初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学衔接教材
1.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

416
3
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


2．因式分解
因式分解的主要方法 有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应
了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x
2
分解成图中的两个 x的积，再将常数项2分解成－1
与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所
以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1
－2
－1
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．1－3
图1．1－1
图1．1－4
图1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1
来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．1－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

x
－1
（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
y
1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
图1．1－5
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）
x?5x?6?
__________________________________________________ 。
（2）
x?5x?6?
__________________________ ________________________。
（3）
x?5x?6?
__ ________________________________________________。
（4）
x?5x?6?
____________________________ ______________________。
2
初中升高中数学教材变化分析

2
2
2
2
（5）
x ?
?
a?1
?
x?a?
____________________ ______________________________。
（6）
x?11x?1 8?
____________________________________________ ______。
（7）
6x?7x?2?
___________________ _______________________________。
（8）
4m?12m ?9?
___________________________________________ _______。
（9）
5?7x?6x?
__________________ ________________________________。
（10）
12x? xy?6y?
________________________________________ __________。
2、
x?4x? ?
?
x?3
??
x?
?

2
22
2
2
2
2
3、若x?ax?b?
?
x?2
??
x?4
?
则
a?
，
b?
。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
2
1、在多项式（1）
x?7x?6
（2）
x?4x?3
（3）
x?6x?8
（4）x?7x?10

（5）
x?15x?44
中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式
a?8ab?33b
得（ ）
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、
?
a?11b
??
a?3b
?
A、
?
a?11
??
3、
?
a?b
?
?8
?
a?b
?
?20
分解因式得（ ）
2
2222
2
22
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
A、
?
a?b?10
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
C、
?< br>a?b?2
??
4、若多项式
x?3x?a
可分解为
?
x?5
??
x?b
?
，则
a
、
b
的值是 （ ）
2
A、
a?10
，
b?2
B、
a?10
，
b??2
C、
a??10
，
b??2
D、
a??10
，
b?2

x?b
?
其中
a
、
b
为整数，则
m
的值为（ ） 5、若
x?m x?10?
?
x?a
??
2
A、
3
或
9< br> B、
?3
C、
?9
D、
?3
或
?9

三、把下列各式分解因式

2

1、
6
?
2p?q
?
?11< br>?
q?2p
?
?3
2、
a?5ab?6ab





2
42
3、
2y?4y?6
4、
b?2b?8






2
初中升高中数学教材变化分析

322
2．提取公因式法

例2 分解因式：
（1）
a
2
?b?5
?
?a
?
5?b
?
（2）
x
3
?9?3x
2
?3x

解： （1）．
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b< br>?
=
a(b?5)(a?1)

（2）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
) ?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]
＝
(x?3)(x
2
?3)

课堂练习：
一、填空题：
1、多项式
6xy?2xy?4xyz
中各项的公因式是_____________ __。
2、
m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?
?
x?y
?
?
______________ ____。
3、
m
?
x?y
?
?n
?
y ?x
?
?
?
x?y
?
?
____________ ________。
222
22
4、
m
?
x?y?z?
?n
?
y?z?x
?
?
?
x?y?z
?
?
_____________________。
5、
m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z
?
?< br>______________________。
6、
?13abx?39abx< br>分解因式得_____________________。
7．计算
99?99
=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、
2ab?4ab?2 ab
?
a?b
?
………………………………………………………… （ ）
22
26325
2
2、
am?bm?m?m
?
a?b
?
…………………………………………………………… （ ）
3、< br>?3x?6x?15x??3xx?2x?5
…………………………………………… （ ）
4、
x?x
nn?1
32
?
2
?
?x
n?1
?
x?1
?
………………………………………………………… …… （ ）

3：公式法
例3 分解因式： （1）
?a
4
?16
（2）
?
3x?2y
?
?
?
x?y
?
< br>解：(1)
?a
4
?16
=
4
2
?(a2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(4? a
2
)(2?a)(2?a)

22
(2)

?
3x?2y
?
?
?
x?y
?
=
(3x?2 y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)


课堂练习

222233
一、
a?2ab?b
，
a ?b
，
a?b
的公因式是___________________________ ___。
22

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
4
?
2
??
2
??
2
?
2
1、
x
2
?0.01?
?
x
?
?
?
0 .1
?
?
?
x?0.1
?

?
x?0.1
?
………………………… （ ）
9
?
3
??
3
??
3
?

3
2

22
3a?4b
?
………………………………… （ ） 2、
9a?8b?
?
3a
?< br>?
?
4b
?
?
?
3a?4b
??
2 2
初中升高中数学教材变化分析

5a?4b
?
………………………………………………… （ ） 3、
25 a?16b?
?
5a?4b
??
2
4、
?x?y??x?y
2
2
22
?
22
?
??
?
x?y
??
x?y
?
………………………………………… （ ）
1

3
2
a?b?c
?
……………………………………………… （ ） 5、
a??
b?c
?
?
?
a?b?c
??
五、把下列各 式分解
2
1、
?9
?
m?n
?
?
?m?n
?
2、
3x?
22

3、
4?x
2
?4x?2
4、
x?2x?1









??
2
4
4．分组分解法
例4 （1）
x
2
?xy?3y?3x
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2 x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2) (x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5 y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．

课堂练习 ：用分组分解法分解多项式（1）
x
2
?y
2
?a
2
?b
2
?2ax?2by

（2）
a?4ab?4b?6a?12b?9

22





5．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）

4
22

（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；
22
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
22
初中升高中数学教材变化分析

342
（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．
5. （尝试题）
已知abc=1，a+b+c=2，a?+b?+c?=，求


222
22222
111
++的值.
ab?c-1bc?a-1ca?b-1

3.一元二次不等式的解法
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式
ax?bx?c?0或ax?bx?c?0
?
a?0
?< br>的解集：
22
2
设相应的一元二次方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x1
?x
2
，
??b?4ac
，则不等式的解
的各种情况 如下表：


??0

??0

??0

2

二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象


一元二次方程

有两相等实根


无实根
ax
2
?bx?c?0
有两相异实根

?
a?0
?
的根
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a
ax
2
?bx?c?0

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


R


?


?
xx
1
?x?x
2
?

例1 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．




5

初中升高中数学教材变化分析



例2 解关于x的不等式
x?x?a(a?1)?0

解：原不等式可以化为：
(x?a?1)(x?a)?0

2
1
则
x?a
或
x?1?a

2
11
2
1
若
a??(a?1)
即
a?
则
( x?)?0

x?,x?R

222
1
若
a??(a?1)
即
a?
则
x?a
或
x?1?a

2
若
a??(a?1)
即
a?


2
2
例3 已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是x?2,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
解：由不等式< br>ax?bx?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
2< br>a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，
bc
∴
??5,?6
，
aa
bc
即
??5,?6
．
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
2

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
练 习
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；
（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．

2.解关于x的不等式x
2
＋2x＋1－a
2
≤0（a为常数）．







作业：
1
)<0的解是 ( )
a
11
A.aaa
11
C.x>或xa
aa
2
2.如果方程ax＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x
1
，x
2
满足x
1
＜x
2
，那么不等式ax
2
＋bx＋b＜0的解是 ______.

1.若0
6

初中升高中数学教材变化分析

3．解下列不等式：
（1）3x
2
－2x＋1＜0； （2）3x
2
－4＜0；



（3）2x－x
2
≥－1； （4）4－x
2
≤0．



(5)4+3x－2x
2
≥0; (6)9x
2
－12x>－4;




4．解关于x的不等式x
2
－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．




5．关于x的不等式
ax?bx?c?0
的解为x??2或x??
求关于x的不等式
ax?bx?c?0
的解．

2
2
1

2


4.三角形的“四心”

1.“四心”的概念及性质

内心：
性质：

外心：
性质：

重心：
性质：

垂心：
2.典型例题
例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
1
图3.2-3
Q
D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且
DE=AB
，
2
VGDE
∽
VGAB
，且相似比为1：2，
AG=2GD,BG=2GE
.
设AD、CF交于点
G'
，同理可 得，
AG'=2G'D,CG'=2G'F.

则
G
与
G'
重合，
图3.2-4

AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
.


7

初中升高中数学教材变化分析

图
例2 已知
VABC
的三边长分别为
BC=a,AC=b,A B=c
，I为
VABC
的内心，且I在
V
3.2-5
AB C
b+c-a
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F，求证：
AE=AF=
.
2
证明 作
VABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在三
边上的切点，
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
AE=AF
，
同理，BD=BF，CD=CE.
b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD- CD

=AF+AE=2AF=2AE
图3.2-6
b+c-a
即
AE=AF=
.
2
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
Q
O为三角形的内心，故AD平分
?BAC
，
ABBD
（角平分线性质定理）
=
ACDC
Q
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
AB
=1
，即
AB=AC
.
AC
同理可得，AB=BC.
图3.2-7
VABC
为等边三角形.


例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知
VABC
中，
AD^BC于D,BE^AC于E，
AD
于H点.
求证
CH^AB
.
证明 以CH为直径作圆，
QAD^BC,BE^AC,?HDC?HEC90
o
,

D、E
在以CH为直径的圆上，
?FCB?DEH
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
?BED?BAD
.
?BCH?BAD
，
又
VABD
与
VCBF
有公 共角
?B
，
?CFB?ADB

8
图3.2-8

与BE交
90
o

图3.2-9