高中数学新教材人教B版必修第二册训练：4.2.2 对数运算法则

第一章 4.2 4.4.2.3 第2课时

请同学们认真完成 [练案5]
A级 基础巩固
一、选择题
1．当a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N
*
时，下列各式不恒成立的是( C )
A．log
a
x
n
＝nlog
a
x
C．xlog
a
x＝x
[解析] 要使式子xlog
a
x＝x恒成立，
必须log
a
x＝1，即a＝x时恒成立．
xy
2．若lg x－lg y＝a，则lg ()
3
－lg ()
3
等于( D )
22
a
A．
2
3a
C．
2
B．a
D．3a
B．log
a
x＝nlog
a
x
D． log
a
x
n
＋log
a
y
n
＝n(lo g
a
x＋log
a
y)
n
xy
[解析] lg ()
3
－lg ()
3
＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3A
．

22
1
3．方程2log
3
x＝的解是( C )
4
A．
3

3
B．3
D．9
1
C．
9
1
－
1
－
[解析] ∵2l og
3
x＝＝2
2
，∴log
3
x＝－2，∴x＝3
2
＝．
49
4．(多选题)已知x，y为正实数，则( CD )
A．2
ln
x
＋
ln
y
＝2
ln
x
＋2
ln
y
B．2
ln(
x
＋
y
)
＝2
ln
x
·2
ln
y

ln
y
＝(2
ln
x
)
ln
y
C．2
ln
x
·
D．2
ln(
xy
)
＝2
ln
x
·2
ln
y

＋
ln
y
ln
y
＝(2
ln
x
)
ln
y,
2
ln(
xy
)
＝2
ln
x
[解析] 根据指数与对数的运算性质可得2
ln
x
·
＝2
ln
x
·2
ln
y
，可知
C、D正确，而A、B都不正确．
1
5．若log
5
·log
3
6·log
6
x＝2，则x＝( D )
3
A．9
C．25
1
B．
9
1
D．
25

1
[解析] ∵log
5
·log
3
6·log
6
x＝2，
3
1
3
lg 6lg x1
－
∴··＝2，∴lg x＝－2lg 5＝lg 5
2
，∴x＝．
lg 5lg 3lg 625
lg
二、填空题
6．计算：2log
2
10＋log
2
0.08的值为__3__．
[解析] 2log
2
10＋log
2
0.08＝log
2
100＋log
2
0.08
＝log
2
(100×0.08)
＝log
2
8
＝3．
1－a
7．已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a、b表示log
12
5＝____．
2a＋b
1－lg 21－lg 21－a
lg 5
[解析] log
12
5＝＝＝＝．
lg 12
lg 3＋lg 4lg 3＋2lg 2b＋2a
8．已知x＞0，y＞ 0，若2
x
·8
y
＝16，则x＋3y＝__4__，则2－1＋log2
x＋log
9
27
y
＝__2__．
[解析] 因 为2
x
·8
y
＝16，所以2
x
·2
3
y
＝2
x
所以x＋3y＝4．
2－1＋log
2
x＋log
9
27
y
＝2
1
·2log
2
x＋log
32
3
3
y

x3y
x＋3y
＝＋＝＝2．
222
三、解答题
9．( 1)计算：(log
2
125＋log
4
25＋log
8
5 )·(log
5
2＋log
25
4＋log
125
8)；
(2)已知log
2
3＝a，log
3
7＝b，用a，b表示log
14
56．
[解析] (1)原式＝(
lg 125lg 25lg 5lg 2lg 4lg 83lg 52lg 5lg 5lg 2
＋＋)(＋＋)＝(＋＋)(＋
lg 2lg 4lg 8lg 5lg 25lg 125lg 22lg 23lg 2lg 5
－
＋
3
y
＝2
4
，
2lg 23lg 226lg 53lg 2
＋)＝·＝13．
2lg 53lg 56lg 2lg 5
lg 3lg 7
(2)∵log
2
3＝＝a，log
3
7＝＝b，
lg 2lg 3
lg 3lg 7lg 7
∴ab＝·＝．
lg 2lg 3lg 2
∴lg 7＝ablg 2．
lg 56
lg 7＋3lg 2
∴log
14
56＝＝
lg 14
lg 7＋lg 2
＝
?ab＋3?lg 2ab＋3
＝．
?ab＋1?lg 2ab＋1< br>＋
n
10．(1)设log
a
2＝m，log
a
3＝ n，求a
2
m
的值；

2
2
x
＋2
2
x
＋2
(2)设x＝log
2
3，求的值．
－
2
x
＋2
x
[解析] (1)∵log
a
2＝m，log
a
3＝n，∴a
2
mn
＝a
2
m
·a
n
＝(a
m
)
2
·a
n
＝( alog
a
2)
2
·alog
a
3＝4×3＝12． 2
2
x
＋2
2
x
＋2?2
x
＋2x
?
2
x
－
x
(2)＝
x

－－
＝2＋2
2
x
＋2
x
2＋2
x
110
－
＝2log
2
3＋(2log
2
3)
1
＝3＋＝．
33
B级 素养提升
一、选择题
1．若t＝log
3
2，则log
3
8－2log
3
6可用t表示为( B )
A．t＋2
C．2t＋1
B．t－2
D．2t－1
－－
＋
－
2
[解析] log
3
8－2log3
6＝log
3
8－log
3
36＝log
3
＝log
3
2－2＝t－2．
9
x
?
?
2，x＜ 1，
2．已知函数f(x)＝
?
，则f(log
2
7)＝( C )
?
f?x－1?，x≥1
?

7
A．
16
7
C．
4
7
B．
8
7
D．
2
[解析] 因为log
2
7＞1，所 以f(log
2
7)＝f(log
2
7－1)
777
＝f (log
2
)＝f(log
2
－1)＝f(log
2
)．
224
7777
而log
2
＜1，所以f(log
2
)＝2log
2
＝．
4444
3．已知log
7
2＝p ，log
7
5＝q，则lg 5用p、q表示为( B )
A．pq
1＋pq
C．
p＋q
q
B．
p＋q
D．
pq

1＋pq
1
[解析] ∵p＋q＝log
7
2＋log
7
5＝log
7
10＝，
lg 7
lg 5qlg 5
q＝log
7
5＝，∴＝·lg 7＝lg 5．
lg7
p＋q
lg 7
11
4．设2
a
＝5
b
＝m，且＋＝2，则m＝( A )
ab
A．10
C．20
B．10
D．100
[解析] ∵2
a
＝5
b
＝m，∴a＝log
2
m ，b＝log
5
m，

1111
∴＋＝＋＝log
m
2＋log
m
5＝log
m
10＝2，
ablog
2
mlog
5
m
∴m＝10.故选A．
二、填空题
11
lg 0.36＋lg 8
23
5.＝__1__．
2lg 2＋lg 0.3
11
lg 0.36＋lg 8
23
lg 0.6＋lg 2
lg 1.2
[解析] ＝＝＝1．
2lg 2＋lg 0.3lg 4＋lg 0.3
lg 1.2
6．若 mlog
3
5＝1，n＝5
m
，则n的值为__3__．
1
[解析] ∵mlog
3
5＝1，∴m＝＝log
5
3．
log
3
5
∴n＝5
m
＝5log
5
3＝ 3．
a＋b
4
131
7．已知log
a
b＋3logb
a＝，则log
a
b＝__6或__，当a＞b＞1时，
22
的值为__1__．
22
a＋b
[解析] 因为log
a
b＋3l og
b
a＝
13313
，所以log
a
b＋＝，所以2(l og
a
b)
2
－13log
a
b＋6＝0，
2lo g
a
b2
a＋b
4
11
解得log
a
b＝ 6或，因为a＞b＞1，所以0＜log
a
b＜1，所以log
a
b＝，所以 a＝b，所以
22
22
a＋b
a＋a
2
＝
2
＝1．
a＋a
三、解答题
8．求下列各式的值：
(1)(lg 5)
2
＋2lg 2－(lg 2)
2
；
(2)log
2
(1＋2＋3)＋log
2
(1＋2－3)；
(3)lg (3＋5＋3－5)．
[解析] (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1．
(2)原式＝log
2
[(1＋2＋3)(1＋2－3)]
3
＝l og
2
[(1＋2)
2
－3]＝log
2
22＝．
2
1
(3)原式＝lg (3＋5＋3－5)
2

2
111
＝lg [6＋2?3＋5??3－5?]＝lg 10＝．
22 2
111
9．已知2
x
＝3
y
＝6
z
≠1 .求证：＋＝．
xyz
[解析] 设2
x
＝3
y
＝6
z
＝k(k≠1)，

< br>∴x＝log
2
k，y＝log
3
k，z＝log
6
k．
111
∴＝log
k
2，＝log
k
3，＝log< br>k
6＝log
k
2＋log
k
3．
xyz
111
∴＋＝．
xyz

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