(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)

目录
第一章 数与式
1.1数与式的运算
1.1.1
绝对值 乘法公式
1.1.2
二次根式 分式
1.1.3
1.1.4
1.2分解因式 第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2根与系数的关系

2.2 二次函数
2.2.1二次函数y
二
ax
2
+bx+c的图像和性质
2.2.2二次函数的三种表达方式
2.2.3二次函数的应用
2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定 3.2三角形
3.2.1三角形的五心
3 .2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关 系：圆幕定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程（选学）

3.3圆

初中升高中数学教材变化分析
1.1数与式的运算
1.1.1 .绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零
的绝对值仍是零.即
a, a
|a| 0, a
0,
0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个
数的差的绝对值的几何意义：
|a b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距 离.
例1解不等式：
|x 1 x 3
>4.
解法一：由
x 1 0
,得
x 1
;由
x 3 0
，得
x 3
；
① 若
x 1
，不等式可变为
(x 1) (x 3) 4
,
即
2x 4
>4,解得 X
V
0,
又 x
v
1 ,
二 x
v
0；
② 若
1 x 2
，不等式可变为
(x 1) (x 3) 4
,
即 1> 4,
二不存在满足条件的x;
③ 若
x 3
，不等式可变为
(x 1) (x 3) 4
,
即
2x 4
>4,解得 x>4.
又x
>3
二 x>4.
综上所述，原不等式的解为
x
V
0
,
或 x
>
4
.
解法二：如图1. 1- 1,
x 1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A
之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的
距离 |PB|，即 |PB|= |x- 3|.
|x3|
所以，不等式
x 1 x 3
>4的几何意义即 为
|RA| + |PB|> 4.
由|AB|= 2,可知
点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点
D(坐标为4)的右侧.
x
V
0,或 x>4.
2

-

P
丄
x

C
0 1
V
|x- 1|

L
A
丄

B
L L

D
----
3 4

x
图 1. 1-1

初中升高中数学教材变化分析

练 习

1.
填空：

(1) 若
x
5
，贝y x=


5
,且
a
(2) 如果
|a b
选


_若
x

则b=
4
，贝y x= _
____ ；若
1 c
2
,则 C=



2

.
择题：

下


)

(A)
若
a
若
b
a
,

(B)
若
a b
，贝
S a


3
(C)
|x —
5|
b
，则
—
|2

X
a b
—
13|

(x>5).
(D)
若
a b
，则
a


.
化简：
1.1.2.乘法公式


我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：


(1) 平方差公式
(a b)(a b) a
2
b
2

;

(2) 完全平方公式
(a b)
2
a
2
2ab b
2
.



我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
(1)
立方和公式
有兴趣的同学可以自己去证明
(a
b)(a
2
ab b
2
)
3
a
.3
例
(2)
1

计算：
立方差公式
(x 1)(x 1)( x

2
x 1)(x
2
x
b
.
3
；


(a b)(a
2
ab b
1)
.
2
)
3
a
b

(3)

;
解法
三数和平方公式
:原式=
(x
2

1) (x

2

1)
2

x
2

(a b c)
2
a
2
b
2

2
c
2(ab bc
(4)
两数和立方公式
=
(x
2

1)(x

4

2
x
1)
(a

b)
3
a
3
3a
2
b 3ab
2

b
3

；

(5)

两数差立方公式
6



=
x
1
.
(a b)
3
a
3
3a
2
b 3ab
2

b
3

.

解法
对上面列出的五个公式



*

■.
原式=
(x 1)(x
,
2
x
1)(x 1)(x x 1)
2

=

(

x
3
1)(x
3
1)

=
6
x
1
.

例2 已知
a b
c
4
,
ab
bc ac 4
，求
a
2
b
2
c
2

的值

解：

b c

2
a
.2 2

(a b c)
2

2(ab bc ac) 8
.
练 习

1.
填
空：
1.
2

1
2
a
b
(
4 b
；
a)


(
(
)；
(
1
2
)
9

4 2

3
)
(4 m )
2
16m
2

4m ( )
；

(3 )
(a 2b c)
2
a
2
4b
2
c
2

( )
.
选择题:

(1 )
x
2

Imx k
平方式，
2.
2
3

ac)
；

初中升高中数学教材变化分析
(A)
m
2


(B) -
m
2

4
(C) -
m
2

数，
(D)丄
m
2

16
(2 ) 不论
a
,
(
b
为何实

3
a
2
b
2
2a 4b 8
的值
(



（A ）总是正数
（C）可以是零

（B ）总是负数
（D）可以是正数也可以是负


数

1.1.3.二次根式
一般地，形如
,a
（
a 0）
的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能 够开
得尽方的式子称为无理式.例如
3a
「
a
?—
b 2b
,
. a^b
2
等是无理式，而
.2x
2

彳
x 1
,
x
2

、
2x y
,
■■ a
2

等是有理式.
1.分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做 分母（子）有理化.为了进行分母（子） 有
理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积
不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如
J2
与
.2
,
3'
、
a
与
，
-. 3 .6
与 方
.6
,
2-. 3 3',2
与
2.3 3-2
，等等. 一般地，
ax
与
x
,
a
、、
x b. y
与
a
、、
x b y
,
a
、、
x b
与
a
、、
x b
互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号
的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根
号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运
算中要运用公式
. ab（a 0,b 0）
;而对于二次根式的除法，通常先写成 分式的形式，然
后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简
的基础上去括号与合并同类二次根式.
2 .二次根式-
a
2
的意义
a, a 0,
a

a, a 0.
例1 将下
J
式子化为最简一次根式：
歹
(1) 両; (2)
VOb(a 0
）；


(
3
) J
4x
6
y(x 0)
.


解： (1)
^A2b
2
顶；

(2)
Ja
2
b
a 7b aVb(a 0)
;

(3) 』
4x
6
y
2 x^y
例2
计算
:
暑

(
3 73
)
.
解法
- .
-
73
(
3
2
X
3
TT(
X

0)
.


3 V3
4

初中升高中数学教材变化分析



















































3














=
-3 (3
=
3^3 3
9 3
. 3)
(3 . 3)(3
、、
3)
=
3(
、、
3 1)
6
=
.3 1
2
.3 (3
、、
3)
=—
解法二：
= 丽
3^3 1)
_
1
= _______________ =
,3 1
.3 1
3 V3
(.3 1)C 3 1)
试比较下列各组数的大小：
(1)
..12
'.诃禾口、、仃
110
；
J
2)
_ 6^ _
和
2.2— 6
.
、石)(
.12
；
11
)
.12 ,11
1
.12 11 '
__ 1 ___
11
'一
10 '
解:
(1) V J2
.11
12 11
1
11 10
1

1110
-
(、石
*10
)(、
11 ”10
)
、石；
10
又
. .12
、一
11 5^ ,10
,
??? .,12 ,11
v
.11
.
(2)
..
2
运—
庇
2
屁苗
212-46)(242+46)
2
、
2+ 6

2,2+
「
6’

又 4>2 2, _
?
° ?号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,
?
一
2

v
2
、、
2
—?、
6
.
.6 4
化简：
C.3 , 2)
2004

( -..
3 . 2)
2005

解：(、、
3 , 2)
2004
( .3
、、
2
严
.2 )
2004
(
「
3 .2)
=
，
2)
2004
( -.3
=
5
1
化简
(4
:
2004
，
2)
2004
(-. 3
2)
=
.3
、、
2
.
(1
)
.9 4*5
；
=
C3
(2)
、、
2
C
x
2
1
x
2
2(0 x 1)
.
解: (1)原式
(2
)原式
={(x *)
.(5)
2

2 2 -5 2
2

1
x
1 x
，所以，原式=-
x
7(2 V5)
2

2 7
??? 0
x 1
,-
6 已知
x
丄
3 2
密茫，求
3x
2
5xy 3y
2
的值.
,y
、
3 2
、
3 <2
5

初中升高中数学教材变化分析
2
2
「
X y
：
3
： ；〕
2 (―
)

do
，
解：
3
Xy
.3
2 2 2 2
2 3 2
, 2 , 3 . 2
1
，
11 289
. …3
X 5xy 3y
3(
X y) 11xy 3 10
练 习

1.
填空：
(1)
1
1 3
(2)
若.、(
5 x)(x 3)
2

(
X
3)
、、亍，则
X
的取值范围是
(3)
4.
24 6,54 3 .96 2. 150
(4)
若
X
巨
，则、厂 ''厂
2
2.
选择题:
.立

1
b
的值.
3.
比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填

U，求
a
a 1
(B)
(C)
(D
)
N”.
0
X
2
4.
1.1.
4
.分式
1.分式的意义
形如
A
的式子，若
B
B中含有字母，且
B 0
，则称
A
为分式.当MHO时，分
B

式
A
具有下列性质：
B
A A M
B B M '

A A M
B B M *
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式
a
像_^ ,
m n
p
这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式.
c d _2m_
n P
例1若空匕
A
—，求常数
A,B
的值.
X
(
X 2) X X 2
6

初中升高中数学教材变化分析


解:
~
A B
A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4

? ____
x(x 2) x(x
2) x(x 2)


_

x x 2
解得
2,B


.A B 5,
1 1

2A 4,
n(n 1)
n
(其中n是正整数);


(1

(2)
)试证：
计算:

1
1
1
1 2
2 3
9 10 '


(3)
证明：对任意大于
的正整数n,有二 —

2 3 3 4


(1)
证明:
..1 1
(n 1)
n 1
? -------

n n 1
n(n 1)
n(n 1)
,


.
1
1

n(n 1)
n 1
(其中n是正整数)成立.


(2)
解：由
(1)可知

丄
L
1
1

9 10
-)( )1 2
1 1
2 3

1 2
2 3

—


1 1 1
_
(―
一)(
2 3
— n(n 1)
1
3

(3
)证明:
1 1

2 3 3 4
1


又n》
2
且n是正整数，二
一定为正数,


.11, 1
1

? ?

2 3 3 4 n(n 1)
L
V
2


且 e>1, 2c
2
— 5ac + 2a
2
_0,
求e的值.


解：在2c
2
— 5ac+ 2a
2
_0两边同除以a
2
，得


2呂—5e+ 2_ 0,

? (2e
—
1)(e— 2)_ 0,



? e
1
_

2
V
1,舍去；
或

e= 2.


?- e_ 2.


习


1
填空题:
对任意的正整数
n,
1
(

n(n
2)
丄

2
.
选择题:
n


.
若
2x y

x


)


(A)
(B)
5
(C)
4

4


3
正数
x,y
满足
x
2

2xy
，求
x y

.
x
的
值.


4
计算丄-
y
.
99 100
7

1
n(n 1)

9
10
_丄
_
2
(D)
丄
10

初中升高中数学教材变化分析













































习题1. 1
A组
(1)
x 1 3
；

1.解不等式：
(2)
x
3


x 2

7
；
x 1 x 1
6
.
(3)

2
.已知
x y 1
,
求
x
3
y
3

3xy
的值.
3
填空：
.
(1)
(2 .3)
18
(2
__ ?
1
4
(2)
若
,(T
(3)
1
.2
a)
2

1
,(1 a)
2

1
2
,
则
a
的取值范围是
「
5
1
填空:
.
(1) a
(2)若
x
xy
2y
22
3a
2

2
ab
3a 5ab 2b
2
2 _________________
2
2
已知：
x
.
1
2
，
y

0
，则
—
xy y

x
2 _
__ ---------
y
小
y _
x . y
」
y
_的值.
x y
C组
)
若
(B)
a b
)


1
选择题:
.
(
)
(
(A)
a b
( 2
( )
a
b 2
一
ab
、、
b a
则
(D)
b
等

(C)
a
b 0
算

a 0
计
a :

于















(A) < ~
2
2.解方程
2(x
丄)
x
13
3(x -
(
B
) ■- a
1
)1 0
.
x

9 11
1

(C)


-

(D)
、、
a




3.计算：-——-
1
L
2 4 3 5
.


4.试证：对任意的正整数 n,有

1 2 3 2 3 4
1
L -
1
n(n 1)(n
1
2)
—<-.

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解

法，另外还应了解求根法及待定系数法.






1.十字相乘法
例1分解因式： (1) x
2
-3x + 2;
8
(2) x
2
+ 4x—
12;

初中升高中数学教材变化分析
（3）
x
2
（a b）xy aby
2

； （4）
xy 1 x y
.
解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项 2
分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x,就是 x
2
-3x
+ 2中的一次项，所以，有
x
2
- 3x+ 2 = （x- 1）（x- 2）.
—ay
—by

图 1. 1 —
3
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1. 1- 1中
的两个x用1来表示（如图1. 1-2所示）.
(2) 由图1. 1-3,得
x
2
+ 4x- 12 = (x- 2)(x + 6).
(3)
由图1. 1-4,得
2 2

x (a b)xy aby
=
(x ay)(x by)
(4)
xy 1 x y
= xy+ (x- y) — 1
x
y ”


―
1

1
=(x- 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).
课堂练习


一、填空题：


图 1. 1-5
1、把下列各式分解因式:
(1)
2
x
5x 6
(2)
2
x
5x 6
(3)
2
x
5x 6
(4)
2
x
5x 6
(5)
x
2
a 1 x a
(6)
2
x
11x 18
(7)
6x
2
7x 2
(8)
4m
2
12m 9
(9)
5 7x 6x
2

2
(10)
12x
xy 6y
2



。
。
。
。
。
。
。
。
。
。

2、
x
2
4x ______________ x 3 x ________________
3、若
x
2
ax
b x
2x4
则
a
,
b
（每
二、选择题： 、题四个答案中只有一个是正确的）
小
2
1、在多项式
(1)
x 7x 6
(2)
x
2
4x 3
(3)
x
2
6x
(5)
x
2
15x 44
中，有相冋因式的是（
A、只有
(2) B、只有（3） （4）
（1）
C、只有
(5) D、（1）和（2）; （3）和（
（3）
2、分解因式
a
2
8a ib 33b
2

得( )
A、
a 11 a 3
B、
a 11b a 3b
C、
a 11b a
2
20
分解因式得（ ）
a b

3、
a b 8




。



8

⑷


2

x
7x 10


)


4)(3) 和 (5)
；

3b

D、
a 11b a 3b

9

初中升高中数学教材变化分析
a b
2
A、
a b 10
B、
a
b 5 a b 4
C、
a b 2
D、
a
b 4 a b 5 a b 10
4、若多项式
x
2
3x a
可分解为
x 5
x
b
，则
a
、
b
的值是
( )

A、
a 10
,
b
2
B、
a 10
,
b 2
C、
a 10
,
b 2
D、
a 10
,
b 2
5、若
x
2
mx
10 x a x
b
其中
a
、
b
为整数, 则
m
的值为
( )
A、
3
或
9
B、
3
C、
9
D
、
3
或
9
三、把下列各式分解因式
23
1、
6 2p q

2、
a

5a
2
b 6ab
2
11 q 2p 3





3、
2寸
4y 6
4、
b 2b 8
4 2
2.提取公因式法
例2 分解因式：
(1)
a
2
b 5 a 5 b
(2)
x
3
9 3x
2
3x
解： (1) .
a
2
b 5 a 5 b
=
a(b 5)(a 1)
(2)
x 9 3x 3x
=
(x 3x ) (3x 9)
=
x (x 3)



3 2 3 2 2
3(x 3)
x
3
9 3x
2


=
(x 3)( x
2
3)
.
或
3x
=
(x
3
3x
2
3x 1) 8
=
(x 1)
3

2 2 2
8
=
(x 1)
3
2
3


课堂练习:
一、填空题：
2
2
1、多项式
6xy
2xy
4xyz
中各项的公因式是

=
[(x 1) 2][(x 1) (x 1) 2 2 ]
=
(x 3)(x


3)
x x y ?
2、
m x y n y
2
3、
m x y n y
2
x
x y ?
4、
m x y z n
y z x x y z ?
5、
m x y z x
y z x y z ?

( )
2 2
3
3x

3
6x 15x 3x x 2x 5
、
( )
n n 1 n 1 ,
4
x x x x 1 ...............................
、
( )




o



c )
o
o
10

初中升高中数学教材变化分析
3:公式法
例 3 分解因式：
2
(1)
a
4
16
2
(2)
3x 2y
2
x y
2

y)(2x 3y)
解：(1)
a
4
16
=
4
2
(a
2
)
2
(4 a
2
)(4 a
2
) (4 a
2
)(2 a)(2 a)
(2)
3x 2y x y
=
(3x 2y x y)(3x 2y x y) (4x
课堂练习
~、
a
2
2ab
23
3
2
a a
b
的公因式是
b
，
b
，
2
，错误的打上
“X” )
、判断(正确的打上
1、
题：


2
2
4
0.01
2
3
x
0.1
9
x
8b
2


3a
2
4b
2
9 a
2

)
(
16b
5a 4b 5a
25a
2

)
(
2
2
y
x
)
(
b c
a
2

)
五、
把下列各式分解


1、
2
n

3、
4 x
2

4x
4.分组分解法
例 4 (1)
x
2

xy 3y 3x
(2)
2x
2

xy y
2


2
3
x
0.1
-x 0.1 ........................
3a 4b 3a
3
4b .............................
4b
2、
3x
2

4、
(2)
2x
2

xy y
2


4x
5y 6
.
2
4x 5y 6
=
2x
(y 4)x y
2
5y 6
11
2x
2
1

初中升高中数学教材变化分析

















=
2x (y 4)x (y 2)( y
或
2x
2
xy y
2
4x 5y 6
2
3)
=
(2x y

2)( x y
3)
.

=
(2x xy
6

2
y
2
) (4x 5y) 6


=
(2x y)(x y) (4x 5y)
=
(2x y 2)(x y 3)
.

课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)
x
2
y
2
a
2

(2)
a
2
4ab 4b
2
6a 12b 9
b
2
2ax 2by





2


ax
2

bx c 0(a 0)

ax
2
bx c(a 0)a(x xj(x x
?
)




x
2
2x
1


2
x
2x
1
5.关于x的二次三项式ax+bx+c(a
z0
的因式分解. 若关于x
的方程
的两个实数根是捲、
就可分解为 .
例5把下列关于x的二次多项式分解因式:
X
2
，则二次三项式
(
1
)
解：(1) 令

(
2
)
x
2
4xy 4y
2

.
；
=0,则解得为
1
2 ,
X
2


1
迈,



















?
2
x
2x
1
=
x ( 1 x
(1 ^2)
?
=
(x 1 2)( x
1 . 2)
.
(2) 令
2
x
4xy
4y
2
=0,则解得
x
(2 2) y
,
人
(2
??
2
x
4xy 4y
2

=
[x 2(1 , 2) y][ x
2(1 -.2) y]
.

^2)y
,
练 习

1.选择题:
多项式
2x
2
xy 15y
的一个因式为
(
(A)
2x 5y
(B)
x 3y
(C)
x 3y
(D)
x 5y


2.分解因式：


23
(1) x
+ 6x+ 8; (2) 8a
—

b
3
;
(3) x
2
— 2x—

(4
)
4(x y 1) y(y 2x)
.

1;
习题1. 2




1.分解因式：
(1)
a
3
1
；
(3)
b
2
c
2
2ab 2ac 2bc
；
(2)
x
2
2
、
2x 3
；
(4)
(x
2
2x)
2
7( x
2
2x) 12
.
(2
)
4x
4
13x
2
9
；
(4)
3x 5xy 2y x 9y
ab bc ca
，试判定
ABC
的形状.
111
2 2

5.
(尝试题)已知 abc=1, a+b+c=2,

2 在实数范围内因式分解：
(1)
x
2
5x 3
；
(3)
3x
2
4xy y
2
;
12

初中升高中数学教材变化分析
a2+b2+c2=，求—
1
—+
丄

+—
1

的
ab c-1 bc a-1 ca b -1
13

初中升高中数学教材变化分析

2.1 —兀二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根(1)
x
2
2x 3 0
(2)
x
2
2x 1 0
(3)
x
2
2x 3 0
}
我们知道，对于一元二次方程 ax
2

+
bx
+
c
=
0
(
a
^0,
用配方法可以将其变
形为
(x
b
)
2
b
2
4ac
2a
)
4a
2

因为a
^Q
所以，4a
2
>0.于是
(1) 当b
2
- 4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不
相等的实数根
b
2
4ac
2a
(2) 当b
2
- 4ac= 0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根
b
X
1
= X
2
= ---- ；
2a
(3) 当b
2
-4ac
v
0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x —
)
2

2a
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.
由此可知，一元二次方程 ax
2
+bx+ c= 0 (a
^Q
的根的情况可以由b
2
-4ac 来判
定，我们把b
2
-4ac叫做一元二次方程ax
2
+ bx+ c= 0(a
^Q
的根的判别式， 通常用
符号
“A
来表示.
综上所述，对于一元二次方程ax
2

+
bx
+
c
=
0
(
a
^Q,
有
方程有两个不相等的实数根 X
1
,
2
= —坯；
△> 0 时,
(1)
2a
(2)
方程有两个相等的实数根 X
1
= X
2
=
△= 0 时,
b

(3)
方程没有实数根.
△
v
0 时,
例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实 数
根，写出方程的实数根.
(2) x
2
— ax -1 =
(1) x
2
— 3x+ 3= 0;
2
0;
(3) x- ax+ (a - 1) = 0;

解：(1
)v
△= 3
2
-4X1
X
3=-3
v
0,二方程没有实数根.
(2) 该方程的根的判别式 △= a
2
- 4
XX
- 1) = a
2
+ 4> 0,所以方程一定有 两
个不等的实数根
14

初中升高中数学教材变化分析
X
i

a “a
2
4
X
2
a .a
2

2
4
(3) 由于该方程的根的判别式为
△
=
a
2

—
4X1
X
(a
—
1)
=
a
2
—
4a
+
4
=
(a
—
2)
2
,
所以，
① 当a= 2时，△= 0,所以方程有两个相等的实数根
X
1
= X
2
= 1 ；
② 当a^2时，△>0,所以方程有两个不相等的实数根
x
i
= 1, X
2
= a
—
1.
(3)由于该方程的根的判别式为
△
=
2
2
—
4X1
X
a
=
4
—
4a
=
4(1
—
a)
,
所以
① 当△>0,即4(1
—
a) >0,即a
v
1时，方程有两个不相等的实数根
为
1 , 1 a
,
x
2

1 , 1 a
;
② 当△= 0,即a= 1时，方程有两个相等的实数根
X
1
= X
2
= 1 ；
③ 当
△
v
0,即a>1时，方程没有实数根.
说明：在第3, 4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而 变
化，于是，在解题过程中，需要对 a的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分
类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的 解题中
会经常地运用这一方法来解决问题.
2.1.2根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程a+bx+ c= 0 (a
M0
有两个实数根
b
X
1
b
2
4ac
2a
X
2
b .b
2
4ac
2a
则有
X
1
X
2
X
1
X


b b
2
4ac b b
2
4ac
2a
b
2
4ac b
2

2a
2b
2a

b
a 2a
b
、
b
2
4ac b

2a
(b
2
4ac)
4ac
4a
2

4a
2

K
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax
2
+ bX + c= 0 (a
z0
的两根分别是X
1
, X
2
，那么X
1
+ X
2
=
-,X
1
X
2
a
=
c

.这一关系也被称为 韦达定理.
a
15

初中升高中数学教材变化分析
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
+px+ q= 0,若X
1
, X
2
是其 两
根，由韦达定理可知
X
1
+ X
2
= — p, X
1
X
2
= q,
16

初中升高中数学教材变化分析
即 p=- (X
i
+ X
2
), q = X
i
X
2
,
所以，方程 x
2
+ px+ q= 0 可化为 x
2
- (X
i
+ X
2
)
x+ X
i
X
2
= 0,由于 X
i,
x
?
是一元
二次方程x
2
+px+ q = 0的两根，所以，X
i
, X
2
也是一元二次方程x
2
-(X
i
+ X
2
)
x + X
i
X
2
= 0 ?因此有
以两个数X
i
, X
2
为根的一元二次方程(二次项系数为 i)是
X
2
- (X
i
+ X
2
)
X + X
i
X
2
= 0.
例2已知方程
5x
2
kx 6 0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 分析：由于已
知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k的值，
再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来 解题，
即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利 用两根之积
求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k的值.
解法一：
v
2是方程的一个根，二5空+ k疋一6 = 0,二k=- 7.
所以，方程就为5x
2
-7x-6= 0,解得X
i
= 2, X
2
=--.
5
所以，方程的另一个根为一
3

, k的值为一7.
5
解法二：设方程的另一个根为X
i
,贝S 2x
i
= -
6
，二X
i
= --.
5 5
由 (一
3

)+ 2=-
k
，得 k=-7.
5 5
所以，方程的另一个根为一
3

, k的值为一7.
5
例3 已知关于x的方程x
2
+ 2(m
-
2)x + m
2
+ 4= 0有两个实数根，并且这 两个
实数根的平方和比两个根的积大 2i,求m的值.
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 2i得
到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给 的方
程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.
解：设X
i
, X
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
i
+ X
2
=- 2(m
-
2), X
i
X
2
= m
2
+ 4.
v
X
i
2

+
X
2
2

—
X
i
X
2
=
2i
,
? ? ?
(
X
i
+ X
2
)
2
— 3 X
i
X
2
= 2i,
即 [—2(m
-
2)]
2
- 3cm
2
+ 4)= 2i,
化简，得 m
2
- i6m- i7= 0,
解得 m=- i,或 m= i7.
当m=- i时，方程为x
2
+6x+ 5= 0, △>0,满足题意；
当 m= i7 时，方程为 x
2
+ 30x + 293= 0, △= 30
2
-4Xi^293< 0,不合题意，
舍去.
综上，m= i7.
说明：(i)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所 对应的
m的范围，然后再由 两个实数根的平方和比两个根的积大 2i”求出m的 值，取满足
条件的m的值即可.
i5

初中升高中数学教材变化分析
(i) 在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的
18

初中升高中数学教材变化分析
判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根.
例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.
分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也 可以
利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.
解法一：设这两个数分别是x, y,
贝 S x+ y=4, ①
xy=-12.
由①，得 y= 4— x,
代入②，得
x（4 — x）=— 12,
即 x
2 2
— 4x— 12 = 0,
二X
1
= — 2, x
2
= 6.
.x 2, X
2
6,
… c 或 c
y
1
6, y
2
2.
②
因此，这两个数是—2和6.
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x
2
— 4x— 12= 0的两个根.
解这个方程，得X
1
= — 2, X
2
= 6.
所以，这两个数是—2和6.
说明：从上面的两种解法我们不难发现， 解法二（直接利用韦达定理来解题）
要比解法一简捷.
例5若X
1
和X
2
分别是一元二次方程2乂 + 5x— 3 = 0的两根.
（1）求| X
1
— X
2
|的值； （2）求
2
丄的值；（3） X
1
3
+ X
2
3
.
X
1
X
2
解：
T
X
1
和X
2
分别是一兀二次方程2x
2
+ 5x— 3= 0的两根,
. 5 3
…
X
!
X
2

,
X-
|
X
2

2 2
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经
(1)
常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规
律：
设X
1
和X
2
分别是一元二次方程ax
2
+ bx+ c= 0 （a
^0,
贝卩
「?I
X1
-
X2|
=
7

.

(2)
1
2
1
X

X

2
1
X

2
2
(x
1

x
2
)

2
5
2
(
2% x
2

2
)
2 (
|)
2

(
2

2
2
XX
2 2
1 2

皿
)
3 25 c
3
37
4
9 9
4



(3)
X
1
3
+ X
2
3
=
(
X
1
+ X
2
)
( X
1
2
— X
1
X
2
+ X
2
2
)=
(
X
1
+ X
2
)
[ ( X
1
+
=(—
—
)>K —
—
)
2
-3>(

3
)]=—
215
8
T
| X
1
— X
2
I
2
= x+ X
2
2
— 2 X
1
X
2
=
(
X
1
+ X
2
)
2
— 4 X
[
X
2
=
( —)
2
4 ( —)
= —
— + 6
2 2 4
4
19

初中升高中数学教材变化分析
X
b
；
b
2
4ac b
；
b
2
4ac
i
2a
,
X
2
2a
二 | X
1
— X
2
=
b xb
2
4ac b . b
2
4ac
2
、
b
2
4ac
2a 2a 2a

■- b
2

4ac
|a| |a|

于是有下面的结论:
若X
1
和X
2
分别是一元二次方程ax
2
+ bx+ c= 0 (a
H0,
则| X
1
— X
2
|^ —
(其
|a|
中△= b
2
— 4ac).
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论. 例
6若关于x的一元二次方程x
2
— x+ a—4= 0的一根大于零、另一根小于 零，求实
数a的取值范围.
解：设X
1
, X
2
是方程的两根，则 X
1
X
2
=
a
—
4
v
0
,
且△= (— 1)
2
—4(a — 4)>0.

由①得
2.
填
若方程
a
v
4
,
空
：
由②得


17
a
v
才.??? a的取值范围是
练
习
方程mx
2
+ x— 2m = 0 (m
^0
的根的情况是
1.
选择题：
以一

3和1为根的一元二次方程是 ________
(1)方程
X
2

2
、、
3kx 3k
2
0
的根的情况是
( )
(A)
有一个实数根
(B )有两个不相等的实数根
(C)
有两个相等的实数根
(D)没有实数根
(2)若关于
x的方程mX
2
+ (2m+1)x+ m= 0有两个不相等的实数根，则实
数
m
值 范 围
(
)
1
(A)
mv -
(
B
)
m
> ——
1

4
4
(C)
1 r
m
(D) m
> -----
，且 m
H
0
x
2
v
—
—，且
3x—


m
1
H
=
0
0

的两根分别是X
1
和X
2
，则丄
4
丄=
X
1
x
2

(2)
(3) ________
已知
a
2

8a 16 |b 1| 0
,当k取何值时，方程kx
2
+ax+ b= 0有两个不相等 的实数
根？
3.
已知方程x
2
— 3x— 1= 0的两根为X
1
和X
2
，求(X
1
— 3)( X
2
— 3)的值.
4.
20

是

3.
4.

初中升高中数学教材变化分析
习题2.1
A组
21

初中升高中数学教材变化分析
1选择题
：
1)已知关于x的方程x
2
+ kx— 2= 0的一个根是1,则它的另一个根是()
A) — 3 ( B) 3 (C)— 2 (D) 2
(2) 下列四个说法：
① 方程X
2
+ 2x— 7= 0的两根之和为一 2,两根之积为一 7;
② 方程x
2
— 2x+ 7= 0的两根之和为一2,两根之积为7;
③ 方程3 x
2
— 7 = 0的两根之和为0,两根之积为 -;
3
④ 方程3 X
2
+ 2x= 0的两根之和为一2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 ()
(A) 1 个
(
B) 2 个
(
C) 3 个
(
D) 4 个
(3) 关于x的一元二次方程ax
2
— 5x+a
2
+ a = 0的一个根是0,贝卩a的值是
(A) 0
或—1
2 .填空
：
(1) ______________________________________________ 方程kx
2
+ 4x— 1 =
0的两根之和为—2,则k= ________________________________ .
方程2x
2
— x— 4= 0的两根为
a,
贝
y a+
修= .
(3) 已知关于x的方程x
2
— ax— 3a = 0的一个根是一2,则它的另一个根
(2)
是 _________ .
(4) _________________________________________________ 方程 2x
2
+
2x— 1 = 0 的两根为 x
1
和 x
2
，则 | x
1
— x
2
|= _______________ .
3. 试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程 m
2
x
2
— (2m+ 1) x+ 1 = 0有两
个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4. 求一个一元二次方程，使它的两根
分别是方程 x
2
— 7x— 1 = 0各根的相反数.
B组
1 .选择题
：
若关于x的方程X
2
+ (k
2
— 1) x+ k+ 1 = 0的两根互为相反数，则k的值为
()
(A) 1,或—1 ( B) 1 (C)— 1 (D) 0
2 .填空
：
(1) 若m, n是方程x
2
+ 2005x— 1 =0的两个实数根，则m
2
n+ mn
2
— mn的值
等于 ___________ .
(2) 如果a, b是方程x
2
+ x— 1 = 0的两个实数根，那么代数式 a
3
+?b + ab
2

+ b
3
的值是 ____________ .
3. 已知关于x的方程x
2
— kx— 2= 0.
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 设方程的两根为X
1
和X
2
,如果2(X
1
+血)>X
1
X
2
,求实数k的取值范围.
22

(B) 1 (C)— 1
()
(D) 0,

初中升高中数学教材变化分析
4. 一元二次方程ax
2
+ bx+ c= 0 (a
M0
的两根为X
1
和X
2
.求：
(1) | X
1
— X
2
和
x

生
;(2) X
1
3
+ X
2
3
.
2
5. 关于x的方程x
2
+4x+ m= 0的两根为捲仆
2
满足|捲一x
?
| = 2,求实数m的值.
C组
1. 选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程~~2x
2
— 8x+ 7= 0的两根， 则这
个直角三角形的斜边长等于 ( )
(
A
) .3 (
B
)
3
(
C
)
6
(
D
)
9
(2)若X
1
, X
2
是方程 2x
2
— 4x + 1 = 0 的两个根，则凶
生
的值为

X
2
X

( )
(A) 6 (B) 4
(C) 3
(D) |
(3)如果关于x的方程x
2
— 2(1 — m)x+ m
2
= 0有两实数根
a,
厲贝S
a+B
的取
(
A
) a+ B
专
(
B
) a+ B
弓
(
C
) a+
1
(
D
) a+
1
(4) 已知a, b, c是
A
ABC的三边长，那么方程cx
2
+ (a + b)x + - = 0的根的
4
23

值
范
围
为
(
)
情
况
是
(
)
(A
)
没
有
实
数

初中升高中数学教材变化分析
根

(B
)
有
两
个
不
相
等
的
实
数
根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根
2. ___________ __________________________________________________ __ 填
空：若方程x
2
— 8x+ m= 0的两根为x
1
, x
2
，且3x
1
+ 2x
2
= 18,则m= ________ .
3. 已知冷，X
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
— 4kx+ k+ 1 = 0的两个实数根.
(1) 是否存在实数k,使(2x
1
— x
?
)( X
1
—2 X
2
)
=—-成立？若存在，求出k的
2
值；若不存在，说明理由；
(2)
的值为整数的实数k的整数值；(3)若k= — 2,
试求的值.
求使*
x2

— 2
互,
24

初中升高中数学教材变化分析
2
4. 已知关于X的方程
x
2
(m 2)x
m
0
.
4
(1) 求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
(2) 若这个方程的两个实数根x
i
, X
2
满足|X
2
|= |x
i
| + 2,求m的值及相应的x
i
, X
2
.
5. 若关于x的方程x
2
+ x+ a= 0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值 范围.
2. 2 二次函数
2.2.1二次函数y= ax
2
+ bx+ c的图象和性质
情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图
(1)
y x
2

(2)
y x
2

(3)
y x
2
2x 3
问题1函数y = ax
2
与y= x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出 y=2x
2
, y= gx
2
, y=- 2x
2
的图象，通 过这些
函数图象与函数y= x
2
的图象之间的关系，推导出函数 y= ax
2
与y= x
2
的 图象之间所
存在的关系.
先画出函数y = x
2
, y= 2x
2
的图象. 先列表：
??? ???
-3 -2 -1
x 3
0 1 2
x
2
9 4
r 1
0 1 4
:9
??? ???
2x
2

???
18 8 2 0 2 8 18
从表 中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了. 再描
点、连线，就分别得到了函数 y=x
2
, y= 2x
2
的图象(如图2- 1所示)， 从图2- 1我们
可以得到这两个函数图象之间的关系： 函数y= 2x
2
的图象可以由
函数y=x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y= -x
2
, y=- 2x
2
的图象，并研
2
究这两个函数图象与函数y=x
2
的图象之间的关系.
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y= ax
2
(a^ 0的图象可以由y= x
2
的图象各点的纵 坐标变为原来的a倍得
到.在二次函数y= ax
2
(a
z
0中，二次 项系数a决定了图象的开口方向和在同
y = 2(x+ 1)
2

+ 1
一个坐标系中的开口 的大小.
y= 2(x+ 1)
2

问题2函数y= a(x+ h)
2
+ k与y= ax
2
的图象之间存在怎 样的关系？
y= 2x
2

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来 研究它们之间
的关系.同学们可以作出函数 y = 2(x+ 1)
2
+ 1
与y= 2x
2
的图象(如图2-2所示)，从函数的同学我们不难
25

图 2.2-2

初中升高中数学教材变化分析
发现，只要把函数y= 2x
2
的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就 可以得
到函数y= 2(x+ 1)
2
+ 1的图象.这两个函数图象之间具有 形状相同，位
置不同”的特点.
类似地，还可以通过画函数 y= — 3x
2
, y=- 3(x—1)
2
+ 1的图象，研究它们 图象
之间的相互关系.
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y= a(x + h)
2
+ k(a工0中, a决定了二次函数图象的开口大小及方向； h
决定了二次函数图象的左右平移，而且 h正左移，h负右移” k决定了二次
函数图象的上下平移，而且 k正上移，k负下移”
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y = ax
2
+ bx+ c(a^ 0的图象的方
法：
由于 y= ax
2
+ bx+ c= a(W +
b
x
) + c= a(x
2
+
-x
+
a
4^
)
+ c—
?
a
a(x
b 4ac
4a
2
4a
所以，y= ax
2
+bx+ c(a^0的图象可以看作是将函数 y = ax
2
的图象作左右平 移、上
下平移得到的，于是，二次函数 y= ax
2
+ bx+ c(a^ 0具有下列性质：
(1 )当a > 0时，函数 y = ax
2
+ bx + c图象开口向上；顶点坐标为
2
(-,
4a
^^)
，对称轴为直线
2a 4a
2
x =—-;当X
V
2时，y随着x的增大而减小;
2a 2a

2a
4a
当x> b时，y随着x的增大而增大；当x= P时，函数取最小值y=色」
2a
(2) 当a
V
0时，函数y = ax
2
+ bx + c图象开口向下；顶点坐标为
■
b 4ac b
)
，对称轴为直线x =-
■
b

;当x
v
—时，y
随着x的增大而增大;
2a 2a
(—,一
2a 4a
当x=-时，函数取最大值y=色」
2a 4a
当x> —时，y随着x的增大而减小；
2. 2— 3和图2. 2 — 4直观地表示出
2a
上述二次函数的性质可以分别通过图

26

初中升高中数学教材变化分析
例1求二次函数y=— 3X
2
— 6x+ 1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最 大值
(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并 画出该函数的图
象.
解：? y= —3x
2
— 6x+ 1 = — 3(x + 1)
2
+ 4,
???函数图象的开口向下； 对称轴是直线x=— 1； 顶点
坐标为
(
一1, 4); 当x=— 1时，函数y取最大值y= 4; 当
x
v—
1时，y随着x的增大而增大；当x>— 1时， y随着x的
增大而减小；
采用描点法画图，选顶点 A(— 1, 4))，与x轴交于点
B(鲁卫
,0)
和C
(
鲁
Ao
)
，与y轴的交点为D(0, 1),过 这五点画出
图象(如图2— 5所示).
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画
函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画
图更简便、图 象更精确.
函数
y
=
ax
2

+
bx
+
c
图象作图要领：
(1) 确定开口方向：由二次项系数a决定
(2) 确定对称轴：对称轴方程为x —
2a
(3) 确定图象与x轴的交点情况，①若△ >0则与x轴有两个交点，可由 方
程
x
2

+
bx
+
c=0
求出②①若△ =0则与x轴有一个交点，可由方程
x
2

+
bx
+
c=0
求出③①若△ <0则与x轴有无交点。
(4) 确定图象与y轴的交点情况
，
令x=0得出y=c，所以交点坐标为(0, c)
(5) 由以上各要素出草图。
练习：作出以下二次函数的草图
(1)
y x
2
x 6
(2)
y x
2
2x 1
(3)
y x
2
1
例2某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x (元)与产 品的日销
售量 y (件)之间关系如下表所示:
x 元
y件
130
70
150
50
165
35

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润， 每件产
品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润=日销售量销售价x—120),日销售量y又是销售 价x的一次
函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的 利润与销售价x之
间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利
27

初中升高中数学教材变化分析
润的最大值.
解：由于y是x的一次函数，于是，设y= kx+
(
B
)
将 x= 130, y= 70; x= 150, y = 50 代入方程，有
70 130k b,
50 150k b,
解得 k =— 1, b= 200.
A
y=-x+ 200.
设每天的利润为z (元),则
z= ( — x+200)(x— 120)= — x
2
+ 320x— 24000= — (x— 160)
2
+ 1600,
???当x= 160时，z取最大值1600.
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元.
例3把二次函数y= x
2
+ bx+ c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个 单位，
得到函数y= x
2
的图像，求b, c的值.
解法一：y= x
2
+bx+ c= (x+
b
)
2

c
手，把它的图像向上平移2个单位，再向 左平移4
个单位，得到
y
(
X 2 4
)
2
c
与
2
的图像，也就是函数y= x
2
的图像，
所以,
b
4
0,
解得 b= — 8, c= 14.
2
b
2
2 0,
c
4
2
把二次函数y=x+bx+ c的图像向上平移2个单位，再向左平移4
解法二:
个单位，得到函数y= x
2
的图像，等价于把二次函数 y=x
2
的图像向下平移
2个 单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x
2
+bx+ c的图像.
由于把二次函数y=x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得 到函数
y= (x — 4)
2
+ 2的图像，即为y= x
2
— 8x+ 14的图像，?函数y = x
2
— 8x + 14与
函数y=x
2
+bx+ c表示同一个函数，? b= — 8, c= 14.
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题， 所以，
同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向 的思维
来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来 的问题等价转
化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在 解题时，可以根据题目
的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.
例4已知函数y= x
2
, — 2$$
包
其中a>— 2,求该函数的最大值与最小值， 并求
出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x的值.
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a的取值进行讨 论.
解：
(
1)当a= — 2时，函数y = x
2
的图象仅仅对应着一个点
(
一2, 4),所以， 函
数的最大值和最小值都是4,此时x= — 2;
(2)当一2
v
a
v
0时，由图2. 2 — 6①可知，当x= — 2时，函数取最大值y =4;
当x= a时，函数取最小值y= a
2
;
(3) 当0v
2时，由图2. 2— 6②可知，当x= — 2时，函数取最大值y
28

初中升高中数学教材变化分析
=4;当x= 0时，函数取最小值y= 0;
(4) 当a》2时，由图2. 2 — 6③可知，当x = a时，函数取最大值y= a
2
; 当
x= 0时，函数取最小值y= 0.
y
的
二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决 这一类
问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.
练习
1. 选择题：
1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ()
A) y= 2x
2
(B) y= 2X
2
— 4x+ 2 (C) y= 2x
2
— 1 (D)
y= 2X
2
—4x
(2)函数 y= 2(x —1)
2
+ 2 是将函数 y= 2x
2
()
(A) 向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B) 向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C) 向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D) 向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2. 填空题
(1) 二次函数y= 2x
2
— mx+n图象的顶点坐标为(1, — 2),贝卩m= ______ , n
(2) _________________________________________ 已知二次函数y = x
2
+(m—
2)x— 2m,当m= ____________________________________ 时，函数图象的顶点在
y轴上；当m= _______ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m= _________ 时，
函数图象经过原点.
(3) ______________________________________ 函数y= — 3(x+ 2)
2
+ 5的图
象的开口向 _____________________________________ ，对称轴为 ____________ ,
顶点坐标为 ___________ 当 x= ___________ 时，函数取最 ________ 值 y
= _____ 当x _________ 时，y随着x的增大而减小.
3. 求下列抛
物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y随x 的变
化情况，并画出其图象.
(1) y= x
2
— 2x— 3; (2) y= 1 + 6 x—x
2
.
4. 已知函数y= — x
2
— 2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函
29

图 2.2—
6
说明：在本例
中，利用了分类 讨论
的方法，对a 的所有
可能情形 进行讨论.
此外， 本例中所研究

初中升高中数学教材变化分析
数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量
(
1
)
x
<—
2
; (
2
)
x
<2 (
3
)—
20
W1 (
4
)
0$$
W3
222二次函数的三种表示方式
x的值：
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1. 一般式：y= ax
2
+ bx + c(a^0)
2. 顶点式：y= a(x + h)
2
+ k (a^ 0)其中顶点坐标是
(
一h, k).
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种 表示方
式，我们先来研究二次函数 y= ax
2
+ bx+ c(a^0的图象与x轴交点个数.
当抛物线y= ax
2
+ bx+ c(a^0与 x轴相交时，其函数值为零，于是有 ax
2
+ bx +
c= 0. ①
并且方程①的解就是抛物线 y = a+bx+ c(a
z
0与x轴交点的横坐标(纵坐 标为
零)，于是，不难发现，抛物线 y=ax
2
+bx+ c(a^0与x轴交点个数与方程 ①的解的个数
有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 △= b
2
— 4ac
有关，由此可知，抛物线y= ax
2
+ bx+ c(a^0与 x轴交点个数与根的判别式 △= b
2
—
4ac存在下列关系：
(1) 当△>0时，抛物线y= ax
2
+ bx + c(a^0与 x轴有两个交点；反过来， 若抛
物线y= ax
2
+ bx+ c(a^ 0与 x轴有两个交点，则 △> 0也成立.
(2) 当△= 0时，抛物线y= ax
2
+ bx + c(a^0与 x轴有一个交点(抛物线的 顶
点)；反过来，若抛物线y= ax
2
+ bx + c(a^ 0与 x轴有一个交点，则△= 0也成 立.
(3) 当△<0时，抛物线y= ax
2
+ bx + c(a^0与 x轴没有交点；反过来，若 抛物
线y= ax
2
+ bx + c(a^ 0与 x轴没有交点，则△< 0也成立.
于是，若抛物线y= ax
2
+ bx+ c(a^0与 x轴有两个交点A(x
i
, 0), B
(
X
2
, 0), 则
X
i
, X
2
是方程ax
2
+ bx+ c= 0的两根，所以
X
l
+
x
2
= — , X
1
X
2
=-，即
a a
c
—
=—
(x
1
+
x
2
)
,
— =
x
i
x
2
.
a a
所以，y= ax
2
+ bx+ c= a(
x
2 b
x
a a
) = a[x
2
— (X
i
+ X
2
)
x+X
1
X
2
] = a(x—X
i
)(x—
X
2
)
.
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y= ax
2
+ bx + c(a^ 0与 x轴交于A(x
i
, 0), B(X
2
, 0)两点，则其函数 关
系式可以表示为 y= a(x — x
i
) (x — X
2
) (a^ 0)
30

初中升高中数学教材变化分析
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3. 交点式:y= a(x — x
i
) (x — X
2
) (a^ 0)其中x
i
, X
2
是二次函数图象与x轴交 点的
横坐标.
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一 般式、
顶点式、交点式这二种表达形式中的某一形式来解题.
例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y= x+ 1上，并且 图象经过
点(3,— 1),求二次函数的解析式.
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 一一最大值、顶点位置， 从
而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a.
解：
T
二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，
???顶点的纵坐标为2.
又顶点在直线y= x+1 上, 所以，2 = x+ 1,二 x= 1. 二顶点坐标是(1, 2).
设该二次函数的解析式为
y a(x 2)
2
1(a 0)
,
T
二次函数的图像经过点(3,— 1),
?
1 a(3 2)
2
1
，解得 a= — 2.
?二次函数的解析式为
y 2(x 2)
2
1
，即y= — 2x
2
+ 8x— 7.
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶 点坐
标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要 充分挖掘题目
所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题.
例2已知二次函数的图象过点
(
一3, 0), (1, 0),且顶点到x轴的距离等于 2,求此
二次函数的表达式.
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二 次函数
的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.
解法一：
T
二次函数的图象过点
(
一3, 0), (1 , 0),
???可设二次函数为 y= a(x + 3) (x— 1) (a^ 0)
展开，得 y = ax
2
+2ax— 3a,
顶点的纵坐标为琶
4a
,
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,
? |一4a|= 2,即卩 a=
1
.
所以，二次函数的表达式为y=
lx
2
x
-，或y=—
-x
2
x -
.
2 2 2 2
分析二：由于二次函数的图象过点
(
一3, 0), (1, 0),所以，对称轴为直线x =—1,
又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又 可以将二次函数的
表达式设成顶点式来解， 然后再利用图象过点
(
一3, 0),或(1 , 0),就可以求得函数的
表达式.
解法二：
T
二次函数的图象过点
(
—3, 0), (1 , 0),
?对称轴为直线x=— 1.
又顶点到x轴的距离为2,
31

初中升高中数学教材变化分析
???顶点的纵坐标为2,或一2. 于是可设二次函数为y = a(x +1)
4 5 6
+
2,或y = a(x+ 1)
2
-2, 由于函数图象过点(1 , 0),
? 0= a(1 + 1)
2
+ 2,或 0= a(1 + 1)
2
-2.
? a=--，或 a=
-
.
2 2
所以，所求的二次函数为y=
—
-
(x +1)
2
+ 2,或y=丄(x + 1)
2
-2.
2 2
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度， 利用
交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰 当的方法来
解决问题.
例3已知二次函数的图象过点
(
一1,-22), (0，- 8), (2, 8),求此二次函 数的表达
式.
解：设该二次函数为y = a+bx+ c(a
z
0) 由函数图象过点
(
一1,- 22), (0,- 8),
(2, 8),可得
22 a b c,
8 c,
8 4a 2b c,
解得 a=- 2, b= 12, c =- 8.
所以，所求的二次函数为y= — 2x
2
+ 12x-&
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的 —般
式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练 习
1 .选择题:
( 1 ) 函 i 数 y = -
( )
(A)
0个



-x
2
+

x - 1

图象与
x
轴 的 交点个数是

(B)
1个

个
(C)
2


(D)无法确

疋
( 2 )
(

函数 y

=-

1
2 (x +

1)
2
+
2

的 顶 点坐标是

)
(A) (1 , 2) (B) (1 , - 2) (C) (-1,
2)
(D) (- 1,
-2)
2. 填空：
(1)已知二次函数的图象经过与 x轴交于点
(
一1, 0)和(2, 0)，则该二次函数 的解
析式可设为 y = a ____________________ (a工0).

为
3. 根据下列条件，求二次函数的解析式.
5 图象经过点(1，— 2), (0,- 3), (— 1，— 6);
6 当x= 3时，函数有最小值5,且经过点(1, 11);
32

初中升高中数学教材变化分析
(2)二次函数 y=— 乂+2 3x + 1的函数图象与 x轴两交点之间的距离
(3)函数图象与x轴交于两点(1 - 2, 0)和(1 +
2,
0),并与y轴交于(0, -2).
V

2.2.3二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1. 平移变换
问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可 以怎样来
研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点 一一只改
变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时， 只需
利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.
例1求把二次函数y= x
2
— 4x+ 3的图象经过下列平移变换后得到的图象所 对应
的函数解析式：
(1) 向右平移2个单位，向下平移1个单位；
(2) 向上平移3个单位，向左平移2个单位.
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次 项系
数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项) ，
所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二 次函数
图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式.
解：二次函数y= 2x
2
— 4x— 3的解析式可变为
y= 2(x— 1)
2
— 1,
其顶点坐标为(1,— 1).
(1) 把函数y= 2(x— 1)
2
— 1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，
其函数图象的顶点坐标是
(
3,— 2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数 表达式
就为
y= 2(x — 3)
2
— 2.
(2) 把函数y= 2(x— 1)
2
— 1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，
其函数图象的顶点坐标是
(
一1, 2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函
数表达式就为
y= 2(x + 1)
2
+ 2.
2. 对称变换
问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有 什么特
点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换 时，具
有这样的特点一一只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状， 因此，在研究
33

初中升高中数学教材变化分析
二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点
34

初中升高中数学教材变化分析
位置和开口方向来解决问题.
例2求把二次函数y= 2x
2
-4x+ 1的图象关于下 列直线对称后所得到图象对应的
函数解析式：
(1) 直线 x=- 1；
(2) 直线 y= 1.
解：(1)如图2. 2-7,把二次函数 y= 2x
2
-4x + 1的
图象关于直线x=- 1作对称变换后，只改变图 象的顶点
位置，不改变其形状.
由于 y= 2x
2
— 4x+ 1 = 2(x- 1)
2
— 1,可知，函数
y
=2x
2
-4x+ 1图象的顶点为A(1,- 1),所以，对称后所得到图象的顶点为 A
1
(— 3, 1),
所以，二次函数y= 2《—4x +1的图象关于直线x=- 1对称后所得到图象
的函数解析式为 y= 2(x + 3)
2
- 1,即 y= 2x
2
+ 12x+ 17.
(2)如图2. 2-8,把二次函数y= 2x
2
-4x+ 1的图象关于 直线
x=- 1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方 向，不改变
其形状.
由于 y= 2 — 4x +1 = 2(x-1)
2
— 1,可知，函数 y = 2x
2
-4x +
1图象的顶点为A(1,- 1),所以，对称后所得到图象的顶点为 B(1,
3)，且开口向下，所以，二次函数 y=
2
-4x+ 1的图象 关于直线y=
1对称后所得到图象的函数解析式为 y= — 2(x—
1)
2
+ 3,即卩 y=- 2x
2
+ 4x+ 1.
练 习
1.选择题：
把函数y= — (x
-
1)
2
+ 4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所
得 图 象 对 应 的 解 析 式
( )

为
22
y= (x+ 1) + 1 (
B
) y=- -(x+ 1) + 1
(A)
(C) y=- (x- 3)
2
+ 4 (D) y=- -(x -3)
2
+ 1
2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大
销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现 每件衬
衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件：
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多
？


2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法
35

初中升高中数学教材变化分析
一、知识概述
1、 二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2的整式方程叫二元
二次方程.
关于x、y的二元二次方程的一般形式为 ax2 + bxy+ cy2 + dx+ey+ f=O（a、
b、 c至少有一个不为0）,其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项
的系数；dx、ey叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项.
例，xy=1, x2 — y=0, x — y — 2xy= — 3 都是二元二次方程；x — y=1 ,
x2y=0 都不是二元二次方程.
2、 二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二 元二
次方程组成的方程组叫二元二次方程组.
3、 解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是 转化”，将二元转化为一元，将二次转化为
一次，转化的基本方法是 消元”和降次”.因此，掌握好消元和降次的一些方法 和
技巧是解二元二次方程组的关键.
二、重点、难点和疑点突破
1、 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法
（
简称 二
一” 型方程组
）
（1） 代入消元法
（
即代入法
）
代入法是解 二一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
① 先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另 一个
未知数；
② 把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一 元一
次方程；
③ 解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④ 把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；
⑤ 写出方程组的解.
（2） 逆用根与系数关系定理法
J
肚十尸=庄，
对 二一”型二元二次方程组成的形如少I 的方程组，可以根据一元二次 方程根
与系数的关系，把x、y看成一元二次方程z2-az + b=0的两个根，解这个 方程，求
得的z1和z2的值，就是x, y的值，当x仁z1时，y1=z2;当x2=z2 时，y2=z1，所
以原方程组的解是两组 对称解”.
2、 对 二一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
二一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有 解.把
一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元 二次方程.由
根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个 相等的实数解或无
实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情 况.简言之，有一个二元一
次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可 通过一元二次方程的根的判别式
来判断.
36

初中升高中数学教材变化分析
3、
二
二”型方程组的解法
解二二”型方程组的基本思想仍是 转化”转化的方法是 降次”消元”它 的一
般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得 到的
两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个
二一”型方程组，解这两个 二一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一 个二
元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程
分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解 这四
个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.
4、
二二”型方程组的解的情况

4 = 0
C-0
r^=o
二都为雌方爾的解
由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组.
值得注意的是 二一”型方程组最多有两个解；
解.解方程组时，既不要漏解，也不要增解.
三、解题方法技巧点拨
1、二一”型二元二次方程组的解
J-
孑期一
4
严=
0
?
二 二”型方程组最多有四个
①
例1、解方程组匸 '
分析：
此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法； 如果
把①变形为
(
x + y)2=4，得x+ y=2或x + y= — 2,则原方程组可变形为两个
严旷
2
或
严
二元一次方程组In .解这两个二元一次方程组所得的解都是原 方程组的解，这是第
二种解法.
解法1:
由②得x=2y + 5 ③
将③代入①，得(2y + 5)2 + 2y(2y +5) + y2=4.
整理，得 3y2 + 10y+ 7=0.
解得=-律力
=
_
1-
把为■-弓代
A
③』得珂■扌；
把
Y2
=
~ 1
代八③，得
X2 = 3
；
1
…原方疊的解是'亍［吨乜
1^2 =
-1
37

初中升高中数学教材变化分析
解法
2
：
療方程组转化为？十
2
或弋
弄十了三一
2
点-
2y=5
^~2y=5

点评：解 二一”型二元二次方程组,
般常采用前一种解法，即先代入消
元，再分解降次(或用公式法)求解.本例的第二种解法是一种特殊解法，它只适 合一
些特殊形式的方程组.
(D
例
Z
解方程组 厂
②
分解：
仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系 通过
构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解.
解法1:
由①得y=8 — x.③
把③代入②，整理得x2 — 8x+ 12=0.
解得x仁2, x2=6.
把x1=2代入③，得y
i
=6.把x1=6代入③，得
y
=2.
所以原方程组的解是
f
1
*
2
I
M


也=
z
'
解法2:
根据韦达定理可知，x, y是一元二次方程z2 — 8z+ 12=0的两个根，解这个
方程，得
z1=2, z2=6.
，.原方薛的解杲
点悟：代入法”是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二 次
方程组的一般方法，适用范围广；逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适用于 以两
数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小.
2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法
x
2
-y
2
= i
①

例3、解方程组
②
分析：
观察方程②，把
(
X — y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x — y)的
一 元二次方程，且可分解为(x — y — 3)(x — y+ 1)=0,由此可得到两个二元一次方
程 x — y — 3=0 禾口 x — y+ 1=0.
这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：
38

初中升高中数学教材变化分析

分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解. 解：
由②得(x — y — 3)(x - y+ 1)=0.
「?x — y— 3=0 或 x — y+ 1=0.
???原方程组可化为两个方程组：
X- y- 3= 0, [X-1 = 0.
x- y- 3- 0
(J.
x- 1 -
用代入消元法解方程红分别得
5
原方程组的解为
4
1
兀=
3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法
例4、解方程组〔* + 4叫②
分析： 方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，
方程②左边是完全平方式，右边是1,将其两边开平方，也可以达到降次的目的.
解： 由①得(x — 4y)(x + y)=0
? x — 4y=0 或 x + y=0
由②得(x + 2y)2=1
? x + 2y=1 或 x + 2y= — 1.
原方程可化为以下四个方程组
忙
Q,
卩-
4
了


怎+
y- 0,
^
L
+

y=
〔
1,
X
-
K
2y--] ^+2y-i;
2
1

<
1
解这四个方程齟，繹原方程組的四个解是;
1
x+ 2y~ 1;
2
3
L
3
3
电
x
斗
M = y- =
-1
-
y
卄
J
兀=一?；
心

点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程
组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象.
4、已知解的情况，确定字母系数
[”=忌+2
①

例5、k为何值时，方程组
②

(1) 有一个实数解，并求出此解；
39

初中升高中数学教材变化分析
(2) 有两个实数解;
(3) 没有实数解.
分析：
所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知 数
y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论.
解：
将①代入②，整理得 k2x2 + (2k — 4)x +仁0 ③
△ =(2k— 4)2 — 4Xk2xl = — 16(k — 1).
Q)
当]H %土原方穆姐有一个实数醸艮恢三出病趕组有一个实
[?=0
数解.将& =
1
代入原方程组得
+ 2.
■
当尸
Lr=
3
-
眩原方程組有两个翩解卫叹
方程组有一个实數解。
■当—诅心
oat
原方程组有两个实數解.
当卩
7
干
① 时方程銚一元二次方程和当七>
1
时方程组无实数解.
仏=-
L
锹-
1)
小
当上=站方程③不是一元二欲方程,此时
-42
它有救解土
「
k >
lPt
原方程袒没有实数解 (诩懶形经常被忽视了?)
点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△
=0,^> 0,^< 0来讨论的.
解题易错点是一元二次方程中
x
2
的系数k
2
不等于0容易被忽略.






练习
解方程组
2 2
3x 2xy y 0
(x y) 3( x y) 18 0
2
(2)

2
小

x 2xy y 4
2 ,
(x y)
2
5x 5y 6
40

初中升高中数学教材变化分析
232 —元二次不等式的解法
1、 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 +
2、 一元二次不等式的解法步骤?
一兀二次不等式
ax
2
bx c 0
或
ax
2
bx c 0 a 0
的解集:
(1
)
x
2

+
2x
—
3
W0
(2
)
x
—
x
2

+
6
v
0
;
(3
)
4
X
2

+
4
X
+
1
>Q
(4
)
x
2
—
6x
+
9
2
(5
)—
4
+
x
—
x
v

0
.
设相应的一兀二次方程
ax
2
bx c 0 a 0
的两根为
x
2

且
x
1
x
2

,
b
2
4ac
, 则不等式的解的各
种情况如下表：

0

0
y ax
2
bx c

0
y ax
2
bx c y ax
2
bx c
二次函数
y ax
2
bx c

c
(
a 0
)的图象
一兀一次方程
ax
2

bx c 0
a 0
的根
有两相异实根
X
1
,X
2
(
X
1
X
2
)
有两相等实根
x1 x2

b
2a
无实根
2
ax bx c 0
(a 0)的解集
ax
2

bx c 0
(a 0)
的解集
x x x x
2


Jx
b

1 2a

R
xx
1

x x
2

例1解不等式:
例2解关于x的不等式
x
2
x a(a 1) 0
解：原不等式可以化为：
(x a 1)(x a) 0
若
a (a 1)
即
a
丄
则
x a
或
x 1 a
2
41

初中升高中数学教材变化分析



若
a
(a 1)
即
a
若
a
(a 1)
即
a
1
则
(x
则
x
1)
2

a
或
0








2
1
1
x , x
R
2
2
x 1
a
2
2
bx

ax c 0
的
例3 已知不等式
0）
的解是
x 3
求不等式
2,
或
x
ax
bx c 0(a



解.

解 :由不等式
ax
2
bx c 0(a
0）
的解为
x
2,
或
x
3
，可知




a
0
，且方程
ax
2
bx c
0
的两根分别为 2和3,

.
b

5,
-
6
c a

,

a

a

b


a
5,
c
a

由于
a
所以不等式
bx
2

ax
c 0
可变为

b

x
2
x


即 整
—
a
a
5x
2

x 6 0,


理,

5x
2
x 6 0,


所以,
不等式
bx
2
ax c 0
的解是


彳十 6

x
v—
1
,
或 x
>
5
.


说明：
本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.


练 习

1.解下列不等式：


(1) 3x
2
— x— 4>
(
2
)
x
2

—
x
—

0;
12
<0


(3) X
2
+ 3x— 4>
(4
)
16
—
8x
+
x
2
<0

2?

0;
解关于x的不等式x
2
+ 2x+1— a
2
<0（
a为常
数）

.










作业：


1?若0，
则不等式(x— a)(x—
1
)<0的解是




A.a1
a

a
B. - 1
a




C.x>
-
或 x-
或 x>a
a a
2.如果方程ax
2
+ bx+ b = 0中，a
v
0,它的两根x , X
2
满足冷< X
2
,
42

(
那么不等式

初中升高中数学教材变化分析
ax
2
+ bx+ b
v
0 的解是 ______
3. 解下列不等式：
1
)
3X
2

—
2x
+
1
v
0
;
(2
)
3x
2
—
4
v
0
;
(3) 2x— x
2
>— 1;





(4
)
4
—
x
2
<0
(5)4+3x — 2x
2
>
0
；








(6)9x
2
— 12x> —
4;
4. 解关于x的不等式x
2
— （1 + a）x + a
v
0 （a为常数）.
5 .关于x的不等式
ax
2
bx c 0
的解为
x
的解.
2
或
x -
2
求关于x的不等式
ax
2
bx c 0
3. 1 相似形
3.1.1.平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题 .在数学
学习与研究中，我们发现平行线常能产生一
些重要的长度比.
T
11丨丨丨1丨丨丨
在一张方格纸上，我们作平行线
1
1
,1
2
,1
3
-一- ――
（如图3.1-1）,直线
a
交
1
1
,1
2
,1
3
于点代
B,C
, 二丞
二二“
AB 2,BC 3
,另作直线
B'C' BC 3
b交
h,1
2
,1
3
于点—
A
',
B
',
C
，不难发现 担

2
3
—-
仃厂
二二
i-rr-i iiii
r
p
我们将这个结论一般化，归纳出平行线 分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
-1


如图 3.1-2,
h
〃
i
2
〃
i< br>3
，有
AB
=
DE
.
当然,
AB
AC
DE
DF
也可以得出
中，我们一定要
.在运用该定理解决问题的过程
43

初中升高中数学教材变化分析
注意线段之间的对应关系，是 对应”线段成比例.
例 1 如图 3.1-2,
h 1
2
1
3
，
且
AB= 2,BC = 3,DF = 4,
求
DE,EF
.







解
Qy
DE
2
2 3
DF
8 -,EF
5
3
2 3
DF
12
5
图 3.1-
2

例2 在
VABC
中，
D,E
为边
AB, AC
上的点
求证：
AD

AE DE
AB AC BC
ADE
AD AE
AB AC


DEBC
，
证明（1）
Q DEBC,
VADE
s
VABC
,

ABC, AED
DE
BC
证明（2）如图3.1-3，过
A
作直线
l BC
，
Q l DE BC,
AD AE
AB AC '
过
E
作
EF AB
交
AB
于
D
，得
YBDEF
，
因而
DE BF.


Q EF AB,
AD AE DE
AB AC BC
AE
AC
BF
BC
DE
BC
图 3.1-3
从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它
，所得的对应线
两边（或两边的延长线） 段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的
三角形的三 边与原三角形的三边对应成比例.
例3 已知
V ABC
，
D
在
AC
上，
AD: DC 2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线 段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到，如图3.1-4,设< br>EC
交
BD
于
F
，则
F
为
EC
的中点，作
EGAC
交
BD
于
G
.
Q EGAC,EF FC
，
VEGF VCDF
，且
EG DC
，
1 BE EG 1
EG —AD,VBEG : VBAD
，且
=
2 BA AD 2
,
E
为
AB
的中点.
可见，当
E
为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
上.
44

初中升高中数学教材变化分析
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其 存
在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在 例4
在
VABC
中，< br>AD
为
DBAC
的平分线，求证:
45

初中升高中数学教材变化分析


AB = BD





Q ADCE,=BD.

AE DC

? BAD
Q

衆
BAC,

行
E,
ADCE
? BAD



? E ?ACE,
即卩
AE
AC,





AC = DC '
证明过C作CEAD，
聖
交BA延长线于
E
,
? DAC,
DAC : =?ACE,
AB BD
图 3.1-5
AD平分
知
由
—
AC

DC

例4的结论也称为角平分线性质定理
于该角的两边之比）.

练习1
可叙述为角平分线分对边成比例（等
1. 如图3.1-6,
l
i
〃
1
2
〃
1
3
,下列比例式正确的
是（ ）
A .
AD


CE
BC
AD
BC
DF

B.
BE
D.
DF
AF
AD BC
AF
BE
CE
图 3.1-6
图 3.1-7
C.
CE =



DF
2.如图 3.1-7,
DE BC, EF AB, AD = 5cm, DB =
3cm,FC = 2cm,
求
BF
.
3. 如图，在
VABC
中，AD 是角 BAC 的平分
线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.







图 3.1-8
4.如图，在
VABC
中，
DBAC
的外角平分线
AD交
BC
的延长线 于点
D
'求证：怎
DC
.（三角形外角平分线定理）
5. 如图，在
VABC
的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE,
DE延长线
9
交

BC
AC
的延长线于
F
.
求证：
DF






AB

初中升高中数学教材变化分析
3.12.相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角 形相
似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点 O,
?BAC ?CDB
，求证:
?DAC ?CBD
.
证明 在
VOAB
与
VODC
中，
? AOB
行
DOC , OAB = ? ODC ,
VOAB
s
VODC
,
OA OB
艮卩
OA OD
OD = OC
，即
OB = OC
.
又
VOAD
与
VOBC
中，
?AOD
VOAD
s
VOBC
,
DAC ?CBD
.
BOC
,
例6 如图3.1-12在直角三角形 ABC中，
DBAC
为直角，
AD
A
BC
于
D
.
求证：（1 ）
AB
2
=
BD
?
BC
,
AC
2
= CD?CB
;
（2）
AD
2
=
BD
?
CD

证明 （1）在
RtVBAC
与
RtVBDA
中,
VBAC
s
VBDA
,
图 3.1-12
?
B

BA BC
2
=
，
即
AB = BD?BC.
BD BA
同理可证得
AC
2
= CD?CB
.
(2) 在
RtVABD
与
RtVCAD
中，
?C 90
o
- ?CAD ? BAD
,
AD DC
口“
2

RtVABD
s
RtVCAD
,
=——,
即
AD
2

= BD?DC.
BD AD
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例 7 在
VABC
中，
AD
A
BC
于
D,DE
A
AB
于
E, DF
A
AC
于
F
，求证：
AE?AB AF ?AC
.
证明
Q AD
A
BC
,
VADB
为直角三角形，又
DEA AB
, 由射影定理，知
AD
2
=
AE
?
AB
.

同理可得
AD
2
=
AF ?AC
.
图 3.1-
AE?AB AF ?AC
.
13
例8 如图3.1-14,在
VABC
中，
D
为边
BC
的中点，
E
为 边
AC
上的任意一点，
BE
交
AD
于点
0
.某学生在研究这一 问题时，
发现了如下的事实：
47

（3）当
佟二
1
二丄
时，有竺
二
2
二丄
.（如图3.1-14C）

AC 4 1+3 AD 5 2+3
在图小柯中，当着总时，参照上述研究结论’请你猜想用
n
表示詈 的一般结论，并
给出证明（其中n为正整数） 解：依题意可以猜想：当菱=忌时，有箔=点成立.
证明过点D作DFBE交AC于点F，
Q
D是BC的中点，F是EC的中点，
AC 1+ n EC n
AO = AE = 2
AD = AF = 2 + n
.

AE
2
AE
2
=
AF _
2+ n
EF =

由
jAE

= ^^
可知
AE
=-
，
想一想，图3.
i-i4d
中，若等
n
，则等？
本题中采用了从特殊到一般的思维方法?我们常从一些具体的问题中发现一 些规
律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定?数学的发展史就是不断 探索的历史.
练习2
1.如图3.1-15, D是
VABC
的边AB上的一点，过 D点作DEBC交 AC
于 E.已知 AD: DB=2 : 3,贝S S
V
ADE
: S
四边形
BCDE
A .
2:3
B.
4:9
C.
4:5
D.
4:21
2. 若一个梯形的中位线长为 15, 一条对角线把中位线分
成两条线段?这两条线
3.1-15
段的比是
3:2
，则梯形的上、下底长分别是 ____________ .
3. 已知：
VABC
的三边长分别是3, 4, 5,与其相似的
VA'B'C'
的最大边长是15, 求
VA'B'C'
的面积 S
VA
'
B
'
C

4. 已知：如图3.1-16，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA 的中点.
48

初中升高中数学教材变化分析



(1) 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
(2) 若四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD满足什么条件时，EFGH

是菱形？是正方形?

图 3.1-




















































16
5.如图3.1-17,点C、D在线段AB上，
VPCD
是等边三角形,
(1)
当AC、CD、DB满足怎样的关系时，
VACP
s
VPDB
?
(2)
当
VACP
s
VPDB
时，求
DAPB
的度数.
习题3.1
A组
3.1-18,
VABC
中，AD=DF = FB, AE=EG=GC, FG= 4,贝卩（
1.
如图

A
DE=1,
BC=7
DE=2, BC=6
）
.
DE=3,
BC=5
DE=2, BC=8
B.
C.
D.
2
3.1-
如图
.
则
PQ: BC
等于
19,
(
1：
1：
BD
CE是
VABC
的中线，P、Q分别是
BD、CE的中点，
、
图 3.1-18
）
B. 1: 4
D. 1: 6
图 3.1-19
3.
如图
3.1-20,
Y ABCD
中，E是AB延长线上一点,
DE交BC于点F，已
=
4
，求
S
VCDF
.
知
BE: AB=2: 3,
S
BEF

如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点,
4.
过 F 作 FGAB 交 AE 于 G,求证：
AG
2
= AF ?FC
.
BE
A
AC
交 AC
3-20
F
图 3.1-
21
49

初中升高中数学教材变化分析



















1. 如图 3.1-22,已知
VABC
中，AE: EB=1 : 3, BD: DC=2:
AD
与
CE
相交于
F
，则卸背的值为（







1
A









2. 如图3.1-23，已知
VABC
周长为1,连结 三边的
中点构成第二个三角形，再连结第二个 三边中
点构成第三个三角形，依此类推，第 三角形周
长为（ ）
B

1

C

1

D

1

VABC
对角线
2003 个
.
2002
.
2003
.
2
2002

.
2
2003

图 3.1-23
3. 如图3.1-24，已知M为
YABCD
的边AB


中点，CM交BD于点E,则图中阴影部分 面

积与
YABCD
面积的比是（ ）





















A .
1

B .
1

C .
1

D .-
3 4 6 12
图 3.1-
24
如图3.1-25,梯形ABCD中，ADBC, EF经过梯形对角线的交点 0,且
EFAD.
(1)
求证：0E=0F;
(2)
+0E
求
0E
的值;
AD
1 1
+ ----
AD BC
2
EF
图 3.1-
25
(3)
求证:
c
(1)
图 3.1-26
50

初中升高中数学教材变化分析

C组
1 .
如图3.1-26,
VABC
中，P是边AB上一点，连
要使
VACP
s
VABC
，还要补充的一个条件是
结CP.
(2) 若
VACP
s
VABC
，且
AP: PB= 2:1
，贝卩
BC : PC
=
_______________________________________________
(1)
图 3.1-26
51

初中升高中数学教材变化分析



















2. 如图3.1-27,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且
BAC ?BDC ?DAE
.
(1)
求证：
BE?AD CD?AE
；
(2)
根据图形的特点'猜想箸可能等于那两条线段的比(只须写 出图
中已有线段的一组比即可)？并证明你的猜想 .
图
A
3. 如图 3.1-28，在
RtVABC
中，AB=AC，
?A 90
°
，点 D 为 BC
上任一点，
DF
A
AB
于F ,
DE
A
AC
于E, M为BC的中点，试判 断
VMEF
是什么形状的三角形，并证明你的结论.
图 3.1-28
4. 如图3.1-29a,
ABA BD
,
CD A BD
,垂足分别为B、D, AD和BC相交于E,
EFABD
于
F
，我们可以证明存存古成立-

若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b,
AB

CD
,
AD
、
BC
相交于E,
EFAB交BD于F，贝心
(1) 丄+丄=—还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说
AB CD EF
明理由；
(2) 请找出S
VABD
，
S
VBCD
和S
VEBD
之间的关系，并给出证明.
52

初中升高中数学教材变化分析
3.2三角形
321三角形的五心
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角



















形的问题.
如图3.2-1，在三角形△ ABC中，有三条边
AB,BC,CA
，三个顶点
A,B,C
，
在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角

形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的 重心?三角形的重心

在三角形的内部，恰图子是每条中线的三等分点.


例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两 段长度之比为2: 1.

已知 D、E、F分别为△ ABC三边BC、CA、AB的中点，


求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成 2: 1.


证明 连结DE,设AD、BE交于点G,





Q
D、E分别为BC、AE的中点，贝卩DEAB,且
1
DE =
丄
2
AB








,
VGDE
s
VGAB
，且相似比为1 : 2,
AG = 2GD, BG = 2GE
.
设 AD、CF 交于点
G'
，同理可得,
AG'= 2G'D,CG'= 2G'F.
则
G
与
G'
重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
.
A
7
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的 内心.
角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等
（如图 3.2-5）
图 3.2-5
例2 已知
VABC
的三边长分别为
BC= a,AC= b, AB = c
, I为
VABC
的内心，且I
53

初中升高中数学教材变化分析
在
VABC的边
BC
、
AC
、
AB
上的射影分别为
D、
E
、
F
，求证：
AE = AF =
b+ c- a
.
2
为内
证明 作
VABC
的内切圆，贝卩D
、
E
、
F
分别
切圆在三边上的切点，
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切
AE= AF
, 同理，BD=BF, CD=CE.
b+ c- a = AF + BF + AE+ CE- BD - CD
=AF + AE = 2AF = 2AE
4
线
E
即
AE= AF =
b+ c- a
.
2
B

图 3.2-6
D
C
若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角
形 O为三角形ABC的重心和内心. 三角形ABC为等边三角形.
例3
如图，连AO并延长交BC于D.
Q
O为三角形的内心，故 AD平分
AB= BD
（角平分线性质定理）
已知
求证
AC DC
Q
O为三角形的重心，D为BC的中
证明
BD=DC.
AB= 1
，即
AB= AC
.
AC
DBAC
，
占
I

即
同理可得，AB=BC.
VABC
为等边三角形.
B
D
图 3.2-7
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的 垂心.锐角三角形
的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形 的垂
心在三角形的外部.（如图3.2-8）
H
A
B
图 3.2-8
例4
已知
求证
证明
Q AD
A

求证：三角形的三条高交于一点.
VABC
中，
ADA BC
于
D,BE A AC
于
E,
AD 与 BE 交于 H 点.
CH
A
AB
.
以CH为直径作圆，
BC, BE A AC, ? HDC ? HEC 90
°
,
D
、
E
在以CH为直径的圆上，
?FCB ?DEH
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
46

D

初中升高中数学教材变化分析
BED ?BAD
.
?BCH ?BAD
,
图 3.2-9
又
VABD
与
VCBF
有公共角
DB
,

CFB ? ADB 90
o
，即
CH
A
AB
.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC的外接圆， 圆
心0为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平 分线的
交点.
练习1
1. 求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形
2. (1)若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为
a b c
，则三角形的内
切圆的半径是 ___________
(2)若直角三角形的三边长分别为
a
、
b
、
c
(其中
c
为斜边长)，则三角形的 内
切圆的半径是 _____________ .并请说明理由.
3.2.2解斜三角形
一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念；
1 正弦、余弦、正切、余切 2 、特殊角的三角函数值
二、 直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系
sin
2
a+cos
2
a=1 tga=
-
sina

ctga=
cosa

tg
2
a ? ctg
2
a=1
cosa sin a
分别写出变形式：
三、 讲授在坐标系内的钝角三角函数。(A为钝角)
0
si nA
二
s in (180 -A) cosA
二
-cos(180
0
-A)
ctgA=-ctg (180
0
-A)
画图像举例说明：正弦值为“ + ” ，其余为“-”
55

tgA=-tg(180
0
-A)

四、 正弦定理和余弦定理
56

初中升高中数学教材变化分析
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。
2 2 2
变形式：
a =b +c -2bccosA
2 2 2
变形式：
b =c +a -2accosB
2 2 2
变形式：
c =a +b -2abcosC


五.例题分析
例1 在厶ABC中，已知a=3, c=3 3， A=30 °，求 C及b
初中升高中数学教材变化分析

三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外 接
圆的直径
证明(传统证法)在任意斜厶 ABC当中:
!abs inC
正弦定理
S
A
ABC
二
1
2
acsin B
2
bcsin A
b c
两边同除以严

sin B
si nC
2R
分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理.注意已知两
边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论.
33
???此题有两解.
a
v
c
,
c ? sinA
二
v
a
,
vZ
A=30
2

???Z
C=60
°,
或
Z
C=120
°.
==
???当
Z
C=60° 时，
Z
B=90°, b= . a
2
+b
2
=6. 当
Z
C=120。时，
Z
B=30° , b=a=3.
点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论.
例2 在厶ABC中，已知acosA
二
bcosB,判断△ ABC的形状.
分析 欲判断△ ABC的形状，需将已知式变形.式中既含有边也含有角，直
sinC
csinA
接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角 函
数，则可进行三角变换.
b
2
+c
2
—a
2
a
2
+c
2
— b
2

解方法一：由余弦定理，得 a ? (
2bc
)=b ?(
2ac
)，
? a
2
c
2
— a
4
— b
2
c
2
+b
4
=0 .
? (a
2
— b
2
)?
2
— a
2
— b
2
)=0 .
? a
2
— b
2
=0,或 c
2
— a
2
—护=0.
? a=b, 或 c
2
=a
2
+b
2
.
?△ ABC是等腰三角形或直角三角形.
方法二：由 acosA
二
bcosB,得 2RsinAcosA=2RsinBcosB.
? sin2A
二
sin2B . ? 2A=2B，或 2A=180
°
—2B.
? A=B，或 A+B=90
°
.
?△ ABC为等腰三角形或直角三角形.
57

点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将
58

初中升高中数学教材变化分析
角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换. 例3已知圆内接四边形
ABCD的边长分别为AB=2 ,
BC=6, CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.
分析 四边形ABCD的面积等于△ ABD和厶BCD的 面积之和，由三角形面积
公式及
Z
A+
Z
C=
n
可知 求出
Z
A即可.所以，只需寻找
Z
A的方程.
B
解 连结
BD，则有四边形ABCD的面积
D
O
1 1 S=S
ABD
+S
A
CDB
=2AB
? AD ? sinA+qBC
T

A+C=180 ° , si nA
二
si nC.
CD si
1
C
故 S=2
(
2
X
4+6
x
4
)
sinA=16sinA
.


在厶 ABD 中，由余弦定理，得 BD
2
=AB
2
+AD
2
— 2AB ADcosA=20 — 16cosA .
在厶 CDB 中，由余弦定理，得 BD
2
=CB
2
+CD
2
— 2CB -CD
?
cosC=52—
48cosC. 二 20 — 16cosA=52 — 48cosC.
T
cosC
二
一cosA
,
又
T
0
°v
A
v
180
°,
A
A=120
° .
1
64cosA=
—
32
,
cosA=
—
q
.
故 S=16sin 120° =8 3 .
A

点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用
例4墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视缩］
B
b米 下端
距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，「才能 观察者上、
下视角最大.
C
分析 如图，使观察者上下视角最大，即使
Z
APB 最大，所
以需寻找
Z
APB的目标函数.由于已知有关边长， 所以考虑运用
三角函数解之.
解 设观察者距墙壁x米的P处观察，PC丄AB , AC=b,
BC=a(O
v
a
v
b)
.
则
Z
APB=
0
为视角.
tan APC
—
tan
Z
BPC
y=tan
0
=tan(

APC
—Z
BPC)=
1+ tan APC
?
tan
Z
BPC
b a
x x
1
x x
ab _
ab
b— a b— a
,即x= ab时，y最大. zv
x=
ab
<

2 ab，
当且仅当
x+ x
由
0?(
0
,
视角最大.
兀」 亠
yr __
2) 且 y=tan
0
在(0,
2)上为增函数，故当且仅当x= . ab时
点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题.
练习
x
[3

59

初中升高中数学教材变化分析
1 .△ ABC 中，tanA+tanB+
；
3 = 3 tanAtanB, sinAcosA=^^，则该三角形是 (
)
A .等边三角形
C.直角三角形
2.
B .钝角三角形
D.等边三角形或直角三角形
在
△
AB
C
中
，
已
知
(b+
c)
：
(c+
a) :
(a+
b)=
4 :
5：
6 ,
则
此
三
角
形
的
最
大
内
角
为
(
)
B. 150° C. 60° D . 90° A. 120°
3. 若A、B是锐角△ ABC的两个内角，则点 P (cosB-sinA, sinB— cosA)在 ( )
A .第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D .第四象限
4. 在△ ABC 中，若 si nA : si nB : si nC=5 : 12 : 13，贝卩 cosA= ___ .
5. ___________________ ____________________________________________
60

初中升高中数学教材变化分析
在△ ABC 中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，则 C 的大小为 ____________ .
6 .已知a、b、c是厶ABC中A、 B、 C的对边，S是厶ABC的面积，若 a=4,
b=5, s=5 3 ,求 c 的长度.
7.在△ ABC 中，sin
2
A — sin
2
B+sin
2
C=sinAsinC,试求角 B 的大小.
8半圆O的直径为2, A为直径延长线上一点，且:A=2
，
C^
B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ ABC
O
问B
‘
A
点在什么位置时，四
边形 OACB的面积最大，并求出这个最 大面积.
3.3 圆
3.3.1圆幕定理及其应用
教学目标
1. 使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合 运用
它们解
决有关问题；
2. 通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加 辅助
线的方
法;
3. 从运动的观点来统一认识圆幕定理.对学生进行事物之间是相互联系和 运动变
化的
61

初中升高中数学教材变化分析
观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用 圆幕
定理解题
是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
线定理、割 线
定理的内容.
2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联
系
？
1. 根据图7-162（1）、⑵、
（
3），让学生结合图形，说出相交弦定理、切割

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形 的变
化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理
（1） 如图7-163 ,
O
O的两条弦AB, CD相交于点P,贝S PA^B= PC
?
PD.这便
是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心 0,则有PA= PB= PC=
卩
0=圆的半径R,此 时AB
CD是直径，相交弦定理当然成立.（如图7-164）
图
1
163
图
7-164
国
7 1$$5
二是当P点逐渐远离圆心Q运动到圆上时，点P和B, D重合，这时PB=
PD= Q仍然有PA-PB= PC-PD= Q相交弦定理仍然成立.（图7-165）
（2） 点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于 圆
外一点P,成为两条割线，则有 PA-PB= PC-PD这就是 我们学
过的切割线定理的推论
（
割线定理）.（图7-166）
（3） 在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕
P点旋转，使C, D两点在圆上逐渐靠
=PC-PD= PC2这就是我们学过的切割线定理.（图7-167）
近，以至合为一点C,割线PCD变成切线PC.这时有PA-PB
（4）如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线 PA.这时应有
62

初中升高中数学教材变化分析
PA2= PB2,可
得PA= PB这就是我们学过的切线长定理.（图7-168）

图盼
0
倒门碍
至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定 理及
其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3. 启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.
观察图7-169，可以得出：
（
设。O半径为R）
在图（1）中，PA- PB= PC-PD^PE-PF
=（R-OP）（R+OP）
=R2-OP2
图
7-U9
在图(2)中，PA-PB= PT
2

= 0P-0『
=OP-R
2

在图(3)中，PA-PB= PC-PD^ PT
=OP-R
2
.
教师指出，由于PA- PB均等于丨OP-R
2
|，为一常数，叫做点P关于。O的
幕，所以相交弦定理、切割线定理及其推论
（
割线定理）统称为圆幕定理.
二、例题分析
（
采用师生共同探索、讲练结合的方式进行
）
例1如图7-170 ,两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B, AC切小圆于 C,
交大圆于D, E, AB= 12, AO= 15, AA8,求两圆的半径.
分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径 OB.求OC
也可考虑用上述方法，但 AC未知，此时则可根据切割线定理先求出 AE再利用 垂
径定理便可求出AC于是问题得解.
（由学生讨论、分析，得出解决
）
例2如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A, B是
大圆上任意两点，过 A, B作小圆的割线AXY和BPQ.
求证：AX-AY二B
P
BQ
分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个
63

初中升高中数学教材变化分析
简单的图形组合而成的?但本题 不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的
辅助线来构造出这样的图 形，以此为出
发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法 .
方法1 在图7-172中，过点A, B分别作小圆的切线 AC BD C, D为切点. 这时就
出现了切割线定理的基本图形，于是有
AC2 = AX
?
AY, BD2= BP
?
BQ.
再连结CO AO DO BO
易证 Rt△ AO
QA
Rt△ BOD 得出 AC= BD 所以 AX-AY= BP-
BQ.
方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E, F ,分
别延长AY BQ交大圆于C, D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有
AX -XC= EX
?
XF, BP-PD=FP-PE.
易证 AX= CY BP= DQ EX= FP.
所以 AX-XC= AX-AY, BP-PD= BP-BQ EX -XF= FP-PE.
所以 AX-AY= BP-BQ.
方法3如图7-174 ,由于点O是圆内的特殊点，考虑过 O点的特殊割线, 作直
线AO交小圆于E , F,作直线BC交小圆于C, D,则出现了割线定理的基本 图形.于
是有
AX -AY= AE
?
AF, BP-BQ=BC-BD.
易证 AE= BC AF= BD
所以 AE-AF= BC-BD.
从而 AX-AY= BP-BQ.
通过对以上方法的分析，将 和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密 结合
起来，
沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的 作法
来证明此
题
？
三、练习
练习1已知P为。O外一点，OP与。O交于点A,割线PBC 与
O
O
交于点B , C,且PB= BC.如果OA= 7 , PA= 2,求PC的长.
练习2 如图7-175,
O
O和
O
O都经过点A和B, PQ切
O
O
64

图
7 171

初中升高中数学教材变化分析
于P,交于Q M 交AB的延长线于 N.求证：PN2= NM
?
NQ.
图
7-W
an
= -尸已匚
PA
? PB-PC ■
尸
D
■降
彷
FA
? FB?
PD
（割叛定理）
PT
J
- PC
?
PH
I -ntfr
于戈
（戕论）
I
相交张宅理、
F5
a
=A * PH
（切割规定理】

（to
践长定理）
教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的 五、习题
1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。
已知：如图5
,0
O和。O相交于点
A
B, P为BA延长线上任意一点，且 PC PD与
O
Q和
O
Q分别切于 C D两点。求证：PC=PD

2、如图6,过点P作。Q的切线PA A为切点，过PA中点B作割线交。Q于C D,连
结PC并延长交。Q于E,连结PD交。Q于F。求证：EF PA
65