余弦距离公式三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

三角级数、傅里叶级数
对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数
系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获
得函数f(x)在以三角函 数系为基的展开系数，或者说以三角函数系
为坐标的投影值a0,an,bn……
一个一般的 函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的
展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的 展开仅含有常数项a0
和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。

傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可 以用复指表示，
即cosx=(e^jx+e^-jx)2，sinx=(e^jx-e^-jx)2j 。所以，任何一个
周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，
e^jx ，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。
但重要的是，由于积分变换的核函数 形式发生改变，其物理意义也将
有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系
都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，
一个实参a表示数轴上的 一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的
一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。


傅里叶变换
周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.
对 实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得
到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信 号为例，它有具有位于±Ω两
处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是< br>e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下
实部。
Ω1 与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度
Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是 线性关系。这一现象正
体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础.
经过傅立叶变 换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率
表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别 与正频率,实频相对
应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。

连续频谱
周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,
即整个 信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对
应Ω与-Ω处两根谱线.

困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对:
由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角函数
系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的
cos- wt系数以及x(t)虚部的sin-wt系数.又由于cos的偶函数性质,sin
的奇函数性质以及 j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w',出现在变换
式左边的将是x(t)实部的cosw't 系数以及x(t)虚部的sinw't系数,两者
的加和显然可以用e^jwt的系数表示.

假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,
也很有趣.回到三角函数 展开,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的
乘积不为零,这也是正交性.而在三 维空间中,一条螺旋线与它自身的
乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造成这
种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表
达,也可以认为实数的共 轭是它本身,而复数共轭虚部相反.

连续频谱意义
现在来看连续谱线的含义 ,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,
也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应 频率给信号
的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度函数
是相同的,任 何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相同高度
处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是 微积分,或者说是极
限带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,不可再分.
那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累加
的近似.因此连续谱线可以理解成 相当多,相当细密离散谱线束的近似,
但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅仅表示一个相 对
的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解,离散分布律对应的
概率线,线有多高,随 机变量取值就有多大可能性,在连续概率密度函
数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原来的高 度,而应该用
该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其高度,这一理解与从
频谱回到信号 的傅里叶变反换是吻合的.

为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号, 由于其由多个
三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过如下
的运算:


即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函
数在 区间平方后曲线所围面积与该基在原信号中加权系数之积.显然,
要把基函数平方曲线所围面积的值去除 ,才能得到系数净值.因此,在
上述式子前,要除以一个pi,也就是去掉了所围面积.

2,那么,对于非周期信号,首先我们可以视其为一个周期极长的信号,而
且这个信号只在周期 中的一部分有非零值,当然,这个信号只有部分非
零并不影响所有的操作和理解.在周期信号的展开中, 所有可能包含的
基函数为其周期的分数也即这些基函数频率是原信号频率的倍数.比
如一个2H z的周期信号,他包含的基函数只可能是偶数Hz的三角函数.
因此,我们假设一个信号的周期特别长, 也即频率特别低,会导致什么
呢?当周期长到趋近于极限,频率也同时低到趋近于极限,结合时间量子的概念,可以认为这个极端是原子频率,即一个最小的频率.那么,对
这个非周期信号展开时,所 有频率都有可能对其有贡献,因为原信号的
频率低到了一个原子频率.于是,对一个非周期,或者说是一 个周期无
限长信号展开时,我们必须考虑所有可能的频率分量,实际上,这些微
间隙量子化的频 率值并不连续,但是由于它们非常细蜜,可以用人类思
维理念中虚拟出来的连续这一概念来近似.可以想 到的是,由于频率
分量足够多,每一分量的权值系数将非常小,实际上,对比周期信号的
展开式 ,我们发现,在傅里叶积分式前,并没有去除基函数平方在周期
内所围的面积值,因此,用连续近似繁多 离散的频谱起伏曲线只有相对
的意义.