关键词不能为空

当前您在: 主页 > 高中公式大全 >

累加法公式分子扩散平均速率公式推导及模拟验证 大学物理论文解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 03:44
tags:频率公式

提神-申请去英国留学



分子扩散平均速率公式推导及模拟验证
Allen(080102**)
(东南大学 自动化学院 南京 211189)
摘要1:
从单个气体分子入手, 把分子速度看为平均自由程与每次碰撞的比值,利用
分子运动的速率推算分子扩散速率,将分子高频碰撞 的问题降级成为某数的指数,并且研
究每上升整数次幂碰撞移动的距离与之前的关系,找到递推公式,并 且写出时间位移公
式。利用Excel软件模拟有限次碰撞,在一定范围内验证递推公式,并确定递推公 式中一
个常数的大致范围(暂命名为指数扩散速率衰减系数)。
关键词: 扩散速率; 单个分子; 速率衰减; Excel; 模拟验证
Molecular Diffusion Speed Equation Derivation and Simulation Verification
Allen Chen
(Automation, Southeast University, Nanjing 211189
Abstract:
I started from a single gas molecule, saw the speed of the molecular mean as
the ratio of free path and each collision. I used the rate of molecular motion to
calculate molecular diffusion rate, downgraded problem of high frequency collisions of
molecular as indices of a number. And I researched the changing after rose integer
power, searched for the relation and found the recursive formula. And I wrote out time-
shift formula. Then I used Excel software simulation of limited times of collision and
tested the formula in a certain range. And I confirmed the approximate range of a
constant in the formula.
key words: diffusion rate; a single molecule; decay of rate; Excel; simulation verification


由气体动理论的相关知识,我们可以推算得到,气体 分子的平均速率很快,跟声速是一个数量级的,但
是我们打开一个酒瓶,却不能在瞬间闻到酒香,要在相 对更长的时间之后才会闻到,即气体分子扩散速率比
平均速率小得多,那么究竟扩散速率有多大呢?和平 均速率满足什么样的什么关系?我将利用化简模型的思
想,辅以软件进行模拟验证。推算出气体分子扩散 满足的位移时间关系方程,绘制单分子在二维扩散中的无
规则运动轨迹图,定量地确定气体分子扩散的情 况。回答以上两个问题。



作者简介: Allen,1992年,男,本科生

jscwl@

1理想气体的平均平动速度
麦克斯韦气体分子速率分布定律: 麦克斯韦提出气体分子的速率 分布函数的数学
形式为。计算积分平均值可得到气体分子的平均平动速度
为: 。由此公式计算所得的几种气体分子在300K温度下的平均平动
速率如下表所示:
气体
v(ms
1774


1266

478
水蒸气
596

446
316

二氧化硫

这样的速度已经达到声速级别,但是我们闻到酒香的时间却远远长于听到 瓶塞打开
的声音。很早以前,克劳修斯提出分子碰撞的问题解决了人们的疑惑,因为分子会
和空 间中分布的数密度很大的其他分子发生很多次碰撞,才传播出去,从而使分子
经历了十分曲折的路径,导 致气体分子平均速率很大但是扩散速度却很小。然而克
劳修斯却没有给出分子扩散速度与分子平均速率之 间满足什么样的数量关系。所以
我们仍然不知道平均速率和传播扩散速率到底相差多少。
2理论推理气体分子扩散速率


2.1气体分子碰撞模型的建立与简化
由气体分子平均碰撞次数: 计算公式可以算得到空气中任何一个分
子每秒之内都会和其他分子 发生约65亿次碰撞,每次碰撞都会对其运动状态引起
变化,其速度的大小和方向都是不确定的,而且碰 撞次数如此众多,难以研究。以
下是我的简化方式:
因为考虑到分子众多,先研究单个分子的 运动轨迹,假设每个分子都是质量相同的
小球,根据动量守恒定力,碰撞发生前后两个分子会互换速度, 那么只要将一个分
子按照碰撞发生的频率随机改变运动状态即可。而且为了方便研究,首先研究二维扩散。对于如此巨大的碰撞次数N,将其视为
和10的指数次。
2.2气体分子扩散距离的递推公式推导
或者,即2的指数次
假设分子平均自由程为
所示的图形。

其中 ,
的位移。记作
,则发生一次碰撞的两段位移在二维坐标中的表示为如图
表示碰撞前的 位移;
,而将记作
表示碰撞后的位移(;到发生第二次碰撞之前
。以此类推,如果发生 3次碰撞,即有4段自由程,则将其
,即满足一个递推公式=*2,视为两个两段自由程的运动过程的叠 加,将其记为
为二指数衰减系数。
所以,通项公式为=(注:式中的即)
2.3二指数衰减系数的理论推算
如图1所示,的终点落在以终点为圆心,

为半径的圆周上,所以也就落
在这样的范围内。
∴=0.63662
在三维坐标中也可以得到类似的结论,以下为简单推导过程(思路和二维坐标中类
似:


引入和两个参数并将自由程设为1;第一次运动到(0,0,1的位置,下一个位 置
在一个球面上,用和表示这些点的坐标如下:



2.4气体分子扩散位移-时间理论表达式

由2.3中求得,易得=,其中,;;又
∴分子量
(m
;容易推得,
为29的空气在300K,101kpa的近似公式:
该公式的x- t图像如下:

图2
同理可得;按十指数递增的扩散公式为:

= ,其中;


又可以将10次自由程视为次2次自由程的累加,故的理论 值为
。一样可以推算我们已经得到的计算公式。
但是我们注意到,如果按照这个模型运作的话 ,正常的气体在空气中扩散的速度很
慢很慢,一百秒才扩散了不到1mm的距离,下面我要通过软件模拟 及统计计算来
对二指数衰减系数进行测定。
3 Excel模拟分子扩散测
3.1Excel表格数据的建立

A列生成0到的随机 数,BC列记录第一列对应的余弦正弦值作为随机位移矢
量,DE列为位移向量的叠加作为位置矢量,由 DE作为横纵坐标可以得到单分子
布朗运动的折线图;对DE列最后一组数字代表的位移进行计算可以逆 推。
3.2Excel运动模拟以及衰减系数的测定
按照3.1中所述的方法进行模拟可得 到单分子无规则运动的轨迹图,如下为进行千
次、万次碰撞模拟的轨迹图:

图3



图4
碰撞改变运动方向次的位移,可以通过该公式=计算得 到指数衰
减系数,再由可以推知此次模拟的二指数衰减系数,与理论值
0.63662进行对比 。如下面三张图所示为千次、万次、十万次碰撞的一百次模拟数
据统计图:

图5

图6



图7
由上图可以看出,随着碰撞 次数的增多,平均二指数衰减系数在0.7上下浮动,而
数据统计的千次、万次、十万次碰撞所测算而得 的二指数衰减系数平均值为
0.68095、0.69502、0.69366;这与理论值0.636 62相差较大。原因在于用一次碰撞
来简化巨大次数的碰撞时有某些情况的缺漏。如果有很多段自由程, 此模型无法模
拟如此庞大数据量的可能性。
3.3公式的修正以及模型的改善
将带入原先公式计算可以得到修正公式:
该修正公式的x-t图像如下:
(m),

图8
由图可以看出,修正公式(本质是修正二指数衰减系数)之 后曲线更加上扬,根据
图像反映的信息可以得出,100秒内气体在空气中大约可以前进3cm,这比原 先的
不足1mm更加接近实际情况。


3.4推断与猜想
由以 上公式推导和修正以及二指数衰减系数的理论推导与实际模拟测量可以展开猜
想,在将模型降次简化的时 候也省略了一些可能性,所以进行越多次数的模拟越容
易得到接近事实的结果。反言之,如果利用实际情 况中的多次测量也会得到更加精
确的指数衰减系数。
4结束语
利用碰撞自由程数降 次将问题简化,推导出气体扩散速度理论公式,经过试验验证
有一定的缺陷,又由试验所得数据带入公式 ,对公式进行修正得到与事实吻合更好
的公式,但是似乎还有一定的差距,也就是需要更大的模拟数据量 或者是十分可靠
的实验数据作为支撑才可以进一步确定更加精确的还有公式。我做的只是
初步的 工作,还没能得到令人满意的结果,只是提供了一种研究和解决此类问题的
想法,后期还要做更多的模拟 和数据统计才可以得到更加适用的结果。
参考文献:
[1]
马文蔚,解希顺,周雨青. 物理学. 第五版(下册),北京:高等教育出版社,2006年3月. 172-206.




高中物理电磁学-吉林财经


grow过去分词-最经典的空间留言


的和地的用法区别-美容技术


本科提前批什么意思-迢迢牵牛星的作者


完型填空-微斯人


怎样快速学好物理-法律职业资格证考试


怎么安慰一个心情不好的人-2017高考英语


大学代码查询-怎么算平方面积



本文更新与2020-09-16 03:44,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/398522.html

分子扩散平均速率公式推导及模拟验证 大学物理论文解析的相关文章

分子扩散平均速率公式推导及模拟验证 大学物理论文解析随机文章