数学重要公式如何用频率来估计概率

如何用频率来估计概率

在苏科版初中数学课本里所学习的概率计算问题有
以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概
率计算问题（一步试验直接列举，两 步以上的试验可以借助
树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；第二类
是用试验或者 模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率
的概率计算问题，比如掷图钉的试验。在八年级的数学学习
中概率的计算，主要是第二类题型，我们知道频率是研究概
率的基础，所以利用频率估计概率的 试题频频出现在各地的
中考试卷中，下面以中考题为例，来剖析这一类题型的解法。

一、填空题中的用频率估计概率
例1.在课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种
作物种子发芽的实验，结果如下表所示：
由此估计这种作物种子发芽率约为 （精确到0.01）.
解：由公式种子的发芽率= 可求出种子的发芽率为0.939，
因为精确到0.001故答案为0.94.
点评：本题考察了百分率问题（1）种子的发芽率= ；（2）
注意括号的中的要求为精确到0.01
例2.有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共
1000个.为了估计这两种颜色的 球各有多少个，小明将箱子
里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回
箱子中， 多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，
据此可以估计红球的个数约为 .
解：解：∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百
分比是60%.∴1000×60%=600.
故答案为：600.
点评：本题考查用频率估计概率，因为多次重复上述过
程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分
比也就是60%，根据总数可求出红球个 数.
二、选择题中的用频率估计概率
例3.“六?一”儿童节，某玩具超市设 立了一个如图所
示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具
就能获得一次转动 转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪
一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据：
下列说法不正确的是（ ）
A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约
是0.70
B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次
数大约有600次
D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
解：由表中提供的信息可知，只有“转动转盘10 次，
一定有3次获得文具盒”的判断不一定正确，故应选D.
点评：正确正解频率与概率之间的关系是求解此类问题
的关键. 由表中提供的信息，我们可以知道，当 n很大时，
指针落在“铅笔”区域的频率趋于0.70，由此，由频率与概
率之间的关系可知， 假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概
率大约是0.70，如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒 ”
区域的次数大约有2000次×（1-0.7）=600次，而将转盘转
动转盘10次，却不 一定有3次获得文具盒.
三、解答题中的用频率估计概率
例4.六一期间，某 公园游戏场举行“迎奥运”活动.有一
种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个
球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个
红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这 种游戏活动为40
000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个.
（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；
（2）请你估计袋中白球接近多少个？
分析（1）由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具
为10 000个，结合频率 的意义可直接求得.（2）由概率与频
率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解.
解（1）因为 = ，所以参加一次这种游戏活动得到福娃
玩具的频率为 .
（2）因为试验次数很大，大数次试验时，频率接近于
理论频率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率
是 .
设袋中白球有x个，则根据题意，得 = ，解得x=18.经
检验x=18是方程的解.
所以估计袋中白球接近18个.
点评：利用频率估计概率，并以此引进未知数构造方程
是求解此类问题的常用方法，同学们在学习时应注意体会和
运用.
例5.研究问题：一 个不透明的盒中装有若干个只有颜色
不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，
再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀， 每次摸出
一个球，放回盒中，再继续.
点评：（1）根据表格数据可以得到50次摸球 实验活动
中，出现红球20次，黄球30次，由此即可求出盒中红球、
黄球各占总球数的百分比 ；
（2）由题意可知50次摸球实验活动中，出现有记号的
球4次，由此可以求出总球 数，然后利用（1）的结论即可
求出盒中红球.
此题主要考查了利用频率估计概率的问 题，首先利用模
拟实验得到盒中红球、黄球各占总球数的百分比，然后利用
百分比即可求出盒中 红球个数.