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人教版高中数学必修四任意角和弧度制

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 03:39
tags:高中数学必修四

微课程在高中数学中的实践研究现状-初中升高中数学试题 百度


任意角和弧度制


_____________________ __________________________________________________ ___________
__________________________________ ________________________________________________

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.
2.掌握角度与弧度的换算公式
3.熟记特殊角的弧度数


(一)角的概念:
1 任意角
正角:按顺时针方向形成的角
负角:按逆时针方向形成的角
2 象限角
定义:角的顶在原点始边与x轴重合,终边在第几象限此角就是第几象限角。
与角α有相同终边所有角表示为:α+2kπ(k为任意整数)
(1)在直角坐标系内讨论角:
注意:若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。
(2)①与?
角终边相同的角的集合:
{
?
|
?
?360k??
,k?Z}或{
?
|
?
?2k
?
?
?
,k?Z}

(3)区间角的表示:
①象限角:

象限角
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合

②写出图中所表示的区间角:

?
的终边所在的象限, 来判断
象限角的集合表示
0
{ x|k?360
o
<
?
o
?90
o< br>,k?
Z
}

{x|k?360
o
?90
o
<
?
o
?180
o
,k?
Z
}

{x|k?360
o
?180
o
<
?
o
?270
o
,k?
Z
}

{x|k?360
o
?270
o
<
?
o
?360
o
,k?
Z
}

??
所在的象限,来判断所在的象限
23



(二)弧度制
1 弧度角的规定.



它的单位是rad 读作弧度
如图:?AOB=1rad
l=2r
B C
?AOC=2rad
r
2rad
周角=2?rad
r
A
1rad
A
o o


定义:长度等于半径长的 弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量
角的制度叫弧度制。

(1)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
(2)角?的弧度数的绝对值
?
?
l

l
为弧长,
r
为半径)
r
(3)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)
弧度制与角度制的换算公式:弧度制=角度制*π180
o

角度制=弧度制*180
o
π


2π=360
o

弧度数α与弧长L与半径R的关系:L=Rα(可用来求弧长与半径)
(4)弧长公式 :L=Rα;扇形面积公式:
S?
1
2
?
R
2
< br>n
?
R
2
n
?
r
弧长公式:
l?< br>,扇形面积公式:
S

?
(初中)
360
180


2 弧度制与角度制的换算:
因为周角的弧度数是2
?
,角度是360°,所以有

360
?
?2
?
rad
1?

?
180
?
?
?
rad

?
180
rad?0.01745rad
把上面的关系反过来写
2
?
rad?360
?
?
rad?180
?

180
?
1rad?()rad?57.30
?
?57
?
18
?

?
0
?
~360
?
之间的一些特 殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.

弧度

0
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
?

6
?

4

?

3
?

2
2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

3
?

2
2
?

类型一:角的概念问题


1. 终边相同的角的表示
例1 若角
?
是第三象限的角,则角
?
?
的终边在第______象限.
答案:二.
解析:因为
?
是第三象限的角,故
?k?360?27 0?
Z,则
oooo
k?360
o
?270
o
?
o
?1 80
o
,k?
Z,故
?
?
的终边在第二象限.
练习:与
610
o
角终边相同的角可表示为_____________.
2. 象限角的表示
?
是第几象限的角?(2)角
2
?
终边的位置.
2
思路:先根据已知条件得出角的范围,再通过讨论
k
值来确定象限角.
例2 已知角
?
是第二象限角,问(1)角
解析:(1)因为
?< br>是第二象限的角,故
k?360?90<
?
Z
)
,故
oooo
k?180
?
?45
?
?
?
2
?k?180
?
?45
?
k?180o
?45
o
<
?
2
o
? 90
o
(k?
Z
)
.当
k
为偶数时,
?< br>2

第一象限;当
k
为奇数时,
?
在第三象限,故为 第一或第三象限角.
2
2
(2)由
k?360?90<
?
Z
)
,得
oooo
?
2k? 360
o
?180
o
<2
?
<2k?360
o?

360
o
(k?
Z
)
,故角
2< br>?
终边在下半平面.
点评:已知
?
所在象限,求
结论:

?
n
(n?
N
*
)
所在象限的问题,一般都要分几种情况进行讨论.
?

?

2
第一象限
第一、三象限
第二象限
第一、三象限
第三象限
第二、四象限
第四象限
第二、四象限
类型二:弧度制与弧长公式
1.角度制与弧度制的互化
例3 把下列各角的度数化为弧度数:
?

150

37
?
30'

?22
?
30
'

?315
?

解 因为
1
?
?
?
180
rad
,所以

150
?
?150?
?
180
rad?
5?
rad

6
1
?
5
?
?
1
?

37
?
30
'
?
?
37
?
?37?rad ?rad

2218024
??
1
?
1
??
?

?2230?
?
?22
?
??22?rad??rad

2
?
21808
?
?'
?
?

?315
?
??315?

?
180
rad??
7
?
rad

4


练习:把下列各角的弧度数化为度数:

3
?
5
?
9
?
rad

3.5rad

rad

?rad

4
34
例4 (1)设
?
?750
o
,用弧度制表 示
?
,并指出它所在的象限;
(2)设
?
?
?
,用角度制表示
?
,并在
?720
o

0
o
内找出与它有相同终边的所有角.
导思:(1)角度与弧度应如何进行互化?(2)确定角 为第几象限角的依据是什么?(3)怎样
找终边相同的角?依据是什么?
3
5
180
3180
o
3
(2)
?
?(
,由
)?
?
?108
o
,与它终边相同的角可 表示为
k?360
o
?180
o
(k?
Z)
5?
5
33
?720
o

k?360
o
?180
o
<0
o
,得
?2≤k,故
k??2

k??1
,即在
?720
o

0
o范围
1010
内与
?
有相同终边的所有角是
?612
o

?252
o
.
点评:角度与弧度进行互化,关键是对转化公式的 理解和应用;判断一个角所在的象限,关键
是在
[0,2
?
]
内找到 与该角终边相同的角.
练习:(1)设
?
??570
o
,用弧度制 表示
?
,并指出它所在的象限;
(2)设
?
?
解析:(1)
?
?
?
?750?
25
?
?
?2?2
?
?
,故
?
在第一象限.
66
7
?
,用角度制表示
?
,并在
?720
o

0o
内找出与它有相同终边的所有角.
3
2.求弧长与扇形面积
例5 已知一扇形中心角为
?
,所在圆半径为
R
.
(1)若
?< br>?
?
3

R?10
cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积 ;
(2)若扇形的周长为一定值
C(C>0)
,当
?
为何 值时,该扇形面积最大,并求此最大值.
导思:(1)扇形的弧长公式是什么?(2)怎样由扇形面积 来求弓形的面积?(3)如何用扇形
的周长
C
表示扇形面积?(4)怎样求最大值?能 用二次函数来求吗?能用基本不等式来求吗?
解析:(1)设弧长为
l
,弓形面积为
S

,则
l?
10
?
(
cm
)< br>,
3

S

?S

?S
?
?
??
3
110
?
1
)(
cm
2
)
.
??10??
10
2
?sin?50(?
332< br>232
(2)由扇形周长
C?2R?l
,得
l?C?2R

1C
2
C
2
11
2

S

=Rl?R(C?2R)??R
?RC??(R?)?
.
2416
22< br>C
2
C
C

R?
时,
S

有最大值且最大值为.此时
l?C?2R?

16
4
2



?
?
lC4
???2
.故当
?< br>?2
时,该扇形有最大面积.
R2C
点评:在应用扇形弧长和面积公式时,如 果圆心角用角度表示,则应先化为弧度;注意不要把
弓形面积与扇形面积相混淆.
练习:设扇 形的周长为
8
cm,面积为
4
cm,则扇形的圆心角的弧度数是______ __.
2

1、下列角中终边与330°相同的角是( )
A.30° B.-30° C.630° D.-630°
2、-1120°角所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、把-1485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°, k∈Z)的形式是 ( )
A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360 °D.315°-5×360°
4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集 合___________________.
5、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( )
A.{α∣90°<α<180°}
B.{α∣90°+
k< br>·180°<α<180°+
k
·180°,
k
∈Z}
C. {α∣-270°+
k
·180°<α<-180°+
k
·180°,
k
∈Z}
D.{α∣-270°+
k
·360°<α<-180°+k
·360°,
k
∈Z}
6、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是( )
A.B=A∩C B.B∪C=C C.A
?
C D.A=B=C
7、下列结论正确的是( )
Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角
C.不相等的角终边一定不同
?
|
?
?k?360
D.< br>?
?
?90
?
,k?Z
=
?
|
?< br>?k?180
?
?90
?
,k?Z

B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角
???
8、若
?
是第四象限的角,则
180
?
?
?
是 .
A.第一象限的角
9、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最 小的角是_______________.
10、若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合 为______________________.


___________ __________________________________________________ ____________________
_________________________ __________________________________________________ ______



高中数学必修四三角函数讲义基础巩固
一、选择题
1.已知α=-3,则角α 的终边所在的象限是( )
A.第一象限
C.第三象限
13π
2.与-终边相同的角的集合是( )
3
?
π
?
A.
?

3
?

??
?

?
B.
?
3
?

??
B.第二象限
D.第四象限
π
??
C.
?
α|α=2kπ+
3
,k∈Z
?

??

??
D.
?
α|α=2kπ+
3
,k∈Z
?
< br>??
3.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4 },则A∩B=( )
A.?
B.{α|0≤α≤π|
C.{α|-4≤α≤4|
D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
4.一条弧所对的圆心角是2rad,它所对的弦长为2,则这条弧的长是( )
1
A.
sin1
2
C.
sin1
1
B.
sin2
2
D.
sin2
5.某扇形的面积为1cm
2
,它的周长为4 cm,那么该扇形的圆心角等于( )
A.2°
C.4°
B.2
D.4
6.如图中,圆的半径为5,圆内阴影部分的面积是( )

175π
A.
36
75π
C.
18
二、填空题
7.若两个角的差是1°,它们的和是1弧度,则这两个角的弧度数分别是__________.
8.正n边形的一个内角的弧度数等于__________.
三、解答题
3π7 π
9.已知α
1
=-570°、α
2
=750°,β
1=,β
2
=-.
53
(1)将α
1
、α
2< br>用弧度制表示出来,并指出它们各自所在象限;
(2)将β
1
、β
2
用角度制表示出来,并在-720°~0°范围内找出与β
1
、β
2
有相同终边的角.


125π
B.
18
34π
D.
9


能力提升

一、选择题
1.扇形的一条弦长等于半径,则这条弦所对的圆心角是 ____弧度.( )
A.π
π
C.
3
π
B.
2
π
D.
4
2.在直角坐标系中,若角α与角β终边关于原点对称,则必有( )
A.α=-β
C.α=π+β
B.α=-2kπ±β(k∈Z)
D.α=2kπ+π+β(k∈Z)
3.在半径为3cm的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为( )
π
A.cm
3

C.cm
2
B.πcm

D.cm
3
4.下列各组角中,终边相同的角是( )
A.(2k+1)π与(4k±1)π,k∈Z
ππ
C.kπ+与2kπ±,k∈Z
66
二、填空题
11π
5.把-写成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ |最小的θ的值是________.
4
6.用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.
三、解答题
7.x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π),
经过2min到达第三象限,经过14min回到原来的位置,那么θ是多少弧度?
358.设集合A={α|α=kπ,k∈Z},B={β|β=kπ,|k|≤10,k∈Z},求与A∩B的 角终边相同的
23
角的集合.
9.已知扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm
2
,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.



π
B.与kπ+,k∈Z
22
π

D.kπ±与,k∈Z
33

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