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初高中数学衔接校本教材汇编整理(Word版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 04:36
tags:高中数学教材

高中数学最难点排行-高中数学边化角公式


《初高中数学衔接教材》序言



高一新生,你们好,祝贺大家考入xx中学!
进入我校,同学们必须努力学好 《初高中数学衔接教材》,理由如下:一方
面,由于我校是普通农村高中学校,生源质量相对较差;另一 方面,由于高中
数学是初中数学的延伸与拓展,初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要,那么我们应该如何学习呢?
提几点建议:
一、“信心”是源泉。人缺乏信心,就丧失了驱动力,终将一事无成。
二、“恒心”是保障。人缺乏恒心,将“三天打鱼,两天晒网”。
三、“巧心”是支柱。人无巧心,就缺乏灵气和创造力。
最后,衷心祝愿同学们在《 初高中数学衔接教材》的学习中获得成功,请
将那么成功的经验及时告诉我们,以便让更多的朋友分享你 们成功的喜悦!
















高一数学校本教材



结合我校学生的实际情况 ——基础知识较差,能力较差,没有掌握较好的学习方法,特设计适合我
校高一学生使用的校本教材。主 要包括以下两个内容:一是《怎样学好数学》,二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学?
A.要学好数学,就应该了解数学本身具有的三大特点。(一)抽象性:数学的抽象性是无条件的,它
的 概念一经产生和定义之后,就稳定下来并且被看作是已知的,它们与现实的比较不是数学本身,而是
它的 应用问题。(二)严谨性:由于数学的严谨性,人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。罗素说:
“ 数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也是具有至高的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的
美, 这种美不是投合我们天性的微弱的方 面,这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净
到崇 高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”(三)应用的广泛性:
在任 何一个领域,只要能从数学的角度提出问题,数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案,数
学的这 种威力恰恰是来源于它的抽象性。
B.要学好数学,就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的 学习是一个潜移默化的过程,是在
多次领悟、反复应用的基础上形成的,所以一道题做完后,就应该进行 反思,回味解题中所使用的思想
方法。这正是一个理想的领悟机会,也是我们自己反思、归纳、总结,提 炼升华的基础。解析几何的创
建者笛卡儿说得好:“走过两遍的路就是方法”。解题时走了一遍,解题后 又走了一遍,这就是两遍。这
么一来,这道题在你手里就不再是一道题,而是一种方法。
C. 要学好数学,就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说,解题过程是解题者面临新问题,
而自己 没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动,主要是思维过程对思维活动这一系列
过程的反 映,在信息上就是收集、存储、加工和应用;在知识体系上就是联系、转换和应用过程;在解
题策略上就 是方法的选择和调整过程。
D.要学好数学,就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如:数学 大师——欧拉,
60
多岁双
目失明,一场大火又吞没了他的研究成果,他毫不气馁,发 誓说:“如果命运是块玩石,我就化作大铁锤,
将它砸得粉碎!”此后
17
年,他在黑 暗中摸索奋斗,又发表了
400
多篇论文和多部专著。
E.要学好数学,就应该学会 辩证思维。所谓辩证思维,就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考,
用辩证法来揭示事物的本质, 这种思维方法能使学习和研究问题更加深入,更加触及数学本质;它既是
思维发展最活跃,最富有创造性 的高级阶段,也是辩证法在中学数学中的生动体现。因此,在解题时,
应善于运用辩证思维方法分析问题 ,从而制定解题策略,把握解题规律。
F.要学好数学,就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自 学能力,就能广泛猎取知识,见多识广,
利于开发智力,提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能 力、独创思维能力以及运用能力等。
G.
要学好数学,就应该加强训练。要真真正正地做到: 勤于动手,勤于动脑,积极思考,勇于探索,
大胆实践。
H.
要学好数学,还应该注 重多看一些有关的参考资料。目的:加深对教材知识的理解,开阔自己的
知识视野,进一步提高自己分析 问题、解决问题的能力,进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在
解题中的重要作用。对于一些好的 解(证)法也应单独摘录出来;对于一些归纳、总结性的结论及一些
常用技巧等也应摘录出来(此外,对 于自己做题中所出现的一些典型错误,不但要摘录出来,而且要彻
底搞清错误的根源及如何准确求解)。 这样做,对于学习数学来说,也是一种提高!
最后,愿与各位同学共勉:相信自我,战胜自我,超越自我!!
要踏,就请踏一路青春的风采;要走,就请走一程无怨无悔的人生!
初高中数学衔接



前言

现有初高中数学知识存在以下“脱节”:
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三
次或高次多项式因式分解几乎不 作要 求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有 理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的
解题技巧。
4.初中教材 对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求 值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等
是高中数学必须掌握 的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理) 在初中不作要求,此类
题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式 与二次方程相互转化
被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。
6.图像的对称、平移 变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右
平移,两个函数关于原点, 轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究, 而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.几何 部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定
理等)初中生 大都没有学习,而高中都要涉及。
另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

第一讲 数与式(一)

1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到 原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示在数轴上,数
a
和数
b
之间的距离.
例1 解不等式:
x?1?x?3
>4.








练 习
1.填空题:
(1)若
x? 5
,则
x
=_________;若
x??4
,则
x
=_________.
(2)如果
a?b?5
,且
a??1
, 则
b
=________;若
1?c?2
,则
c
=____ ____.


2.选择题:
下列叙述正确的是 ( )
(A)若
a?b
,则
a?b
(B)若
a?b
,则
a?b

(C)若
a?b
,则
a?b
(D)若
a?b
,则
a??b

3.化简:|
x
- 5|-|2
x-
13|(
x
>5).





1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3

(2)立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3

(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)

(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3

(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1 计算:
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)





例2 已知
a?b?c?4

ab?bc ?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值.





练 习
1.填空题:
(1)
1
9
a
2
?
1
4
b
2?(
11
2
b?
3
a)
( );
(2)
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)

(3)
(a?2b?c)
2
?a
2?4b
2
?c
2
?(

)

2.选择题:
(1)若
x
2
?
1
2
mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于 (
(A)
m
2
(B)
1
4
m
2
(C)
1
2
1
2
3
m
(D)
16
m

(2)不论
a

b
为何实 数,
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 (
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数





1.1.3.二次根式
一般地,形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为
无理式. 例如
3 a?a
2
?b?2b

a
2
?b
2
等是无 理式,而
2x?
等是有理式.
1.分母(子)有理化
把分母(子)中的根 号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理
化因式的概念.两个含有二 次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数
式互为有理化因式,例如2

2

3a

a

3?6

3?6

23?32

23?32

等等. 一般地,
ax

x

ax?by

ax?by
ax?b

ax?b
互为有理化因式.
分母有理化的方法是 分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理
化则是分母和分子都乘以分 母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多 项式乘法进行,运算中要运用公式
2
2
x?1

x
2
?2xy?y
2

a
2
2
ab?ab(a?0,b?0)
;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进
行运算;二次根式的 加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式:
(1)
12b
; (2)
a
2
b(a?0)
; (3)
4x
6
y(x?0)




例2 计算:
3?(3?3)







例3 试比较下列各组数的大小:
(1)
12?11

11?10
; (2)




例4 化简:
(3?






2

22-6
.
6?4
2)
2004
?(3?2)
2005


例 5 化简:(1)
9?45
; (2)
x?








例 6 已知
x?




练 习
1.填空题:
(1)
2
1
?2(0?x?1)

x
2
3?23?2
22
,求
3x?5xy?3y
的值 .
,y?
3?23?2
1?3
=__ ___;
1?32
(2)若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x
,则
x
的 取值范围是_ _ ___;
(3)
424?654?396?2150?
__ ___;
(4)若
x?
2.选择题:
5
x?1?x?1x?1?x?1
,则
??
______ __.
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 ( )
?
x?2
x?2
(A)
x?2
(B)
x?0
(C)
x?2
(D)
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
3.若< br>b?
,求
a?b
的值.
a?1
等式
4.比较大小:2-3 5-4(填“>”,或“<”).




第二讲 数与式(二)
1.1.4.分式
1.分式的意义
形如
AAA
的式子,若
B
中含有 字母,且
B?0
,则称为分式.当
M
≠0时,分式具有下列性质:
BBB


AA?MAA?M

?

?
BB?MBB?M
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式
a
m?n?p

b
,这样,分子或分母中又含有分式的 分式叫做繁分式.
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若,求常数
A,B
的值.
x(x?2)xx?2





111
??
(其中
n
是正整数);
n(n?1)nn?1
111
(2)计算:;
???
1?22?39?10
1111
????
. (3)证明:对任意大于1的正整数
n
, 有
2?33?4n(n?1)2
例2 (1)试证:









例3 设
e?







c
22
,且
e
>1,2
c
-5
ac
+2
a
=0,求
e
的值.
a

练 习
1.填空题:
对任意的正整数
n

2.选择题:

1
11
?
(
?
).
n(n?2)
nn?2
2x?y2
x
?
,则= ( )
x?y3
y


546
(C) (D)
455
x?y
22
3.正数
x,y
满足
x ?y?2xy
,求的值.
x?y
1111
4.计算.
???...?
1?22?33?499?100
(A)1 (B)


习题1.1
A 组
1.解不等式:
(1)
x?1?3
; (2)
x?3?x?2?7

(3)
x?1?x?1?6

2.已知
x?y?1
,求
x?y?3xy
的值.
3.填空题:
1819
(1)
(2?3)(2?3)
=________;
33
(2)若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
,则< br>a
的取值范围是________;
(3)

B 组
1.填空题:
11111
?????
________.
1? 22?33?44?55?6
3a
2
?ab
11
?
____ ____; (1)
a?

b?
,则
22
3a?5ab?2 b
23
x
2
?3xy?y
2
22
?
__ __; (2)若
x?xy?2y?0
,则
x
2
?y
22.已知:
x?
yy
11
?
的值.
,y?
,求
23
x?yx?y
C 组
1.选择题:
(1)若
?a?b?2ab??b??a
,则 ( )
(A)
a?b
(B)
a?b
(C)
a?b?0
(D)
b?a?0

1
等于 ( )
a
(A)
?a
(B)
a
(C)
??a
(D)
?a

11
2
2.解方程
2(x?
2
)?3(x?)?1?0

xx
1111
????
3.计算:.
1?32?43?59?11
111
1
???
4.试证:对任意的正整数
n
,有< .
1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)
4
(2)计算
a?


1.2 分解因式
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式 法、分组分解法,另外还应了解求根法


及待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
22
(1)
x
-3
x
+2; (2)
x
+4
x
-12;
(3)
x?(a?b)xy?aby
; (4)
xy?1?x?y




2.提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式:
32
(1)
x?9?3x?3x
; (2)
2x?xy?y?4x?5y?6











2
3.关于
x的二次三项式
ax
+
bx
+
c
(
a
≠ 0)的因式分解.
22
22
2
x
2
,若关于
x< br>的方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、 则二次三项式
ax?bx?c(a?0)

2
可分解为
a(x?x< br>1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于
x
的二次多项式分解因式:
2
(1)
x?2x?1
; (2)
x?4xy?4y

22





练 习
1.选择题:
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 ( )
(A)
2x?5y
(B)
x?3y
(C)
x?3y
(D)
x?5y

2.分解因式:
233
(1)
x
+6
x
+8; (2)8
a

b

(3)
x
-2
x
-1; (4)
4(x?y?1)?y(y?2x)

2
22










习题1.2
1.分解因式:
(1)
a?1
; (2)
4x?13x?9

22
(3)
b?c?2ab?2ac?2bc
; (4)
3x?5xy?2y?x?9y?4

22
342
2.在实数范围内因式分解:
2
(1)
x?5x?3
; (2)
x?22x?3

2
(3)
3x?4xy?y
; (4)
(x?2x)?7(x?2x)?12

3.
?ABC
三边
a

b

c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>,试判定
?ABC
的形状.
4.分解因式:
x

x
-(
a

a
).
22
22222
222



第三讲 函数与方程(一)

3.1根的判别式
2
我们知道,对于一元二次方 程
ax

bx

c
=0(
a
≠0),用配 方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
. ①
2a4a
2
由此可知,一元 二次方程
ax

bx

c
=0(
a
≠0) 的根的情况可以由
b
-4
ac
来判定,我们把
b
-4
ac
2
叫做一元二次方程
ax

bx
+c=0(
a
≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
2
综上所述,对于一元二次方程
ax

bx

c
=0(
a
≠0),有
222
?b?b
2
?4ac
(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:
x
1,2
=;
2a
b< br>(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根:
x
1

x
2< br>=-;
2a
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.

例1 判定 下列关于
x
的方程的根的情况(其中
a
为常数),如果方程有实数根,写出方 程的实数根.
22
(1)
x
-3
x
+3=0; (2)
x

ax
-1=0;
22
(3)
x

ax
+(
a
-1)=0; (4)
x
-2
x

a
=0.





说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着
a< br>的取值的变化而变化,于是,在解题过程
中,需要对
a
的取值情况进行讨论,这 一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个
非常重要的方法,在今后的解题中会经常 地运用这一方法来解决问题.

3.2根与系数的关系(韦达定理)


若一元二次方程
ax

bx

c
=0(
a
≠0)有两个实数根
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?

x
2
?

2a2a
则有
?b?b
2
?4ac?b?b
2
? 4ac?2bb
????

x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?

x
1
x
2
?
2a2a4a
2< br>4aa


所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如 果
ax

bx

c
=0(
a
≠0)的两根 分别是
x
1

x
2
,那么
x
1

x
2

?
2
bc

x
1
·
x
2
=.这一关系也被称
aa
为韦达定理.
2
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程
x

px

q
=0,若
x
1

x
2
是其两根,由韦达定理可知

x
1

x
2
=-
p
x
1
·
x
2

q


p
=-(
x
1

x
2
),
q
x
1
·
x
2

222
所以,方程
x

px

q
=0可化为
x
-(
x
1

x
2
)
x

x
1
·
x
2
=0,由于
x
1

x
2
是一元二次方程
x

px

q
2
=0的 两根,所以,
x
1

x
2
也是一元二次方程
x-(
x
1

x
2
)
x

x< br>1
·
x
2
=0.因此有
2
以两个数
x< br>1

x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x
-(
x
1

x
2
)
x

x1
·
x
2
=0.


例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及
k
的值. < br>分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出
k
的值,再由方程解出另 一个根.但
由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的 二次项系
数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出
k
的值.









22
例3 已知关于
x
的方程
x
+2(
m-< br>2)
x

m
+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两< br>个根的积大21,求
m
的值.
分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方 和比两个根的积大21得到关于
m
的方程,从而解得
m
的值.但在解题中需要 特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.











说明:(1) 在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的
m
的范围,然后再
由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出
m
的值,取满足条件的
m
的值即可.
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大 于或大
于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.
例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
分析:我们可以设出这两个数分别为
x
y
,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转
化出一元二次方程来 求解.








2
例5 若
x
1

x
2
分别是一元二 次方程2
x
+5
x
-3=0的两根.







(1)求|
x
1

x
2
|的值;(2)求
2
11
33
?
的值;(3)< br>x
1

x
2

22
x
1
x
2
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量 的问题,


为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
2

x
1

x
2
分别是一元二次方程
ax

b x

c
=0(
a
≠0),则
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?

x
2
?

2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
b
2
?4ac?
??∴|
x
1

x
2
|=.
??
2a2a2a
|a||a|
于是有下面的结论:

x
1

x
2
分别是一元二次方程
ax

bx

c
=0(
a
≠0),则|
x
1
x
2
|=
2
?
2
(其中Δ=
b
-4< br>ac
).
|a|
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
2
例6 若关于
x
的一元二次方程
x

x

a
-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数
a
的取值范
围 .






练 习
1.选择题:
(1)方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 ( )
(A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
2
(2)若关于
x
的方程
mx
+ (2
m
+1)
x

m
=0有两个不相等的实数根,则实数
m
的取值 范围是( )
(A)
m

2.填空题:
(1)若 方程
x
-3
x
-1=0的两根分别是
x
1

x
2
,则
2
2
22
1111
(B)
m
>- (C)
m
<,且
m
≠0 (D)
m
>-,且
m
≠0
4444
11
?
= .
x
1
x
2
(2)方程
mx

x
-2
m
=0(m
≠0)的根的情况是 .
(3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
3.已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
,当
k< br>取何值时,方程
kx

ax

b
=0有两个不相等的 实数根?
2
4.已知方程
x
-3
x
-1=0的两根为x
1

x
2
,求(
x
1
-3)( x
2
-3)的值.


习题 A 组
1.选择题:
2
(1)已知关于
x
的方程
x
+< br>kx
-2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )
(A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2
(2)下列四个说法:
2
①方程
x
+2
x
-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
2
②方程
x
-2
x
+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
2
③方程3
x
-7=0的两根之和为0,两根之积为
?
2
2
7

3
④方程3
x
+2
x
=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
22
(3)关于
x
的一元二次方程< br>ax
-5
x

a

a
=0的一个根是0,则
a
的值是 ( )


(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1
2.填空题: < br>2
(1)方程
kx
+4
x
-1=0的两根之和为-2,则k
= .
222
(2)方程2
x

x
-4=0的两根为α,β,则α+β= .
2
(3)已知关于x
的方程
x

ax
-3
a
=0的一个根是-2 ,则它的另一个根是 .
2
(4)方程2
x
+2
x
-1=0的两根为
x
1

x
2
,则|
x
1

x
2
|= .
22
3.试判 定当
m
取何值时,关于
x
的一元二次方程
mx
-(2
m
+1)
x
+1=0有两个不相等的实数根?有两
个相等的实数根?没有实数根?



2
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程
x
-7
x
-1=0各根的相反数.




B 组
1.选择题:
22
若关于
x
的方程
x
+(
k
-1)
x

k
+1=0的两根互为相反数,则
k
的值为( )
(A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0
2.填空题:
222
(1)若
m

n
是方程x
+2005
x
-1=0的两个实数根,则
mn

mn

mn
的值等于 .
23223
(2)如果
a

b
是方程
x

x
-1=0的两个实数 根,那么代数式
a

ab

ab

b
的值 是 .
2
3.已知关于
x
的方程
x

kx
-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设 方程的两根为
x
1

x
2
,如果2(
x
1

x
2
)>
x
1
x
2
,求实数< br>k
的取值范围.




2
4.一元二次 方程
ax

bx

c
=0(
a
≠0)的两 根为
x
1

x
2
.求:
(1)|
x< br>1

x
2
|和
x
1
?x
2
33
;(2)
x
1

x
2

2



2
5.关于
x
的方程
x
+4
x

m
=0的两根为
x
1

x
2
满足|
x
1

x
2
|=2,求实数
m
的值.



C 组
2
若关于
x
的方程
x
x

a
=0的一个大于1、零一根小于1,求实数
a
的取值范围.






第四讲 函数与方程(二)


4.1 二次函数
y

ax
bx

c
的图像和性质

二次函数的性质可以分别通 过图直观地表示出来.在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图
2
y
b
y
b4ac?b
2
,)
A
(?


像、利用数形结合的思想方法来解决问题.













2
例1 求二次函数
y


3
x-6
x
+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并
指出当
x
取何值时,
y

x
的增大而增大(或减小)?





22
例2 把二次函数
y
=< br>x

bx

c
的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位 ,得到函数
y

x
的图像,求
b

c
的值 .





2
例3 已知函数
y< br>=
x
,(-2≤
x

a
),其中
a
≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最
大值和最小值时所对应的自变量
x
的值.
分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对
a
的取值进行讨论.





练 习
1.选择题:
(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( )
2222
(A)
y
=2
x
(B)
y
=2
x
-4
x
+2 (C)
y
=2
x
-1 (D)
y
=2
x
-4
x

22
(2)函 数
y
=2(
x
-1)+2是将函数
y
=2
x
( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2.填空题:
2
( 1)二次函数
y
=2
x

mx

n
图象的 顶点坐标为(1,-2),则
m
= ,
n
= .
2
(2)已知二次函数
y

x
+(
m
-2 )
x
-2
m
,当
m
= 时,函数图象的顶点在
y
轴上;当
m
= 时,
函数图象的顶点在
x
轴上;当
m
= 时,函数图象经过原点.
2
(3)函数
y
=-3(
x
+2)+5的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;

x
= 时,函数取最 值
y
= ;当
x
时,
y
随着
x
的增大而减小.
3.求下列抛物线的开口方向、对称 轴、顶点坐标、最大(小)值及
y

x
的变化情况.
22
(1)
y

x
-2
x
-3; (2)
y
=1+6
x

x





2
4.已知函数
y
=-
x
-2
x
+3,当自变量
x
在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并
求当函数取最大(小)值时所对应的自变量
x
的值:
(1)
x
≤ -2;(2)
x
≤2;(3)-2≤
x
≤1;(4)0≤
x
≤3.





4.2 二次函数的三种表示方式


1.一般式:
y

ax

bx

c
(
a
≠0);
2.顶点式:
y

a
(
x

h
)+
k
(
a
≠0),其中顶点坐标是(-
h

k
). < br>3.交点式:
y

a
(
x

x
1< br>) (
x

x
2
) (
a
≠0),其中x
1

x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐 标.
今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式
这三种表达形式中的某一形式来解题.
例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点 在直线
y

x
+1上,并且图象经过点(3,-1),
求二次函数的 解析式.
分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次 函数
设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数
a






例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点 到
x
轴的距离等于2,求此二次函数的表
达式.







例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.






练 习
1.选择题:
2
(1)函数
y
=-
x

x
-1图象与
x
轴的交点个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无法确定
1
2
(2)函数
y
=- (
x
+1)+2的顶点坐标是 ( )
2
(A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2)
2
2


2.填空题:
(1)已知二次函数的图象经过与
x
轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为
y

a

(
a
≠0) .
2
(2)二次 函数
y
=-
x
+23
x
+1的函数图象与
x
轴两交点之间的距离为 .
3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当
x
=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数 图象与
x
轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与
y
轴交于(0, -2).





4.3 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1.平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的
图象平移?
我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的
位置即可.
2
例1 求把二次函数
y

x
-4x
+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;
(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位.





2.对称变换
在把二次函数的图象 关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图
象的位置或开口方向、不改 变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二
次函数的顶点位置和开口方向 来解决问题.
2
例2 求把二次函数
y
=2
x
-4< br>x
+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式:
(1)直线
x
=-1;
(2)直线
y
=1.



二、分段函数
一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数.
例3 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g不超过40g付邮资 160分,
超过40g不超过60g付邮资240分,依此类推,每封
x
g(0<x
≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写
出函数表达式,作出函数图象.
分析:由于当自变量
x
在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可 以用分段函数
给出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当
x
在各个小范围 内(如20<
x
≤40)变化时,它
所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160分 ).











例4 如图所示,在边长为2的正方形
ABCD
的边上有一个动点
P
,从点
A
出发沿折线
ABCD
移动一周
后,回到
A
点.设点
A
移动的路程为
x
,Δ
PAC
的面积 为
y

(1)求函数
y
的解析式;
D
C
(2)画出函数
y
的图像;
(3)求函数
y
的取值范围.


P



A
B


2.2

10




练 习
1.选择题:
2
(1)把 函数
y
=-(
x-
1)+4的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位,所 得图象对应的解析式
为 ( )
2222
(A)
y
= (
x
+1)+1 (B)
y
=-(
x
+1)+1 (C)
y
=-(
x
-3)+4 (D)
y
=-(
x
-3)+1
2
(2)把函数
y
=-2(
x
+3)+3的图象关于直线
x
=-1对称后,所得图象对 应的函数解析式为( )
2222
(A)
y
=-2 (
x
+1)+3 (B)
y
=-2 (
x
-1)+3 (C)
y
=2 (
x
+1)-3 (D)
y
=-2 (
x
-1)-3
2
(3)把函数
y
=2(
x< br>-3)+3的图象关于直线
y
=2对称后,所得图象对应的函数解析式为 ( )
2222
(A)
y
=-2 (
x
+1)+3 (B)
y
=-2 (
x
-3)+3 (C)
y
=-2 (
x
-3)+1 (D)
y
=-2 (
x
-3)-3
2.填空题:
(1)已知函数
y?
?
x?2,
?
x?2,
则当
x
=4时,
y
= ;当
x
=-4时,
y
= .
?
?2x?4,x? 2
2
(2)把二次函数
y
=-2
x
+43
x
+1的函数图象向 平移 单位后,得到的图象所对应的解析式为
y
=-2
x
2
+7;再向 平移 个单位后,得到的图象所对应的解析式为
y
=-2
x
2
+1;再将
2
其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为
y
=2
x
+5.
3.已知 点
P
是边长为1的正方形
ABCD
的顶点
A
出发,顺次经过
B

C

D
移动一周后回到点
A
,设x
表示

P
的行程,
y
表示线段
PA
的长,试求
y
关于
x
的函数.


第五讲 三角形与圆 (一)
5.1 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.



如图1,在三角形ABC中,有三条边AB、BC、CA,三个角∠A,∠B ,∠C,三个顶点A,B,C,在三角形
中,角平分线、中线、高(如图2)是三角形中的三种重要线段 .
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形 的内部,恰好是
每条中线的三等分点.
例1 求证:三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1.
已知
D

E

F
分别为△ABC三边
图1
BC

CA

AB
的中点,
图2
求证 :
AD

BE

CF
交于一点,且都被该点分成2:1.
证明:






三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三
角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.(如图3)
图3

例2 已知
VABC
的三边长分别为
BC=a,AC=b,AB=c,I为
VABC
的内心,且I在△ABC的边
BC、AC、AB
上的射 影分别为
D、E、F
,求证:
AE=AF=
b+c-a
.
2
证明:




.
例3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.
已知
O
为三角形
ABC
的重心和内心. 求证 三角形
ABC
为等边三角形.
证明:




三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三
角形的垂心一定在三角形 的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角
三角形的垂心在三角形的外部(如图4).三角形的三 条高交于一点.

图4


练 习
1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.


2.(1) 若三角形
ABC
的面积为
S
,且三边长分别为
a、b、c
,则三角形的内切圆的半径是___________;
(2)若直角三角形的三 边长分别为
a、b、c
(其中
c
为斜边长),则三角形的内切圆的半径是-< br>___________. 并请说明理由.





5.2 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而 在等腰三角形
ABC
中,三角形的内心
I

重心
G
、垂心
H
必然在一条直线上.
例4 在△ABC中,
AB?AC?3,BC?2.

(1)△ABC的面积
S

AC
边上的高
BE

ABC
(2)△ABC的内切圆的半径
r

(3)△ABC的外接圆的半径
R
.
解:






例5 如图,在△ABC中,
AB
=AC

P

BC
上任意一点.
求证:
AP=AB-PB?PC
.
证明:


正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外
心)合一,该点称为正三角形的中 心.
例6 已知等边三角形
ABC
和点
P
,设点
P< br>到三边
AB

AC

BC
的距离分别为h
1
,h
2
,h
3
,三角形
ABC
的高
为< br>h

“若点
P
在一边
BC
上,此时
h3
=0
,可得结论:
h
1
+h
2
+h
3
=h
.”(如图a)
请直接应用以上信息解决下列问题:
当(1)点< br>P
在△ABC内(如图b),(2)点在△ABC外(如图c),这两种情况时,上述结论是否还 成
立?若成立,请给予证明;若不成立,
h
1
,h
2
,h< br>3

h
之间有什么样的关系,请给出你的猜想(不必证明).


22













练 习
1. 直角三角形的三边长为3,4,
x
,则
x=
________.
2. 等腰三角形有两个内角的和是100°,则它的顶角的大小是_________.
3. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 ( )
A.
b=a-c
B.∠C=∠A+∠B C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.
a:b:c=12:13:5

4. 已知直角三角形的周长为
3?3
,斜边上的中线的长为1,求这个三角形的面积.
5. 证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.

习题 A组
1. 已知:在
ABC
中,
AB
=
AC
,< br>?BAC?120,AD

BC
边上的高,则下列结论中,正确的是( )
o
222
A.
AD?
32
1
AB
B.
AD?AB
C.
AD?BD
D.
AD?BD

22
2
2. 三角形三边长分别是6、8、10,那么它最短边上的高为 ( )
A.6 B.4.5 C.2.4 D.8
3. 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
4. 已知:
a,b,c
是△ABC的三条边,
a?7,b?10
, 那么
c
的取值范围是_________.
5. 若三角形的三边长分别为
1、a、8
,且
a
是整数,则
a
的值是_________.
B组
1. 如图,等边
ABC
的周长为12,
CD
是 边
AB
上的中线,
E

CB
延长线上一
点,且
BD
=
BE
,则
?CDE
的周长为 ( )
A.
6?43
B.
18?123
C.
6?23
D.
18?43


2. 如图 ,在
?ABC
中,
?C??ABC?2?A

BD
是边AC
上的高,求
?DBC
的度数.




3. 如图,
RtABC,?C?90,M

AB
的 中点,AM=AN,MNAC,求证:MN=AC.


C组
1. 已知
k?1,b?2k,a?c?2k,ac?k?1
,则以
a、b、c
为边的三 角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.形状无法确定
2. 如图,把△ABC纸片沿
DE
折叠,当点
A
落在四边形
BCDE
内部时,则
?A

?1??2
之间有 一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你
发现的规律是 ( )
A.
?A??1??2
B.
2?A??1??2

C.
3?A??1??2
D.
3?A?2(?1??2)

3. 如图,在等腰Rt△ABC中
?C? 90

D
是斜边
AB
上任一点,
AE?CD
o
24
o
E
,交AE于
G
.求证:
BD
=
CG
.
BF?CD

CD
的延长线于
F
CH?AB

H






第六讲 三角形与圆 (二)

6.1 直线与圆,圆与圆的关系
垂径定理:在直线与圆相交时,设两个交点分别为
A

B
.若直线经 过圆心,则
AB
为直径;若直线不经过圆心,如图,连结圆心
O
和弦
AB
的中点
M
的线段
OM
垂直于这条弦
AB
.且在 Rt△OMA中,
OA
为圆的半径
r

OM
为圆心到直线的 距离
d

MA
为弦长
AB
的一半,根据勾股定理,有
r
2
-d
2
=(

AB
2
)
.
2
切线长定理:当直线与圆相切时,如图,< br>PA,PB
为圆
O
的切线,可得
PA?PB

OA? PA.
,且在Rt△POA中,
PO
2
?PA
2
?OA2
.
切割线定理:
PT
为圆
O
的切线,
PA B
为圆
O
的割线,我们可以证得
PT
2
?PA?PB
.



例1 如图,已知⊙
O
的半径
OB
=5cm,弦
AB
=6cm,< br>D
是弧AB的中点,求弦
BD
的长度.
解:





例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和
26
,且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.
解:





例3 设圆O
1
与圆
O
2
的半径分别为3和2,
O
1O
2
?4

A,B
为两圆的交点,试求两圆的公共弦
A B
的长
度.
解:









练 习
1.如图⊙
O
的半径为17 cm,弦
AB
=30cm,
AB
所对的劣弧和优弧的中点分别为
D< br>、
C

求弦
AC

BD
的长.




2.已知四边形
ABCD
是⊙
O
的 内接梯形,
AB

CD

AB
=8cm,
CD
=6cm, ⊙
O
的半径等于5cm,求梯形
ABCD
的面
积.




3.如图,⊙
O
的直径
AB和弦
CD
相交于点
E

AE?1cm,EB?5cm,?DEB ?60,


CD
的长.




4.若两圆的半径分别为3和8,圆心距为13,试求两圆的公切线的长度.

o





6.2 点的轨迹
在几何中,点 的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形,它是符合某个条件的所有点组成的.例如,
把长度为
r
的线段的一个端点固定,另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆,这个圆上的每一个点
到定点的距离都等于
r
;同时,到定点的距离等于
r
的所有点都在这个圆上 .这个圆就叫做到定点的距离
等于定长
r
的点的轨迹.
我们把符合某一条件 的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思:(1)
图形是由符合条件的 那些点组成的,就是说,图形上的任何一点都满足条件;(2)图形包含了符合条件
的所有的点,就是说 ,符合条件的任何一点都在图形上.
下面,我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论,可以得出:
(1) 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆.
我们学过,线段垂直平分线上的 每一点,和线段两个端点的距离相等;反过来,和线段两个端点的
距离相等的点,都在这条线段的垂直平 分线上.所以有下面的轨迹:
(2) 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理,同样可以得到另一个轨迹:
(3) 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线.

例4 ⊙
O
过两个已知点
A

B
,圆心
O
的轨迹是什么?画出它的图形 .









练 习
1.画图说明满足下列条件的点的轨迹:
(1) 到定点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹;
(2) 到直线
l
的距离等于
2cm
的点的轨迹;
(3) 已知直线
ABCD
,到
AB

CD
的距离相等的点的轨迹.
2.画图说明,到直线
l
的距离等于定长
d
的点的轨迹.




习题A组

1. 已知弓形弦长为4,弓形高为1,则弓形所在圆的半径为 ( )
A.
3
B.
5
C.3 D.4
2
2. 在半径等于4的圆中,垂直平分半径的弦长为 ( )


A.
43
B.
33
C.
23
D.
3

3.
AB
为⊙
O
的直径,弦
C D?AB

E
为垂足,若
BE
=6,
AE
=4,则
CD
等于 ( )
A.
221
B.
46
C.
82
D.
26

4. 如图在⊙
O
中,
E
是弦
AB
延长线上的一点,已知
OB
=10cm,
OE
=12cm,?OEB?30,

AB
.









B组
1. 如图,已知在
R tABC
中,
?C?90,AC?5cm,BC?12cm,

C
为 圆心,
C
A为半径的圆交斜边

D
,求
AD
.









2. 如图在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片,
求弓形的弦
AB
的长.







3. 如图,Rt△ABC内接于⊙
O

D

BC
的中点,
AE?BC

E
,求证:
AD
平分
?OAE
.






o
o




4. 如图,
?AOB?90
C

D
是弧AB的三等分点,
AB
分别交
O C

OD
于点
E

F

求证:
AE
=
BF
=
CD
.









5.已知线段
A B=4cm
.画出到点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹,再画出到点
B
的距离等于
2cm
的点的
轨迹,指出到点
A
的距 离等于
3cm
,且到点
B
的距离等于
2cm
的点,这样的点 有几个?




o

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