初高中数学衔接教材参考答案

初高中数学衔接教材参考答案

第一讲 数与式的运算

1
例1. 解：原式=
[x
2
?(?2x)?]
2

3
111
?(x
2
)
2
?(?2x)
2< br>?()
2
?2x
2
(?2)x?2x
2
??2??( ?2x)
333

8221
?x
4
?22x
3?x
2
?x?
339

例2. 解：原式=
[a?( ?b)][a
2
?a(?b)?(?b)
2
]?a
3
?(? b)
3
?a
3
?b
3

例3. 解：（1）原式=
4
3
?m
3
?64?m
3

111
3
1
3
（2）原式=
(m)
3
?(n)
3
?m?n

521258
（3）原式=
(a
2
?4)(a
4
?4a
2
?4
2
)?(a
2
)
3
?43
?a
6
?64

（4）原式=
(x?y)
2
(x
2
?xy?y
2
)
2
?[(x?y)(x< br>2
?xy?y
2
)]
2


?(x3
?y
3
)
2
?x
6
?2x
3
y
3
?y
6

例4. 解：
?x
2
?3x?1?0

?x?0

?x?
1
?3

x
1111
原式=
(x? )(x
2
?1?
2
)?(x?)[(x?)
2
?3]?3( 3
2
?3)?18

xxx
x
例5. 解：
?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b




?
原式=
a?
b?ca?ca?b
?b??c?

bcacab

a(?a)b(?b)c(?c)a
3
?b
3
?c
3
?????
①
bcacababc
?a3
?b
3
?(a?b)[(a?b)
2
?3ab]??c(c< br>2
?3ab)??c
3
?3abc

?a
3
?b
3
?c
3
?3abc
②，把②代入①得原式=
?
3abc
??3

abc
例6. 解：(1) 原式=
|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1

(2) 原式=
|x?1|?|x?2|?
?
?
(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)
?
?
3(2?3)
2
2
?3
?6?33
例7. 解：(1) 原式=
3(2?3)
(2?3)(2?3)

a?ba
2
b?ab
2
?
(2) 原式=
abab
(3) 原式=
2
2x
?x?x
2
?2 ?2
2
x?2x?xx?22x?32x?xx

2?2
例8. 解：(1) 原式=
(1?b)
2
?(a)
2
?(a?2ab?b) ??2a?2ab?2b?1

(2) 原式=
a
a(a?b)
?
a
a(a?b)
?
2a

a?b
?
1
a?b
?
1
a?b


?
(a?b)?(a?b)
(a?b)(a?b)
例9. 解：
x?
2?3
2?3
?
(2?3)
2
2
2
?3< br>?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1

原式=
(x?y) (x
2
?xy?y
2
)?(x?y)[(x?y)
2
?3x y]?14(14
2
?3)?2702

例10. 解法一：
原式 =
x(x?1)
xxxx
???
2
??
2
1?x( 1?x)?xx
x?x?xx
x?
2
x?
x?
x?1
(x?1)(x?1)
x?1
x?1
x
x(x?1)
xxx
???
2
?
解法二：原式=
(1?x)?xx(1?x)x
x?x ?x
x?
x?x?
2
1
x?1
x?1
(x?)?x
x
x?1

x
x?1

x

例11. 解：
x
2
?3x?96xx?116x?1
?????
原式=
(x?3)(x
2
?3x?9)x(9?x
2
)
2(3?x)x?3 (x?3)(x?3)2(x?3)

2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x? 3)
2
3?x
???

2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)

练习
1． C 2． A
3． (1)
x
2
?9y
2
?16z< br>2
?6xy?8xz?24yz

(3)
1
a
3
?16b
3
4

4．
?2a?2a ??a
2(a?b)
a?b
?
2
2
?1
5．
mm 2xy
















3a
2
?5ab?3b
2
?4a?2b?1


(2)

第二讲 因式分解

例1. 解：(1) < br>8?x
3
?2
3
?x
3
?(2?x)(4?2x?x
2
)

(2)
0.125?27b
3
?0.5
3
?(3b)
3
?(0.5?3b)[0.5
2
?0.5? 3b?(3b)
2
]


?(0.5?3b)(0.25?1.5b?9b
2
)


例2. 解：(1)
3a
3
b?81b
4
?3b(a3
?27b
3
)?3b(a?3b)(a
2
?3ab?9b2
)
．
(2)
a
7
?ab
6
? a(a
6
?b
6
)?a(a
3
?b
3
)( a
3
?b
3
)


?a(a?b)(a
2
?ab?b
2
)(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
?a(a?b)(a?b)(a?ab?b)(a?ab?b)
2222

例3. 解：
2ax?10ay?5by?bx?2a(x?5y)?b(x?5y)?(x? 5y)(2a?b)

例4. 解：
ab(c
2
?d
2)?(a
2
?b
2
)cd?abc
2
?abd
2
?a
2
cd?b
2
cd



?(abc
2
?a
2
cd)?(b
2
cd?abd
2
)

?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)

例5. 解：
x
2
?y
2
?ax?ay?(x?y)(x? y)?a(x?y)?(x?y)(x?y?a)

例6. 解：
2x
2?4xy?2y
2
?8z
2
?2(x
2
?2xy?y< br>2
?4z
2
)


?2[(x?y)
2?(2z)
2
]?2(x?y?2z)(x?y?2z)

例7. 解：(1)
Q 6?(?1)?(?6),(?1)?(?6)??7


? x
2
?7x?6?[x?(?1)][x?(?6)]?(x?1)(x?6)
．
(2)
Q 36?4?9,4?9?13


? x
2
?13x?36?(x?4)(x?9)

例8. 解：(1)
Q ?24?(?3)?8,(?3)?8?5


? x
2
?5x?24?[x?(?3)](x?8)?(x?3)(x?8)

(2)
Q ?15?(?5)?3,(?5)?3??2


? x
2
?2x?15?[x?(?5)](x?3)?(x?5)(x?3)

例9. 解：(1)
x
2
?xy?6y
2
?x
2
?yx?6
2
?(x?3y)(x?2y)

(2)
( x
2
?x)
2
?8(x
2
?x)?12?(x
2< br>?x?6)(x
2
?x?2)


?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1)

例10. 解：(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)

2

3
4
?
?2
1

(2)
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)

22
1 2y
5?4y

?
例11. 解：
x
2
?6x?1 6?x
2
?2?x?3?3
2
?3
2
?16?(x?3)< br>2
?5
2


?(x?3?5)(x?3?5)?(x?8)(x?2)

例12. 解：
x
3
?3x
2
?4?(x
3
?1)?(3x
2< br>?3)


?(x?1)(x
2
?x?1)?3(x?1 )(x?1)?(x?1)[(x
2
?x?1)?3(x?1)]


?(x?1)(x
2
?4x?4)?(x?1)(x?2)
2


练习
1．
(a?3)(a
2
?3a?9),(2?m) (4?2m?m
2
),(2?3x)(4?6x?9x
2
),
?
11211
(2p?q)(4p
2
?2pq?q
2
) ,(2xy?)(4x
2
y
2
?xy?),(xy?2c)(x
2< br>y
2
?2xyc?4c
2
)
645525216
2．
x(x?y)(y
2
?xy?x
2
),x
n
(x? y)(x
2
?xy?y
2
),

a
2
(m?n?b)[(m?n)
2
?b(m?n)?b
2
],y
2
(x?1)
2
(x
4
?4x
3
? 3x
2
?2x?1)

3．
(x?2)(x?1),(x?36)( x?1),(x?13)(x?2),(x?9)(x?3)


(x?9)(x?3),(m?5n)(m?n),(a?b?4)(a?b?7)

4.
ax
3
(x?2)(x?8),a
n
(a?3b)(a?2b) ,(x?3)(x?1)(x
2
?2x?3),(x?3)(x?3)(x
2
?2)

(2x?3)(3x?1),(2x?y)(4x?15y),(7a?7b?2)( a?b?1),(2x?1)(3x?5)(6x
2
?7x?5)

5．(x?y)(3a?y),(2x?1)
2
(2x?1),(x?3)(5x?2y),( 2a?5b?6)(2a?5b?6)

(1?2x?y)(1?2x?y),ab(a?b)
2
(a?b),(x
3
?1?y
3
)(x
3
?1?y
3
),x(x?y)(x?y?1)


















第三讲 一元二次方程根与系数的关系

例1. 解：(1)
Q ??(?3)
2
?4?2?1?1?0
，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(2) 原方程可化为：
4y
2
?12y?9?0


Q ??(?12)
2
?4?4?9?0
，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：
5x
2
?6x?15?0


Q ??(?6)
2
?4?5?15??264?0
，∴ 原方程没有实数根．
例2. 解：
??(?2)
2
?4?3?k?4?12k

1
(1)
4?12k?0?k?
；
3
1
(3) 4-12k
?
0
?
k
?
；
3
1
；
3
1
(4) 4-12k＜0
?
k＞．
3
(2)
4?12k?0?k?
例3. 解：可以把所给方程看作为关于
x
的方程，整理得：
x
2
?(y?2)x?y
2
?y?1?0

由于
x
是实数，所以上述方程有实数根，因此：
??[?(y?2)]2
?4(y
2
?y?1)??3y
2
?0?y?0
，
代入原方程得：
x
2
?2x?1?0?x??1
．
综上知：
x??1,y?0

例4. 解：由题意，根据根与系数的关系得：
x
1
?x
2
??2,x
1
x
2
? ?2007

(1)
x
1
2
?x
2
2< br>?(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x< br>2
?(?2)
2
?2(?2007)?4018

(2)
x?x
2
11?22
??
1
??

x1
x
2
x
1
x
2
?20072007
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)?x
1
x2
?5(x
1
?x
2
)?25??2007?5(?2)?25 ??1972

(4)
|x
1
?x
2
|?(x< br>1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2)
2
?4x
1
x
2
?(?2)
2
?4 (?2007)?22008

例5. 解：(1) ∵方程两实根的积为5
1
2
?
2
??[?(k?1)]?4(k? 1)?0
?
3
?
4
?k?,k??4
∴
?< br>2
?
xx?
1
k
2
?1?5
12
?
?4
所以，当
k?4
时，方程两实根的积为5．
(2) 由
|x
1
|?x
2
得知：



①当
x
1
?0
时，
x
1
?x
2< br>，所以方程有两相等实数根，故
??0?k?
②当
x
1
?0< br>时，
?x
1
?x
2
?x
1
?x
2< br>?0?k?1?0?k??1
，由于

??0?k?
3
，故
k??1
不合题意，舍去．
2
3
；
2
综上可得，
k?

3
时，方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
2
3
例6. 解：(1) 假设存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x2
)??
成立．
2
∵ 一元二次方程
4kx
2
?4kx?k?1?0
的两个实数根
?
4k?0
?k?0
， ∴
?
2
?
??(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0
又
x
1
,x
2
是一元二次方程
4kx
2
? 4kx?k?1?0
的两个实数根
?
x
1
?x
2
?1
?
∴
?
k?1

xx?
12
?
4k
?
∴
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2< br>)?2(x
1
2
?x
2
2
)?5x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)
2
?9x1
x
2

k?939
???k?
，但
k?0
．
4k25
3
∴不存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
成立．
2

??

x
1
x
2< br>x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
4k4
(2) ∵
??2?

?2?? 4??4??
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
k?1k?1
∴ 要使其值是整数，只需
k?1< br>能被4整除，故
k?1??1,?2,?4
，注意到
k?0
，
要使
x
1
x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值为
?2,?3,?5
．
x
2
x
1

练习
1． B 2． A 3．A
7．
(1)??16m
2
?5?0 (2)
8．
(1)k?
3
2
(2)k?2

4． 3 5． 9或
?3

m??
1
2










第四讲 不 等 式
．1或4

6

例1. 解：原不等式可以化为：
(x?3)(x?2)?0
， ?
x?3?0
?
x?3?0
?
x??3
?
x? ?3
于是：
?
或
?
?
?
或
?
?x ??3或x?2

x?2?0x?2?0x?2x?2
????
所以，原不等 式的解是
x??3或x?2
．
例2. 解：(1) 原不等式可化为：
x< br>2
?x?12?0
，即
(x?3)(x?4)?0

?
x?3?0
?
x?3?0
于是：
?
或
?
??3?x?4

x?4?0x?4?0
??
所以原不等式的解是
?3?x?4
．
(2) 原不等式可化为：
?x
2
?4x?0
，即
x2
?4x?0?x(x?4)?0

?
x?0
?
x?0
于是：
?
或
?
?x?0或x?4

?
x?4?0
?
x?4?0
所以原不等式的解是x?0或x?4．
例3. 解：(1) 不等式可化为
(x?2)(x?4)?0

(2) 不等式可化为
(x?2)
2
?0

∴ 不等式的解是
?2?x?4

∴ 不等式的解是
x?2

17
(3) 不等式可化为
(x?)
2
??0
． ∴ 不等式无解。
24
例4. 解：显然
k?0
不合题意，于是：

?
k?0
?
k?0
?
k?0
???k?1

??
2
?
22
k??1或k?1
?
(?2)?4k ?0
?
k?1?0
?
?
?
k?0
?
k2
?1
?
?k?1
例5. 解：由题意得：
?
?1? 3?
k
?
3
?
(?1)?3??
?
k
?< br>例6. 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：

33
??
x?
?
2x?3?0
?
2x?3?0
?
x?
3
?
或?或??1?x?

22
????
2
?
x?1?0
?
x?1?0
?
?
x??1
?
?
x??1
解法(二) 原不等式可化为：
(2x?3)(x?1)?0??1?x?
3
．
2
13
(2) ∵
x
2
?x?1?(x?)
2
??0

24
原不等式可化为：
x?3?0?x??3


例7. 解：原不等式可化为：
?
(3x?5)(x?2)?0
1?3x?53x?55
?3?0??0?? 0?
?
?x??2或x??
x?2x?2x?23
?
x?2?0例8. 解：原不等式可化为：
m(m?2)x?m?2

(1) 当
m?2?0即m?2
时，
mx?1
，不等式的解为
x?
(2) 当
m?2?0即m?2
时，
mx?1
．



①
0?m?2
时，不等式的解为
x?
②
m?0
时，不等式的解为
x?
1
；
m
1
；
m
1
；
m
③
m?0
时，不等式的解为全体实数．
(3) 当
m?2?0即m?2
时，不等式无解．
综上所述：当
m?0
或< br>m?2
时，不等式的解为
x?
式的解为
x?
无解．
例9. 解：原不等式可化为：
(?k?1)x??k
2
?2
．
1
；当
0?m?2
时，不等
m
1
；当
m ?0
时，不等式的解为全体实数；当
m?2
时，不等式
m

?
?k?1?0
?
k??1
3
?
2
?
所 以依题意：
?
?k?2

??k??
?
3
1
2
k?1或?
??
??
?2
2
?
?k?1

练习
1．
(1)?
1
2
?x?0 (2)?3?x?6 (3)x??1 (4)x??3

2．
(1)x??1或x?1 (2)x?
1
2
或x?3 (3)x??2或x?0 (4)x??
1
2

3．(1) 无解 (2) 全体实数 4．
a?5,b?6
．
5．(1)当
m ?2
时，
x?
1?m
m?2
；(2)当
m?2
时，
x?
1?m
m?2
；
(3) 当
m?2
时，
x
取全体实数．
6．
k??1
7．
x?1














第五讲 二次函数的最值问题



例1. 解：作出函数的图象．当
x?1
时，
y
min
??4
，当
x??2
时，




y
max
?5
．

例2. 解：作出函数的图象．当
x?1
时，
y
max
??1
，当
x?2
时，
y
min

??5
．
由上述两例可以看到，二次函数在自变 量
x
的给定范围内，对应的图象是抛
物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最 大值，最低点的纵坐标即为函
数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量< br>x
的范围的图象形状各异．下
面给出一些常见情况：











例3. 解： 作出函数
y??x(2?x)?x
2
?2x
在
x?0
内的图 象．
可以看出：当
x?1
时，
y
min
??1
， 无最大值．
所以，当
x?0
时，函数的取值范围是
y??1
．
例4. 解：函数
y?
1
2
5
x?x?
的对称轴为
x?1
．画出其草图．
22
15
(1) 当对称轴在所给范围左侧 ．即
t?1
时：当
x?t
时，
y
min
?t
2
?t?
；
22
(2) 当对称轴在所给范围之间．即
t?1?t?1?0?t?1
时：
15
当< br>x?1
时，
y
min
??1
2
?1???3
；
22
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即
t?1?1?t?0
时：

当
x?t?1
时，
y
min
?





151
(t?1)
2
?(t?1)??t
2
?3
．
222
?
1
2
?
2
t?3,t?0
?综上所述：
y?
?
?3,0?t?1

?
15
?
t
2
?t?,t?1
2
?
2
在实际生活中，我们 也会遇到一些与二次函数有关的问题：
例5. 解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为
(x?30)
元，
那么
m
件的销 售利润为
y?m(x?30)
，又
m?162?3x
．

? y?(x?30)(162?3x)??3x
2
?252x?4860,30?x ?54

(2) 由(1)知对称轴为
x?42
，位于
x
的范围内，另抛物线开口向下

?
当
x?42
时，
y
max
??3?4 2
2
?252?42?4860?432

?
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432
元．

练习
l
2
2
3
m

1．4 ， 14或2， 2．
16
2
3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值
4．当
x?
6．当
x?
7 ．当
t??
9
，无最小值．
4
331
时，
ymin
?
；当
x??2
时，
y
max
?19< br>． 5．
y??5

48
3
52
时，y
min
?3?
；当
x?
或1时，
y
max< br>?3
．
6
63
5
时，
y
min
?0
．
4

例1. 解：由(1)得：
y?2x
(3)
将(3)代入(2)得：
x2
?(2x)
2
?3?0
，解得：
x
1
?1或 x
2
??1

把
x?1
代入(3)得：
y
2
?2
；把
x??1
代入(3)得：
y
2
??2
．
第六讲 简单的二元二次方程组
?
x
1
?1?
x
1
??1
或
?
∴原方程组的解是：
?
．
?
y
1
?2
?
y
1
??2

例2. 解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x
、
y
看成是方程
z
2
?11z?28?0
的两根，
解方程得：
z?4或z=7
．
?
x?4
?
x
1
?7
∴ 原方程组的解是：
?
1
．
或
?
?
y
1< br>?7
?
y
1
?4
例3. 解：由(1)得：
x2
?y
2
?5(x?y)?0?(x?y)(x?y)?5(x?y)?0?(x ?y)(x?y?5)?0

∴
x?y?0
或
x?y?5?0

?
x?y?5?0
?
x?y?0
∴ 原方程组可化为两个方程组：
?
2

或
?
222
?
x?xy?y?43
?
x?xy?y?43
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：

?
x
1
?? 1
?
x
2
?6
?
?
x
3
?43< br>?
?
x
4
??43
,,,

????
?
y
1
??6
?
y
2
?1
?
?
y
4
?43
?
y
3
??43
?
例 4. 解：(1) –(2)
?3
得：
x
2
?xy?3(xy?y< br>2
)?0

即
x
2
?2xy?3y
2
?0?(x?3y)(x?y)?0

∴
x?3y?0或x?y?0

?
x?3y?0
?
x?y?0
,
?
∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：
?
．
22
?
xy?y?4< br>?
xy?y?4
?
x
1
?3
?
x
2
??3
,
?
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
?
．
y?1y??1
?1
?
2
x
2
?y
2
?2xy?36?(x?y )
2
?36?x?y?6或x?y??6
，例5. 解：(1) +(2)
?2
得：
(1) -(2)
?2
得：
x
2
?y
2
?2xy?16?(x?y)
2
?16?x?y?4或x ?y??4
．
解此四个方程组，得原方程组的解是：

?
x
1
?5
?
x
2
?1
?
x
3
??1
?
x
4
??5

,
?
,
?
,
??
?
y
1
?1
?y
2
?5
?
y
3
??5
?
y
4
??1
例6. 解：(1)
?3?(2)
得：
3x?y?1?y?3x?1 (3)

代入(1)得：
x(3x?1)?x?3?3x
2
?3?x
1
?1或 x
2
??1
．
分别代入(3)得：
y
1
?2或y
2
??4
．
?
x
1
?1
?
x
2
??1
∴ 原方程组的解是：
?
．

或
?
y?2y??4
?
1
?
2


练习
?
8
?
x?
?
x
1
?2
x
1
??3
?
x
2
?2x
1
?0
?
x?4
??
?
??
3
1．
(1)
?
,
?
,(2)
?
,
?
,(3)
?
,(4)
?
?
y??3
?
y
1
??3< br>?
y
2
?2
?
y
1
?2
?
y??
2

?< br>y?
2
1
?
?
3
?
?
10
?
10
x??
?
2
2
,
?
2
< br>?
10
?
10
y??
2
4
?
?4< br>2．
(1)
?
?
x
1
??1
?
x
2
??2
?
x?3
?
x
2
??2

,
?
,(2)
?
1
,
?
?
y1
??2
?
y
2
??1
?
y
1
??2
?
y
2
?3
3
?
7
?
13
x?
?
2
?
x
1
?3?1
?
?
x
2
??1?3
?
x< br>3
??2
x?x?
?
x
1
?0
?
? ?
1
?
2
?
2
,
?
,(2)
?< br>,
?
,
?
,
3．(1)
?
3
,< br>?
3
,(3)
?
y
1
?3?1
?
y
2
?1?3
?
y
3
?2
?
y
1< br>??1
?
y?
5
?
??
??
y??1y?? 4
?
1
?
2
2
?
?4
1
?
1
?
x?x?
?
x
4
?2
?
x
1
?0
?
?
2
2
?
?
3
2
?
x
4
?1
,(4)
?
,
?
,
?
,
?
．
?
y??2y?011y?0
?
4< br>?
1
?
y?
?
y??
?
4
3
?
2
2
?
??2

?
?
x
1
?
?
4．(1)
?
?
y?
1
?
?
6
?
6
?
6
?
6
x?x??x??
?
2
?
3
?
42
,
?
2
,
?
2
,
?
2．(2)
?
x?4
．
???
?
6
?
6
?
6
?
6
?
y?3
y
2
?? y
3
?y
4
??
???
2?2?2?2

例1. 解：原方程可化为：

14x2
???1

x?2(x?2)(x?2)x?2
第七讲 分式方程和无理方程的解法
方程两边各项都乘以
x
2
?4
：

(x?2)?4x?2(x?2)?x
2
?4

即
3x?6?x
2
?4
， 整理得：
x
2
?3x?2?0

解得：
x?1
或
x?2
．

检验：把
x? 1
代入
x
2
?4
，不等于0，所以
x?1
是原方程 的解；
把
x?2
代入
x
2
?4
，等于0 ，所以
x?2
是增根．
所以，原方程的解是
x?1
．
x
2
?y
，则原方程可化为：
y
2
?3y?4?0
解得
y?4
或
y??1
．例2. 解：设
x?1
x
2
?4
， (1)当
y?4
时，去分母， 得
x
2
?4(x?1)?x
2
?4x?4?0?x?2
；
x?1

x
2
?1?5
??1?x
2
?? x?1?x
2
?x?1?0?x?
(2)当
y??1
时，．
x?12
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，
x?2
，
x?
?1?5
都是原方程的解．
2
x
2
?11
x
2
?2x
?

?y
，则
2
例3. 解：设
2
x?2x
y
x?1
原方程可化为：
8y?
33
?11?8y
2
?11y?3?0?y?1或y?
．
y8< br>x
2
?2x1
?1?x
2
?2x?x
2
?1 ?x??
； (1)当
y?1
时，
2
2
x?1
2< br>3
时，
x
2
?2x
?
3
?8x
2< br>?16x?3x
2
?3?5x
2
?16x?3?0?x??3或x??
1
．
8
5
x?1
8
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
11
所以，原方程的解是
x??
，
x??3
，
x??
．
25
(2)当
y?


例4. 解：移项得：
x?7?x?1

两边平方得：
x?7?x
2
?2x?1

移项，合并同类项得：
x
2
?x?6?0

解得：
x??3
或
x?2

检验：把
x??3
代入原方程，左边
?
右边，所以
x??3
是增根．
把
x?2
代入原方程，左边 = 右边，所以
x?2
是原方程的根．
所以，原方程的解是
x?2
．
例5. 解：原方程可化为：
3x?2?3?x?3

两边平方得：
3x?2?9?6x?3?x?3

整理得：
6x?3?14?2x?3x?3?7?x

两边平方得：
9(x?3)?49?14x?x
2

整理得：
x< br>2
?23x?22?0
，解得：
x?1
或
x?22
．
检验：把
x?1
代入原方程，左边=右边，所以
x?1
是原方程的根．
把
x?22
代入原方程，左边
?
右边，所以
x?2 2
是增根．
所以，原方程的解是
x?1
．
例6. 解：设x
2
?5x?1?y
，则
x
2
?5x?1?y
2
?3x
2
?15x?3(y
2
?1)

原方程可化为：
3(y
2
?1)?2y?2
，
5
即3y
2
?2y?5?0
，解得：
y?1
或
y??
．
3
(1)当
y?1
时，
x
2
?5x?1? 1?x
2
?5x?0?x??1或x?0
；
5
(2)当
y??
时，因为
x
2
?5x?1?y?0
，所以方程无解．
3
检验：把
x??1,x?0
分别代入原方程，都适合．
所以，原方程的解是
x??1,x?0
．

练习
1．
(1)x??1 ,(2)x??1,x??21,(3)y?0,y?1,(4)x?3,x??5

2．
x??2

3．
(1)x??1,(2)x?6 ,(3)x?
5?3?3?5
（1）x=-1，（2）x=6，（3）x=
22
4．(1)
x?5
．(2)
x?20
．
5．
(1)x?9,(2)x?1,x??4














第八讲 直线、平面与常见立体图形

例1. 解：正方体有6个面，12条棱，8个顶点，18对平行棱。
1
?
(2?1)
?
43
3
例2. 解：① ② ； ③
2
?
；
6
?

例3. 解：

图一 图二
例4. 解：可以，如图

过A、B
1
、D
1
的 截面为正三角形，过A、A
1
、C、C
1
的截面为长方形

设M、N、P、Q、R、S为对应棱的中点，则MNPQRS恰为正六边形
练习
1. （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2. （1）





AN
D
P
B
C
M
Q
A
1
D
1
S
B
1
R
C
1

l
a
（2）

l
p
B
（3）


B
a

4
3
?
R
2
4
?
R
3
3. ；



第九讲 直线与圆，圆与圆的位置关系
弧BD=弧AD，O是圆心，
?OD?B,BE?AE?
1
AB?3cm.

2

例1. 解：连结
OD
，交
AB
于点
E
。
在Rt
?
BOE中，
OB
=5cm,
BE
=3cm,?OE?OB
2
?BE
2
?4cm.

QOD?5cm,?DE?1cm.

图3.3-5
在Rt
?
BED中，
BE
=3cm,
DE
=1cm,
?BD?10cm.



例2. 解：设圆的半径为
r
，分两种情况
（如图3.3-6）：
（1） 若
O
在两条平行线的外侧，
图3.3-6

如图（1），
AB
=
46
，
CD
=6，
则由
OM-ON=3< br>，得
r
2
-9-r
2
-24=3
，解得
r= 5
.
（2）若
O
在两条平行线的内侧（含线上），
AB=
46
，
CD
=6，
则由
OM+ON=3
， 得
r
2
-9+r
2
-24=3
，无解.
综合得，圆的半径为5.

例3. 解： 连
AB
交
O
1
O
2
于
C
， 则
O
1
O
2
?AB
，且
C
为
AB
的中点，

设
AC?x
，
图3.3-8
则
O
1
C?9?x
2
,O
2
C?4?x
2
,O
1
O
2
?9?x
2
?4?x
2
?4
，解得
x?
315
.
4
315
.
8
故弦
AB
的长为
2x?

练习
1．取
AB
中点
M
，连
CM
，
MD
，则
CM?AB,DM?AB
，且
C，O，M，D
共线，
OM?17
2< br>?15
2
?8,CM?25,DM?9,
AC?534cm,BD?334cm
.
2．
O
到
AB，CD
的距离分别为3cm,4cm，梯 形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7
或49
cm
2
.
3. 半径为3cm，
OE
=2cm.,
OF
=
3,CD?26cm
.
4.外公切线长为12，内公切线长为
123
.
11