初高中数学衔接资料整理教材

初高中数学衔接教材


现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”
的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许
多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、 分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是
高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初 中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高
中贯穿始终的重要内容。配方、作简 图、求值域、解二次不等式、判断单调区
间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必 须掌握的基本
题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关 系（韦达定理）
在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在
高 中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却
未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对
其图像的上、下；左、右平 移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须
掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式 ，初中不作要求，只作定量研究,而高
中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为 高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定
理， 射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知
识的讲授。

目 录


1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.４ 分式
1．2 分解因式

2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数
y< br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹

１

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值 是它的相反
数，零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距
离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得
x
＜0，
又
x
＜1，
∴
x
＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的
x
；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得
x
＞4．
又
x
≥3，点
B
之间的距离|
PB
|，即|
PB
|＝|
x
－3|．
所以，不等式
‘
由|
AB
|＝2，可知
点
P
在点
C
(坐标为0)的左侧、或点
P
在点< br>D
(坐标为4)的右侧．

x
＜0，或
x
＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
，则
x
=_________；若
x??4
，则
x
=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则
b
＝________；若
1?c?2
，则
c
＝________.


２

2．选择题：
下列叙述正确
（ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|
x
－ 5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．
1.1.2. 乘法公式
的是
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x?1)?x
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1111
9423
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
（1）
a
2
?b
2
?(b?a)
（ ）；
（3）
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
2．选择题：
1
2
（1）若
x
2
?mx?k是一个完全平方式，则
k
等于
（ ）
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
（2）不论
a
，
b

３
11
2
m

316
为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值
1
4