投石兵公式对DFT(FFT)的一些理解

一、幅频图

傅里叶反变换的实质是将已知信号分解成不同频率信号的组合，对于DFT由其反变换（公式(1)）


可知，分解后信号的频率k*2πN， n为时间，所以此时原来的信号，变成了一系列频率离散的信号的组
合， 所以在频域的图形（幅频图）是一个个离散的点，这点也可由正变换公式得。

由公式（ 2）对于每一个频率k*2πN，计算结果都是一个点，同时每个频率的基本幅度是|X(k)| ，为什么说基本幅度，因为这个幅度不是各个不同频率信号真正的幅度，由（1）式可以看出，前面还有一个1N ，
又由于DFT的圆周对称性，当x(n)为实序列或者纯虚序列信号时，其DFT正变换结果的幅度是圆 周对称
的。如下所示，下图是对两个正弦信号（一个50Hz，幅度3，一个75Hz，幅度1.5）与 一个直流信号（幅
度2）之和求解256点DFT，然后对其幅度求模所得的结果，由图可以看出，如果 将这些点放在一个圆周
上，他们是关于n=0对称的。这相当于一个双边谱，频率的能量分成了对称的两 部分。

所以其真正的幅度如下，当K不等于0时，频率k*2πN的幅度等于2|X(k)|N ，K=0时， 也就是直
流信号的幅度为|X(k)|N，N为计算DFT的点数。而且最后结果只取前一半的频率点。 重新计算后得幅频
图如下所示，与开始所设的信号幅度一致。

而当信号是复信号时则无对称性质。例如，信号2+3*exp(j*2π*50*n) ，真正的幅度就是|X(k)|N ，
而且作图时不需要人工去掉后一半的点。结果如下：

另外，本人认为双边谱的结果只是计算的结果，并无实际物理意义，这与用虚指数信号表示的连续
周期信号的傅里叶级数出现负频率类似，频率关于ω=0对称。计算能量也就是真正的幅度时，要考虑到与真频率相对应的负频率。

对于对称性可以有以下的解释。在傅里叶变换的层面上，总 体的来说，因为傅里叶反变换就是把信
号分解成以 exp(jω)或者exp(jk*2πN)为基本 信号的组合，所以一个复指数信号就代表一个频率（其它复
杂复信号可以由复指数信号合成），所以信号 是复信号的时候没有对称性。而对于实信号或者纯虚数信号，
将其化成复指数信号后可以看到由一正一负 连个复指数信号组成（例如正弦函数，因为必须把实部或者虚
不给抵消掉），这也就是其傅里叶变换所对 应的结果，所以对于实信号以及纯虚数信号来说，一个分量存
在两个分量，并满足一定的对称关系。 < br>特别的，对于实或者纯虚的x(n)的DFT，具体有以下解释。假设x’(n)是通过对x(t)抽样特 到的，此
时x(t)也应该是实的或者纯虚数函数。由连续函数的傅里叶变换可以得到其频谱函数一定是 关于原点对称
的（如图（2）所示），对其采样后得到x’(n)，在频域频谱函数做周期延拓，且是以 时域采样频率为周期
进行周期延拓（如图（4）所示），这里采样频率应该满足采样定理，不再赘述。因 为要进行DFT，所以
需要在对x’(n)进行截断，现在得到有限长序列x(n)，在频域这个过程相 当于对周期延拓的频谱与sa函数
的卷积，接着再对x(n)进行周期化，在频域相当于将卷积后的频谱 离散化，这是进行DFS的过程，最后再
对时域和频域取其主值区间可得到x(n)和其DFT结果。此 过程如下图所示。
这里必须要注意的一点，在时域离散化的时候，频谱函数以fs进行周期延拓，在频 域离散化的时候，
频域的频率间隔为fsN，在对DFS的结果取主值区间就得到DFT结果，而主值区 间应该有N个点，因为
这是N点DFT，所以，在频域对应的最大频率为fsN再乘以N，得结果为fs ，这个点刚好是周期延拓后
的下一个周期的峰值处（由图（8）、图（10）可以看到），这就是为什么 DFT结果在频域圆周对称的具
体原因，当然结果只去0到N-1点。对称性可以由下图描述的过程直观 的得到。
所以圆周对称的原因有两个原因：
1、首先其对应的连续函数的频谱函数是偶对称的，这是最根本的一点。
2、时域离散化，导致频谱函数周期延托。


二、栅栏效应与分辨率

信号x(n)的DFT相当于对x(n)做Z变换，然后在单 位圆上对频率进行N的点（等间隔）的抽样，所
以信号x(n)被分解成一个个信号的组合，这些信号都 是单频的且彼此之间等间隔离散。频域离散也可以直
接由傅里叶变换公式得到，或者直观的由图(d)得 到。这些频率都在基频的整数倍处，不是连续的频率函数，
我们通过这个离散的频谱函数来分析原函数的 频率分布。对于离散频率之间的频率信息我们不得而知，这
就是栅栏效应。
栅栏效应的本质就是频率的离散化，它是频谱率散化的一种形象的描述。
栅栏效应的产生导致了频谱分辨率的问题。频谱分辨率就是频域两相邻谱线之间的频率间隔。
首先需要明白，频率有模拟频率与数字频率之分，模拟频率表示的谱线间隔其实际值
的数学表达式为fs N（Hz）也就是1T，T为时域一个周期的长度，计算公式为1(Ts*N),f
为时域抽样频率，频 域谱线间隔等于时域周期的倒数，这个关系可以由变换关系式得到，任
何形式的傅里叶变换都满足这样的 关系。；数字角频率与模拟频率之间的关系为w=Ω*T，
其中Ω模拟角频率，所以数字角频率表示的谱 线间隔w=2πN。

对于真正的频率（模拟频率）我们要增加频谱分辨率，表面看有两种方法 ，减小采样频率和提高N。
一般情况下我们是针对已有的采样数据而言，因为fs已定，不能改变。所以 分辨率只能通过提高N来得到
改善。在不改变原采样数据的情况下，我们可以在信号后面补零。这就是常 说的补零法。
现在我们从DFT公式上分析补零的效果。因为频域点数和时域点数是相等的，所以首先 频谱点数增
多。由正变换公式，设点数由N变为m*N，新变换的频率用k1表示，当k1满足m*k时 ，由exp(j*k1*2π
（m*N)可知此时的频率点和未补零前k时的频率点是重合的，此时正变 换公式求和项与为补零前的求和项
是一样的，只不过增加了求和点数，不过这些点数也就是补的x(n) 值是零，对求和并无影响。如果不化成
真正的幅度，那么这两个频谱图在这些频率点上频谱图是完全重合 的。因为N发生了变化，所以真正的幅
度以1m的比例的发生了变化。
仿真结果如下，m等于 2，也就是补了N个零。频谱的幅度不是真正的幅度，没有对其做除以N的
处理。由于补了一倍的点，图 g可以看出，每隔一个点，两个频谱都是重合的。相对于原来的频谱函数，
在频域进行了内插，所以频谱 分辨率提高了。
补零的结果是对已经截断得到的信号的频谱分辨率的提高，而不是对原来为截断的信号 的分辨率的
提高。这由图（d）可以很容易看出，补零后DFT的结果使得图10的谱线变的更密而更加 逼近图（6），
而做不到使频谱逼近图（2），所以截断而丢失的信息无法通过补零而得到。