?h
，求2020min
t
min）时点P距离地面的高度；
（Ⅱ）当离地面（50+20
3
）m以上时，可以看到
公园的全貌，求转一圈中有多少
时间可以看到公园全貌？
解：（1）解法一：依题意，
A?40
，
h?50
，
T?3
，则
?
?
且
f(0)?10
，故
?
??
∴
f(2006)?40sin(
50
40
地面
O
P
2
?
，
3
?
2
∴
f(t)?40sin(
2
??
t?)?50
(t?0)
．
32
2
??
?2006?)?50
?70
．
32
解法二：
2006?3?668?2
，故第2020min时点P所在位置与第2mi
n时点P
2
圈，其高度为
70
m．
3
2
??2
?
（Ⅱ）由（1）知
f(t)?40sin(t?)?50?50?40cos
(t)
(t?0)
323
所在位置相同，即从起点转过
依题意：<
br>f(t)?50?203
，
∴
?40cos(
2
?
3
2
?
，
t)?203
，
cos(t)??
32
3
5
?<
br>2
?
7
?
57
?t?2k
?
?
，<
br>k?N
，
3k??t?3k?
63644
751
∵
3k??(3k?)??0.5
， ∴转一圈中
有0.5min钟时间可以看到公园
442
2k
?
?
全貌.