北师大版高中数学必修2教学设计-高中数学必修四教材内容分析
初高中数学衔接教材
目录
第一章 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系
2.2
二次函数
2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章
相似形、三角形、圆
3.1 相似形
初中升高中数学教材变化分析
3.1.1
平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定
3.2
三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2
解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程(选学)
1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意
义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是
零.即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到
原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示在数轴上,数
a
和数
b
之间的距离.
例1
解不等式:
x?1?x?3
>4.
2
初中升高中数学教材变化分析
解法一:由
x?1?0
,得
x?1
;由
x?3?0
,得
x?3
;
①若
x?1
,不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
,
即
?2x?4
>4,解得x<0,
又x<1,
∴x<0;
②若
1?x?2
,不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
,
即1>4,
∴不存在满足条件的x;
③若
x?3
,不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
,
即
2x?4
>4, 解得x>4.
又x≥3,
∴x>4.
综上所述,原不等式的解为
x<0,或x>4.
解法二:如图1.1
-1,
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即
|
PA|=|x-1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的
距离|PB|,即|PB|=
|x-3|.
所以,不等式
x?1?x?3
>4的几何意义即为
|PA|+|PB|>4.
由|AB|=2,可知
点P
在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
x<0,或x>4.
练 习
1.填空:
(1)若
|x-3|
P
x
C
0
|x-1|
图1.1-1
A
1
B
D
3 4
x
x?5
,则x=_________;若
x??4
,则x=_________.
a?b?5
,且
a??1
,则b=________;若
1?c?2
,则c=________.
3
(2)如果
初中升高中数学教材变化分析
2.选择题:
下列叙述正确的是
( )
(A)若
a?b
,则
a?b
(B)若
a?b
,则
a?b
a?b
(D)若
a?b
,则
a??b
(C)若
a?b
,则
3.化简:|x-5|-|2x
-
13|(x>5).
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
;
(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
;
(2)立方差公式
(a?b)(a
2
?a
b?b
2
)?a
3
?b
3
;
(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
;
(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?
3a
2
b?3ab
2
?b
3
;
(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
?
3a
2
b?3ab
2
?b
3
.
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1 计算:
(x?1)
(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
.
222
解法一:原式=
(x
2
?1)
?
?
(x?1)?x
?
?
=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)
=
x
6
?1
.
解法二:原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)
=
(x
3
?1)(x
3
?1)
=
x
6
?1
.
例2 已知
a?b?c?4
,<
br>ab?bc?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值.
4
初中升高中数学教材变化分析
解:
a
2
?b
2
?c
2
?(a?b?c)
2
?2
(ab?bc?ac)?8
.
练 习
1.填空:
(1)
1
2
1
2
11
;
a?b?(b?a)
(
)
9423
22
(2)
(4m?
)?16m?4m?(
2222
)
;
)
. (3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(
2.选择题:
(1)若
x
2
1
?mx?k
是一个
完全平方式,则
k
等于 ( )
2
2
(A)
m
(B)
2
1
2
1
1
m
(C)
m
2
(D)
m
2
416<
br>3
(2)不论
a
,
b
为何实数,
a?b
2<
br>?2a?4b?8
的值 ( )
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
1.1.3.二次根式
一般地,形如
a(a?0
)
的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称
2
为无理式.
例如
3a?a
2
?b?2b
,
a
2
?b
2
等是无理式,而
2x?
2
x?1
,
x
2
?2xy?y
2
,
a
2
2
等是有理式.
1.分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(
子)有理化,需要引入有
理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根
式,我们就说这两个
代数式互为有理化因式,例如
2
与
2
,
3a
与
a
,
3?6
与
3?6
,
23?32
与
23?32
,等等. 一般地,
ax
与
x
,<
br>ax?by
与
ax?by
,
ax?b
与
ax?b互为有
5
初中升高中数学教材变化分析
理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有
理化
则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,
二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
;而
对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化
进行运算;二次根式的加减法与多项
式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
a,a?0,
?
?
?a,a?0.
例1
将下列式子化为最简二次根式:
(1)
12b
;
(2)
a
2
b(a?0)
;
解:
(1)
12b?23b
;
(2)
a
2
b?ab?ab(a?0)
;
(3)<
br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
.
例2 计算:
3?(3?3)
.
解法一:
3?(3?3)
=
3
3?3
=
3?(3?3)
(3?3)(3?3)
=
33?3
9?3
=
3(3?1)
6
=
3?1
2
.
6
3)
4x
6
y(x?0)
.
(
初中升高中数学教材变化分析
解法二:
3?(3?3)
=
3
3?3
=
3?1
1
33?1
===.
2
3?1
(3?1)(3?1)3(3?1)
例3
试比较下列各组数的大小:
(1)
12?11
和
11?10
;
(2)
2
和
22-6
.
6?4
解:
(1)∵
12?11?
12?11(12?11)(12?11)1
,
??
1
12?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
,
??
1
11?1011?10
11?10?
又
12?11?11?10
,
∴
12?11
<
11?10
.
(2)∵
22-6?
22-6(22-6)(22+6)2
??,
1
22+622+6
又 4>22,
∴6+4>6+22,
∴
2
<
22-6
.
6?4
例4
化简:
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
.
解:
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
=
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?
?(3?2
)
=
?
?
(3?2)?(3?2)
?
2004
?(
3?2)
=
1
2004
?(3?2)
=
3?2
.
2
例 5 化简:(1)
9?45
;
(2)
x?
1
?2(0?x?1)
.
x
2
解:(1)原式
?5?45?4
?(5)
2
?2?2?5?22
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
.
2
(2)原式=
(x?)
?x?
1
x
1
,
x
7
初中升高中数学教材变化分析
∵
0?x
?1
,∴
1
1
?1?x
,所以,原式=
?x
.
x
x
例 6 已知
x?
3?23?2
,求
3x<
br>2
?5xy?3y
2
的值 .
,y?
3?23?2
3?23?2
??(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
,
3?23?2
解:
∵
x?y?
xy?
3?23?2
??1
,
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?11xy?3?10
2
?11?289
.
练 习
1.填空:
(1)
1?3
=__ ___;
1?3
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
,则
x
的取值范围是_ _ ___;
(2)若
(3)
424?654?396?2150?
__
___;
(4)若
x?
5
x?1?x?1x?1?x?1
,则??
______ __.
2
x?1?x?1x?1?x?1
2.选择题:
等式
x
?
x?2
x
成立的条件是
( )
x?2
(A)
x?2
(B)
x?0
(C)
x?2
(D)
0?x?2
a
2
?1?1?a
2
3.若<
br>b?
,求
a?b
的值.
a?1
4.比较大小:2-3
5-4(填“>”,或“<”).
1.1.4.分式
1.分式的意义
8
初中升高中数学教材变化分析
形如
AA
A
的式子,若B中含有字母,且
B?0
,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质
:
BBB
AA?MAA?M
; .
??
BB?MBB?M
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式
a
m?n?p
像
b
,这样,分子或分母中又含有分式的
分式叫做繁分式.
2m
c?d
n?p
例1
若
5x?4AB
??
,求常数
A,B
的值.
x(x?2)
xx?2
ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4
????
,
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
解:
∵
?
A?B?5,
∴
?
解得
A?2,B?3
.
2A?4,
?
例2
(1)试证:
111
??
(其中n是正整数);
n(n?1)nn?1
(2)计算:
111
;
??<
br>L
?
1?22?39?10
1111
??
L
??.
2?33?4n(n?1)2
(3)证明:对任意大于1的正整数n,
有
(1)证明:∵
11(n?1)?n1
???
,
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
(其中n是正整数)成立.
n(n?1)nn?1
∴
(2)解:由(1)可知
111111111
9
??
L
?
?(1?)?(?)?L?(?)?1?
=.
1?22?39?10223910
10
10
111
11111111
??
L
?
=(?)?(?)?
L
?(?
,
)
=
?
2?3
3?4n(n?1)
2334nn?12n?1
(3)证明:∵
9
初中升高中数学教材变化分析
又n≥2,且n是正整数,∴
1
n+1
一定为正数,
∴
1
2?3
?
1
3?4
?
L
?
1
n(n?1)
<
1
2
.
例3 设
e?
c
,且e>1,2c
2
-5ac+2a
2
a
=0,求e的值
.
解:在2c
2
-5ac+2a
2
=0两边同除以a
2<
br>,得
2e
2
-5e+2=0,
∴(2e
-
1)(e-2)=0,
∴e=
1
2
<1,舍去;或e=2.
∴e=2.
练 习
1.填空题:对任意的正整数n,
1
n(n?2)
?
(
11
n
?
n?2
);
2.选择题:
若
2x?y
x?y
?
2
3
,则
x
y
=
(A)1 (B)
5
4
(C)
4
5
(D)
6
5
3.正数x,y
满足
x
2
?y
2
?2xy
,求
x?y
x?y
的值.
4.计算
1111
1?2
?
2?3
?
3?4
?...?
99?100
.
习题1.1
A 组
1.解不等式:
(1)
x?1?3
; (2)
x?3?x?2?7
;
(3)
x?1?x?1?6
. <
br>2.已知
x?y?1
,求
x
3
?y
3
?3x
y
的值.
10
) (
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