(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的 角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在 第几象限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
??
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集 合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??< br>?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的 集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360
o
?
?
?k?3 60
o
?90
o
,k??

oooo
oooooooo
o
oo
o
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°( k∈Z)．
终边与角
?
相同的角的集合为
??
?k?360?
?
,k??

(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③
半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度 数的绝对值是
?
?
④
若扇形的圆心角为
?
?
o?
l

r
?
?
为弧度制
?
，半径为< br>r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则< br>l?r
?
，
C?2r?l
，
11
S?lr?
?
r
2
．

22
2．任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为
rr?
?
x
2
?y
2
，那么角α的正弦、余弦、
?
yxy
正切 分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全 正、二正弦、三
rrx
正切、四余弦）
3．特殊角的三角函数值
1

角度
函数
角a的弧度
sina
cosa
tana
0
0
0
1
0
30
π6
12
√32
√33
45
π4
√22
√22
1
60
π3
√32
12
√3
90
π2
1
0

120
2π3
√32
-12
-√3
135
3π4
√22
-√22
-1
150
5π6
12
-√32
-√33
180
π
0
-1
0
270
3π2
-1
0

360
2π
0
1
0
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
A.基础梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin
2< br>α＋cos
2
α＝1；（
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注 意判断符号）
(2)商数关系：
2．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
其中k∈Z.
公 式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．

公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，
tan
?
?
?
?
??tan
?
.

ππ
－α
?
＝cos_α，cos
?
－α
?
＝sin α. 公式五： sin
?
?
2
??
2
?
ππ
＋α
?
＝cos_α，cos
?
＋α
?
＝－sin_α. 公式六：si n
?
?
2
??
2
?
ππ
诱导公式可概括为
k
·
±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶 是指
的奇数
22
倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称 要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，
π
则函数名称不变，符号看象限是指：把α看 成锐角时，根据
k
·
±α在哪个象限判断原
三角函数值的符号，最后作为结< br>．．．．．．．
2
果符号．
sin α
＝tan α. （3）倒数关系：
tan
?
?cot
?
?1

cos α
B.方法与要点
一个口诀
1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
sin α
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝
cos α
化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)
2
＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
（
sin< br>?
?cos
?
、
sin
?
?cos
?
、
sin
?
cos
?
三个式子知一可求二）
2

(3)巧用“1”的变换：1＝sin
2
θ＋cos
2
θ= sin
π
?
＝tan
4

2
asin
?< br>?bcos
?
atan
?
?bak?b

??
msin
?
?ncos
?
mtan
?
?nmk?n
（4）齐次式化切法：已知
tan
?
?k
，则
三、三角函数的图像 与性质
学习目标：
1会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期 ：定 义法，公式法，图像法（如
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
）。
3会判断三角函数奇偶性
4会求三角函数单调区间
5知道三角函数图像的对称中心，对称轴
6 知道
y?Asin(
?
x?
?
)
，
y?Acos(
?
x?
?
)
，
y?Atan(
?
x?
?
)
的简单性质
（一） 知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数
y?sinx和余弦函数
y?cosx
图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别
为0，
?
2
,
?
,
3
?
,2
?
的五点 ，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
2
y =sinx
-4
?
-7
?
-3
?
2
-5< br>?
2
-2
?
-3
?
-
?
2
-
?
2
y
1
-1
y
-5
?
2-
?
-2
?
-3
?
2
-
?
2
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y=cosx
-3
?
-4
?
-7
?2
1
-1
o
?
2
?
3
?
2< br>2
?5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

2、正弦函数
y?sinx(x?R)
、余弦函数< br>y?cosx(x?R)
的性质：
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是
?
?1,1
?
，
3
?
?
k?Z
?
时，
y
取最小值－1；
22
对
y?cosx
，当
x?2k
?
?
k ?Z
?
时，
y
取最大值1，当
x?2k
?
?
?
?
k?Z
?
时，
y
取最小值－1。
（3）周 期性：
y?sinx
，
y?cosx
的最小正周期都是2
?
；
对
y?sinx
，当
x?2k
?
?
?
?
k?Z
?
时，
y
取最大值1；当
x?2k
??
（4）奇偶性与对称性：
①正弦函数
y?sinx(x?R)
是奇函 数，对称中心是
?
k
?
,0
??
k?Z
?
，对称轴是直线
x?k
?
?
②余弦函数
y?cosx(x?R)是偶函数，对称中心是
?
k
?
?
?
2
?
k?Z
?
；
?
,0
?
?
k?Z
?，对称轴是直线
x?k
?
?
k?Z
?
；（正(余)2
?
弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
x
轴的直线，对称中 心为图象与
x
轴的交点）。
（5）单调性：
?
?
?
3

?
3
?
??
??
?
?
y?sinx
在
?
??2k
?
,?2k
?
?
?
k?Z
?
上单调递增，在?
?2k
?
,?2k
?
?
?
k?Z
?
单调递减；
22
?
2
??
2
?

y?cosx
在
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?
?
k?Z
?
上单调递增,在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k?Z
?
上单 调递减。特别提醒，别忘了
k?Z
！
3、正切函数
y?tanx
的图 象和性质：
（1）定义域：
{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}
。
?
k
?
?
,0
?
?k?Z
?
，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一
?
2?
（2）值域是R，无最大值也无最小值；
（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心 是
?
类是图象与
x
轴的交点，另一类是渐近线与
x
轴的交点 ，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（4）单调性：正切函数在开区间
??
?
?
?
?

?k
?
,?k
?
?
?
k?Z
?
内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调 性。
2
?
2
?
y?cosx

4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
性
质

函

数
y?sinx

y?tanx

图象

定义域
值域

R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

?
2
?
k??
?
时，
?
2
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
2
?

奇函数
?

奇函数
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数；在
单调性 < br>在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
, 2k
?
?
?
?

??
??
在
?< br>k
?
?,k
?
?
?

22
???
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
4

对称中心< br>?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k??
?

?
??
对称中心
?
k
?
?,0
?
?
k??
?

2
??
对称轴x?k
?
?
k??
?
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
对称中心
?
?
2
?
无对称轴

5、研究函数y?Asin(
?
x?
?
)
性质的方法：类比于研究
y ?sinx
的性质，只需将
y?Asin(
?
x?
?
)中的
?
x?
?
看
成
y?sinx
中的
x
。
函数y＝Asin（?x＋
?
）（A＞0，?＞0）的性质。
（1）定义域：R
（2）值域：[-A, A]
（3）周期性：
T?
2
?

|
?
|
①f(x)?Asin(
?
x?
?
)
和
f(x)?Aco s(
?
x?
?
)
的最小正周期都是
T?
②
f(x)?Atan(
?
x?
?
)
的最小正周期都是
T?< br>2
?
。
|
?
|
?
。
|
?
|
（4）单调性：函数y＝Asin（?x＋
?
）（A＞0，
?< br>＞0）的
?
?
≤?x＋
?
≤2k
?
＋，k∈z解得； 22
3
?
?
单调减区间可由2k
?
＋≤?x＋
?
≤2k
?
＋，k∈z解得。
2
2
在求
y?As in(
?
x?
?
)
的单调区间时，要特别注意A和
?
的符号，通过诱导公式先将
?
化正。
单调增区间可由2k
?
－< br>如函数
y?sin(?2x?
?
3
)
的递减区间是_____ _
（答：

解析：y=，所以求y的递减区间即是求
的递增区间，由得
，所以y的递减区间是
四、函数
y?Asin
?
? x??
?
的图像和三角函数模型的简单应用
一、 知识要点
2
?
1、 几个物理量： ①
振幅：
?
；
②
周期：
??
2、 函数
y ?Asin(
?
x?
?
)
表达式的确定：A由最值确定；
?
由周期确定；
?
由图象上的特殊点确定.
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
?
；
③
频率：
f?
1
?
?
；
④
相位：
?
x?
?
；
⑤
初相：
?
．
?2
?
；当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
11?
y?y??y?y?x
2
?x
1
?
x< br>1
?x
2
??
maxmin
??
maxmin
?
22
，，
2
．
3、函数
y?Asin(
?< br>x?
?
)
图象的画法：①“五点法”――设
X?
?
x ?
?
，令
X
＝0，
5
?
2
,
?
,
3
?
,2
?
求出相应的
x
值，
2

计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
4、函数y＝sinx的图象经变换可得到
y?Asin
?
?x??
?
?
?＞0
?
的图象



?
横坐标

平移
y?sin
?
x

?

1
伸（缩）倍
左（右）

纵坐标
y?Asin
?
x

?
?

伸（缩）A倍
平移

?

横坐标
纵坐标
y?sin
?
?
x?
?
?


1
伸（缩）A倍
伸(缩)倍

?
y?Asin
?
?
x?
?
?

左（右）
y?sin
?
x?
?
?

纵坐标

横坐标

y=sinx

y?Asin
?
x?
?
?
平移
?


y=sinx
伸（缩）A倍

?
伸（缩）倍


?


横坐标
y?Asin
?
x

左（右）

?
1


平移
伸（缩）倍
纵坐标
?
y?Asinx

?
伸（缩）A
y=sinx
倍

左（右）
y?Asin
?
x?
?
?

横坐标

1
平移
?

伸（缩）倍

?


5、函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
的图象与
y?sinx
图象间的关系：①函数
y?sinx
的图象向左（
?< br>>0）或向右（
?
<0）
左（右）

纵坐标
y?sin
?
?
x?
?
?

伸（缩）A倍
平移
|
?
|
个单位得
y?sin
?
x?< br>?
?
的图象；②函数
y?sin
?
x?
?
?
图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
?
，得到函
数
y? sin
?
?
x?
?
?
的图象；③函数
y?sin< br>?
?
x?
?
?
图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得 到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象；④函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图象向上（
b?0
）或 向下（
b?0
）平移
|b|
个单位，得到
y?Asin
?< br>?
x?
?
?
?b
的图象。
要特别注意，若由
y?sin
?
?
x
?
得到
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象，则向左或向右平移应平移
|
π
如要得到函数y＝sin(2x－ )的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )
3
ππ
(A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位
33
ππ
(C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位
666、函数y＝Acos（?x＋
?
）和y=Atan（?x＋
?
）的性质 和图象的变换与y＝Asin（?x＋
?
）类似。

?
|
个单位，
?
三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?< br>?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?< br>；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
ta n
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
6

⑹
tan
?
?
?
?
?
?< br>tan
?
?tan
?

?
（
tan< br>?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
? ?
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan?
tan
?
ooo
如
tan20?tan40?3tan20t an40?
； （答案：
3
）
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin 2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?sin2?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)

5ππ5ππ
5
如cos
2
＋cos
2
＋cos cos 的值等于 ； （答案： ）
121212124
⑵
cos2
?
?cos
2
222
o
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
升幂公式
1?cos2
?
?2cos
2
?
,1?cos2
?
?2sin
2
?

?
降幂公式
cos
2
?
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
．
2
1?t an
?
3、二弦归一
?
把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：
asin
?
?bcos
?
?a?bsin
?
?
?< br>?
?
，其中
tan
?
?
22
1?cos2< br>?
1?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
22
b
．
a
4、三角变换时运算化简的过程中运用较多 的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化 简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，
互余的关系 ，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
?
??
的二倍；是的二倍；
224
?
?
ooo oo
②
15?45?30?60?45
；问：
sin?
；
cos?
；
1212
???
??
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?< br>?
??(?
?
)
；⑤
2
?
?(
?< br>?
?
)?(
?
?
?
)?(?
?
)? (?
?
)
；等等.
42444
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
如[1]
tan
?
?
?
?
?
?
2
?
?
1
?
?
3
??
,tan
?
?
?
?
?,则tan
?
?
?
?
?
. （答案： ）
5444
22
????
44
π3π
[2]若cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝－ ，且 ＜α－β＜π， ＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.
5522
7
（答案：－ ，－1）
25
[3]已知
sin
?
cos
?
21
（答案： ）
?1,tan
?
?
?
?
?
??,
则
tan
?
?
?2
?
?
?
；
1?cos2
?
38
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名 称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，
变异名为同名（二弦归一）。
如
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
；
?
1
?
3
oo
2cos10?sin10
??
2sin
?
30
o
?10
o
?
2sin4 0
o
cos40
o
sin80
o
22
?
c os10
o
3sin10
o
?
??
ooo

解析：原式=sin50?
?
??sin50??sin50????1
?
oooooo
?
cos10cos10
?
cos10cos10cos10c os10
??
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函 数值，例如常数“1”的代换变形有：

1?sin
?
?cos
?
?sin90?tan45
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降 幂公式
7
22oo

有： ； 。有时需要升幂，常用升幂公式
有： ； .如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式.
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
=
____________
；
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
=
____________
；

tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
； sin
?
cos
?
?
____________
；2sin
??
cos?
____________
；
22cos
2
?
?sin
2
?
?____________ ；2cos
2
?
?1?____________；2sin
2
?< br>?1?____________；

1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
；
（其中
tan
?
?
；）
asin
?
?bcos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次 ，特殊值与特殊
角的三角函数互化。

8