关于初高中数学衔接教材

关于初高中数学衔接教材

初高中数学衔接教材

第一讲 因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取
公因式法 、公式法、分组分解法，另外还应了解
求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）
x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x
2
分解成
图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与
－2的乘积，而图中的对角 线上的两个数乘积的
和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所以，
有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．




x
x
－
－
图1．1
1
－
1
－
图1．1
1
－
x
－
1
6
x
－
图1．1
图1．1

开滦二中初高中数学衔接教材

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式
时，可以直接将图1．1－1中的两个x用 1来表
示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．1－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

图1．1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）
x?5x?6?
（2）
x?5x?6?
（3）
x?5x?6?

（4）
x?5x?6?
（5）
x?
?
a?1
?
x?a?
（6）
x?11x?18?

（7）
6x?7x?2?
（8）
4m?12m?9?
（9）
5?7x?6x?

（10）
12x?xy?6y?

二、把下列各式分解因式
（1）x
2
＋6x＋8；
（2）
3x?4xy?y
；
(3)
2y?4y?6
(4)
b?2b?8

22
2
（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
x
y
－
1
2
2
2
22
2< br>22
22
2
42

开滦二中初高中数学衔接教材
(5)
a
2
?8ab?33b
2




2.1 解一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次
方程的根的求法，
如求方程的根（1）
x?2x?3?0
(2)
x?2x?1?0
(3)
x?2x?3?0
}

我们知道，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0
（a≠0），用配方法可以将其变形为

(x ?
2
b
a
)?
b
4
?
a
4ac< br>． ①
22
2
2
2
2
因为 a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1）当b
2
－4ac＞0时， 方程①的右端是一个
正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
b?4ac
x
1
，
2
＝
?b?
2
；
a
2< br>（2）当b
2
－4ac＝0时，方程①的右端为零，
因此，原方程有两个等的实 数根
x
1
＝x
2
＝－
2
b
a
；
（3 ）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个
负数，而方程①的左边
(x?
2
b
a
)
一定大于或等于零，
2
因此，原方程没有 实数根．

开滦二中初高中数学衔接教材
由此可知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0
（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac来判定，我< br>们把b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0
（ a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝
0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数
根
b?4ac
x
1
，
2
＝
?b?
2
；
a
2
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
2
b
a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况
（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方
程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax
－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－
2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程
没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)
＝a
2
＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
a?a?4a?a?4
x?x?
， ．
22
22
12
（3）由于该方程的根的判别式为

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Δ＝a
2
－4×1×(a－1 )＝a
2
－4a＋4＝
(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的
实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等
的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，
方程有两个不相等的实数根

x?1?1?a
，
x?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的
实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别
式的 符号随着a的取值的变化而变化，于是，在
解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这
一方 法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是
高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题
中会 经常地运用这一方法来解决问题．
一、解下列方程：
12

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1、
x?4x?1?0
2、
5x?2??x

二．1、当
m?
时，关于
x
的方程
?
m?2
?
x?4mx?2m?6?0
只 有一个实数根，此根
为 。
2、若关于
x的方程
mx?
?
2m?1
?
x?m?1?0
有两个实数 根，
那么
m
的取值范围是 。
3、若方程
x?3x?m ?0
没有实数根，那么
m
的取值范
围是 。
4、已知方 程
2x?4x?m?0
有两个不相等的实数根，
那么
m
的取值范围是 。
5、已知方程
3kx?12x?k??1
有两个相等的实数根，
222
2
2
2
2
那么
k
3
?1
的 值是（ ）
A、
26
B、
?65
C、
63
D、
26
或
?65





2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两
个实数根
b?4ac?b?b?4ac
x?

x?
?b?
2
，，
a2a
22
12
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
x
1
?x
2
?????
2a2a2aa
；

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?b?b
2?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac) 4acc
x
1
x
2
????
2
?
2
2a2a4a4aa
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列
关系：
如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，
c
x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
b
，xx
1
·
2
＝．这一关系也被
aa
称为韦达定 理．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的
另一个根及k的值．
分 析：由于已知了方程的一个根，可以直接
将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一
个根． 但由于我们学习了韦达定理，又可以利用
韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及
方程的 二次项系数和常数项，于是可以利用两根
之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k
的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x
2
－7x－6＝0，解得x
1< br>＝2，
3
x
2
＝－
5
．
2
3
所以，方程的另一个根为－
5
，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
3
＝－
6
，∴x
1
＝－．
55
3
由 （－
5
）＋2＝－
k
，得 k＝－7．
5
3
所以，方程的另一个根为－
5
，k的值为－7．

开滦二中初高中数学衔接教材

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求
这两个数．
解法一：设这两个数
解法二：设
由韦达定理可知，这两个数是方
分别是x，y，
程
x－4x－12＝0
则 x＋y＝4，
的两个根．










解这个方程，得
①
x＝－2，x＝6．
xy＝－
所以，这两个数
12． ②
是－2和6．
由①，得 y＝4－
x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
?
x??2,
?
x?6,
∴
?
y?6,
或
?
y??2.

2
12
12
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法
二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x
－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
（2）求x

2
+ x

2
的值；
（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解：∵x< br>1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－

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3＝0的两根，
∴
x?x? ?
5
，
xx
2
12
2
12
??
3
2
．
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
3
－4 x
1
x
2
＝
(?
5
)?4?(?)

22
49
＝
25
＋6＝，
44
∴| x
1
－x
2
|＝
7
．
2
（3）x1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x
1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
5
2
3
＝(－
5
)×[(－)－3×(
?
)]＝－
222
215< br>8
．

例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－
4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a
的取值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0，
①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞
0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．∴a的取值范围是a
4
＜4．
练 习
1．选择题：

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（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是
（ ）
（A）有一个实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根
（D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝
0有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是
（ ）
1
（A）m＜
4
22
（B）m＞－
1

4
（C）m＜
1
4
，且m≠0
（D）m＞－
1
，且m≠0
4
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
11
?
＝ ． 和x
2
，则
xx
12
（2）方程mx2
＋x－2m＝0（m≠0）的根的
情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程
是 ．
4．已知方程x
2
－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，求
(x
1
－3)( x
2
－3)的值．

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习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2 ＝0的一个
根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3
（C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，
两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，
两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两
根之积为
?
7
；
3
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，
两根之积为0．
其中正确说法的个数是
（ ）
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2

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（A）0 （B）1
（C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，
则k＝ ．
（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则
α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ ax－3a＝0的
一个根是－2，则它的另一个根是
．

开滦二中初高中数学衔接教材
（4）方程2x
2
＋2x－1 ＝0的两根为x
1
和x
2
，
则| x
1
－x
2
|＝ ．

3．试判定当m取何 值时，关于x的一元二次方
程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的
实数根？有两个相等的实数根？没有实数
根？
4．求一个 一元二次方程，使它的两根分别是方
程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．

开滦二中初高中数学衔接教材







2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象和性质

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次
函数的图象，
如作图（1）
y?x
(2)
y??x
(3)
y?x?2x?3
教师可
采用计算机绘图软件辅助教学}

问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在
怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，
22
y＝
1
x，y＝－2x的图象，通过这些函数图象与
2
222
函数y＝x
2
的图象之间的关系，推导出函数y＝
ax
2
与y＝x
2
的图象之间 所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x
2
… 9 4 1 0 1 4 9 …
2x
2
… 18 8 2 0 2 8 18

开滦二中初高中数学衔接教材
从表中不难看出，要得到2x
2
y
y
＝
2
的值， 只要把相应的x的值扩
y
＝
大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到< br>了函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象
x
（如图2－1所示），从图2－1
O
图
我们可以得到这两个函数图象
之间的关系：函数y＝2x
2
的图象可以由函数y＝
x
2
的图象各 点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y
22
＝
1
x，y＝－2x的图象，并研究这两个函数图
2
象与函数y＝x
2
的图象之间的关系．
y
通过上面的研究，我们可
以得到以下结论： < br>y
＝2(
x
二次函数y＝ax
2
(a≠0)的图
y< br>＝2(
x
y
＝
象可以由y＝x
2
的图象各点
的纵坐标变为原来的a倍得
到．在二次函数y＝ax
2
(a≠0)
x
－1
中，二次项系数a决定了图
O
象的开口方向和在同一个坐
图
标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a (x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象
之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之
间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作
出函数y＝2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象（如图2

开滦二中初高中数学衔接教材
－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要
把函 数y＝2x
2
的图象向左平移一个单位，再向上
平移一个单位，就可以得到函数y＝2 (x＋1)
2
＋1
的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，
位置不同” 的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－
3(x－1)< br>2
＋1的图象，研究它们图象之间的相互
关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋ k(a≠0)中，a决定了二
次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函
数图象的左右平移 ，而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上
移，k负下 移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y
＝ax
2
＋bx＋c( a≠0)的图象的方法：
b
2
由于y＝ax
2
＋bx＋c＝a(x
2
＋
b
x
)＋c＝a(x＋
x
aa
＋b
2
4a
2
)＋c－
b
2
b
2?4ac
?a(x?)?
2a4a
b
2
4a
，
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是
将函数y＝ax< br>2
的图象作左右平移、上下平移得到
的，于是，二次函数y＝ax
2
＋ bx＋c(a≠0)具有下
列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax
2
＋ bx＋c图象
?b
)
，开口向上；顶点坐标为
(?
2
ba
,
4ac
对称轴为直线
4a
2

开滦二 中初高中数学衔接教材
x＝－
2
b
a
；当x＜
?
2
b
a
时，y随着x的增大而减小；
当x＞
?
2
b
a
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
2
b
a
时 ，函数取最小值y＝
4ac?b
2
4a
．
2
（2）当a ＜0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象
?b
)
，开口向下；顶点坐 标为
(?
2
b
a
,
4ac
对称轴为直线
4 a
x＝－
2
b
a
；当x＜
?
2
b
a
时，y随着x的增大而增大；
当x＞
?
2
b
a
时 ，y随着x的增大而减小；当x＝
?
2
b
a
时，函数取最大值y＝< br>4ac?b
2
4a
．
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2 －3
和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解
b4ac?b
(?,)

A
y
y
x
＝－
决二次函数问题时，可以借助于函数图像 、利用
2a4a
数形结合的思想方法来解决问题．


O
x
O
x
?b

)

A
(?
2
b
a
,
4ac
x
＝－
4a

图
图










2
2

开滦二中初高中数学衔接教材




例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开
口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），
并指出当x取何值时， y随x的增大而增大（或
减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x
2
－6x＋1＝－
A
(－
y
2
3(x＋1)＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
D
(0,
顶点坐标为(－1，4)；
O
B
x
当x＝－1时，函数y取
C
最大值y＝4；
x
＝
图当x＜－1时，y随着x
的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而
减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与
?323?3
,0)
和C
( ?,0)
，x轴交于点B
(
23
与y轴的交点
33
为D(0 ，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到
的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减
少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

2
函数
y
＝
ax
＋
bx
＋c
图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a决

开滦二中初高中数学衔接教材
定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为
x??
2
b
a

（3） 确定图象与x轴的交点情况，①若
△>0则与x轴有两个交点，可由方程
x< br>2
＋
bx
＋
c=0
求出②①若△=0则与x轴
2有一个交点，可由方程
x
＋
bx
＋
c=0
求
出 ③①若△<0则与x轴有无交点。
（4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0
得出y=c，所以交点坐标为（0，c）
（5） 由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图
（1）
y?x?x?6
(2)
y?x?2x?1
(3)
y??x?1


练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的
是 （ ）
（A）y＝2x
2
（B）
y＝2x
2
－4x＋2
（C）y＝2x
2
－1
（D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2

（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2
个单位得到的
222

开滦二中初高中数学衔接教材
（B）向右平移2个单位、再向上平移1
个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1
个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1
个单位得到的
2．填空题
（1） 二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐
标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m
＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；
当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴
上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口
向 ，对称轴为 ，顶点
坐标为 ；当x＝
时，函数取最 值y＝ ；当
x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线 的开口方向、对称轴、顶
点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并
画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y
＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x
在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最
小值，并求当函数取最 大（小）值时所对应的自

开滦二中初高中数学衔接教材
变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）
0≤x≤3．



2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可
以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点
坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种< br>形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先
来研究二次函数y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)的图象与x
轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c (a≠0)与x轴相交时，
其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax
2
＋bx＋

开滦二 中初高中数学衔接教材
c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，
不难发现， 抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交
点个数与方程①的解的个数有关，而 方程①的解
的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有
关，由此可知 ，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x
轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4ac存在下列
关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c (a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成
立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，
若抛物线y ＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交
点，则Δ＝0也成立．
（3 ）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴没有交点；反过来，若 抛物线y＝ax
2
＋bx
＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

开滦二中初高中数学衔接教材
于是，若抛物线y＝ax
2
＋ bx＋c(a≠0)与x轴有
两个交点A(x
1
，0)，B(x
2
， 0)，则x
1
，x
2
是方程
ax
2
＋bx＋c＝0 的两根，所以
c
x
1
＋x
2
＝
?
b
，xx＝，
12
aa
c
即
b
＝－(x＋x)， ＝x
121
x
2
．
aa
所以，y＝ax
2＋bx＋c＝a(
x
2
?
bc
x?
aa
)
= a[x
2
－(x
1
＋x
2)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于
A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函数关系式 可以
表示为y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方
法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中
x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根
据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交< br>点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的< br>顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，
－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出

开滦二中初高中数学衔接教材 < br>的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次
函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出< br>系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定
是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)?1
，解得a＝－2．
∴二次函数的解析式为
y??2(x?2)?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时 ，由最大值确定出顶点的纵坐
标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出
二次函数的顶点式 ，最终解决了问题．因此，在
解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地
利用条件简捷地解 决问题．

练 习
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点
个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）
2个 （D）无法确定
2
2
2

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1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是
2
（ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）
(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函 数的图象经过与x轴交于点
(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析
式可设为y＝a
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象
与x轴两交点之间的距离为 ．