高中数学必修四第一章三角函数培优测试(含答案)

章末复习课
课时目标
1．复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系 式及诱导公式.2.复习三角函数的图
象及三角函数性质的运用．

知识结构


一、填空题
3
1．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝______.
5
5
2．已知sin α＝，则sin
4
α－cos
4
α的值为________．
5< br>3．若sin
2
x>cos
2
x，则x的取值范围是________ ____．
π
4．设|x|≤，则函数f(x)＝cos
2
x＋sin x的最小值是__________．
4
5．方程x＝10sin x的根的个数是________．
2π2π
6．若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最大值为________．
33
ππ
7．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)对任意实数t，都有f(t＋)＝f(－ t＋)，记g(x)
33
π
＝Acos(ωx＋φ)－1，则g()＝_______ _.
3
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则 φ＝________.

π
ωx－
?
(ω>0)和g(x)＝2 cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相9．已知函数f(x)＝3sin
?
6
??
π
0，
?
，则f(x)的取值范围是________． 同．若x∈
?
?
2
?
?
?
sin x，sin x≥cos x，
10．对于函数f(x)＝
?
给出下列四个命题：
?
cos x，sin x?
π
①该函数的图象关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称；
4
π
②当且仅当x＝kπ＋ (k∈Z)时，该函数取得最大值1；
2
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；

④当且仅当2kπ＋π3π
2
(k∈Z)时，－≤f(x)<0.
22
其中正确的是________．
二、解答题
11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．
4sin α－2cos α
(1)；
5cos α＋3sin α
111
(2)sin
2
α＋
sin αcos α＋cos
2
α.
432













π
|x|≤
?
， 12．设f(x)满足f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x·cos x
?
2
??
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的最大值．





















能力提升
πx
13．当0≤ x≤1时，不等式sin≥kx成立，则实数k的取值范围是________．
2
π
π
?
ωx＋
π
?
ωx＋
?
(ω>0)的图象向右 平移个单位长度后，14．若将函数y＝tan
?
与函数y＝tan
4
?6
???
6
的图象重合，则ω的最小值为________．

三角函数的性质是本章的重点，在学习时，要充分利用数形结合思想把图象与 性质结合
起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数
值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握
函数的图象与性质 ，又能熟练运用数形结合的思想方法．
章末复习课
作业设计
4
1.
3
33
解析 cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－<0，
55
3
∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，
π)，
2
44
∴sin x＝－，∴tan x＝.
53
3
2．－
5
解析 sin
4
α－cos4
α＝sin
2
α－cos
2
α＝2sin
2
α－1
13
＝2×－1＝－.
55
π3π
3．{x|kπ＋44
解析
sinx>cosx?|sin x|>|cos x|.
在直角坐标系中作出单位圆及直线 y＝x，y＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边
应落在图中的阴影部分．
1－2
4.
2
解析 f(x)＝cos
2
x＋sin x＝1－sin
2
x＋sin x
1
5
sin x－
?
2
＋. ＝－
?
2
?
4
?
π
22
∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
422
1－2
2
∴当sin x＝－时，f(x)
min
＝.
22
5．7
解析
22


x
如图所示，在同一坐标系中画出函数y＝sin x和y＝(x≥0)的图象．
10
x
由图象知当x≥0时，y＝sin x与y＝的图象有4个交点．
10
x
由于y＝sin x与y＝都是奇函数，所以当x<0时，两函数的图象有3个交点．所以函
10

x
数y＝sin x与y＝的图象共有7个交点．即方程x＝10sin x有7个根．
10
3
6.
4
解析
TT
2π 2π
TTT
2π
33
∵f(x)在[－，]上递增，故[－，]?[－，]， 即≥.∴ω≤.∴ω
max
＝.
4433444344
7．－1
ππ
解析 ∵f(t＋)＝f(－t＋)，
33
π
即y＝f(x)关于直线x＝对称，
3
π
∴sin(
ω＋φ)＝±1.
3
ππ
∴
ω＋φ＝
＋kπ.
32
ππ
∴g()＝Acos(ω＋φ)－1
33
π
＝Acos(＋kπ)－1＝－1.
2
9π
8.
10
3π
?
5π2π5π
?
解析 由图象知函数
y
＝sin(
ωx
＋
φ
)的周期为2
?
2π－
?
＝，∴＝，
4
?
2
ω
2
?
4
∴
ω
＝.
5
3π
∵当
x
＝时，
y
有最小值－1，
4
43ππ
因此×＋φ＝2
k
π－(
k
∈Z)．
542
9π
∵－π≤φ＜π，∴φ＝.
10
3
－，3
?
9.
?
?
2
?
解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，
π
2x－
?
. ∴ω＝2，∴f(x)＝3sin
?
6??
π
ππ
5
0，
?
，得－≤2x－≤
π，
由x∈
?
?
2
?
666
3
∴－≤f(x) ≤3.
2
10．①
解析


f(x)＝max{sin x，cos x}，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图象易知f(x)的图象

π
为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或
4
π
x＝2kπ＋ (k∈Z )时，f(x)
max
＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲
2
3π
2
线易知，当2kπ＋π22
4tan α－2
6
11．解 (1)原式＝＝.
3tan α＋5
11
1
2
11
sin
α＋
sin αcos α＋cos
2
α
432
(2)原式＝
sin
2
α ＋cos
2
α
1
2
11111
tan
α＋
tan α＋×4＋×2＋
432432
13
＝＝＝.
530
tan
2
α＋1
12．解 (1)由已知等式
f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x·cos x①
得f(sin x)＋3f(－sin x)＝－4sin xcos x②
由3×①－②，得
8f(sin x)＝16sin x·cos x，
故f(x)＝2x1－x
2
.
(2)当0≤x≤1，将函数f(x)＝2x 1－x
2
的解析式变形，得f(x)＝2x
2
?1－x
2
? ＝2－x
4
＋x
2

112
＝2－?x
2
－?
2
＋，当x＝时，f
max
＝1.
242
当－1≤x<0时f(x)<0，故f(x)
max
＝1.
13．k≤1
π
解析 设
t
＝
x,
0≤
x
≤1，
2
2π
则
x
＝
t,
0≤
t
≤，
π2
2
k
π
则sin
t
≥
t
在0≤
t
≤上恒成立．
π2
2
k
设
y
＝sin
t
，
y
＝
t
，图象如图所示．
π
2k
2
k
π
?
π
?
需
y
＝si n
t
在
?
0，
?
上的图象在函数
y
＝< br>t
的图象的上方，∴·≤1，
2
?
ππ2
?
∴
k
≤1.
1
14.
2
π
?
π
??
π
?< br>π
?
?
解析 函数
y
＝tan
?
ωx
＋
?
向右平移后得到
y
＝tan
?
ω
?
x
－
?
＋
?
＝
6
?
4
?
4
?
6
?
?
?
ω
ππ
??
＋?
. tan
?
ωx
－
64
??
π
?
π
ω
ππ
?
又∵
y
＝tan
?
ω x
＋
?
，∴令－＝＋
k
π，
6
?
466
?
11
∴
ω
＝－6
k
(
k
∈Z) ，由
ω
>0得
ω
的最小值为.
22