高数2017新高一数学衔接教材

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
例11：若
x
1
,x
2
是关于
x
的方程
x?(2k?1)x?k?1?0
的两个实数根，且
x
1
,x
2
都大于1．
（1）求实数
k
的取值范围；（2）若





22
x
1
1
?
，求
k
的值。
x
2
2
五、拓展提高
例12：当
a
取什么整数时，方程







xx?22x?a
???0
恰有一个实根，并求此实根。
x?2xx(x?2)
m
2
?0
。 例13：已知关于
x< br>的方程
x?(m?2)x?
4
2
（1）求证：无论
m
取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根
x
1
,x
2
满足
x
2
?x
1
?2
，求
m
的值及相应的
x
1
,x
2
。











第二讲作业
1、方程
(m?2)x
2、如果方程组
?
A.
?
m
?3mx?1?0
是关于
x
的一元二次方程，则
m?
______。
?
y?x?2m
只有一组实数解，那么
m
的值为（ ）
2
?
y?3x
333
B. C.
?1
D.
?

884

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3、 若关于
x
的方程
x?(k?1)x?k?1?0
的两根互为相反数，则
k
的值为（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

22
4、设
x
1
, x
2
是方程
x?px?q?0
的两实根，
x
1
?1 ,x
2
?1
是关于
x
的方程
x?qx?p?0
的两 实根，则
p
=_____，
22
q
=_______。

5、方程
x?x?3x?2?0
的实根的个数为______个。

6、若
m
、
n
是方程
x?2014x?1?0
的两个实数 根，则
mn?mn?mn
的值等于______。

22
2
7、若
t
是一元二次方程
ax?bx?c?0 (a ?0)
的根，则判别式
??b?4ac
和完全平方式
M?(2at?b)的关系
222
是( )
A．
??M


2
B．
??M
C．
??M
D．大小关系不能确定
8、若
x
1
,x
2
是方程
x?2x?2007?0
的两个根，试求下列各式的值：











9、当
m是什么整数时，关于
x
的一元二次方程
mx?4x?4?0
与
x ?4mx?4m?4m?5?0
的根都是整数。
















222
(1)
x
1
2
?x
2
2
； (2)
11

?
； (3)
(x
1
?5)(x
2
?5)
；
x
1
x
2
(4)
|x
1
?x
2
|

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第三讲 不等式与不等式组

1、一元一次不等式
形如
Ax?B?0
（
A?0
）的不等式叫做一元一次不等式。解一元一次不等式时要注意对
A
进行讨论。
2、绝对值不等式
形如
A(x)?B
的不等式叫做绝 对值不等式。解绝对值不等式的要点就是根据正负去掉绝对值符号，化为普通
不等式进行求解，即分类讨 论；另外，也可以将不等式两端同时进行平方，去掉绝对值号，但要注意不等式本身的
意义。
3、一元二次不等式
形如
ax?bx?c?0
（
a?0
）的方程叫做一元二次不等式。
2
4、一元二次不等式的解法
（1）化二次项系数为正；
（2）计算根的 判别式
??b?4ac
，若
??0
，求出对应的一元二次方程的根，对照相应 二次函数图像写出不等式
的解；若
??0
，直接对照相应二次函数图像写出不等式的解 。

判别式
??b?4ac

2
2
??0

??0

x
1
?x
2
??

??0

b

2a
无实根
ax?bx?c?0
的根
二次函数
2
x
1,2
?
?b?b?4ac

2a

2

y?ax
2
?bx?c

的图像
ax
2
?bx?c?0
的解
ax
2
?bx?c?0
的解
x?x
2
或
x?x
1

x
1
?x?x
2

x?R
且
x??
无解
b

2a
x?R

无解
5、分式不等式
形如
B(x)
?C
(
x
)
（
A(x)?0
）的不等式 叫做分式不等式，分式不等式的解法是转化为整式不等式进行求解。
A(x)
6、不等式组
（1）分别求出每个不等式的解集；
（2）求这些解集的公共解就是不等式组的解集。

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典型例题解析
1、绝对值与绝对值不等式
例1：已知
abc?0
，求






例2：（1）解不等式
abc
??
的所有可能值。
abc
2?5x15
??
，并把解集在数轴上表示出来。
346
（2）解不等式
2?1?4x?7
。
（3）解不等式
x?3?x?1?6
。
















例3：解不等式（1）
x?1?2x?3
； （2）
2x?1?x?1
。






练习：解不等式
（1）
1?
1
x?1
； （2）
2x?1?2?3x

2

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2、一元二次不等式
例4：已知二次函数
y?x?2x?3
，利用图像回答，当
x
取哪些 值时，函数值
y?0
，
y?0
，
y?0
。









例5：解下列不等式
（1）
(x?1)(3?x)?5?2x
； （2）
x(x?11)?3(x?1)
；






2
（3）
(2x?1)(x?3)?3(x?2)
； （4）
3x?3x?1?
2
2
2
13
2
?x
；
22






（5）
x?x?1?






例6：若一元二次不等式
ax?bx?1?0
的解为
x?1?x?2
，求< br>a
，
b
的值。








2
2
1
x(x?1)
； （6）
?2x
2
?3x?7?0

3
??

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练习：
关于
x
的不等式
x?ax?b?0
的解集为
1?x?2，则不等式
ax?bx?1?0
的解为_________。





22
3、分式不等式
例7：解下列不等式
x
2
?2
2x?3
2x?1
?x
。
?0
； （2）（1）
?1
； （3）
x?1
x?1
x?3







4、拓展提高
?
x
2
?2x?35?0
例8：解不等式组
?
。
?
x?2?10




例9：若不等式
3x?6x?m?0
无解，求实数
m
的取值范围。





例10：若不等式
(a?1)x?(a ?1)x?1?0
的解为一切实数，求实数
a
的取值范围。








2
2

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例11：解不等式
222
（1）
x?0
； （2）
x?1
； （3）
x?2x?0
； （4）
x?(a?1)x?a?0

2






第三讲作业
1、不等式
x?2?1
的解集是____ ________；不等式
1?x?2
的解集是____________。
2、已知
0?a?1
，不等式
(x?a)(x?
)
?
0
的解集是（ ）
A.
a?x?
1
a
1111
B.
?x?a
C.
x?a
或
x?
D.
x?
或
x?a

aa
aa
3、若
x
2
?
4
x?
5
有意义，则
x
的取值范围 是_______________。
4、不等式
ax?bx?
2
?
0
的解是
?
5、解下列不等式（组）
（1）
x?2?x?1
（2）
2?x?2?3
（3）
x?1?2x?3?2?0





< br>2
2
?x?1
，则
a?
______；
b?
______。
3
?
x?3
x?5x?1
?2
?
（4）
（6）
?0
（5）
?
x?1
?
0

x?8a?x
2
?
?
x?6x?8?0

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6、若不等式
x?px?
9
?
0
的解为一切实数，求
p< br>的取值范围。







7、解不等式（1）
(x?2)(ax?2)?0
； （2）
ax?x?
1
?
0














2
2
第四讲 函数及其表示
1、函数的定义
















函数的定义
初中 高中
设在某个变化过程中有两个
设
A
、
B
是两个非空数集，

对于
变量
x
和
y
，如果对于
x
在某一范
按照某种确定的对应关系
f
，

x
在集合
围内的每一个确定的值，都有唯一
集合
A
中的任意一个数，

B
中有唯一的数
f(x )
和它对应，
确定的
y
与它对应，那么就称
y
是
则
f:A?B
为从集合
A
到集合

x
的函数，其中
x
叫做自变量，
y

B
的一个函数，记为：
y?f(x)
，

叫做因变量。
x?A

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2、函数的三要素
（1）在以上定义的函数中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围叫做函数的定义域 ；与
x
对应的
y
值叫做函数值；函
数值的集合叫做函数的值域；f
叫做对应法则，也可理解为函数表达式。

（2）一个函数由定义域 ，对应法则，值域三个部分构成，由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以，如
果两个函数的定义域 相同，并且对应法则也一致，则称这两个函数是相等的函数。

（3）一般来说，在无特别说 明的情况下，求函数的定义域就是求使得这个函数表达式有意义的
x
的集合。

（4）求函数的值域，就是求当
x
取遍所有定义域里的数时，所对应的所有函 数值的集合。求值域的方法很多，
在这里不详细叙述。

3、函数的表示

（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法。

4、区间：集合的另一种表示。设
a
、
b
为实数，且
a?b
，则
?
xa?x?b
?
?a?x?b?x?[a,b]

?
xa?x?b
?
?a?x?b?x?[a,b)


?
xa?x?b
?
?a?x?b?x?(a,b]

?
xa?x?b
?
?a?x?b?x?(a,b)


?
xx?a
?
?x?a?(??,a]

?
xx?a
?
?x?a?(??,a)


?
xx?a
?
?x?a?[a,??)

?
xx?a
?
?x?a?(a,??)


x?R?(??,??)

5、函数的单调性
设函数
y? f(x)
，
x?A
，即函数
y?f(x)
是定义在区间
A< br>上的函数。定义：
（1）对任意的
x
1
，
x
2?A
，且当
x
1
?x
2
时，有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则称
y?f(x)
在
A
上是增函数，或者说
y?f(x)
在
A
上单调递增，区间
A
叫做函数
y?f(x)
的增区间。
（2）对任意的
x
1
，
x
2
?A
，且当
x
1
?x
2
时 ，有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则称
y?f(x)
在
A
上是减函数，或者说
y?f(x)
在
A
上单调 递减，区间
A
叫做函数
y?f(x)
的减区间。

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典型例题讲解
1、函数的基本概念
例1：下列从集合
A
到集合
B
的对应 关系中，能确定
y
是
x
的函数的是（ ）
?
A.
A?B?N
，对应关系
f:x?y?x?2
；
?
1x?0
B?0,1
B.
A?R
，；
??，对应关系
f:x?y?
?
0x?0
?
C.
A?B?R
，对应关系
f:x?y??x
；
D.
A?(x,y)x?R,y? R
，对应关系
f:(x,y)?z?x?y
；

例2：以下四组函数中，表示相等函数的是( )
A、
f(x)?x
，< br>g(x)?
??
x
2
； B、
f(x)?x
2
，
g(x)?(x)
2

x< br>2
?4
2
C、
f(x)?
，
g(x)?x?2
； D、
f(x)?x?1?x?1
，
g(x)?x?1

x?2
练习：
以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？
（1）
f
1
:y?
x
；
f
2
:y?1
。 x
?
1x?1
?
1?x?2
；
f
2
:
（2）
f
1
:y?
?
2
?
3x?2?

（3）
f
1
:y?2x
；
f
2< br>:
如图所示


2、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
y?
C.
y?

x

y

x?1

1?x?2

2

x?2

1

3
x和y?
2
?
x
?
B.
y?x和y
2
3
?x
3

(x?3)(x?5)
和
y?x?5
D.
y?x?1x?1
和
y?(x?1)(x?1)

x?3

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3、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
（1）
y
1
?

（3）
f(x)?x
，< br>g(x)?
(x?3)(x?5)
，
y
2
?x?5
； （2）
y
1
?x?1x?1
，
y
2
?(x?1)( x?1)
；
x?3
x
2
； （4）
f( x)?
3
x
4
?x
3
，
F(x)?x
3< br>x?1
；

2
（5）
f
1
(x)?(2x ?5)
，
f
2
(x)?2x?5
。

A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸

2、函数的定义域
x
2?1
例3：函数
f(x)?
的定义域为________。
x?2
例4：函数
f(x)?






练习：
1、函数
f(x)?

2、函数
f(x)?


(x?1)
0
?x?x? 2
2
的定义域为_____________。
x?2?
1
的定义域为________。
x?3
1
?x
2
?1
的定义域为___________。
2?x
3、求函数值
例5：已知函数
f(x)?x?x?2
，则< br>f(f(2))
=_______。


?
?x
例 6：已知函数
f(x)?
?
2
?
x

练习： x?0
，则
f(2)?
______；若
f(a)?2
，则a
=______。
x?0

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1、已知函数< br>f(x)?
?
?
3x?2
2
?
x?ax
x? 1
，若
f(f(0))?4a
，则
a
=______。
x ?1
?
1?x
2
x?1
1
f(x)?
)
= _______。 2、已知函数，则
f(
?
2
x?x?2x?1
f (2)
?
?
x?1?2
?
3、已知函数
f(x)?
?
1
?
?
1?x
2
x?1
x?1
，则f(f())
=_______。
1
2

4、求函数解析式
（1）待定系数法
例7：已知一次函数
f(x)
满足
f(0)?5
，图象过点
(?2,1)
，求
f(x)
；





练习：
1、已知二次函数
g(x)
满足< br>g(1)?1
，
g(?1)?5
，图象过原点，求
g(x)
；
2、已知
f(x)
是一次函数，且满足
3f(x?1)?f(x)?2x?9
，求
f(x)
。





（2）换元法
2
例8：已知
f(x?1)?x?4x?1
，求f(x)
的解析式。
例9：已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)
。

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练习：
2
1、已知
f(2x?1)?4x?4x?7
,求函数
f(x)
的解析 式。






2、已知
f(x)? 3x?1
，
g(x)?2x?3
，则
f[g(x)]?
______ _____；
g[f(x)]?
。








（3）方程组法
例10：已知
f(x)
满足
2f(x)?f()?3x
，求
f(x)
。






练习：
2
已知< br>f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?x?x
，求
f(x)
。
1
x







（4）整体代换法
例11：已知函数
f(x?)?x?




1
x
2
1
，求
f(x)
。
x
2

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第四讲作业
1、函数
y?1?x?x
的定义域为 ___________。
?
x
2
＋2(x
?
2)，2、函数
f(x)
=
?
则
f(?4)
＝____，又知
f(x
0
)
＝8，则
x
0
＝____。
?
2x(x?2)，
2
3、若函数
f(2x?1)?x?2x
，则< br>f(3)
= 。
4、已知
f(x)?
?
(x ?6)
?
x?5
，则
f(3)
为（ ）
?
f(x?2)(x?6)
A 2 B 3 C 4 D 5
5、下列函数中，与
y?x?2(x?2)
相同的函数是（ ）
A．
y?x?2
B．
y?x?2
C．< br>y?
3
6、已知
f(x)?x
，则
f(8)?
（ ）
x?2
x?2
2
)
D．
y?(
x?2
x?2
3
A．
2
B．
2
C．
2
D．
1

7、若函 数
f(x)?2x?1,x?[1,5]
，则函数
f(2x?3)
的表达式为 ，定义域为 。

2
8、已知
f(2x?1 )?4x?4x?7
,求函数
f(x)
的解析式。








9、已知
f(?x)?x?






10、已知
f(x)?

2
x
2
4
,，求
f(x)
的解析式。
2
x
1
，求
f(x?1)
的解析式。
x?1

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< br>11、已知
f(x)
是一次函数，若
f[f(x)]?9x?3
，求< br>f(x)
的解析式。









12、已知函数
f(x)
满足
2f(x)? f()?5x
，求
f(x)
的解析式。









1
x
第五讲 二次函数的图像与性质
1、二次函数的三种表达形式
2
2
（1）
f(x)?ax?bx?c
；（2）
f(x)?a(x?x
1
)(x?x2
)
；（3）
f(x)?a(x?x
0
)?h
。

2、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
判别式
??b?4ac

二次函数
2
??0


??0


??0


f(x)?ax
2
?bx?c
（
a?0
）的图像
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实根
ax
2
?bx?c?0

的根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
（
x
1
?x< br>2
）
x
1
?x
2
??
b

2a

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
3、不同条件下二次函数图像的画法技巧
（1）
f(x)?ax?bx?c
：找开口方向，找对称轴，如有必要，找与
x
轴的交点。
（2）
f(x)?ax?bx
：找开口方向，找与
x
轴的交点。 < br>（3）
f(x)?ax?c
：找开口方向，找与
y
轴的交点，对称轴为
y
轴。
2
2
2
4、二次函数的最值
已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
（
a?0
）
2< br>b4ac?b
2
b
)?
（1）若
a?0
，则当
x??
时，函数有最小值
f(x)
min
?f(?
；
2 a4a
2a
b4ac?b
2
b
)?
（2）若
a?0
，则当
x??
时，函数有最大值
f(x)
max
?f(?< br>。
2a4a
2a
函数的最大值与最小值统称为最值，
x??
b
称为最值点。
2a
典型例题讲解
1、二次函数的图像与性质
例1：已知二次函数
f(x)??x?4x?5
。
（1）请找出函数的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最值、最值点；

（2）判断函数的单调性；

（3）画出函数的图像。









例2：画出下列二次函数的图像，并注明单调区间。
（1）
f(x)?x?2
； （2）
f(x)??x?3x
； （3）
f(x)?2x?5x?2






222
2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
例3 ：已知二次函数
y?ax?bx?c
的图像与两坐标轴的交点分别为
(?1,0)和
(0,?1)
，且顶点在
y
轴右侧，求实数
2
b的取值范围。






2、三个“二次”的关系
例4：当
m
为何值时，方程
x?(m?2)x?4?0
有实根？







例5：已知函数
y?6x?2x?m
的值恒小于零，那么（ ）
A.
m?9
B.
m?





练习：
二次函数
y?ax?4x?a?3
的值恒为负值，求
a
的取值范围。






2
2
2
999
C.
m?
D.
m?

222
3、求二次函数解析式
例6：已知二次函数y?f(x)
的最大值为13，且
f(3)?f(?1)?5
，求函数
f (x)
的解析式。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义

例7：已知二次函数
f(x)
满足：（1）对称轴为
x?1
；（2）
f(x)
的 最大值为15；（3）
f(x)?0
的两根立方和为17。
求函数
f(x)< br>的解析式。









练习：
2
已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
的图 像与直线
y?25
恰有一个公共点，且不等式
ax?bx?c?0
的解是2
?








11
?x?
，求函数的解析式。
23
4、二次函数的最值
例8：已知函数
y??x?2x?3
，当
x
在下列取值范围内时，分别求函 数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）
值时所对应的自变量
x
的值：

（1）
x??2
； （2）
x?2
； （3）
?2?x?1
； （4）
0?x?3















2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
例9：求函数
f(x)?








练习：
求函数
f(x)?







2x?x
2
?3
的最大、最小值。
1
的最大值。
1?x(1?x)
5、二次函数的应用

例10：如图所示，在边长为
2
的正方形
ABCD
的边上有一个动点
P
，从点
A
出发沿折线
ABCD
移动一周后回到
A
点。设点
A
移动的 路程为
x
，
?PAC
的面积为
y
。
（1）求函数
y
的解析式；（用
x
表示）
（2）画出函数
y
的图像；
D
C
（3）求函数
y
的值域。















A

P
B

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第五讲作业
1、使一 元二次方程
kx?
(1
?k
)
x?k?
0
有实根的
k
的取值范围是（ ）
A.
?1?k?

2、已知 二次函数
f(x)
的对称轴为
x?3
，且
f(x)?0
有两 个实根
x
1
，
x
2
，则
x
1
?x
2
=____。

3、若不等式
mx?
(
m?< br>1)
x?m?
1
的解集为
R
，则
m
的取值范 围是____________。

4、已知二次函数
f(x)
的对称轴方 程为
x?2
，且
f(x)
有最小值
?9
，且函数
f (x)
的图像与
x
轴有两个交点，它
们之间的距离为6，求函数
f( x)
的解析式。












5、已知二次函数
y?
3x?
(2
m?
6)
x?m?
3
取值恒为非负数，求实数
m
的取值范围。







6、用可围成
32m
墙的砖头，沿一面旧墙围成猪舍四间（其平面图为连成一排的大小 相同的四个长方形），应如何围
才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？







2
2
2
1111
B.
?1?k?
C.
k??1
或
k?
D.
?1?k?
且
k?0

3333

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
7、已知二次 函数
y?ax?bx?c
的图像经过点
A(2,4)
，其顶点的横坐标为2
?13
。
C(x
1
,0)
，且
x
1
2
?x
2
2
1
，它的图像与
x
轴交点为
B(x
1
,0)
，
2
（1）求此二次函数的解析式，并画出 它的图像；
（2）在
x
轴上方的抛物线上是否存在点
D
，使得S
?ABC
?2S
?BDC
？如果存在，请求出所有满足条件的点
D
；如不
存在，请说明理由。










第六讲 二次函数在给定区间上的最值
1、函数的最值
函数在它的定义域内取得的最大值或最小值统称为函数的最值。

（1）在无特别说明的情况下，定义域就是使得函数有意义的
x
的集合；

（2）不是所有函数都有最大、最小值；

（3）求函数的最值，常结合函数的图像进行求解。
2、求函数最值的步骤
（1）找出函数的定义域；

（2）判断函数在此定义域内的单调性；

（3）结合图像求出最值。
3、二次函数在给定区间上的最值
（1）找开口方向、对称轴；

（2）判断对称轴与给定区间的关系；

（3）判断二次函数在给定区间上的单调性；

（4）求出最值。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
4、可化为二次函数的函数的最值
对于某些函数，通过变换（通常是换元）可以化为 二次函数，从而进行求解，要注意的是，在变换过程中，要
注意变换的等价性，即定义域的变换。

典型例题解析
1、轴定区间定的二次函数的最值问题
例1：已知
f(x)?x?x?2
，当
x
在以下区间内取值时，求
f(x)
的 最值。
（1）
x?[?1,0]
； （2）
x?[0,1]
； （3）
x?[1,2]



2
2、可化为二次函数的函数的最值
例2：求
y?







例3：已知
0?x?1
，求
y?x?1?x
2
的最值。







例4：求
y?x?1?x
的最值。











x
2
?x?6
的最值。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
练习：
当
0?x?1
，求
y?








x?x
的最大值与最小值。
3、轴定区间动的二次函数的最值问题
例5：求函数
f(x)?x?2x?3
在
x?[a,a?1]
上的最小值。

















例6：求函数
f(x)?2x?x?3
在
x?[a?1 ,a]
上的最小值。














2
2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
4、轴动区间定的二次函数的最值问题
例7：求函数
f(x)?x?2ax?2在区间
[0,1]
上的最小值。
















例8：求函数
f(x)?x?(1?2a)x?a
在区间
[?1, 2]
上的最大值。




















22
2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
5、综合问题
例9： 已知函数
f(x)?4x?4ax?a?2a?2
在区间
[0,2]
上的最小 值为3，求
a
的值。















例 10：设函数
f(x)?x?2ax?3
在区间
[1,2]
上的最小值为g(a)
。
（1）求
g(a)
的表达式；
（2）求
g(a)
的最小值。

















2
22

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第六讲作业
1、求满足下列条件的二次函数的最值：
（1）
f(x)??2x?8x?3
，
x?[?2,3]
（2）
f(x)??x?(2?x)
，
x?[0,??)






2、当
x?[0,??)
时，求函数
y?x?2ax
的最小值。






3、求函数
y?






4、已知
y?x?4x?a?3b，
x?[0,5]
的最小值为
?1
，最大值为
4a
，求
a
，
b
的值。




5、若函数
f(x)?x?ax?1
在
[?1,1]
上的最大值为
14
，求
a
的值。

















2
2
2
2
1
2
5
x ?x?
在
[t,t?1]
上的最小值。
22

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第七讲 二次方程根的分布问题
1、二次方程
ax
2
?bx?c?0
（a?0
）根的正负问题
?
?
??b
2
?4ac?0< br>?
c
?
?0
（1）两根都是正数
?
?
；（2 ）两根都是负数
?
a
?
b
?
?0
?
a?

（3）两根一正一负
?
?
?
??b
2?4ac?0
?
c
?
?0
；
?
a
?
b
?
?0
?
a
?
c
?0
。 a
2、一般情况下二次方程
ax
2
?bx?c?0
（
a ?0
）根的分布问题
2
设
x
1
，
x2
是二次方程
ax?bx?c?0
（
a?0
）的两实根，利用二 次函数
f(x)?ax?bx?c
（
a?0
）的图
2
像位置 可以讨论根的分布问题：

x
1
?x
2
?k

k?x
1
?x
2

根的分布


图像






条件





x
1
?k?x
2
x
1
,x
2
?(k
1
,k
2
)

x
1
?(p,q)

x
2
?(m,n)





注：
二次方程根的分布问题实际上就是确定以下几个条件：（1）开口方向；（2）
?
；（3）对称轴与限定区间的大
小关系；（4）区间端点所对应的函数值的符号。
3、二次函数在给定区间上的恒成立问题
二次函数
f(x)?ax?bx? c?0
（
a?0
）在区间
[p,q]
上恒成立。
方法一：根据条件画出二次函数的图像，利用根的分布问题进行求解；
方法二：恒成立问题
?
最值问题进行求解。
2
典型例题讲解

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
1、根的分布问题
例1：已知方程
4x?(2m?1)x?(2m?3)?0
（
m?R
）有两个负根，求
m
的取值范围。







练习：
试确定
m
的值，使方程
4x?(m? 2)x?m?5?0
的根均为负数。








例2：已知方程
x?(m?1)x?4?0
的两根都落在
[0,3]
内，求实数
m
的取值范围。








例3：若方程
x?2x?11?k(x?3)?0
的两根都大于2，求
k
的取值范围。





例4：求实数
m
的取值范围，使关于
x
的方程
x ?2(m?1)x?2m?6?0
。
（1）有两个实根，且一个比
2
大，一个比
2
小；
（2） 有两个实根
?
，
?
，且满足
0?
?
?1?
?
?4
；
（3）至少有一个正根。



2< br>2
2
2
2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
例5：已知关于
x
的方程
x?x?m?1?0
在
[?1,1 ]
上有实数解，求实数
m
的取值范围。
















例6：已知关于
x
的方程
x?4ax?1?0
有正实根，求实数
a
的取值范围。















例7：已知关于
x
的方程
x?4x?a?3?0
在
[?1, 1]
上有实数解，求实数
a
的取值范围。











2
2
2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
2
例8：已知关于
x
的方程
x?ax?b?0
有两个实根
?
、
?
，且
?
?2
，
?
?2
。
证明：（1）
2a?4?b
； （2）
b?4
。















2
例9：设
f(x)?x?ax?3?a
，对一切
x?[?2,2]
恒有
f(x)?0
成立，求
a< br>的取值范围。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第七讲作业
1、函数
y?(x?2x?3)(x?2x?3)
的图像与
x
轴的交点个数是____ __个。
2、设方程
(m?3)x?4mx?2m?1?0
的两个实根异号，且负根 的绝对值较大，求实数
m
的取值范围。






3、已知二次方程
mx?(3m?2)x?2m?2?0
有一个大于
?2
的负根，一个小于
3
的正根，求实数
m
的取值范围。






4、已知二次方程
x?2a x?a?2?0
的两根都在区间
(0,4)
内，求实数
a
的取值范围 。






2
5、已知函数
f(x)?x?4ax?2
，若
f(x)?0
在
x?[1,2]
上 恒成立，求
a
的取值范围。
2
2
22
2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第八讲 常见函数图像与性质
1、
y?
与
y?
k
x
ax?b

cx?d
k
在
(??,0)
上是减函数，在
(0,??)
也 是减函数；
x
（1）若
k?0
，则函数
y?
（2）若k?0
，则函数
y?
k
在
(??,0)
上是增函数，在
(0,??)
也是增函数；
x
（3）函数
y?
ax?bk ax?b
的图像与
y?
的图像类似，只是位置不同，因此，对函数
y?
的讨论及应用可根据
cx?dxcx?d
y?
k
进行。
x
1

x
1
称为双钩函数，是高中数学极为常见也是非常重 要的函数之一，在高中阶段会用多种不同的方
x
2、
y?x?
（1）函数y?x?
法，会从多个角度对此函数进行研究。
（2）由表达式
y?x?
1
可知，函数的定义域为
?
xx?R,x?0
?
。
x< br>11
2
1
?(x?)?2?2
，当且仅当
x?
即x?1
时等号成立，即函数的最小值为
x
xx
（3）当
x?0< br>时，
y?x?
2。
（4）当
x?0
时，
?y??x ?
11
2
1
?(?x?)?2?2
，所以
y??2
，当且仅当
?x?
即
x??1
时
?x
?x?x
等号 成立，即函数的最大值为
?2
。

（5）函数
y?x?
1
的值域为
?
yy??2或y?2
?

x

3、分段函数
（1）有一类函数，当自变量在不同范围内取值时，函数有不同的解析式，这样 的函数称为分段函数，特别注意，
分段函数是一个函数而不是多个函数。

（2）对分段函数的研究，通常是对每一个段内的函数进行研究，再综合得结论。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
4、可化为分段函数的函数 ------绝对值函数

典型例题解析
1、反比例函数图像与性质的应用 例1：在函数
f(x)?(2m
2
?7m?9)x
m
2
?9m?19
中，当
m
为何值时：
（1）
f(x)
是正比例函数，且它的图像经过第二、第四象限；
（2）
f(x)
是反比例函数，且它的图像经过第一、第三象限。








例2：讨论函数
y?
3x?7
x?2
的图像与
y?
1
x
的图像的关 系。









练习：
1、函数
y?
1
2x?3
的图像向右平移2个单位 所得到的图像表示函数（
A.
y?
1
2x?5
B.
y?
1
2x?1
C.
y?
11
2x?7
D.
y?
2x?1

例3：已知函数
y?
2x?1
x?1
，做出函数的图像。




）

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
练习：
作出函数
y?





3x?1
的图像。
x?1

2、双钩函数的图像与性质
例4：设
M?a?







1
（
2?a?4
），求
M
的最小值。
a?2x
2
?x?1
例5：设
x?1
，求
y?
的最小 值。
x?1








例6：求函数
y?











x
（
x?0
）的最大值。
x
2
?x?4

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
练习：
x
2
?x?3
已知
x?0
，求函数
f(x)?
的最小值。
x






3、分段函数的图像与性质
?
1x?0
?
例7：定义符号函数：< br>Sgn(x)?
?
0x?0
，画出此函数的图像。
?
?1x?0
?





练习：
画出函数
y?
x
的图像。
x






例8：画出下列函数的图像
?
x
2
?2x(x?0)
2
2
（1）
f(x)?
?
； （2）
g(x)?x?4x?5
；（3）
h(x)?x?2x?3
。
(x?0)
?
x

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第八讲作业
1、讨论函数
y?






2、函数
y?
2x?31
的图像与
y?
的图像的关系。 < br>x?1x
ax?1
在区间
(?2,??)
上是增函数，则实数
a
的取值范围为（ ）
x?2
A.
0?a?

111
B.
a??1
或
a?
C.
a?
D.
a??2

222
3、当
x?0
时，下列各函数中，最小值为2的函数是（ ）
A.
x?
1
116
2
2
B.
y?x?2?
C.
x?
D.
y?x?2x?4

xx
x
2
?2
4、设a?0
，
b?0
，
a
，
b
为常数，当
x?0
时，求函数
y?







(x?a)(x?b)
的最小值。
x
?
2x?x
2
5、已知函数
f(x)?
?
?
?x
（1）画出函数f(x)
的图像；
x?0
。
x?0
（2）若方程
f (x)?k
恰有2个实根，求
k
的值。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第九讲 函数图像变换
1、平移变换
对于函数
y?f(x)

（1）
y?f(x ?a)
的图像是由
y?f(x)
的图像向左平移
a
个单位得到； < br>（2）
y?f(x)?h
的图像是由
y?f(x)
的图像向上平移h
个单位得到；
（3）总结为“左加右减，上加下减”。但要注意变换时
x
前面的系数。

2、对称变换
对于平面直角坐标系中的点
M(a,b)

（1）点
M
?
(a,?b)
是点
M(a,b)
关于
x
轴的对称点；
（2）点
M
?
(?a,b)
是点
M(a, b)
关于
y
轴的对称点；
（3）点
M
?
(?a, ?b)
是点
M(a,b)
关于原点
O(0,0)
的对称点；
（4）总结为“关于谁，谁不变，关于原点都改变”。
对于函数
y?f(x)

（1）
y?f(?x)
的图像是由
y?f(x)
的图像关于
y
轴对称得到；
（2）
y??f (x)
的图像是由
y?f(x)
的图像关于
x
轴对称得到；
（3）
y??f(?x)
的图像是由
y?f(x)
的图像关于原点
O(0,0)
对称得到。

3、翻折变换
对于函数
y?f(x)

（1）
y?f(x)
的图像是由< br>y?f(x)
的图像保持函数值大于0的部分不变，将函数值小于0的部分沿
x
翻折得到；
（2）
y?f(x)
的图像是由
y?f(x)
的图像保 持自变量大于0的部分不变，将自变量小于0的部分去掉，将自变
量大于0的部分沿
y
轴翻折得到。
典型例题解析
1、平移变换
例1：指出函数
y?
x?23
的图像是由
y??
的图像经过怎样的平移变换得到。
x?1x

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义







练习：画出下列函数的图像
（1）
y?









111
?1
（
x?2
） ； （2）
y?1?
； （3）
y?x?
x?2xx?2
2、对称变换
例2：作出函数
y? x?2x?3
、
y?x?2x?3
、
y??x?2x?3
的图像，并 说明它们之间的关系。












练习：
222
?
x
2
?4x
已知函数
f(x)?
?
?
x
x?0

x?0
（1）画出函数
y?f(x)
的图像；
（2）若函数
y?f(?x)
与函数
y?k
有三个交点，求实数
k
的取值范围。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
3、翻折变换
例3：（1）作出函数
y?x
与函数
y?x
的图象，比较它们之间的关系。
（2）作出函数
y?x?1
与函数
y?x?1
的图象，比较它们之间的关系。
（3）作出函数
y?x?1
与函数
y?x?1
的图象，比较它们之间的关系。















2
例4：作出函数
y?x?2 x?3
与函数
y?x?2x?3
的图象，并比较图象之间的关系，可否由翻折变换得到 。
2









2
例5：作出函数
y?x?4x?5
与函数
y?x?4x ?5
的图象，并比较图象之间的关系，可否由翻折变换得到。
2





练习：
已知函数
f(x)?x?4x?5
。
（1）画出函数
y?f(x)
的图像；
（2）若函数
y?f(x) ?k
与
x
轴有
4
个交点，求实数
k
的取值范围。
2

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4、函数图像的画法
例6：画出下列函数的图像
（1）
y?2x?5
； （2）
y?(x?1)?x?2
； （3）
y?






1

x?1
1
x
2
?4
?
x?2x?0
（4）
f(x)?
?
2< br>； （5）
y?2?
； （6）
y?
。
x?1
x?2
?
x?2xx?0









第九讲作业
1、下列函数在区间
(??,0)
上是增函数的是（ ）
A.
y?1
B.
y?
2、方程
x?1?
2
x
?2
C.
y??x
2
?2x?1
D.
y?1?x
2

1?x
2
解的情况是( )
x
A．仅有一正根 B．有两正根 C．有一正根和一负根 D．无解

3、设函数
y?x?2x?2?1,x?R
.。
（1）作出函数的图象；
（2）求函数
y
的最小值及
y
取最小值时的
x
值。





2

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第十讲 方法篇
1、配方法
（1）配方法是将一个数学式子进行一种定向变形（配成“完全平法”）的技巧， 配方通常有几个目的，一是为了式
子两边能够同时开方，二是利用完全平方的非负性进行解题，三是利用 配方证明一些等式或不等式。

（2）配方法使用的最基本的配方依据是
(a?b)?a?2ab?b
，常见模型有：
222
a
2
?b
2
?(a?b)
2
?2a b?(a?b)
2
?2ab

b3
a
2
?ab?b
2
?(a?b)
2
?ab?(a?b)
2
?3ab?(a? )
2
?(b)
2

22
1
a
2
? b
2
?c
2
?ab?bc?ca?[(a?b)
2
?(b? c)
2
?(c?a)
2
]

2
a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ca?(a?b?c)
2

2、换元法

（1）换元法又称变量替换法，即根据所要求解的问 题的结构特征，巧妙的设置新的变量来代替原问题中的某些式
子或变量，从而达到简化问题的效果，得到 新的模型。换元法的关键有二：一是合理的换元能得到我们熟悉的模型，
二是要注意新元与旧元的等价性 。

（2）常见换元思路：化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式等。

3、待定系数法

（1）有些数学问题，解题的结果具有某种确定的结构，所以可以 先选取满足题意的结构形式，然后根据条件，求
出结构中尚待确定的未知数，从而得到原题的解，这种解 题方法叫做待定系数法。


（2）待定系数法的特点：先判断所求结果的结构是否 具有某种确定的形式，且含有某些特定的系数，然后由题设
条件对比等式两边的对应项，列出若干关于系 数的方程（组），最后解这些特定系数或找到这些特定系数间的某种
关系。


典型例题解析
1、配方法的应用
例1：求函数
y?x?
1
（
x?0
）的最小值。
x

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练习：
1
a
2
1、已知
a??4
，求分式
4
的值 。
2
a
a?2a?1
2、求函数
y?









例2：已知
x?2y?4x
，求
z?x?y
的最值。










例 3：已知实数
a
，
b
满足：
a?ab?b?2
。证明：?2?ab?2
。
例4：已知
x?y?z?2x?4y?6z?14?0
，求
x?y?z
的值。









练习：
已知实数
a
，
b
满足
a?b
，证明：
a?b
。



33
222
2222
1
的最大值。
2
x?2x? 3
22

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
2、换元法的应用
例5：已知
x?1
，求函数
y?x?














例6：求函数
y?x?1?2x
的最大值。






1
?3
的最小值。
x?1
x?4x?83
??
例7：解方程
x?8x?42







练习：解方程组
?







?
x?5?y?4?3

x?y?6
?

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22
例8：已知实数
x
，
y
满足条件：
x?4y?4x，求
x?y
的取值范围。












3、待定系数法的应用
例9：已知
x?2x?1
是多项式
x?x?ax?b
的因式，求a
，
b
的值。






练习：
已知多项式
x?6x?7x?ax?b
是一个关于
x
的完全平方式，求
a
，
b
的值。






432
232
x
2
?2x?3AB C
???
例10：若，求
A
、
B
、
C
的值 。
(x?2)
3
x?2(x?2)
2
(x?2)
3







例11：已知二次函数的对称轴为< br>x?2
，二次函数的图像与
x
轴的交点为
A(x
1
, 0)
，
B(x
2
,0)
，与
y
轴的交点为
2
C(0,3)
，且
x
1
2
?x
2
?10
，求此二次函数的解析式。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第十讲作业
1、已知
xy?yz?zx?
11
222
，< br>x?y?z?6
，则
x?y?z?
__________。
2
3
2、已知
x?3x?1?0
，则
x?
2
1
=_ ______。
3
x
x?x
的最大值为_______，最小值为_______。 3、已 知
x?[0,4]
，则函数
f(x)?
4、已知
1AB
??
，则
A?
_______，
B?
_______。
n2
?2nnn?2
22
5、已知
x?3x?4?a(x?1)?b(x? 1)?c
，则
a?
______，
b?
______，
c?
______。
6、已知
x?x?6
是多项式
2x?x?ax?6 x?a?b?1
的因式，则
a?
______，
b?
______。

7、已知
x?0
，
y?0
，且
x?2y?1，求
z?2x?3y
的最值。




8、 已知实数
a
，
b
满足
a?b
，求证：
?a?a?? b?b
。





9、已知
x?





10、已知二次 函数的对称轴
x?2
，且它的最小值为
?9
，又此函数图像与
x轴的两个交点之间的距离为
6
，求此
函数的解析式。




33
2
2432
18
，求函数
y?x?
的最小值。
22x?1

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第十一讲 思想篇
1、数形结合思想
（1）在解决数学问题的过程中，注意把代数式与其几何结合起来考察的思想，称为数形结合思想。

（2）有一些代数问题，从数的角度看就是数字之间的运算，很难找到突破口，但如果借助于 它们的几何意义，利
用几何直观揭示数之间的关系，及将抽象思维与形象思维结合起来，就可以轻松的解 决问题。

（3）数形结合思想的主要应用：1、利用数学式或数学概念的几何意义；
2、函数图像的应用；
3、高中阶段将要学习的平面解析几何。

（4）常见数形结合案例：1、方程的根
?
函数图像与
x
轴的交点

?

两个函数图像的交点

2、分类讨论思想
（1）在解决数学问题的过程中，有时会 遇到多种可能的情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合
归纳得出问题的正确答案，这就 是分类讨论。

（2）分类讨论是一种逻辑方法，是非常重要的一种数学思想，同时也是一种 重要的解题策略，它体现了化整为零、
积零为整的思想与归类整理的方法。

（3）需要用分类讨论思想解决的数学问题，究其引起分类的原因，可归结为一下几个方面：
1、涉及的数学概念是分类定义的；
2、求解数学问题的结论有多种情况或多种可能；
3、数学问题中含有参数（待定常数），这些参数的取值不同会导致结果的不同。

（4）分类讨论的原则：分类对象要确定，分类标准要统一，分类过程不重复，分类结果不遗漏。

（5）分类讨论的方法与步骤：
1、确定要讨论的对象以及所讨论对象的全体范围；
2、确定分类标准，确保不重不漏；
3、对各个分类逐步进行讨论，获得部分结果；
4、归纳小结，得出最后结果。

典型例题解析

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
1、函数与图像
例1：求函数
y?x?2?x?1
的最小值。









练习：若不等式
x?1?x ?2?a?2a
恒成立，求
a
的取值范围。










例2：正方形
A BCD
的边长为
4cm
，动点
P
从点
A
出发，以每 秒
1cm
的速度沿正方形的边界逆时针绕行一周。设
经过
x
秒后，< br>?ABP
的面积为
y
。试把
y
表示成
x
的函 数，并描绘其图像。




















2

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
2、方程的根与函数的交点
例3：讨论方程
x?4x?3?k
（
k
为参数，
k?R
）的根的情况。









练习：
2
?
y?4 ?x
2
已知方程组
?
（
b
为参数，
b?R
），当
b
为何值时，方程组两组解。
?
y?x?b










例4：求方程
2x?3x?1?0
的根的个数。













3

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
3、分类讨论及应用
22
例5：已知实数
a
，
b
满足
ab?0
，
a?b?1
，求
a1?b?b1?a
的值。
22










例6：解不等式












例7：已知点
O(0,0)
，
A (2,0)
，过点
O
，
A
作正三角形
?OAB
，且
B
在第一象限，直线
x?t
截这个三角形所得
的位于此直线左方的图 形的面积为
y
，求
y?f(t)
的表达式，画出此函数的图像。









2
例 8：设
f(x)?x?ax?3
，对一切
x?[?2,2]
恒有
f( x)?a
成立，求
a
的取值范围。
(x?4a)(x?6a)1
? 0
（
a
为参数，
a??
）
2a?12

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
第十一讲作业
1、曲线
y?x
与直线
y?3
所围成图形的 面积为________。

2、
x
取一切实数均可使
y?

3、就实数
m
讨论方程
x?4x?5?m
的解的情况。






4、求方程
x?2x?






5、解关于
x
的不等式
a(ax?1)?x?1
。







6、解关于
x
的不等式
x?(a?a)x?a?0
。







22
7、函数
f( x)?x?2(2a?1)x?a
，这里
a
为参数，求当
x?[0,1]时
f(x)
的最小值
g(a)
，并画出
g(a)
的图像 。
223
kx?7
有意义，则实数
k
的取值范围为_______ ____。
2
kx?4kx?3
2
2
3
的根的个数。
x

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
8、对于 每个实数
x
，设
f(x)?min
?
4x?1,x?2,?2x?4
?
，求
f(x)
的最大值。
（注：
min
?a,b,c
?
表示
a
，
b
，
c
中的最 小者。）












第十二讲 集合
集合是一个不能定义的原始概念。

1、集合：
一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 （简称集）。

2、集合中的元素具有以下三个特征：
（1）确定性：设
A
是一个给定的集合，
x
是某一具体的对象，则
x
或者是
A
的元素，或者不是
A
的元素，二者必
有其一且只有其一满足。例如：
2
，它属于实数集，即
2
是实数集的一个元素，但
2
不是有理数，即
2
不
是有理数集的一个元素。

（2）互异性：对于一个给定的集 合，它的任何两个元素都是不同的，两个相同的对象作为集合中的元素只记作一
个，不能重复出现。例如 ：方程
x?2x?1?0
的两个根，
x
1
?x
2
? 1
，用集合记为
?
1
?
，而不是
?
1,1
?
。
2

（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关。例如：集合?
a,b,c,d
?
与
?
a,c,b,d
?
就 表示同一个集合。

3、集合与元素的关系
如果
a
是集合
A
中的一个元素，就说
a
属于集合
A
，记作：
a?A；如果
a
不是集合
A
中的一个元素，就说
a
不属
于集合
A
，记作：
a?A
。

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
4、常见的数集及其记法：

名称
非负整数集
正整数集
（自然数集）

整数集

有理数集

实数集
符号

5、集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的 元素一一列举出来，用花括号“
?
表示有限集。例如：
?
1,2,5
?
。
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。具体方法是：在 花括号内先写上表示这个
集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征。例
如：
xx?2
。


?
”括起来表示集合的方法叫做列举法，列举法常用来
??
典型例题解析：
1、考察集合的概念
例1：判断以下各组对象能否构成集合，为什么：
（1）很小的正实数；
（2）某班所有高个子的同学；
（3）长得很漂亮的姑娘；
（4）方程
x?4x?3?0
的所有实数解；
（5）
2
的近似解；
（6）我国所有的大城市；
（7）直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的所有点；
（8）大于
0
的所有整数；
（9）世界上所有的有钱人；
（10）数学中较难的题目。

2
2、考察集合元素的特征

例2：设集合
A?a,0,1
，求
a
的取值范围。




?
2
?

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练习：
1、设
x?R
，集合
A?3,x,x?x
，若6?A
，求实数
x
的值。
2、已知集合
A?
?
x,xy,xy?1
?
，其中
x?Z
，
y?Z
，
y?0
，若
0?A
，求集合
A
及
A
的各元素之和。






?
2
?
3、考察集合的表示法
例3：用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集：

（1）由大于10小于20的所有偶数组成的集合；

（2）不等式
2x?1?0
的解组成的集合；

（3）方程
x?3x?4?0
的根组成的集合；

2
?
x?3y?11
（4）方程组
?
的解组成的集合；
2x?y?8
?

（5）所有的非负奇数组成的集合。


例4：已知集合
A
=
?
x









练习：

已知集合
A?
?
x


?
12
?
?N,x?N
?
，试用列举法表示集合
A
。
?
6 ?x
?
?
12
?
?N,x?Z
?
，试用列举法表示 集合
A
。
?
5?x
?

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四、拓展提高

例5：已知集合
A?a?2,2a?5a,12
， 若
?3?A
，求实数
a
的值。





例6：已知集合
A?xx?ax?b?x
只有一个元素
a
，求实数
a
、
b
的值。
2
?
2
?
??





例7：已知集合
A?xax?3x?2?0
。若
A
中最多只有一个元 素，试求实数
a
的取值范围。





练习：
已知集合
A
=
{x|ax?2x?1?0,a?R,x?R}

（1）若
A
中只有一个元素，求
a
的值；
（2）若
A
中至多有一个元素，求
a
的取值范围。




例8：由实数构成的集合
A
满足条件：若
a ?A
且
a?1
，则
2
?
2
?
1
? A
。
1?a
（1）若
2?A
，则集合
A
必还有另 外两个元素，请求出这两个元素；

（2）证明：集合
A
不可能是只有一个元素的单元素集。





练习：
设
S
是满足下列两个条件的实数所构成的集合：
①
1?S
，②若
a?S
，则
1
?S

1?a

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请解答下列问题：
（1）若
3?S
，则
S
中必有另外两个数，求出这两个数；
（2）求证：若
a?S
，则
1?
1
?S
；
a
（3）在集合
S
中元素能否只有一个？请说明理由；

（4）求证：集合
S
中至少有三个不同的元素。










第十二讲作业
1、下列各对象中，能构成集合的是（ ）
A.世界上所有矮个子的人 B.大于
?5
的实数 C.著名的科学家 D.比较容易的数学题

2、集合
A?xx?237
，
a?310
，则（ ）
A.
a?A
B.
a?A
C.
?
a
?
?A
D.以上都不对
3、设
A?1,2a?1,a?2
，若
5?A
，则
a?
_________。

??
?
2
?
Q?
?1,2,6
?
，
Q
为两个非空实数集合，4、设
P
、定 义集合
P?Q?a?ba?P,b?Q
，若
P?
?
0,2,5
?
，则
P?Q
中的元素个数为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
5、若
a
、
b
、
c
为非零实数，
x?
??
abc
??
，则由
x
组成 的集合可表示为______________。
abc
6、已知集合
A?x?2? x?a,x?Z
，若集合
A
中恰有3个元素，则实数
a
的取值范围是 ____________。
7、按要求表示下列集合：
（1）用列举法表示
A? (x,y)x?2y?9,x?N,y?N
（2）用描述法表示
B?
?
1,4 ,7,10,13,16
?
。


??
?
??
?
；

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
8、已知集合
A?a? 1,3a?1,a?a?2
，若
4?A
，求
a
。












9、已知集合
A
的元素全为实数，且满足：若
a?A
，则
?
2
?
1?a
?A
。
1?a
（1）若
a?2
，求出
A
中其它所有元素；
（2）0是不是集合
A
中的元素？请你设计一个实数
a?A
，再求出
A
中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论。














10、已知集合
A?xx?m?n,m?Z,n?Z
。
（1）证明：任何奇数都是集合
A
的元素；
（2）任何形如
4k? 2
（
k?N
）的偶数都不是集合
A
的元素。











?
?
22
?

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
衔接课程阶段测试（1）（第1讲~第5讲）
本试卷满分150分，考试时间：120分钟
姓名：________ 得分：________

一、选择题：本大 题共10小题，每题5分，满分50分。在每题的四个选项中，有且只有一个是符合要求的。
1.若
a?0,b?0,且a?b,则a?b
一定是 ( )
A.

正数B.负数C.非负数D.非正数

2.若
x?3,则9?6x?x?x?6
的值是 ( )
2
A.?3B.
2
3C.?9D.9

11
?
的值为 ( )
x
1
x
2
3.若
x
1
,x
2
是方程2x?6x?3?0
的两个根，则
A.

2B.?2C.
1
2
D.
9
2
4、化简
a
3
b
2
3
ab
2
??
?
ab
?
??
??

1
4
1
2
4
3
b
a
?
a?0,b?0
?
的结果是（ ）
A．

b

a
B．
ab
C．
ab

2
D．
a

b
22
5.已知关于x不等式
2x?bx?c?0
的解集为
?
x|x??1或x?3}
，则关于x的不等式
bx?cx ?4?0
的解集为
（ ）
1
?
A.
?
x|x??2或x?}

B.
2
?
1
?
x|x??或x?2}

?
2
?
C.
{x|?






1
1
?
?x?2}

D.
?
x|?2?x?}

2
2
?

广州特优教育2017年暑期衔接班系列讲义
6.关于
x
的一元二次方程
mx?(m?1)x?m?0
有实根，则实数< br>m
的取值范围是（ ）
2
11
A.
{m|?1?m?}

B.
{m|?1?m?}

33
1
1
?
C.
{m|?1?m?且m?0}

D.
?
m|m??1或m?}

3
3
?

7、如果
3?m3?m
成立，则实数
m
的取值范围是（ ）
?
m
m
A.
m?3
B.
m?0
C.
0?m?3
D.
0?m?3



8、不等式
2x?1
?1
的解集为（ ）
x?3
A.
?4?x?3
B.
x??4
或
x?3
C.
?4?x?3
D.
?4?x?3



9、已知
x?2?1
，则 代数式
x
3
?2x
2
?x?2
的值为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4



10、不论
x
为何值，分式
1
总有意义，则
c
的取值范围是（ ）
2
x?2x?c
A.
c?1
B.
c?2
C.
1?c?2
D.
c?1
或
c?2



二、填空题。本大题共4小题，每题5分，满分20分。

11、 若
4xab
??
，则
a?b
=___________。
2
x?2x?2
x?4
12、已知最简根式
a2a?b与
a?b7
是同类根式，则满足条件的
a、b
的值___________。
1 3、若方程
2x?(k?1)x?k?3?0
的两根之差为1，则
k
的值是_ __________。
14、函数
f(x)?




2
x
2
?3x?4
的定义域为___________。
x?1?2

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三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本题满分12分）
若是关于
x
的方程
x?(2k?1)x ?k?1?0
的两个实数根，求实数
k
的取值范围；













16、（本题满分12分）
计算：（1）
[
22
22a ?ba?ba
?(?a?b)]??
；
3aa?b3aaa?b
（2）























3abca?1b?1c?1111
?(??)?(??)
。
bc?ca?ababcabc

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17、（本题满分14分）
?
x
3
?y
3
?x< br>3
y
3
?17
（1）解方程组
?
；（2）解不等式< br>x?2?x?1?5
。
x?y?xy?5
?
















18、（本题满分14分）
已知实数
a
，
b
，
c
满足条件
a?6?b
，
c?ab?9
。证明：
a?b
。

























2

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19、（本题满分14分）
已知
x
1
，
x
2是关于
x
的一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实根。 < br>（1）是否存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
2
3
成立？若存在，求出
k
的值；若不存在，说明理由。
2
（2）求使
x
1
x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值；
x
2
x
1
x
1
，求
?
的值。
x
2
（3）若
k??2
，
?
?

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20、（本题满分14分）

已知函数
f(x)
的定义域为
R
，并对一切实数
x
，
y
都有
2f(x?y)?f(x)?3f(y)?x(x?2y?1)< br>，求函数
f(x)
的解析式。

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衔接课程阶段测试（2）（第6讲~第12讲）
本试卷满分150分，考试时间：120分钟
姓名：________ 得分：________

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，满分40分。在每题的 四个选项中，有且只有一个是符合要求的。
1．下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合
?
y|y?x
2?1
?
与集合
?
?
x,y
?
|y?x
2
?1
?
是同一个集合；
（3）
1,
3
,
6
,?
1
242
,0.5
这些数组成的集合有
5
个元素．
A．
0
个 B．
1
个 C．
2
个 D．
3
个

2、函 数
y?2x
2
?4x?5
中，当
?3?x?2
时，则
y
值的取值范围是（ ）
A．
?3?y?1
B．
?7?y?1

C．
?7?y?11
D．
?7?y?11


3、已知函数
y?6x?2x
2
?m
的值恒小于零，那么（ ）
A.
m?9
B.
m?
9
2
C.
m?
9
2
D.
m?
9
2


4、若
2x
2
?5x?2?0
，则
4x
2
?4x?1?2x?2
等于（ ）
A.
4x?5

B.
?3

C.
3

D.
5?4x


5、当
?1?x?1
时，函数< br>y?2x
2
?2ax?1?2a
有最小值是
?
3
2< br>，则
a
的值为（ ）
A.
1
B.
3
C.
1或3
D.
7
8

6、方程
x
2
?1?
2
x
解的情况是( )
A．仅有一正根 B．有两正根 C．有一正根和一负根 D．无解

7、设
?
、
?
是方程
4x
2
?4mx?m?2?0 (x?R)
的两实根，则
?
2
?
?
2
的最小值为（
A.
17
16

B.
1
2

C.
2
D.
15
16


）

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8、当
x?0
时，下列各函数中，最小值为2的函数是（ ）
A.
x?
1
2x16
2
2
B.
y?x?2?
C.
?
D.
y?x?2x?3

x4x
x
2
?2

二、填空题。本大题共6小题，每题5分，满分30分。
9．二次函数
y?ax?b x?c
的图象如图，则
a
______0；
b
_____0； 2
c
______0；
b
2
?4ac
_______0 ．（填“＞”或“＜”、“＝”）
10.已知
a?b?c?4
，
ab?bc ?ac?4
，则
a?b?c
_____________.
11.计算：< br>222
1111
???
L
?
=____________．
1?32?43?59?11
1
2
12.若二次函数
y?ax?bx ?c
的顶点为
(,25)
，与
x
轴交于两点，且这两点的横坐标的立 方和为19，则这个二
2
次函数的表达式为 .
13、已 知直线
y?
2a?13
x?
过点
M(1,3)
，则常数a?
___________。
a?2a?2
x?x
的最大值为_______，最小值为_______。 14、已知
x?[0,4]
，则函数
f(x)?

三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本题满分12分）
记函数
f(x)?2?



















x?3
的定义域为
A
，求
A
。
x?1