最新人教版高中数学必修3教材全套教案

第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述 ：“在数学中，
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这 一概念，教科书先从分析一个
具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步 骤，这些步骤就构成了解二元一次方程
组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例 题加以巩固.
三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河 ，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数
量不少于羚羊的数量狼就会 吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要
用到我们今天学习 的内容——算法.
思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已成为人们日常
生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、 画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要
想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
推进新课 新知探究 提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？
（2）结合教材实例
?
?
x?2y??1,(1)
总结用加减消元法解二元一 次方程组的步骤.
?
2x?y?1,(2)
?
x?2y??1,(1)总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2x?y?1,(2)
?
（3）结 合教材实例
?
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.
（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组

?
x?2y??1,(1)
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
?
2x?y?1,(2)
?
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=
1
.
5
3
.
5
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=
1
?
x?,
?
?
5
第五步，得到方程组的解为
?
< br>?
y?
3
.
?
5
?
(3)用代入消元法解二 元一次方程组
?
x?2y??1,(1)
我们可以归纳出以下步骤：
?
?
2x?y?1,(2)
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=
3
.⑤
5
3
5
1
.
5
第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=
1
?
x?,
?< br>?
5
第五步，得到方程组的解为
?

3
?
y ?.
?
5
?
(4)对于一般的二元一次方程组
?
?
a
1
x?b
1
y?c
1
,(1)

?a
2
x?b
2
y?c
2
,(2)
其中 a
1
b
2
－a
2
b
1
≠0,可以写出类似 的求解步骤：
第一步，①×b
2
-②×b
1
，得
（a
1
b
2
－a
2
b
1
）x=b
2
c
1
－b
1
c
2
.③
第二步，解③，得x=
b
2
c
1
?b
1< br>c
2
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
a
1
c
2
?a
2
c
1
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
第三步，②×a
1
-①×a
2
，得（a
1
b
2－a
2
b
1
）y=a
1
c
2
－a2
c
1
.④
第四步，解④，得y=
b
2c
1
?b
1
c
2
?
x?,
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
第五步，得到方程组的解为
?

?
y?
a
1
c2
?a
2
c
1
.
?
a
1
b< br>2
?a
2
b
1
?

(5)算法的定义： 广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的
算法， 菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法 的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的
步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的 开始和结束，当到
达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务， 不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问 题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也
就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一 般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是
一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果. 因此算法是计算科学的重要基础.
应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.
（2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算 法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数 ，
否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.
第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.
（ 2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以 2不能
整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的 整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操
作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行 同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
算法如下：第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.
例2 写出用“二分法”求方程x
2
-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x
2
-2,则方程x
2
-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点 所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.
根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］. 对所得的区间［a,b］重复上述步
骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的 数可以作为方程的近似解.
解：第一步，令f(x)=x
2
-2,给定精确度d.
第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点m=
a?b
.
2
第四步，若f(a)·f(m )<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为

［a,b］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0. 若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a
1
1
1.25
1.375
1.375
1.406 25
1.406 25
1.414 062 5
1.414 062 5
骤也是求
2
的近似值的一个算法.
b
2
1.5
1.5
1.5
1.437 5
1.437 5
1.421 875
1.421 875
1.417 968 75
|a-b|
1
0.5
0.25
0.125
0.062 5
0.031 25
0.015 625
0.007 812 5
0.003 906 25
于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步
例1 一个人带着三 只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的
数量不少 于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.
分析：任何动物同船不用考虑动物 的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚
羊的数量，故在算法的构 造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.
解：具体算法如下：
算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回.
第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.
第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.
强调：算法是解 决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法
时应 精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算< br>法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的 时候，
如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根.
解：算法步骤如下：
第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac的值.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.
强调：用算法解决问题的特点 是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例
题仔细体会算法 的特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话 费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出
部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分 钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一
个程序，计算通话的费用.
解：算法分析：
数学模型实际上为：y关于t的分段函数.
关系式如下：

?
0.22,(0?t?3),
?
y=
?
0.22 ?0.1(t?3),(t?3,t?Z),

?
0.22?0.1([T?3]?1 ),(T?3,t?Z).
?
其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行
y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.
第三步，输出通话费用c.
课堂小结
（1）正确理解算法这一概念.
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.
作业
课本本节练习1、2.

1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
整体设计
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）

三维目标
1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.
2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序 框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的
三种基本逻辑结构：顺序结构、条 件结构、循环结构.
3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.
重点难点
数学重点：程序框图的画法.
数学难点：程序框图的画法.
教学过程
第1课时 程序框图及顺序结构
导入新课
思路1（情境导入）
我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真 是急死人，有
的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准 确，本节将探究使算法表
达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图.
思路2（直接导入）
用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会 被执行的步骤，以及在一定条件下会
被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准 确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直
观、准确的方法.今天开始学习程序框图.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是程序框图？
（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.
（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.
（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.
（5）说出判断框的图形符号与功能.
（6）说出流程线的图形符号与功能.
（7）说出连接点的图形符号与功能.
（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
（9）什么是顺序结构？
讨论结果：
（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
在程序 框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示
算法步骤的执行顺序.
（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始 时只有一个出口；表示结束时只有一
个入口．
（3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出 的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．
（4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口． < br>（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个 入口
和两个出口．

（6）流程线：表示程序的流向．
（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起．
（8）总结如下表.
图形符号




名称
终端框（起止框）
输入、输出框
处理框（执行框）
判断框
功能
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输入和输出的信息
赋值、计算
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
连接程序框 流程线


连接点 连接程序框图的两部分
(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.
三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：

顺序结构 条件结构 循环结构
应用示例
例1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法.

解：程序框图如下:
强调：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更 直观也更精确.这里只是让同学们初步了解
程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.




变式训练
观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.

解：这是一个累加求和问题，共99项相加 ，该算法是求
1111
???
?
?
的值.
1?22?33?499?100


例2 已知一个三角形三条边的边长 分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画
出程序框图表示.（已 知三角形三边边长分别为a,b,c，则三角形的面积为S=，其中
p(p?a)(p?b)(p?c)
）

p=
a?b?c
.这个公式被称为海伦—秦九韶公式） < br>2
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只 用顺序结构应能表达
出算法.
算法步骤如下：
第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.
第二步，计算p=
第三步，计算S=
第四步，输出S.
程序框图如下：

强调：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任 何一个算法都离不开
的基本结构.
变式训练
下图所示的是一个算法的流程图，已知a
1
=3，输出的b=7,
求a
2
的值.
解：根据题意
a?b?c
.
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
.
a
1
?a
2
=7,
2
∵a
1
= 3,∴a
2
=11.即a
2
的值为11.
知能训练
有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货< br>膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格 是10 000元，
请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.
解：用P表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：
2005年P=10 000×（1+3%）=10 300；
2006年P=10 300×（1+3%）=10 609；
2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27；
2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09；
因此，价格的变化情况表为：
年份
钢琴的价格
2004
10 000
2005
10 300
2006
10 609
2007
10 927.27
2008
11 255.09
程序框图如下：
强调：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就可以.“细化”
指的是写出算法步骤、画出程序框图.
拓展提升

如上给出的是计算
1111?????
的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是______________.
24620

答案：i>10.
课堂小结
（1）掌握程序框的画法和功能.
（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.
（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法.
作业
习题1.1A 1.

第2课时 条件结构

导入新课
思路1（情境导入）
我们以前听过这样一个 故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟
们喊道：你有翅膀 是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽
这一伙 ，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我
们开始学习新的逻辑结构——条件结构.
思路2（直接导入）
前面我们 学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，
今 天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.
提出问题
（1）举例说明什么是分类讨论思想？
（2）什么是条件结构？
（3）试用程序框图表示条件结构.
（4）指出条件结构的两种形式的区别.
讨论结果：
（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道 a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类
讨论，这就是分类讨论思想.
（2）在一个算 法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这
种 过程的结构.
（3）用程序框图表示条件结构如下．
条件结构：先根据条件作出判断，再决 定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过
程如下：条件成立，则执 行A框；不成立，则执行B框．

图1 图2
注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一 个是空的，即不执
行任何操作，如图2.
（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤， 符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分
支”中均包含算法的步骤A，而 在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个
条件结构后的步 骤.
应用示例
例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数 为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算
法的程序框图.
算法分析：判断以3个任意给定 的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是
否大于第3个数.这个 验证需要用到条件结构.
算法步骤如下：
第一步，输入3个正实数a，b，c.
第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这 样的三角形.
程序框图如右图：

强调：根据构成三角形的条件， 判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满
足则不存在这样的三角 形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用
到条件结构 .

例2 设计一个求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示.
算 法分析：我们知道，若判别式Δ=b
2
-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根
x
1
=
?b???b??
,x
2
=；
2a2a
b
；
2a
若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x1
=x
2
=
?
若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是说，在求 解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的
步骤，这个过程可以用条件结构实现 .
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x
1
和x2
之前，先计算p=
?
解决这一问题的算法步骤如下：
第一步，输入3个系数a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
-4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p=
?
b
?
，q=.
2a
2a
b
?
，q=；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.
2a
2a
第四步，判断Δ=0是否成立.若是，则输出x
1
=x2
=p；否则，计算x
1
=p+q，x
2
=p-q，并输出x< br>1
，x
2
.
程序框图如下：

例3 设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图.
解：算法步骤如下：
第一步，输入3个系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结束算法.
相应的程序框图如右：

强调：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b< br>2
－4ac的值.再分成两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元二次
方程有实数根；
（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数 的不同情况，
最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别 式的值的取值情况确定方
程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用 到条件结构.

例4 （1）设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图.
解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.
我们要对一次项系数a和常数项b的取值情况进行分类，分类如下：
（1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是
?
b
；
a
（2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解；
（3）当a=0，b≠0时，方程无解.
联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤：

第一步，判断a≠0 是否成立.若成立，输出结果“解为
?
b
”.
a
第二步，判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R”.
第三步，判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法.
程序框图如右：
强调：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1 ”“条件2”“条件3”……都进行判断，只
有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.
知能训练
设计算法，找出输入的三个不相等实数a、b、c中的最大值，并画出流程图.
解：算法步骤：
第一步，输入a，b，c的值.
第二步，判断a>b是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.
第三步，判断a>c是否成立，若成立，则输出a，并结束；否则输出c，并结束.
第四步，判断b>c是否成立，若成立，则输出b，并结束；否则输出c，并结束.
程序框图如右：
例5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种 快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间
物品的托运费用根据下列方法计算：
f=
?
?
0.53
?
,(
?
?50),

?< br>50?0.53?(
?
?50)?0.85,(
?
?50).
其中f（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）.
试画出计算费用f的程序框图.

分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f的计算公式随物品重量ω的变化而有 所不同，因此计算时
先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是条件结构的运用，是二分 支条件结构.其中，物品的重量
通过输入的方式给出.
解：算法程序框图如右图：
拓展提升
有一城市，市区为半径为15 km的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km的范围内的环形地带，距中心25 km
以外的为远 郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万
元，输入某一点的坐标为(x,y)，求该点的地价．

22
分析：由该点坐标( x，y)，求其与市中心的距离r=
x?y
，确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价 p．由
?
100,0?r?15,
?
题意知，p=
?
60, 15?r?25,

?
20,r?25.
?
解：程序框图如下：
课堂小结
（1）理解两种条件结构的特点和区别.
（2）能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题.
作业
习题1.1A组3.

3课时 循环结构
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
我们都想生 活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入
处理装 置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准.污水处理装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作，今 天我们
学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回；上一节我们学习了条件结构，条件结构像有分支的河流最后归入大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习循环往复的逻辑结 构——
循环结构.
提出问题
（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.
（2）什么是循环结构、循环体？
（3）试用程序框图表示循环结构.
（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.
讨论结果：
（1）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等.
（2）在一些算法中，经常会出现从某处 开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行
的步骤称为循环体. （3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行 某一处理
的过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（ 1）所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来
再判断条件P是否成 立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不
成立时为止 ，此时不再执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
2°直到型循环结构，如图（2 ）所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立，则返 回来继续执行A框，再判断条件P是否成立.继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P
时成立为止， 此时不再返回来执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
见示意图：

当型循环结构 直到型循环结构
(4)两种循环结构的不同点：直到型循环结 构是程序先进入循环体，然后对条件进行判断，如果条件不满足，就继续
执行循环体，直到条件满足时终 止循环.
当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环.
两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止
执行循环体.
应用示例
思路1
例1 设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.
算法分析：通常，我们按照下列过程计算1+2+……+100的值.

第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6.
第4步，6+4=10.
……
第100步，4 950+100=5 050.
显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环结构表示 .分析上述计算过程，可以发现每一步都可以表示
为第（i-1）步的结果+i=第i步的结果.
为了方便、有效地表示上述过程，我们用一个累加变量S来表示第一步的计算结果，即把S+i 的结果仍记为S，
从而把第i步表示为S=S+i，
其中S的初始值为0，i依次取1，2，…，100，由于i同时记录了循环的次数，所以也称为计数变量.
解决这一问题的算法是：
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
程序框图如右：

上述程序框图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表示，则程序框图如下：

变式训练
已知有一列数
123n
,,,
?
,，设计框图实现求该列数前20项的和．
234n?1
i
，可实现累加，注意i只能加到20．
i?1
分析 ：该列数中每一项的分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是1，2，3，4，…，n，因此可用循环结构实现 ，
设计数器i，用i=i+1实现分子，设累加器S，用S=
S?
解：程序框图如下：
方法一： 方法二：

例2 某厂2005年的年生产总值为200万元，技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年 增长5%，设计一个
程序框图，输出预计年生产总值超过300万元的最早年份.
算法分析：先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入2005年的年生产总值.
第二步，计算下一年的年生产总值.
第三步，判断所得的结果是否大于300，若是，则输出该年的年份，算法结束；否则，返回第二步.
由于“第二步”是重复操作的步骤，所以本例可以用循环结构来实现.我们按照“确定循环体”“初始化 变量”“设定循环控

制条件”的顺序来构造循环结构.
（1）确定循环体：设 a为某年的年生产总值，t为年生产总值的年增长量，n为年份，则循环体为t=0.05a,a=a+t,n= n+1.
（2）初始化变量：若将2005年的年生产总值看成计算的起始点，则n的初始值为200 5，a的初始值为200.
（3）设定循环控制条件：当“年生产总值超过300万元”时终止循环， 所以可通过判断“a>300”是否成立来控制循环.
程序框图如右：
思路2
例1 设计框图实现1+3+5+7+…+131的算法．
分析：由于需加的数较多，所以 要引入循环结构来实现累加．观察所加的数是一组有规律的数（每相临两数相差2），
那么可考虑在循环 过程中，设一个变量i，用i=i+2来实现这些有规律的数，设一个累加器sum，用来实现数的累加，
在执行时，每循环一次，就产生一个需加的数，然后加到累加器sum中．
解：算法如下：
第一步，赋初值i=1，sum=0.
第二步，sum=sum+i，i=i+2.
第三步，如果i≤131，则反复执第二步；否则，执行下一步.
第四步，输出sum.
第五步，结束．
程序框图如右图．
（2）框图画完后，要进行验证，按设计的流程 分析是否能实现所求的数的累加，分析条件是否加到131就结束循环，
所以我们要注意初始值的设置、 循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序，三者要有机地结合起来．最关键的
是循环条件，它决定循 环次数，可以想一想，为什么条件不是“i<131”或“i=131”，如果是“i<131”，那么会少执行 一次
循环，131就加不上了．
例2 高中某班一共有40名学生，设计算法流程图，统计 班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的人数．
分析：用循环结构实现40个成绩的 输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值进行判断.设两个计数器m,n，
如果s>90，则 m=m+1，如果80解：程序框图如右图：

知能训练
由相应的程序框图如右图，补充完整一个计算1+2+3+…+100的值的算法.（用循环结构）

第一步，设i的值为_____________.
第二步，设sum的值为_____________.
第三步，如果i≤100执行第__ ___________步,否则，转去执行第_____________步.
第四步，计算sum＋i并将结果代替_____________.
第五步，计算_____________并将结果代替i.
第六步，转去执行第三步.
拓展提升
设计一个算法，求1+2+4+…+2
49
的值，并画出程序框图.
解：程序框图如右图：

课堂小结
（1）熟练掌握两种循环结构的特点及功能.
（2）能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图，进一步理解学习算法的意义.
作业
习题1.1A组2.

第4课时 程序框图的画法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
一条河流有时像顺序结构，奔流到海不复回；有时像条 件结构分分合合向前进；有时像循环结构，虽有反复但
最后流入大海.一个程序框图就像一条河流包含三 种逻辑结构，今天我们系统学习程序框图的画法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构，今天我们系统学习程序框图的画法.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示.
(2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示.
(3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示.
(4)总结画程序框图的基本步骤.
讨论结果：
(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.框图略.
(2)在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结 构就是处理这种
过程的结构.框图略.
(3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为 循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过
程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.框图略.
(4)从前面的学习可以看出，设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤：
第一步，用自然语言表达算法步骤.
第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框表示，得到该步骤的程序框图.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图.
应用示例
例1 结合前面学过的算法步骤，利用三种基本逻辑结构画出程序框图，表示用“ 二分法”求方程x
2
-2=0（x>0）的近
似解的算法.
程序框图（如右图）.

例2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问 他需要什么.发明者说：陛下，在国际象棋的第一个格子里
面放1粒麦子，在第二个格子里面放2粒麦子 ，第三个格子放4粒麦子，以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格
子中麦粒数的二倍，依此类推（国际 象棋棋盘共有64个格子）,请将这些麦子赏给我，我将感激不尽.国王想这还不
容易，就让人扛了一袋 小麦，但不到一会儿就没了，最后一算结果，全印度一年生产的粮食也不够.国王很奇怪，小
小的“棋盘 ”，不足100个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试用程序框图表示此算法过程.
解：将实际问题转化为数学模型，该问题就是要求1+2+4+……+2
63
的和.
程序框图如下：

例3 乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg时
按0．25元kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0．35元kg；超过100 kg时，其超过部分按0．45
元kg．编写程序，输入行李质量，计算出托运的费用．
分析 ：本题主要考查条件语句及其应用．先解决数学问题，列出托运的费用关于行李质量的函数关系式．设行李质量为x kg，应付运费为y元，则运费公式为：
?
0.25x,0?x?50,
?
y=
?
0.25?50?0.35(x?50),50?x?100,

?
0.25?50?0.35?50?0.45(x?100),x?100,
??
0.25x,0?x?50,
?
整理得y=
?
0.35x?5 ,50?x?100,

?
0.45x?15,x?100.
?
程序框图如上图

知能训练
设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂
5
解：算法步骤:
第一步,给定精确度d,令i=1.
第二步，取出
2
的到小数点后第i位的 不足近似值，记为a；取出
2
的到小数点后第i位的过剩近似值，记为b.
第三步，计算m=5
b
-5
a
.
第四步，若m5
第五步，得到
5
程序框图如下：
2
2
2
的算法，画出算法的程序框图.
的近似值为5
a
；否则，将i的值增加1，返回第二步.
的近似值为5
a
.

拓展提升
求
4?

1
4?
1
，画出程序框图． < br>1
4?
?
?
4
?????????
(共10个4)< br>分析：如果采用逐步计算的方法，利用顺序结构来实现，则非常麻烦，由于前后的运算需重复多次相同的运 算，所
以应采用循环结构，可用循环结构来实现其中的规律．观察原式中的变化的部分及不变项，找出总 体的规律是4+
要实现这个规律，需设初值x=4．
解：程序框图如上：

课堂小节
（1）进一步熟悉三种逻辑结构的应用，理解算法与程序框图的关系.
（2）根据算法步骤画出程序框图.
作业
习题1.1B组1、2.

1
，
x

1.2 基本算法语句
1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
中国足球队在 亚洲杯上的失利说明，中国足球仍然需要请外国教练.高水平的外国教练有先进的足球理念，有系
统科学 的训练计划，有先进的足球技术，但由于语言不通不能直接传授给队员. 算法步骤、程序框图虽然容易掌握，
但计算机不能理解，因此我们需要学习算法语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，我们开始学习算法语句.
提出问题
（1）指出输入语句的格式、功能、要求.
（2）指出输出语句的格式、功能、要求.
（3）指出赋值语句的格式、功能、要求.
（4）利用框图总结三种语句的功能、格式、特点.
（5）指出三种语句与框图的对应关系.
讨论结果：
(1)输入语句的格式：INPUT“提示内容”； 变量
例如：INPUT “x=”；x
功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.
要求：
1°输入语句要求输入的值是具体的常量.
2°提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容 “原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容
与变量之间要用分号隔开.
3°一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔.
形式如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c
(2)输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
例如：PRINT“S=”；S
功能：实现算法输出信息（表达式）的功能.
要求：
1°表达式是指算法和程序要求输出的信息.
2°提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开.
3°如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分 隔.
形式如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c
(3)赋值语句的一般格式：变量=表达式.
赋值语句中的“＝”称作赋值号.
功能：将表达式所代表的值赋给变量.

要求：
1°赋值语句左边只 能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.如：2=x是
错误 的.
2°赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量. 如“A=B”“B=A”的含
义运行结果是不同的，如x=5是对的，5=x是错的，A+B=C是错的 ，C=A+B是对的.
3°不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等），如 y=x
2
－1=(x－1)(x+1)，这是实现不了
的.在赋值号右边表达式中每一 个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现
两个或以上的“= ”.但对于同一个变量可以多次赋值.
(4)三种语句的功能、格式、特点如下：
在QBASIC语言中，输入语句是INPUT语句，输出语句是PRINT语句，赋值语句是LET语句（“L ET”可以
省略）.下表列出了这三种语句的一般格式、主要功能和相关说明，供教师教学时参考，不要 求学生掌握.

格
式
功
能
INPUT语句
INPUT“提示内容”；变量
可对程序中的变量赋值
①又称“键盘输入语句”， 在程
序运行过程中，停机等候用户
由键盘输入数据，而不需要在
写程序时指定
②“提示内容”和它后面的“；”
可以省略
说
明
③一个语句可以给多个变量
③一个语句可以
赋值，中间用“，”分隔
输出多个表达式.
④无计算功能
不同的表达式之
间可用“，”分隔
⑤用户由键盘输入的数据必
须是常量，输入多个数据时用
④有计算功能，
“，”分隔 ，且个数要与变量的
能直接输出计算
个数相同
公式的值
PRINT语句 赋值语句
PRINT“提示内
LET变量=表达式
容”；表达式
可输出表达式的可对程序中的变量赋值，
值，计算 计算
①在程序运行过程中给
①又称“打印语
变量赋值
句”，将表达式的
值在屏幕上显示
②“LET”可以省略，“=”
出来
的右侧必须是表达式，左
侧必须是变量
②表达式可以是
变量、计算公式
③一个语句只能给一个
或系统信息
变量赋值
④有计算功能
⑤将一个变量的值赋给
另一个变量，前一个变量< br>的值保持不变；可先后给
一个变量赋多个不同的
值，但变量的取值总是最
后被赋 予的值
（5）指出三种语句与框图的对应关系如下图.

应用示例
思路1
例1 用描点法作函数y=x
3
+3x
2
-24x+30的图象时，需要求出自变量和函数的一组对应值 .编写程序，分别计算当x=-5，
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时的函数值.
算法分析：根据题意，对于每一个输入的自变量的值，都要输出相应的函数值.写成算法步骤如下：
第一步，输入一个自变量的x的值.
第二步，计算y=x
3
+3x
2
-24x+30.
第三步，输出y.
程序框图如右图：

显然，这是一个由顺序结 构构成的算法，按照程序框图中流程线的方向，依次将程序框中的内容写成相应的算
法语句，就得相应的 程序.
解：程序：
INPUT “x”；x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
END
强调 ：前面我们学习了算法步骤、程序框图，我们对照程序框图与算法语句可以得到它们之间的对应关系.例如：在< br>这个程序中，第1行中的INPUT语句就是输入语句.这个语句的一般格式是

INPUT “提示内容”；变量

其中，“提示内容”一般是提示用户输入什 么样的信息，每次运行例1中的程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，
1，2，3，4 ，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”，并按“x”新获得的值计算变量“y”的值.
例2 给一个变量重复赋值.
解：程序：
A=10
A=A+15
PRINT A
END
例3 编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
算法分析：
先写出解决本例的算法步骤：
第一步，输入该学生数学、语文、英语三门课的成绩a，b，c.
第二步，计算y=
第三步，输出y.
程序框图如右：

由于PRINT语句还可以用于输出数值计算的结果，所以这个算法可以写成下列程序.
程序：
INPUT “Maths=”;a
INPUT “Chinese=”;b
INPUT “English=”;c
PRINT “The average=”;(a+b+c)3
END
强调：例3中的第4行的PRINT语句是输出语句，它的一般形式是
a?b?c
.
3

PRINT“提示内容”；表达式

PRIN T语句可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息，同输入语句一样，这里的表达式前也可以有“提< br>示内容”.
例4 变换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值.
解：程序：
INPUT A，B
PRINT A，B
x=A
A=B
B=x
PRINT A,B
END
思路2
例1 写出求三个数a，b，c的方差的程序.
分析：方差是在初中统计内容中学习过的知识，计算所有数的 方差首先计算所有数的平均数
x
，通过公式
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
s=来计算.
n
2
算法步骤：
第一步，计算平均数
x?
a?b?c
.
3
(a?x)2
?(b?x)
2
?(c?x)
2
第二步，计算方差s=.
3
2
第三步,得到的结果即为所求.
程序如下：
INPUT a，b，c
y=(a+b+c)3
S=((a－y)
2
+ (b－y)
2
+ (c－y)
2
)3
PRINT S
END
例2 编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出a
b
和b
a
的值. 分析：可以利用INPUT语句输入两个正数，然后将a
b
和b
a
的值分 别赋给两个变量输出即可.也可以将a
b
和b
a
的
底数和幂数进行交 换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现.
解：程序1：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
B=b^a
PRINT “a^b=”；A，“b^a=”；B
END
程序2：
INPUT “a，b：”；a，b
A=a^b
PRINT “a^b=”；A
x=a

a=b
b=x
A=a^b
PRINT “b^a=”；A
END
强调：交换a，b的值可通过下面三个语句来实现：
t=a
a=b
b=t
通过引进一个中间变量t实现变量a和b的值的交 换，因此只需用赋值语句即可实现算法.在一些较为复杂的问题算
法中经常需要对两个变量的值进行交换 ，因此应熟练掌握这种方法.
知能训练
1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确？为什么？
（1）输入语句INPUT a；b；c
（2）输出语句A＝4
（3）赋值语句3＝B
（4）赋值语句A＝B＝－2
解：（1）错，变量之间应用“，”号隔开.
（2）错，PRINT语句不能用赋值号“=”.
（3）错，赋值语句中“=”号左右不能互换.
（4）错，一个赋值语句只能给一个变量赋值.
强调：输入语句、输出语句和赋值语句基本上 对应于算法中的顺序结构.输入语句、输出语句和赋值语句都不包括“控
制转移”，由它们组成的程序段 必然是顺序结构.
2.请写出下面运算输出的结果.
（1）a=5
b=3
c=(a+b)2
d=c*c
PRINT“d=”;d
(2)a=1
b=2
c=a+b
b=a+c-b
PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c
(3)a=10
b=20
c=30
a=b
b=c
c=a
PRINT “a=,b=,c=” ;a,b,c
解：（1）16；语句c=(a+b)2是将a，b和的一半赋值给变量c，语句d=c *c是将c的平方赋值给d，最后输出d的值.
（2）1，2，3；语句c=a+b是将a，b的和赋 值给c，语句b=a+c－b是将a+c－b的值赋值给了b.
（3）20，30，20；经过语句a =b后a，b，c的值是20，20，30.经过语句b=c后a，b，c的值是20，30，30.经过语句c=a后a，b，c的值是20，30，20.
拓展提升
已知某生某三科的成绩为80、75、95分，求三科的总分及平均分．

分析：将三科 成绩赋给三个变量A，B，C，然后对三个变量进行操作、运算，求其总分、平均分．变量的起名规则：
由字母、数字、下划线组成，但第一个字符必须是字母（大、小写皆可），起名时尽量做到见名知义，如本例中我 们
可用变量ZF表示总分，PJF表示平均分．
解：程序框图如右图：

程序：
A=80
B=75
C=95
ZF=A+B+C
PJF=ZF3
PRINT ZF，PJF
END
课堂小结
（1）输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
（2）用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句.
作业习题1.2A组2.

1.2.2 条件语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会条件语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：条件语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一位老农平整了一块良田，种瓜好 呢，还是种豆好呢，他面临着一个选择.如果他选择种瓜，他会得瓜，如果他
选择种豆，他会得豆.人的 一生面临许多选择，我们要做出正确的选择.前面我们学习了条件结构，今天我们学习条件
语句.
思路2（直接导入）
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理 解算法步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输
出语句、赋值语句，今天我们开始学习条件语句 .
提出问题
（1）回忆程序框图中的两种条件结构.
（2）指出条件语句的格式及功能.
（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果： （1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是 处理这种
过程的结构.
用程序框图表示条件结构如下图：

（2）条件语句
1°“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判断的条件，“语句体1”表示满足条件时执行 的操作内容；“语句体
2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计 算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首
先对IF后的条件进行判断，如果符合条件，则执 行THEN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE后面的“语
句2”.

2°“IF—THEN”语句
格式：
IF 条件 THEN
语句体
END IF
功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执 行的操作内容，条件不满足时，直接结束判断过程；END IF
表示条件语句的结束.计算机在执行“ IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN
后边的语句，若 不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.
（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句.
不 同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句体2”.
对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.
（4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：

应用示例
思路1
例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.
算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值的算法，因为实数x的绝对值为
|x|=
?
?
x(x?0),

?
?x(x?0),

程序：
INPUT x
IF x＞=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT -x
END IF
END

变式训练
阅读下面的程序，你能得出什么结论？
INPUT x
IF x＜0 THEN
x=-x
END IF

PRINT x
END 由程序得出，该程序是输出x的绝对值.
例2 把前面求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的程序框图转化为程序.
解：由程序 框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支，所以，
可 以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.
程序：
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
d=b^2-4*a*c
IF d＞=0 THEN
p=-b(2*a)
q=SQR(d)(2*a)
IF d=0 THEN
PRINT “x
1
=x
2
=”;p
ELSE
PRINT “x
1
,x
2
=”;p+q,p-q
END IF
ELSE
PRINT“No real root”
END IF
END
例3 编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.
如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.
根据程序框图，写出相应的计算机程序.
INPUT “a,b,c=”;a,b,c
IF b＞a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c＞a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c＞b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a,b,c
END
思路2
例1 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值.
分析：要输出 两个不相等的实数a、b的最大值，从而想到对a，b的大小关系进行判断，a，b的大小关系有两种情
况：（1）a>b；（2）b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式，找出两个数的最大值.
解：算法一：
第一步，输入a， b的数值.

第二步，判断a，b的大小关系，若a>b，则输出a的值，否则，输出b的值.
（程序框图如下图）

程序如下：（“IF—THEN—ELSE”语句）
INPUT “a，b”；a，b
IF a＞b THEN
PRINT a
ELSE
PRINT b
END IF
END
算法二：
第一步，输入a,b的数值.
第二步，判断a,b的大小关系，若b>a，则将b的值赋予a；否则，直接执行第三步.
第三步，输出a的值，结束.
（程序框图如右图）

程序如下：（“IF—THEN”语句）
INPUT “a，b”；a，b
IF b＞a THEN
a=b
END IF
PRINT a
END
?
1,x?0,
?
例2 高等数学中经常用到符号函数， 符号函数的定义为y=
?
0,x?0,
试编写程序输入x的值，输出y的值.
?
?1,x?0,
?
解：程序一：（嵌套结构）
程序框图：（下图）

程序如下：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y=－1
END IF
END IF
PRINT y
END
程序二：（叠加结构）
程序框图（右图）：
程序如下：

INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
END IF
IF x=0 THEN
y=0
END IF
IF x<0 THEN
y=－1
END IF
PRINT y
END
强调：（1）条件结构的差异，造成程序执行的不同 .当代入x的数值时，“程序一”先判断外层的条件，依次执行不同
的分支，随后再判断内层的条件；而 “程序二”中执行了对“条件1”的判断，同时也对“条件2”进行判断，是按程序中
条件语句的先后依 次判断所有的条件，满足哪个条件就执行哪个语句.
（2）条件语句的嵌套可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制条件.
知能训练
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超 出部分
按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用 y（元），如何设计一个
程序，计算通话的费用.
解：算法程序如下：
INPUT “请输入通话时间：”；t
IF t<=3 THEN
y=0.22
ELSE
IF INT(t)=t THEN
y=0.22+0.1*(t－3)
ELSE
y=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)
END IF
END IF
PRINT “通话费用为：”；y
END

拓展提升
?
2x,0?x?4,
?
函数y=
?
8,4?x?8,
写出求函数的函数值的程序.
?
2(12?x),8?x?12,
?
解：INPUT x=”;x
IF x>=0 and x<=4 THEN
y=2*x
ELSE IF x<=8 THEN
y=8
ELSE y=2*(12-x)
END IF
END IF

PRINT y
END
课堂小结
（1）条件语句的用法.
（2）利用条件语句编写算法语句.
作业
习题1.2 B组1.

1.2.3循环语句
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会循环语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：循环语句的基本用法.
教学难点：循环语句的写法.
课时安排1课时
导入新课
思路1（情境导入）
一位同学不小心违反了学校纪律， 班主任令其写检查，他写完后交给班主任，班主任看后说：“认识不深刻，拿
回去重写，直到认识深刻为 止”.这位同学一想，这不是一个循环结构吗？可惜我还没学循环语句，不然可以写一个
算法语句输入计 算机了.同学们，今天我们开始学习循环语句.
思路2（直接导入）
前面 我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输
出语句、赋值语句和条件语句，今天我们开始学习循环语句.
提出问题
（1）试用程序框图表示循环结构.
（2）指出循环语句的格式及功能.
（3）指出两种循环语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的循环语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果：
（1）循环结构
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结构，如图（1）所示
2°直到型循环结构，如图（2）所示，

（1）当型循环结构 （2）直到型循环结构

（2）循环语句
1°当型循环语句
当型（WHILE型）语句的一般格式为：
WHILE 条件
循环体
WEND
功能：计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是 否成立，如果成立，则执行WHILE和WEND
之间的循环体；然后返回到WHILE语句再判断上述 条件是否成立，如果成立，再执行循环体，这个过程反复执行，
直到一次返回到WHILE语句判断上述 条件不成立为止，这时不再执行循环体，而是跳到WEND语句后，执行WEND
后面的语句.因此当型 循环又称“前测试型”循环，也就是我们经常讲的“先测试后执行”“先判断后循环”.
2°直到型循环语句

直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
功能：计算机执行UNTIL语句时，先执行DO和LOOP UNTIL之间的循环体，然后判断“LOOP UNTIL”后面
的条件是否成立，如果条件不成立 ，返回DO语句处重新执行循环体.这个过程反复执行，直到一次判断“LOOP
UNTIL”后面的条件成立为止，这时不再返回执行循环体，而是跳出循环体执行“LOOP UNTIL条件”下面的语句.
因此直到型循环又称“后测试型”循环，也就是我们经常讲的“先执行后测试”“先循环后判断”.
(3)相同点：都是反复执行循环体语句.
不同点：当型循环语句是先判断后循环，直到型循环语句是先循环后判断.
(4)下面为循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系.
1°直到型循环结构：

2°当型循环结构：

应用示例
思路1
例1 修 改前面编写过的求函数y=x3+3x2-24x+30的值的程序，连续输入11个自变量的取值，输出相应的 函数值.
算法分析：与前面不同的是，本例要求连续输入11个自变量的取值.并输出相应的函数值， 先写出解决本例的算法步
骤：
第一步，输入自变量x的值.
第二步，计算y=x3+3x2-24x+30.
第三步，输出y.
第四步，记录输入次数.
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回第一步.
显然，可以用计数变量n（1≤n≤11）记录次数，通过循环结构来实现算法.
程序框图如下图：

程序：
n=1
DO
INPUT x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y

n=n+1
LOOP UNTIL n＞11
END
例2 教材中的用“二分法”求方程x
2
-2=0（x＞0）的近似解的程序框图（ 见教材图1.120）包含了顺序结构、条件
结构和循环结构.下面，我们把这个程序框图转化为相应的 程序.
解：程序为：
INPUT “a,b,d=”；a,b,d
DO
m=(a+b)2
g=a^2-2
f=m^2-2
IF g*f＜0 THEN
b=m
ELSE
a=m
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)＜d OR f=0
PRINT m
END
强调：ABS（）是一个函数，用来求某个数的绝对值，即ABS（x）=|x|.
例3 设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，编写算法程序.
解：算法如下：
第一步，s＝1.
第二步，i＝3.
第三步，s＝s×i.
第四步，i＝i＋2.
第五步，如果i≤99，那么转到第三步.
第六步，输出s.
程序如下：（“WHILE型”循环语句）
s＝1
i＝3
WHILE i＜＝99
s＝s*i
i＝i＋2
WEND
PRINT s
END
强调：前面我们已经学过“求和”问题 ，这是一个“求积”问题，这两个问题都是典型的算法问题，注意它们的联
系与区别.
例4 编写一个程序，求1!+2!+…+10!的值（其中n！=1×2×3×…×n）.
分析：这个问题可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语句格式来实现.
程序结构要做到如下步骤：
①处理“n！”的值；（注：处理n！的值的变量是一个内循环变量）
②累加“n！”的值.（注：累加n！的值的变量是一个外循环变量）
显然，通过10次循环可分别求出1!、2!、…、10!的值，并同时累加起来, 可求得S的值.而求T=n！，又可以用一个
循环（内循环）来实现.
解：程序为：

s=0
i=1
WHILE i<=10
j=1
t=1
WHILE j<=i
t=t*j
j=j+1
WEND
s=s+t
i=i+1
WEND
PRINT s
END
思考：上面程序中哪个变量是内循环变量，哪个变量是外循环变量？
解答：内循环变量：j，t.外循环变量：s，i.
上面的程序是一个的“WHIL E+WHILE”型循环嵌套语句格式.这是一个比较好想的方法，但实际上对于求n！，
我们也可以根 据求出的(n－1)!乘上n即可得到，而无需重新从1再累乘到n.
程序可改为：
s=0
i=1
j=1
WHILE i<=10
j=j*i
s=s+j
i=i+1
WEND
PRINT s
END
显然第二个程序的效率要比第一个高得多.第一程序要进行1+2+…+10=55次循环，而 第二程序进行10次循环.
如题目中求的是1！＋2！＋…＋1 000！，则两个程序的效率区别会更明显.
变式训练
某种蛋白质是由四种氨基酸 组合而成.这四种氨基酸的相对分子质量分别是57，71，97，101.实验测定蛋白质的
相对分子 质量为800.问这种蛋白质的组成有几种可能？
分析：该问题即求如下不定方程的整数解：设四种氨 基酸在蛋白质的组成中分别各有x，y，z，w个.则由题意可得
57x+71y+97z+101w= 800，（x，y，z，w是非负整数）
这里0≤x≤14，0≤y≤11，0≤z≤8，0 ≤w≤7，利用穷取法，考虑一切可能出现的情况.运用多层循环嵌套处理
即可.
解：编写程序如下：
w=0
WHILE w<=7
z=0
WHILE z<=8
y=0
WHILE y<=11
x=0
WHILE x<=14

IF 57*x+71*y+97*z+101*w=800 THEN
PRINT x，y，z，w
END IF
x=x+1
WEND
y=y+1
WEND
z=z+1
WEND
w=w+1
WEND
END
知能训练
设计算法求
1111
???
?
?
的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
1?22?3 3?499?100
解：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量， 用循环结构实现这一算法.程序框
图如下图所示：

程序如下：
s=0
i=1
Do
s=s+1（i*(i+1)）
i=i+1
LOOP UNTIL i>99
PRINT s
END
拓展提升
青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了12名评委，在计算每位选手的平均分数时，为 了避免个别评委
所给的极端分数的影响，必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分.试设计一个算 法解决该问题，要求画出程
序框图，写出程序（假定分数采用10分制，即每位选手的分数最高分为10 分，最低分为0分）.
解：由于共有12位评委，所以每位选手会有12个分数，我们可以用循环语句 来完成这12个分数的输入，同时设计
累加变量求出这12个分数的和，本问题的关键在于从这12个输 入分数中找出最大数与最小数，以便从总分中减去
这两个数.由于每位选手的分数都介于0分和10分之 间，我们可以先假设其中的最大数为0，最小数为10，然后每次
输入一个评委的分数，就进行一次比较 ，若输入的数大于0,就将之代替最大数，若输入的数小于10，就用它代替最
小数，依次下去，就能找 出这12个数中的最大数与最小数，循环结束后，从总和中减去最大数与最小数，再除以10，
就得到该 选手最后的平均分.
程序框图如右图：

程序如下：s=0
i=1
max=0
min=10
DO
INPUT x
s=s+x
IF max<=x THEN

max=x
END IF
IF min>=x THEN
min=x
END IF
i=i+1
LOOP UNTIL i>12
s1=s－max－min
a=s110
PRINT a
END
课堂小结
（1）学会两种循环语句的应用.
(2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序，巩固算法应用.
作业
习题1.2A组3.

1.3 算法案例
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
2．引导学生得出自己设计的算法程序.
3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
重点难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
第1课时 案例1 辗转相除法与更相减损术
导入新课
思路1（情境导入）
大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢 横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，
对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学 ，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先
用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是 互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质
因数较大时（如8 251与6 105 ），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转
相除法与更相减损术 ,由此可以体会东、西方文化的差异.
思路2（直接导入）
前面我们学习 了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的
思想.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）怎样用短除法求最大公约数？
（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？
（4）怎样用更相减损术求最大公约数？
讨论结果：
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，< br>然后把所有的除数连乘起来.
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正 整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中
断列举，得 到的公约数便是最大公约数.
（3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.
第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.
（4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数 学专著，其中的“更
相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分 母、子之数，以少减多，更相减
损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
应用示例
例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.
解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146.
由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146
的公约数，所以它们的最大公约数相等.
对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.
同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：
2 146=1 813×1+333，
1 813=333×5+148，
333=148×2+37，
148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.
这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限 步之后完成，从
而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.
算法分析：从上面的例 子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数为r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.
程序框图如右图：
程序：
INPUT m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
强调：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化
为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式
两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.
变式训练
你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.
解：当型循环结构的程序框图如下图：

程序：
INPUT m，n
r=1
WHILE r＞0
r=m MOD n
m=n
n=r

WEND
PRINT m
END
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7.
强调：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相
似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的 是减法运
算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．
变式训练
用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.
解：324=243×1＋81，
243=81×3＋0，
则324与243的最大公约数为81.
又135=81×1＋54，81=54×1＋27，
54=27×2＋0，
则 81 与 135的最大公约数为27.
所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.
另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大 公约数为81.
135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.
所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.
例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.
（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.
解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：
123＝2×48＋27，
48＝1×27＋21，
27＝1×21＋6，
21＝3×6＋3，
6＝2×3+0，
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.
（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.
80÷2=40，36÷2=18.
40和18都是偶数，要除公因数2.
40÷2=20，18÷2=9.
下面来求20与9的最大公约数，
20－9=11，
11－9=2，
9－2=7，
7－2=5，
5－2=3，
3－2=1，

2－1=1，
可得80和36的最大公约数为2
2
×1=4.
强调：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.
变式训练
分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．
解：辗转相除法：
1 734=816×2+102，816=102×8（余0），
∴1 734与816的最大公约数是102．
更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．
867-408=459，
459-408=51，
408-51=357，
357-51=306，
306-51=255，
255-51=204，
204-51=153，
153-51=102，
102-51=51.
∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．
利用更相减损术可另解：
1 734－816＝918，
918－816＝102，
816－102＝714，
714－102＝612，
612－102＝510，
510－102＝408，
408－102＝306，
306－102＝204，
204－102＝102.
∴1 734与816的最大公约数是102．
知能训练
求319，377，116的最大公约数．
解：377=319×1+58，
319=58×5+29，
58=29×2.
∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．
116=29×4.
∴29与116的最大公约数为29.
∴377，319，116的最大公约数为29.
拓展提升
试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．
解：更相减损术程序：
INPUT “m，n=”；m，n
WHILE m<>n
IF m>n THEN
ｍ＝m-n
ELSE

m=n-m
END IF
WEND
PRINT m
END
课堂小结
（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.
思想方法：递归思想.
作业
分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.
分析：本题主要考查辗转相除法和更 相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；
用更相减损术就 是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．
解：辗转相除法：
319=261×1+58,
261=58×4+29,
58=29×2.
∴319与261的最大公约数是29．
更相减损术：
319-261=58,
261-58=203,
203-58=145,
145-58=87,
87-58=29,
58-29=29, ∴319与261的最大公约数是29．

第2课时 案例2 秦九韶算法
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1（情境导入）
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一 口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口
的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样. 怎样求多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值呢？方法也是多
种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）求 多项式f(x)=x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.
（2）什么是秦九韶算法？
（3）怎样评价一个算法的好坏？
讨论结果：
（1）怎样求多项式f(x)=x< br>5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1当x=5时 的值呢？
一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来， 这时，我们一共做了1+2+3+4=10
次乘法运算，5次加法运算.
另一种做法 是先计算x
2
的值，然后依次计算x
2
·x，（x
2
·x） ·x，（（x
2
·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次
计算的结果，这时 ，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次 数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘
法运算所用的时间比做一次加法运算要长 得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.
（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国 南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中
提出了下面的算法：
把一个n次多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
改写成如下形式：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0

=（a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+…+a
1
）x+ a
0

=（（a
n
x
n-2
+a
n-1< br>x
n-3
+…+a
2
）x+a
1
)x+a
0

=…
=（…（（a
n
x+a
n-1
）x+a< br>n-2
）x+…+a
1
）x+a
0
.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v
1
=a
n
x+a
n-1
，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
，
v
3
=v
2
x+a
n-3
，
…
v
n
=v
n-1
x+a
0
，
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.
（3）计算 机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一
个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.
应用示例
例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x
5
+2x
4
+3.5x
3
-2.6x
2
+1.7x-0.8，
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
v
0
=5；
v
1
=5×5+2=27;
v
2
=27×5+3.5=138.5;
v
3
=138.5×5-2.6=689.9;
v
4
=689.9×5+1.7=3 451.2;
v
5
=3 415.2×5-0.8=17 255.2;
所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.
算法分析：观察上述秦九韶算法中的 n个一次式，可见v
k
的计算要用到v
k-1
的值，若令v
0
=a
n
，我们可以得到下面的
公式：
?
v
0
?a
n
,

?
?
v
k
?v
k?1
x?a
n?k
(k?1,2,
?< br>,n).
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.
算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次的系数a
n
和x的值.
第二步，将v的值初始化为a
n
，将i的值初始化为n-1.
第三步，输入i次项的系数a
i
.
第四步，v=vx+a
i
,i=i-1.
第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
强调：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽 介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一
个典型的算法案例.
变式训练
请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.
解：设f（x）=a< br>5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0

首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：
f（x）=（a
5
x
4
+a
4
x
3
+a
3
x
2< br>+a
2
x+a
1
）x+a
0

=（（a
5
x
3
+a
4
x
2
+ a
3
x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（a
5
x
2
+a
4
x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0

=（（（（a
5
x+a
4
）x+ a
3
）x+a
2
）x+a
1
）x+a
0
.

上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计 算，直到最外层的括号，然
后加上常数项即可.
程序框图如右图：

k
例2 已知n次多项式P
n
(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+…+a
n-1
x+a
n
，如果在一种算法中，计算
x
0
（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P
3
(x
0
)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加 法），那么计算P
10
(x
0
)的值共需要__________次运算.< br>下面给出一种减少运算次数的算法：P
0
(x)=a
0
,P
k +1
(x)=xP
k
(x)+a
k+1
（k＝0，1，2，…，n－ 1）．利用该算法，计算P
3
(x
0
)
的值共需要6次运算，计算P
10
(x
0
)的值共需要___________次运算.
答案：65 20
强调：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达
(n?1)n
，加法最多n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.
2
例3 已知 多项式函数f(x)=2x
5
－5x
4
－4x
3
+3x2
－6x+7，求当x=5时的函数的值.
解析：把多项式变形为：f(x)=2x5
－5x
4
－4x
3
+3x
2
－6x+7
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.
计算的过程可以列表表示为：

最后的系数2 677即为所求的值.
算法过程：
v
0
=2；
v
1
=2×5－5=5；
v
2
=5×5－4=21；
v
3
=21×5+3=108；
v
4
=108×5－6=534；
v
5
=534×5+7=2 677.
强调：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.
知能训练
当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x
5
+8x
4
-3x
3
+5x
2
+12x-6的值．
解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.
v
0
=3;
v
1
=v
0
×2+8=3×2+8=14;
v
2
=v
1
×2-3=14×2-3=25;
v
3
=v
2
×2+5=25×2+5=55;
v
4
=v
3
×2+12=55×2+12=122;
v
5
=v
4
×2-6=122×2-6=238.
∴当x=2时，多项式的值为238.
解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，
则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．
拓展提升
用秦九韶算法求多项式f(x)=7x
7
+6x
6
+5x
5
+4x
4
+3x
3
+2x
2< br>+x当x=3时的值.
解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x

v
0
=7；
v
1
=7×3+6=27；
v
2
=27×3+5=86；
v
3
=86×3+4=262；
v
4
=262×3+3=789；
v
5
=789×3+2=2 369；
v
6
=2 369×3+1=7 108；
v
7
=7 108×3+0=21 324.
∴f(3)=21 324.
课堂小结
1.秦九韶算法的方法和步骤.
2.秦九韶算法的计算机程序框图.
作业
已知函数f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8,求f(9)的值.
解：f(x)=x
3
－2x
2
－5x+8=(x
2
－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8
∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.

第3课时 案例3 进位制
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
情境导入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说 这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经
采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然 使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来
学习一下进位制.
提出问题
（1）你都了解哪些进位制？
（2）举出常见的进位制.
（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.
（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.
活动：先让学生思考或讨 论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示
引导考虑问题的 思路．
讨论结果：
（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进 一，就是二进制；满十进一，就是十进制；
满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等 .也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都
是大于1的整数）就是几.
（2） 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法. < br>（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是 几，就表示几
个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位… …
例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：
3 721=3×10
3
+7×10
2
+2×10
1
+1×10
0
.
与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一 种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二
进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式
a
n
a
n-1
…a
1
a
0
（k）（0＜a
n
＜k，0≤a
n-1
，…，a
1
，a< br>0
＜k).
其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如
110 011
（
2
）
=1×2
5
+1×2
4
+0×2< br>3
+0×2
2
+1×2
1
+1×2
0
，
7 342
（
8
）
=7×8
3
+3×8
2
+4×8
1
+2×8
0
.
非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：
a
n
a
n-1
…a
1
a
0(k)
=a
n
×kn
+a
n-1
×k
n-1
+…+a
1
×k+a
0
.
第一步：从左到右依次取出k进制数a
n
a
n-1< br>…a
1
a
0
(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始 取值，每次递
减1，递减到0，即a
n
×k
n
,a
n-1< br>×k
n-1
,…,a
1
×k,a
0
×k
0< br>；
第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.
（4）关于进 位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.
这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据 ，
因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时 计算机又把
运算结果由二进制数转换成十进制数输出.
1°十进制数转换成非十进制数 把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的 算法“除
k取余法”.
2°非十进制之间的转换
一个自然的想法是利用十进制作为 桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先
由二进制数转化为十 进制数，再由十进制数转化成为16进制数.
应用示例

思路1
例1 把二进制数110 011
(2)
化为十进制数.
解：110 0 11
(2)
=1×2
5
+1×2
4
+0×2
3+0×2
2
+1×2
1
+1×2
0
=1×32+1×1 6+1×2+1=51.
强调：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十 进制的运算规则计算出结果.
变式训练
设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.
算法分析：从例1的计算过程可 以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a
i
与k
i-1
的乘积a
i
·k
i-1
，再将其累加，这
是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结 构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，输入a，k和n的值.
第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.
第三步，b=b+a
i
·k
i-1
，i=i+1.
第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.
第五步，输出b的值.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “a,k，n=”；a，k，n
b=0
i=1
t=a MOD 10
DO
b=b+t*k^（i-1）
a=a10
t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i＞n
PRINT b
END
例2 把89化为二进制数.
解：根据二进制数“满二进一”的原则，可 以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：
因为89=2×44+1，44=2×22+0，
22=2×11+0，
11=2×5+1，
5=2×2+1，
2=2×1+0，
1=2×0+1，
所以
89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1
=2×（2×（2×（2×（2
2
+1）+1）+0）+0）+1
=…=1 ×2
6
+0×2
5
+1×2
4
+1×2
3
+0×2
2
+0×2
1
+1×2
0

=1 011 001
(2)
.
这种算法叫做除2取余法，还可以用右面的除法算式表示：

把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001
(2)
.
上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.
变式训练

设计一个程序，实现“除k取余法”.
算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：
若十制数a除以k所得商是q< br>0
，余数是r
0
，即a=k·q
0
+r
0
， 则r
0
是a的k进制数的右数第1位数.
若q
0
除以k所 得的商是q
1
，余数是r
1
，即q
0
=k·q
1< br>+r
1
，则r
1
是a的k进制数的左数第2位数.
……
若q
n-1
除以k所得的商是0，余数是r
n
，即q
n-1
=r
n
，则r
n
是a的k进制数的左数第1位数.
这样，我们可以得到算法步骤如下：
第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.
第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.
第三步，把得到的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.
程序框图如下图：

程序：
INPUT “a，k=”；a，k
b=0
i=0
DO
q=ak
r=a MOD k
b=b+r*10^i
i=i+1
a=q
LOOP UNTIL q=0
PRINT b
END
思路2
例1 将8进制数314 706
(8)
化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.
解：314 706
(8)
=3×8
5
+1×8
4
+4×8
3
+7×8
2
+0×8
1
+6×8
0=104 902.
所以，化为十进制数是104 902.
强调：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706
(8)
化为十进制数.
例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.
解：具体的计算方法如下：
89=3×29+2，
29=3×9+2，
9=3×3+0，
3=3×1+0，
1=3×0+1，
所以:89
(10)
=10 022
(3)
.
强调：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所 得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即
可.
知能训练
将十进制数34转化为二进制数．
分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数 ，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所
求．
解：

即34
(10)
=100 010
(2)

拓展提升
把1 234
(5)
分别转化为十进制数和八进制数．
解：1 234
(5)
=1×5
3
+2×5
2
+3 ×5+4＝194．
则1 234
(5)
=302
(8)

所以，1 234
(5)
=194＝302
(8)

强调： 本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和
八进制数之间需要借助于十进制数来转化．
课堂小结
（1）理解算法与进位制的关系.
（2）熟练掌握各种进位制之间转化.
作业
习题1.3A组3、4.

第2课时
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1
客观事物是相互联系的, 过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因
果关系.比如说：某某同学的数学成绩与 物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,
物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和 物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习
能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种 确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系
——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变 量的线性相关——回归直线及其方
程.
思路2
某小卖部为了了解热茶销售 量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的
杯数与当天气温的对照表：
气温℃
杯数
26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
-1
64
如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决
这个问题我们 接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.
提出问题
（1）作散点图的步骤和方法？
（2）正、负相关的概念？
（3）什么是线性相关？
（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体 内脂肪含量到底是以什么方
式增加的呢？
（5）什么叫做回归直线？
（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？
（7）利用计算机如何求回归直线的方程？
（8）利用计算器如何求回归直线的方程？
活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.
讨论结果：（1）建立相应的平面直角 坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得
到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形 叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某
一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变 量之间具有函数关系．b.如果所有的
样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如 果所有的样本点都落在某一直
线附近,变量之间就有线性相关关系）
（2）如果散点图中的点 散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散
布在从左上角到右下角的区域内, 称为负相关.
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.
（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以
从散 点图上来进一步分析.
（5）如右图：
从散点图上可以看出,这些点大致分布在通 过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中
点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个 变量之间具有线性相关关系,这条
直线叫做回归直线(regression line).如果能够求 出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么
我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性 .就像平均数可以作为一个变量的
数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表 .
（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.

那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?
有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然
后移动直线, 到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程
了.但是,这样做可靠吗 ?
有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.
同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?
还有的同学会想,在散 点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线
的斜率、截距的平均数,将这两个平均 数当成回归方程的斜率和截距.
同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? < br>（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个
数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距
的算 术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：


上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.
实际上,求回 归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距
离最小”.人们经过长期的实 践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式
n
?
(x
i< br>?x)(y
i
?y)
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
?
(x
i
?x)
2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx.
?
xy
i
i?1
n
i?1
n
i
?nxy
,(1)

?
x
i
2
?nx
2
其中，b是回归方程的斜率，a 是截距.
推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
)，
且所求回归方程是
y
=bx+a,
其中a、b是待定参数.当变量x 取x
i
(i=1,2,…,n)时可以得到
y
=bx
i
+a (i=1,2,…,n),
它与实际收集到的y
i
之间的偏差是y
i
-
y
=y
i
-(bx
i
+a)(i=1,2,…,n).
这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y
i
-
y
）可
^
^
^
^

正可负，为了 避免相互抵消，可以考虑用
?
|y
i?1
n
i
?y
i
|
来代替，但由于它含有绝对值，运算
^
不太方便，所以改用
Q =(y
1
-bx
1
-a)
2
+(y
2
-b x
2
-a)
2
+…+(y
n
-bx
n
-a )
2
②
来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.
这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运
算，a ,b的值由公式①给出.
通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的 点到它的距离
的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）.
（7）利用计算机求回归直线的方程.
根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程.
以Exc el软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归
方程,具体步骤如下：
①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定
“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.
②单击“类型”标签,选定“趋势 预测回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归
直线.
③双击回归直线 ,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”
按钮,得到回 归直线的回归方程
y
=0.577x-0.448.
^

（8）利用计算器求回归直线的方程.
用计算器求这个回归方程的过程如上：
所以回归方程为
y
=0.577x-0.448.
^

正 像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到
了它们之间关系 的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的.
直线回归方程的应用:
①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关
系.
②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）
进 行估计,即可得到个体Y值的容许区间.
③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的 范围来实现统计控制的目标.
如已经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方 程,即可通过控制汽车流量来控制空
气中NO
2
的浓度.
应用示例

思路1
例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的 影响，经过统计，得到
一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度℃
热饮杯数
-5
156
0
150
4
132
7
128
12
130
15
116
19
104
23
89
27
93
31
76
36
54
（1）画出散点图；
（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
（3）求回归方程；
（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.
解：（1）散点图如下图所示：

（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之< br>间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.
（3）从散点图可以看出，这些点大致分布 在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归
方程的系数.
利用计算器容易求得回归方程
y
=-2.352x+147.767.
(4)当x=2时，
y
=143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.
思考
气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？
这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：
1.线性回归方程中的截距和斜率 都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导
致预测结果的偏差.
2.即使截距 和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实
际值y很接近.我们不能 保证点（x,y）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回
归直线的附近，事实上，y=bx +a+e=
y
+e.
这里e是随机变量，预报值
y
与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定.
一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以
“这天大约可以 卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地
说，假如我们规定可以选 择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143
和144能够保证预测成功（即 实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.
例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.
机动车辆数x／千台
交通事故数y／千件
95
6.2
110
7.5
112
7.7
120
8.5
129
8.7
135
9.8
150
10.2
180
13 ^
^
^
^
(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系 ,如果不具有线性相关关系,说
明理由；
(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.
解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.
直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．
(2)计算相应的数据之和：
?
x
i?1
8
i
=1 031，
?
y
i?1
8
i
=71.6,

?
x
i?1
8
2
i
=137 835，
?
xy
i
i?1
8
i
=9 611.7.
将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1,
所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.
思路2
例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
水稻产量y
15
330
20
345
25
365
30
405
35
445
40
450
45
455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线的方程.
解：(1)散点图如下图．

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:
i
x
i

y
i

x
i
y
i

1
15
330
4 950
2
20
345
6 900
7
2
i
3
25
365
9 125
7
4
30
405
12 150
2
i
5
35
445
15 575
7
6
40
450
18 000
7
45
455
20 475
x?30,y?399.3,
?
x?700 0,
?
y?1132725,
?
x
i
y
i
?87175

i?1i?1i?1
故可得到
b=
87175?7?30?399.3
≈4.75,
7000?7?30
2
^
a=399.3-4.75×30≈257.
从而得回归直线方程是
y
=4.75x+257.
例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,
测得数据如下：
零件个数x（个）
加工时间y（分）
10
62
20
68
30
75
40
81
50
89
60
95
70
102
80
108
90
115
100
122
请判断y与x是否具有线性相关关系,如果y与x具有线性相关关系,求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
x?55,y?91.7,
?
x
=38 500,
?
y
=87 777,
?
x
i
y
i
=55 950.
2
i
2
i
i?1
i?1
i?1
101010
?xy
i
10
i
?10xy
?
?10x
2
b=
i?1
10
?
x
i?1
2
i
559 50?10?55?91.7
≈0.668.
2
38500?10?55
a =
y?bx
=91.7-0.668×55≈54.96.
因此,所求线性回归方程为
y
=bx+a=0.668x+54.96.
例3 已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下：
血球体积x(mL)
红血球数y(百万)
45
6.53
42
6.30
46
9.52
48
7.50
42
6.99
35
5.90
58
9.49
40
6.20
39
6.55
50
8.72
^
（1）画出上表的散点图；
（2）求出回归直线的方程.
解：（1）散点图如下.

（2）
x?
1
(45+42+ 46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50,
10
y?
1< br>(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8 .72)=7.37.
10
^
设回归直线方程为
y
=bx+a,则 b=
?
xy
i
i?1
10
10
i
?10x y
=0.175,a=
y?bx
=-0.418,
?
x
i ?1
2
i
?10x
2
所以所求回归直线的方程为
y
=0.175x-0.148.




知能训练
1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C.正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
答案：Ｄ
2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ）
A.
y
=5.75-1.75x B.
y
=1.75+5.75x
C.
y
=1.75-5.75x D.
y
=5.75+1.75x
答案：Ｄ
3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：
^^
^^
^

使用年限x
2 3 4
5．5
5
6．5
6
7．0 维修费用y 2．2 3．8
设y对x呈线性相关关系．试求：
^
（1）线性回归方程
y
=bx+a的回归系数a,b；
（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？
答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.
4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：
模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．
（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；
（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．
解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；
模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.
（2）模型1中相同的x值一定得到相 同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,
因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项 是随机的,所以模型2是随机性模型．

5．以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：
80 105 110 115 135
房屋大小x（m
2
）
销售价格y（万元）
18.4 22 21.6 24.8 29.2
（1）画出数据的散点图；
（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.
解：（1）散点图如下图.

（2）n=5,
?
x
i?1
5
i
=545,
x=109,
5
?
y
i?1
5
i
=116,y
=23.2,
?
x
i?1
5
2
i
=60 952,
?
xy
i
i?1
i
=12 952,
b =
5?12952?545?116
≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1. 509,
2
5?60952?545
所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．

拓展提升
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X
i
）与公司所获得利润（Y
i
）的统
计资料如下表：
科研费用支出（X
i
）与利润（Y
i
）统计表 单位：万元
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
科研费用支出
5
11
4
5
3
2
利润
31
40
30
34
25
20
180 30
合计
要求估计利润（Y
i
）对科研费用支出（X
i
）的线性回归模型.
^^^
解：设线性回归模型直线方程为：
Y
i
?
?
0
?
?
1
X
i
,因为：
x?
?
X
i
?
30
=5,
Y?
n6
?
Y
n
i
?
180
=30,
6
根据资料列表计算如下表：
年份
1998
X
i

5
Y
i

31
X
i
Y
i

155
X
i
2

25
X
i
-
X

0
Y
i
-
Y

1
(X
i
-
X
)
2
(X
i
-
X
)(Y
i
-
Y
)
0 0

1999
2000
2001
2002
2003
11
4
5
3
2
40
30
34
25
20
440
120
170
75
40
121
16
25
9
4
6
-1
0
-2
-3
10
0
4
-5
-10
36
1
0
4
9
60
0
0
10
30
100 30 180 1 000 200 0 0 50
合计
现求解参数β
0
、β
1
的估计值：
^
n
?
X
i
Y
i
?
?
Y
i
6?1000?30 ?1806000?5400600
=2, 方法一：
?
???
1
?
222
n
?
X
i
?(
?
X
i)6?200?30
1200?900300
?
0
?Y?
?1
x
=30-2×5=20.
^
方法二：
?
1
?
^^
?
XY?nxY
?
X?n(x)
ii
2< br>i
ii
2
?
1000?6?5?30100
=2，
?
50
200?6?5
2
?
0
?Y?
?
1
x
=30-2×5=20.
方法三：
?
?
?
(X ?x)(Y?Y)
?
100
=2，
50
?
(X?x)^
1
2
i
^^
5=20.
?
0
?Y ?
?
1
x
=30-2×
所以利润（Y
i
）对科研费 用支出（X
i
）的线性回归模型直线方程为：
Y
i
=20+2Xi
.
课堂小结
1．求线性回归方程的步骤：
（1）计算平均数
x,y
； (2)计算x
i
与y
i< br>的积，求∑x
i
y
i
; (3)计算∑x
i
2
,∑y
i
2
，
n
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
(4)将上述有关结果代入公式
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
2?
(x
i
?x)
?
?
i?1
?
??
a?y?bx
^^
^
?
xy
i
i?1
n
n
i
?nxy
,
?nx
2

?
x
i?1
2
i
求b,a,写出回归直线方程．
2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的
线性回归 方程系数公式建立线性回归方程.
作业 习题2.3A组3、4,B组1、2.

第二章 统计
2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力.
2．理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣.
3．学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．
重点难点
教学重点：理解随机抽样的必要性和重要性，用抽签法和随机数法抽取样本．
教学难点：抽签法和随机数法的实施步骤．
教学过程
导入新课
抽样的方法很多，某个抽样方法都有各自的优越性与局限性，针对不同的问题应当选择
适当的抽样方法． 教师点出课题：简单随机抽样．
提出问题
(1)在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了 一
次民意测验.调查兰顿()(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(elt)(当时的总统)
中谁 将当选下一届总统.为了了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大
批人发了调查表 (注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表,显示
兰顿非常受欢迎,于 是此杂志预测兰顿将在选举中获胜.
实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下:
候选人
Roosevelt
Landon
预测结果%
43
57
选举结果%
62
38
你认为预测结果出错的原因是什么？由此可以总结出什么教训？
（2）假设你作为一名食品卫生工作人 员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标
检验，你准备怎样做？显然，你只能从中抽取一定数 量的饼干作为检验的样本．那么，应当
怎样获取样本呢？
（3）请总结简单随机抽样的定义.
讨论结果：
(1)预测结果出错的原因是：在民意测验的过程中，即抽取样本时，抽取的样本 不具有代表
性．1936年拥有电话和汽车的美国人只是一小部分，那时大部分人还很穷．其调查的结果
只是富人的意见，不能代表穷人的意见．
由此可以看出，抽取样本时，要使抽取出的样本具有代表性，否则调查的结果与实际相
差较大．
(2)要对这批小包装饼干进行卫生达标检查，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本，
用样本 的卫生情况来估计这批饼干的卫生情况．如果对这批饼干全部检验，那么费时费力，
等检查完了，这批饼 干可能就超过保质期了，再就是会破坏这批饼干的质量，导致无法出售．
获取样本的方法是： 将这批小包装饼干，放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀，然后不
放回地摸取（这样可以保证每一袋饼干 被抽到的可能性相等），这样就可以得到一个样本．通
过检验样本来估计这批饼干的卫生情况．这种抽样 方法称为简单随机抽样．
(3)一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作 为样本(n≤N)，如
果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单 随机抽

样．最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法．
提出问题
(1)抽签法是大家最熟悉的，也许同学们在做某种游戏，或者选派一部分人参加某项活
动时就用过抽签法.例如,高一(2)班有45名学生,现要从中抽出8名学生去参加一个座谈会,每
名学生的机会均等.我们可以把45名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋
子中,充 分搅拌后,再从中逐个抽出8个号签,从而抽出8名参加座谈会的学生.
请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤.
(2)你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
(3) 随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样．我们仅学习随机
数表法即利用随机 数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法．
怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明.
假设我们要考察某公司生产的500克 袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取
60袋进行检验.利用随机数表抽取样本时,可以按 照下面的步骤进行.
第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,…,799.
第二步,在随机数 表中任选一个数.例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明,下面摘取
了附表1的第6行至第10行 .)
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步, 从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),得到一个
三位数785,由于7 85<799,说明号码785在总体内,将它取出;继续向右读,得到916,由于
916>799, 将它去掉.按照这种方法继续向右读,又取出567,199,507,…,依次下去,直到样本的60
个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为60的样本.
请归纳随机数表法的步骤. (4)当N＝100时，分别以0，3，6为起点对总体编号，再利用随机数表抽取10个号码．你
能说出从0开始对总体编号的好处吗？
(5)请归纳随机数表法的优点和缺点．
讨论结果：
(1)一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.
抽签法的步骤是：
1°将总体中个体从1—N编号；
2°将所有编号1—N写在形状、大小相同的号签上；
3°将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
4°从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；
5°从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出．
(2)抽签法的优点是简单易行，缺 点是当总体的容量非常大时，费时、费力，如果标号的签
搅拌得不均匀，会导致抽样不公平．因此说当总 体中的个体数很多时，用抽签法不方便．这
时用随机数法．
(3)随机数表法的步骤：
1°将总体中个体编号；
2°在随机数表中任选一个数作为开始；
3°规定从选定的数读取数字的方向；
4°开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号 中则取出，依次取下去，直到取满为

止；
5°根据选定的号码抽取样本． < br>(4)从0开始编号时，号码是00，01，02，…，99；从3开始编号时，号码是003，004， …，
102；从6开始编号时，号码是006，007，…，105．所以以3，6为起点对总体编号时 ，所
编的号码是三位，而从0开始编号时，所编的号码是两位，在随机数表中读数时，读取两位
比读取三位要省时，所以从0开始对总体编号较好．
(5)综上所述可知，简单随机抽样有操作简便易 行的优点，在总体个数不多的情况下是行之
有效的.但是，如果总体中的个体数很多时，对个体编号的工 作量太大，即使用随机数表法
操作也并不方便快捷.另外，要想“搅拌均匀”也非常困难，这就容易导致 样本的代表性差.
应用示例
例1 某车间工人加工一种轴共100件，为了了解这种轴的 直径，要从中抽取10件轴在同
一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
分析：简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法，所以有两种思路．
解法一（抽签法）：
①将100件轴编号为1，2，…，100；
②做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个号码；
③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；
④逐个抽取10个号签；
⑤然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本．
解法二（随机数表法）：
①将100件轴编号为00，01，…99；
②在随机数表中选定一个起始位置，如取第22行第1个数开始(见教材附录1:随机数表)；
③规定读数的方向，如向右读;
④依次选取10个为
68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，
则这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本．
强调：本题主要考查简单随机抽样的步骤． 抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能
性相等而必须搅拌均匀，当总体中的个体无差异，并且总 体容量较小时，用抽签法；用随机
数表法读数时，所编的号码是几位，读数时相应地取连续的几个数字， 当总体中的个体无差
异，并且总体容量较多时，用抽签法．
变式训练
1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有____________．
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．
（2）从1 000个个体中一次性抽取50个个体作为样本．
（3）将1 000个个体编号，把号签放在一个足 够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个
抽取50个个体作为样本．
（4）箱子里共有10 0个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意
取出一个零件进行质量检验后， 再把它放回箱子．
（5）福利彩票用摇奖机摇奖．
解析：（1）中，很明显简单随机抽样是 从有限多个个体中抽取，所以（1）不属于；（2）中，
简单随机抽样是逐个抽取，不能是一次性抽取， 所以（2）不属于；很明显（3）属于简单随
机抽样；（4）中，抽样是放回抽样，但是简单随机抽样是 不放回抽样，所以（4）不属于；
很明显（5）属于简单随机抽样．
答案：（3）（5）
2.要从某厂生产的30台机器中随机抽取3台进行测试，写出用抽签法抽样样本的过程．
分析：由于总体容量和样本容量都较小，所以用抽签法．

解：抽签法，步骤：
第一步，将30台机器编号，号码是01，02，…，30.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签.
第三步，将得到的号签放入不透明的袋子中，并充分搅匀.
第四步，从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号.
第五步，所得号码对应的3台机器就是要抽取的样本．
例2 人们打桥牌时，将洗好的扑克 牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何
一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这 种抽样方法是否是简单随机抽样？
解：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只 是随机确定了起始张，
其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样 ．
强调：判断简单随机抽样时，要紧扣简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保证每个个
体被抽到的可能性相等．
变式训练
现在有一种“够级”游戏，其用具为四副扑克， 包括大小鬼（又称为花）在内共216张牌，
参与人数为6人并坐成一圈．“够级”开始时，从这6人中 随机指定一人从已经洗好的扑克牌
中随机抽取一张牌（这叫开牌），然后按逆时针方向，根据这张牌上的 数字来确定谁先抓牌，
这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌方法是否是简单随机抽样？
解：在这里只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑
克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌可能性不相同，所以不是简单随机抽样．
知能训练
1． 为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
（ ）
A.总体是240 B.个体 C.样本是40名学生 D.样本容量是40
答案：D
2．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零 件的长度，在这个问题中，200
个零件的长度是（ ）
A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量
答案：C
3．一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则
某一特定 个体被抽到的可能性是____________．
答案：
1

10
4．为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，如何用简单随机抽
样抽取样 本？
解：方法一（抽签法）：
①将这40件产品编号为1，2，…，40；
②做好大小、形状相同的号签，分别写上这40个号码；
③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；
④连续抽取10个号签；
⑤然后对这10个号签对应的产品检验．
方法二（随机数表法）：
①将40件产品编号，可以编为00,01,02，…，38,39；
②在随机数表中任选一个数作为开始，例如从第8行第9列的数5开始，；
③从选定的数5开 始向右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59＞39，将它去掉；继
续向右读，得到16，将它 取出；继续下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21，随后的两位数
字号码是1 2，由于它在前面已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34．至此，10个样本

号码 已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34．
拓展提升
现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算 从中抽取一个容量为6
的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？
分析：重新编号，使每个号码的位数相同．
解：方法一：
第一步，将元件的编号调整为010，011，012，…，099，100，…，600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7
个数“9”, 向右读.
第三步,从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010—600中的数跳过去不读 ，前面
已经读过的也跳过去不读，依次可得到544，354，378，520，384，263.
第四步,以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．
方法二:
第一 步,将每个元件的编号加100，重新编号为110，111，112，…，199，200，…，700. < br>第二步,在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第8行第1
个数“ 6”,向右读.
第三步,从数“6”开始，向右读，每次读取三位，凡不在110—700中的数跳过 去不读，前面
已经读过的也跳过去不读，依次可得到630，163，567，199，507，175 .
第四步,这6个号码分别对应原来的530，63，467，99，407，75．这些号码对应的 6个元件
就是要抽取的对象．
课堂小结
1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的 抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：
放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样， 常用的简单随机抽样方法有抽签法和
随机数法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体 的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如
果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法 的优点与抽签法相同，缺点是当
总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法 只适合总体容量较
小的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n
，但是这里一定要将每个个体入样
N
的可能性、第n次每个个体入样的可能性、 特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况
区分开来，避免在解题中出现错误．
作业
课本本节练习2、3．

2.1.2 系统抽样
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的 应用，
提高学生学习数学的兴趣.
2．通过自学课后“阅读与思考”，让学生进一步了解虚假 广告是淡化总体和抽样方法、强化
统计结果来夸大产品的有效性，以提高学生理论联系实际的能力．
重点难点
教学重点：实施系统抽样的步骤．
教学难点：当
导入新课
思路1
上一节我们学习了简单随机抽样，那么简单随机抽样的特点是什么？简单随机 抽样是最
简单和最基本的抽样方法，当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样．但是如果总体中的个体较多时，怎样抽取样本呢？教师点出课题：系统抽样．
思路2
某中学有5 000名学生，打算抽取200名学生，调查他们对奥运会的看法，采用简单随
机抽样时， 无论是抽签法还是随机数法，实施过程很复杂，需要大量的人力和物力，那么有
没有更为方便可行的抽样 方法呢？这就是今天我们学习的内容：系统抽样．
提出问题
（1）某学校为了了解高一年级 学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取
50名进行调查，除了用简单随机抽样获取 样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
（2）请归纳系统抽样的定义和步骤.
(3)系统抽样有什么特点？
讨论结果：
(1)可以将这500名学生随机编号1 —500，分成50组，每组10人，第1组是1—10，第二
组11—20，依次分下去，然后用简单 随机抽样在第1组抽取1人,比如号码是2，然后每隔
10个号抽取一个，得到2，12，22，…，4 92．
这样就得到一个容量为50的样本．
这种抽样方法称为系统抽样．
(2) 一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，
然后按照预先制定 的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法
叫做系统抽样.
其步骤是：
1°采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号;
2°将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,l≤k);
3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（l∈N,l≤k）;
4°按照一定的规 则抽取样本.通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k)，再
加上k得到第3个个体 编号(l+2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．
说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而
把复杂问题简单化，体现了数学转化思想．
(3)系统抽样的特点是：
1°当总体容量N较大时，采用系统抽样；
2°将总体 分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样
N
不是整数，如 何实施系统抽样．
n

又称等距抽样，这时间隔一般为k＝［
N
］．
n
3°预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的
基础 上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．
应用示例
例1 为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，应采用什么抽样方法较恰当？简
述抽样过程．
解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
（1）随机地将这1 000名学生编号为1，2 ，3，…，1000．
（2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
（3）在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如
18．
（4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，< br>58，…，978，998．
强调：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相 等,从而说明系统抽样是
等概率抽样，它是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将 总体均分后
对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．
变式训练
1．下列抽样不是系统抽样的是（ ）
A.从标有1—15号的15个小球中任选3个 作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点
i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检 验人员从传送带上每隔五分钟抽一
件产品检验
C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一 个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人
数为止
D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
分析：C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所
以不是系统抽 样.
答案：C
2.某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了 解学生的学习情况，要
按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号．
解：抽样过程是：
（1）按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们 把259名同学分成59组，
每组5人，第一组是编号为1—5的5名学生，第2组是编号为6—10的 5名学生，依次下
去，59组是编号为291—295的5名学生；
（2）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(l≤5)； < br>（3）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l+5k(k=0,1,2,…，58)，得到59个 个体作
为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，…，288，293．
例2 为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50
的样本．
分析：由于
1003
不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体．
50
步骤：
（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．
（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1

000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1，2，3，…，1000．
（3）确定分段间隔．
1000
=20，则将这1 000名学生分成50组，每组2 0人，第1组是1，
50
2，3，…，20；第2组是21，22，23，…，40；依次下去 ，第50组是981，982，…，1000．
（4）在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤20).
（5）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l+20k (k=0,1,2,…，19)，得到 50个个体
作为样本，如当k=2时的样本编号为2，22，42，…，982．
强调：如果 遇到
N
不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩
n
余的个体数能被样本容量整除．
变式训练
1.某校高中三年级有1 242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶40的比例抽取一
个样本，那么（ ）
A.剔除指定的4名学生 B.剔除指定的2名学生
C.随机剔除4名学生 D.随机剔除2名学生
分析：为了 保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于
1242
的余数是
40
2，所以要剔除2名学生.
答案：D
2.从2 005个编号中抽取20个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为（ ）
A.99 B.99.5 C.100 D.100.5
答案：C
例3 从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来 进行发射实
验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A.5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43
C.1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32
分析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k,k+d,k+2d ,k+3d,k+4d,其中d=505=10,k
是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只 有选项B满足要求.
答案：B
强调：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序 排起来，从第2个号码开始，
每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔．
变式训练
某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了 学生，会后为
了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是_____ ____抽
样方法．
答案：系统
知能训练
1．从学号为0—50的高一 某班50名学生中随机选取5名同学参加数学竞赛，采用系统抽样
的方法，则所选5名学生的学号不可能 是（ ）
A.1，2，3，4，5 B.5，15，25，35，45
C.2, 12, 22, 32, 42 D.9，19，29，39，49
答案：A
2．采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取 一个样本容量为10的样本，那么每个个体入
样的可能性为（ ）

A.
111
B. C. D.不相等
10
8380
答案：A
3． 某单位的在岗工人为624人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间，
决定抽取10% 的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
答案：先随机剔除4人，再按系统抽样抽取样本．
4．某学校有学生3 000人，现在要抽取100人组成夏令营，怎样抽取样本？
分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样．
解：按系统抽样抽取样本，其步骤是：
①将3 000名学生随机编号1，2，…，3000；
②确定分段间隔k＝
3000
=30 ，将整体按编号进行分100组，第1组1—30，第2组31—60，
100
依次分下去，第 100组2971—3000；
③在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（l∈N,0≤l≤30）；
④按照一定的 规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔30得到第2个个体编号l+30，
再加上30，得到第3 个个体编号l+60，这样继续下去，直到获取整个样本．比如l＝15，则
抽取的编号为：15，45 ，75，…，2985．
这些号码对应的学生组成样本．
拓展提升
将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下000，001，002，…，999，打算从中抽取一个
容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000，002，…，019，如
果 在第一组随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为_____________．
分析 ：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为l＝015，分段间隔为k＝
1000
=20， 则
50
在第i组中抽取的号码为015+20(i－1)．则抽取的第40个号码为015＋( 40-1)×20=795．
答案：795
课堂小结
通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获取
样本．
作业
习题2.1A组3．

2.1.3 分层抽样
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1．理解分层抽样的概念，掌握其实施步骤，培养学生发现问题和解决问题的能力；
2．掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，提高学生的总结和归纳能力，
让学 生领会到客观世界的普遍联系性．
重点难点
教学重点：分层抽样的概念及其步骤．
教学难点：确定各层的入样个体数目，以及根据实际情况选择正确的抽样方法．
导入新课
思路1
中国共产党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、 党员人数
进行分配的，并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表名额，比十六大时都有增加．另外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位
的老党员 作为特邀代表出席大会．这种产生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样？教师
点出课题：分层抽样．
思路2
我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样．
提出问题
(1)假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人，此地教育部 门为了
了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调
查，你认为应当怎样抽取样本？
(2)想一想为什么这样取各个学段的个体数？
(3)请归纳分层抽样的定义.
(4)请归纳分层抽样的步骤.
(5)分层抽样时如何分层？其适用于什么样的总体？
讨论结果：(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取2 400×1%=24人，在初中生中抽取10
900×1%=109人，在小学生中抽取11 000×1%=110人．这种抽样方法称为分层抽样．
(2)含有个体多的层，在样本中的代表也应 该多，即样本从该层中抽取的个体数也应该多．这
样的样本才有更好的代表性．
(3)一般地 ，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽
取一定数量的个体，将各 层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样．
(4)分层抽样的步骤：
①分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；
②按抽样比确定每层抽取个体的个数；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
(5)分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
①分层时将相似的个体归入一 类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不
重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总 体结构一致性．
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本 数量
与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．
③当总体个体差异明显时，采用分层抽样．

应用示例

例1 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有 280人，50
岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取10 0名
职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选取分层抽样来抽取样本.
解：用分层抽样来抽取样本,步骤是:
(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到3 5岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以
上的职工.
10011
?
， 则在不到35岁的职工中抽125×=25
50055
11
人；在35岁至49岁的职 工中抽280×=56人；在50岁以上的职工中抽95×=19人．
55
(2)确定每层抽 取个体的个数．抽样比为
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成样本．
强调：本题主要考查分层抽样及其实施步骤．如果总体中的 个体有差异时，那么就用分层抽
样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一 层．
变式训练
1.某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之 比为2∶3∶5，现要从
所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写 出抽样过程．
分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．在 3
个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是
200×
235
=40；200×=60；200×=100．
2?3?52?3?52?3?5
解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层.
(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100．
(3)在各层分别按随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成样本．
2. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们
中抽取容量为 36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）
A.简单随机抽样 B.系统抽样
C.分层抽样 D.先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
分析：总人数为28+54+81=163．样本容量为3 6，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑
用分层抽样.若按36∶163取样，无法得到整解，故考 虑先剔除1人，抽取比例变为
36∶162=2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人 中剔除1人，老年人取6
人，组成36的样本.
答案：D
例2 某商场 有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40
种、10种、30种、20种， 现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分
层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油 类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
2011
=，则抽取的植物油类种数是10 ×=2，则抽取的果蔬
40?10?30?2055
1
类食品种数是20×=4，所以 抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.
5
分析：抽样比为
答案：C
强调：如果A、B、C三层含有的个体数目分别是x、y、z,在A、B、C三层应抽取的个体数
目分别是m、n、p,那么有x∶y∶z=m∶n∶p；如果总体有N个个体,所抽取的样本容量为n,

某层所含个体数目为a,在该层抽取的样本数目为b,那么有
nb
?
．
Na
变式训练
1.（2007浙江高考，文13）某校有学生2 000人，其 中高三学生500人．为了解学生的身体
素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个 200人的样本．则样本中高
三学生的人数为______________．
分析：抽样比为
20011
?
，样本中高三学生的人数为500×=50.
20001010
答案：50
2.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面
的情况，计划采用分层抽样法，抽取一 个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（ ）
A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人
C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人
9011
?
，则应在这三校分别抽取学生：×3 600=30
3600?5400?1800120120
11
人，×5 400=45人，×1 800=15人.
120120
分析：抽样比是
答案：B
知能训练
1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 80 0户，工人家庭
100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中， 可以
用到下列抽样方法（ ）
①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样
A.②③ B.①③ C.③ D.①②③
分析：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子
这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家
庭 这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整
个抽样过程要用 到①②③三种抽样法.
答案：D
2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中 型商店有75家，小型商店有195家．为
了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本 ．若采用分层抽样的方法，抽
取的中型商店数是______________．
答案：5
3．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？
分析： 由于研究血型与色弱的关系，按血型分层，用分层抽样抽取样本．利用抽样比确定抽
取各种血型的人数．
解：用分层抽样抽取样本．
2022
?
，即抽样比为.
50050
50
222
∴200×=8，125×=5，50×=2.
505050
∵
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.
抽样步骤：
①确定抽样比
2
；
50
②按比例分配各层所 要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB

型血抽2人;
③用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本.
拓展提升
某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用
简单随机 抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使
用系统抽样时，将 学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果
抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样
分析：如果按分层抽样时，在一年级抽取108×
1010
=4人，在二、三年级各抽取81×=3
270270
人，则在号码段1，2，…，108抽 取4个号码，在号码段109，110，…，189抽取3个号码，
在号码段190，191，…，27 0抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④
不符合，所以④不可能是分层抽样；如果 按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③
符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样， ②④都不能为系统抽样.
答案：D
强调：根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样 方法的特征．利用简单随机抽样抽
取出的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性 ，即在每一层抽取的
号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有m个号码在该层的号 码段
内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的
号码是：l,l+k,l+2k,…,l+(n－1)k．其中，n为样本容量，l是第一组中的号码，k为分段 间隔
＝总体容量／样本容量．
课堂小结
本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤．
作业
习题2.1A组5.

2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知 识解决问题的方
法.
2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、 频率折线图和茎叶图,理
解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.
3.通过对样本分析 和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直
方图、频率折线图、茎叶图的 各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作
出总体估计,认识到数学知识源于生活并 指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.
重点难点
教学重点：会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.
教学难点:能通过样本的频率分布估计总佒的分布.
导入新课
思路1
在NBA的2006赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕
甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50
乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33
请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如 何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——
用样本的频率分布估 计总体分布（板书课题）.
思路2
如下样本是随机抽取近年来北京地区7月25日至8月24日的日最高气温.
7月25
日至8
月10日
8月8日
至8月
24日
41．9
32．5
28．6
32．8
37．5
34．6
31．5
29．8
35．7
33．0
28．8
25．6
35．4
30．8
33．2
24．7
37．2
31．0
32．5
30．0
38．1
28．6
30．3
30．1
34．7
31．5
30．2
29．5
33．7
28．8
29．8
30．3
33．3

33．1

怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温（≥33 ℃）状况？这就是我们这堂课
要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.
思路3
讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况,应该怎样进行抽样？
提问：学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢?
讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？（从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体）
指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征（平均
数、标准差等 ）估计总体的数字特征.这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样
本的频率分布估计总体分布 .
提出问题
（1）我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为 了节约生活用水,
计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超 过a的
部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标< br>准a定为多少比较合理呢？你认为,为了较合理地确定出这个标准,需要做哪些工作？（让学
生展 开讨论）

（2）什么是频率分布？
（3）画频率分布直方图有哪些步骤？
（4）频率分布直方图的特征是什么？
讨论结果：
（1）为了制定一个较为合理的 标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均
用水量在哪个范围的居民最多,他们占全 市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式,
通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况 .
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,< br>作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变
数据 的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.
下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是 从各个小组数据在样本容量中所占比例
大小的角度,来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚地看到整 个样本数据的频率分布情
况.
（2）频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大 小；一般用频率分布直方图
反映样本的频率分布.
（3）其一般步骤为：
①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
（4）频率分布直方图的特征：
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.
②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就
被 抹掉了.
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同. 不同的形
状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以0.1和1为组距重新作
图,然后谈谈你对图的印象.
提出问题
（1）什么是频率分布折线图？
（2）什么是总体密度曲线？
（3）对于任何一个总体，它的密度曲线是否一定存在？是否可以被非常准确地画出来？
（4）什么叫茎叶图？画茎叶图的步骤有哪些？
（5）茎叶图有什么特征？
讨论结果：
（1）连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.
（2）在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这
条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们
提供更加精 细的信息.
（3）实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画 出来,
我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确． （4）当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表
示个 位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,
因此通常把这 样的图叫做茎叶图.
画茎叶图的步骤如下：
①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部 分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数

字;
②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;
③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.
（5）①用茎叶图表示数据有两个优点： 一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据
信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可 以随时记录,随时添加,方便记录与表示.
②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方 便记录两组的数据,两个以上的数
据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.
茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有
样本数据构成 ,没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录(这对于教练员发现运
动员现场状态特别有用) ;而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在
完成抽样后才能制作.
正 确利用三种分布的描述方法，都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、
是否具有对称 性、样本点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的随机性的影响比较
小,更接近于总体分布的 相应的特点.
频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的,它们只不过是相同的数据的两种 不
同的表达方式,茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶
的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数.
应用示例
思路1
例1 有1 00名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有30人,参加篮球队的有
27人,参加排球 队的有23人,参加乒乓球队的有20人.
(1)列出学生参加运动队的频率分布表.
(2)画出频率分布条形图.
解：(1)参加足球队记为1,参加篮球队记为2,参加排球队 记为3,参加乒乓球队记为4,得频率
分布表如下：
试验结果
参加足球队（记为1）
参加篮球队（记为2）
参加排球队（记为3）
参加乒乓球队（记为4）
合 计
(2)由上表可知频率分布条形图如下：
频数
30
27
23
20
100
频率
0.30
0.27
0.23
0.20
1.00

例2 为了了解中学生的身体发育情况,对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量,结果
如下：（单位：cm）
154 159 166 169 159 156 166 162 158
156 166 160 164 160 157 151 157 161
158 153 158 164 158 163 158 153 157
162 159 154 165 166 157 151 146 151

160 165 158 163 163 162 161 154 165
162 159 157 159 149 164 168 159 153
列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图.
解：第一步,求极差：上述60个数据中最大为169,最小为146.
故极差为：169－146＝23 cm.
第二步,确定组距和组数,可取组距为3 cm,则组数为
232
?7
,可将全部数据分为8组.
33
第三步 ,确定组限：［145.5,148.5),［148.5,151.5),［151.5,154.5),［1 54.5,157.5),［157.5,160.5),
［160.5,163.5),［163.5 ,166.5),［166.5,169.5).
第四步,列频率分布表：
分组
［145.5,148.5)
［148.5,151.5)
［151.5,154.5)
［154.5,157.5)
［157.5,160.5)
［160.5,163.5)
［163.5,166.5)
［166.5,169.5)
合计




个数累计





频数
1
3
6
8
18
11
10
3
60
频率
0.017
0.050
0.100
0.133
0.300
0.183
0.167
0.050
1.000
第五步,根据上述数据绘制频率分布直方图如下图：

以上例1和例2两种情况的不 同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的
频率,相应的条形图是用其高度表示取各个值的 频率；后者的频率分布表列出的是在不同区
间内取值的频率,相应的直方图是用图表面积的大小来表示在 各个区间内取值的频率.
我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的 方法,这是因为,频
率分布随着样本容量的增大更加接近于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距 无限缩
小时,频率分布的直方图就演变成一条光滑的曲线——总体密度曲线.这条曲线是客观存在的,< br>但是我们却很难将它准确地画出,我们只能用样本的频率分布去对它进行估计.基于频率分布
与相 应的总体分布有这种关系,再加上我们通常并不知道一个总体的分布,我们往往是从一个
总体中抽取一个 样本,用样本的频率去估计相应的总体分布.一般说来,样本的容量越大,这种
估计就越精确.
例3 从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本,< br>如下（单位：cm）．作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170(cm)的同学所占的百
分率．
168
165
170
160
165
170
155
170
171
168
166
168
167
169
158
164
170
171
155
174
165
166
160
170
170
164
160
165
152
155
164
179
175
164
156
163
174
158
162
172

180
151
177
178
167
161
174
168
158
165
163
165
173
158
175
158
164
174
159
168
165
170
158
156
163
176
169
169
168
167
172
155
151
159
167
166
167
165
163
155
161
162
160
165
166
163
162
161
164
169
163
153
167
164
169
162
167
155
168
166
解：（1）在全部数据中找出最大值180与最小值151,它们相差（极差）29,决定组距为3；
（2）将区间［150.5,180.5］分成10组；分别是［150.5,153.5),［153 .5,156.5),…,［177.5,180.5)；
（3）从第一组［150.5,153.5 )开始分别统计各组的频数,再计算各组的频率,列频率分布表：
分组
［150.5,153.5)
［153.5,156.5)
［156.5,159.5)
［159.5,162.5)
［162.5,165.5)
［165.5,168.5)
［168.5,171.5)
［171.5,174.5)
［174.5,177.5)
［177.5,180.5)
合计
频数累计
4
12
20
31
53
72
86
93
97
100

频数
4
8
8
11
22
19
14
7
4
3
100
频率
0．04
0．08
0．08
0．11
0．22
0．19
0．14
0．07
0．04
0．03
1
根据频率分布表可以估计,估计身高不小于170的同学所占的百分率为：
［0.14×
17 1.5?170
+0.07+0.04+0.03］×100%=21%．
171.5?168.5
强调：一般地，编制频率分布表的步骤如下：
（1）求极差,决定组数和组距；
（2）分组,通常对组内的数值所在的区间取左闭右开区间；
（3）登记频数,计算频率,列出频率分布表．

思路2
例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).
区间界限
人数
区间界限
人数
［122,126)
5
［142,146)
11
［126,130)
8
［146,150)
6
［130,134)
10
［150,154)
5
［134,138)
22
［154,158)
20
［138,142)
33


(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.
解：（1）样本频率分布表如下：
分组
［122,126)
［126,130)
［130,134)
［134,138)
频数
5
8
10
22
频率
0.04
0.07
0.08
0.18

［138,142)
［142,146)
［146,150)
［150,154)
［154,158)
合计
（2）其频率分布直方图如下：
33
20
11
6
5
120
0.28
0.17
0.09
0.05
0.04
1

（3）由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所
以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
例2 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟 跳绳次数测试,将所得数
据整理后,画出频率分布直方图(如上右图),图中从左到右各小长方形面积之 比为
2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？

分析：在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数成
正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1.
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,
4
=0.08；
2?4?17?15?9?3
第二小组频数
又因为频率=，
样本容量
第二小组频数12
?
所以样本容量==150.
第二小组 频率0.08
17?15?9?3
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为×100%= 88%.
2?4?17?15?9?3
因此第二小组的频率为：
例3 甲、乙两篮球运动员在上赛季每场比赛的得分如下,试比较这两位运动员的得分水平．
甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;
乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
解：画出两人得分的茎叶图如下：
从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分大致对称,平均得分 及中位数、众数都是30多分；乙
运动员的得分除一个51外,也大致对称,平均得分及中位数、众数都 是20多分,因此甲运动员
发挥比较稳定,总体得分情况比乙好．

知能训练
1.右上面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知（ ）
A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为0分
答案：A
2.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下：(12.5,15.5 ］,3;(15.5,18.5］,
8;(18.5,21.5］,9;(21.5,24.5］,1 1;(24.5,27.5］,10;(27.5,30.5］,4.由此估计,不大于27.5的数据约
为总体的（ ）
A.91% B.92% C.95% D.30%
答案：A
3.一个容量为20的样本数据,数据的分组及各组的频数如下：
（10,20）,2；（2 0,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.
则样本在区间（10,50）上的频率为（ ）
A.0.5 B.0.7 C.0.25 D.0.05
答案：B
4.一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查,制成了< br>该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如下图）,
根据 图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭____________万盒．

快餐公司个数情况图 快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图
答案：85
拓展提升
为了了解一大片经济林生长情况,随机测量其中的100株的底部周长,得 到如下数据表
（单位：cm）.
135
125
109
105
129
111
129
99
102
123
98
97
124
123
126
89
99
101
108
119
102
117
87
111
97
110
90
116
117
98
110
113
131
103
100
121
99
97
99
121
99
110
97
105
115
80
121
102
118
101
121
92
102
92
111
120
123
108
106
113
110
102
123
114
106
121
107
101
119
102
96
109
104
108
117
104
111
95
97
103
100
104
104
104
104
108
91
107
126
104
103
112
128
102
109
118
100
101
108
108
（1）编制频率分布表；（2）绘制频率分布直方图；（3）估计该片经济林中底部周长小于100

cm的树木约占多少？周长不小于120 cm的树木约占多少？
解：（1）这组数据的最大值为135,最小值为80, 极差为55,可将其分为11组,组距为5．
频率分布表如下：
分组
［80,85)
［85,90)
［90,95)
［95,100)
［100,105)
［105,110)
［110,115)
［115,120)
［120,125)
［125,130)
［130,135］
合计
（2）直方图如下图：
频数
1
2
4
14
24
15
12
9
11
6
2
100
频率
0.01
0.02
0.04
0.14
0.24
0.15
0.12
0.09
0.11
0.06
0.02
1
频率组距
0.002
0.004
0.008
0.028
0.048
0.030
0.024
0.018
0.022
0.012
0.004
0.2

（3）从频率分布表得,样本中小于100的频率为0.01+0.02+ 0.04+0.14=0.21,样本中不小于120
的频率为0.11+0.06+0.02=0.1 9,估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%,周长
不小于120 cm的树木约占19%．
课堂小结
总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于 总体分布不易知道,因此我们往往用样本
的频率分布去估计总体的分布.
总体的分布 分两种情况：当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布；当总
体中的个体取值较多时,将样 本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用
频率分布表或频率分布直方图.
作业
习题2.2A组1、2.

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数 ；能用样本的众数、中位数、平
均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判 断,制定解决问题的有
效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集 、整理、分
析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.
2.正确理解样 本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合
理地选取样本,从样本数 据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；
会用样本的基本数字特征估计总体 的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意
识.
3.在解决统计问题的过程中, 进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和
逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方 法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,
认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世 界的联系.
重点难点
教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理 解释,估计总体的基
本数字特征；体会样本数字特征具有随机性.
教学难点：用样本平均数和 标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的
实际问题.
第1课时 众数、中位数、平均数
导入新课
思路1
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕
甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；
乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判 断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握
总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的 数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计
总体的数字特征.(板书课题)
思路2
在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然
不能把 所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的
寿命看作总体, 从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征
来估计总体的数字特征.
提出问题
(1)什么是众数、中位数、平均数？
(1)如何绘制频率分布直方图？
(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？
活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.
讨论结果：
(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小
顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均
数）等各 种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.
(2)画频率分布直方图 的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定
组距与组数；将数据分组；列频率 分布表；画频率分布直方图.

(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的 问题中,从这些样本数据的频率分布直方
图可以看出,月均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水
量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.
请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定
义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析 ：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数
据的频率分布 直方图得来的,所以存在一些偏差.

提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中,有50%的个体小 于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.
因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正 好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直
方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.0 2.
思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？ （原
因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水
量特别 高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.
思考：中位数不受少数几个极端值的影响, 这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不
敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨 论,并举例）
对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据 错写成22,
并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据
的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.
对极端值不敏感有弊 的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,
这时如果采用各个公司计算机专业 技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒
这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业 技术水平人员的收入很低,其原因是中位数
对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中 位数来作为参考指标,选择平均
工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数 据中的极端情况.
同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平 均数,它等于
频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民 的
月均用水量的平均值为2.02 t.
显示了居民月均用水量的平均数,它是频率 分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样
本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平 均数的改变.这是中位数、众数都不具
有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数 可以反映出更多的关于样本数
据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大 ,这是因为他们的
月均用水量与平均数相差太多了.
利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
总之, 众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本
众数易计算,但 只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中
排在中间数据的信息,与数 据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值

越大的数据,对平均数 的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的
平均水平,是一组数据的“重心 ”.
应用示例
思路1
例1 （1）若M个数的平均数是X,N个数的平均数是 Y,则这M+N个数的平均数是
___________；
（2）如果两组数x
1< br>,x
2
,…,x
n
和y
1
,y
2
, …,y
n
的样本平均数分别是x和y,那么一组数
x
1
+y
1
,x
2
+y
2
,…,x
n
+y
n
的平均数是___________．
活动：学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.
解：（1）
MX?NYx?y
； （2）.
M?N2
例2 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,
试确定这次考 试中,哪个班的语文成绩更好一些．
甲班：
112 86 106 84 100 105 98 102 94 107
87 112 94 94 99 90 120 98 95 119
108 100 96 115 111 104 95 108 111 105
104 107 119 107 93 102 98 112 112 99
92 102 93 84 94 94 100 90 84 114
乙班：
116 95 109 96 106 98 108 99 110 103
94 98 105 101 115 104 112 101 113 96
108 100 110 98 107 87 108 106 103 97
107 106 111 121 97 107 114 122 101 107
107 111 114 106 104 104 95 111 111 110
分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此 ,分别求出甲、乙两个班的
平均分即可．
解：用计算器分别求出甲班的平均分为101.1, 乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要
好于甲班．
思路2
例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠
时间．
睡眠时间
［6,6.5)
［6.5,7)
［7,7.5)
［7.5,8)
［8,8.5)
［8.5,9)
合计
人数
5
17
33
37
6
2
100
频率
0．05
0．17
0．33
0．37
0．06
0．02
1
分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间,就 必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡
眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示 ．
解法一：总睡眠时间约为
6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75× 37+8.25×6+8.75×2=739（h）,
故平均睡眠时间约为7.39 h．
解法二：求组中值与对应频率之积的和

6.25×0.05+6.75×0. 17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h） .
答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．
例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、
30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元 之间的职工所占的比分别为
10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职 工的平均年收入．
分析：上述百分比就是各组的频率．
解：估计该单位职工的平均年收入为
12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45
000×5%=26 125(元).
答：估计该单位人均年收入约为26 125元．
知能训练
从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：
甲公司：
800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500
1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000
2 000 2 000 2 500 2 500 2 500
乙公司：
700 700 700 700 700 700 700 700 700
700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 6 000 8 000 10 000
试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资.
答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；
乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月 工资比
甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.
拓展提升
“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是,数据有时也会被利用,从而产生误
导.例如,一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层
次的人,年收入可以达到几十万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数
比平均 数更合理些,但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回
答有关工资待遇方 面的提问.
你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?
这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确
理解在日常生活 中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水
平”是指员工收入数据的某 个中心点,即可以是中位数、平均数或众数,不同的解释有不同的含
义.
在这里应该注意以下几点:
1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达 样本数据中的很少一
部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置.
2.中位数不受少数几个 极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用
了数据中排在中间数据的信息. 当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据的录入

错误、测量错误等)时,应 该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算机模拟
样本,向学生展示错误数据对样本中 位数的影响程度.
3.平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越 大.与众数和中
位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数 据的
中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对
样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比赛的评分中,使用的是平均数.计分过程中采用
“去掉 一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或
过低的分数对选 手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平性.
4.如果样本平均数大于样本中位数,说 明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在
许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知 道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解
样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策.
5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产生一
些误导作 用.
课堂小结
1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特 征（平均数）,
会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；
3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
作业
习题2.2A组3.

第2课时 标准差
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
导入新课
思路1
平均数为我们提供了样本数据的重 要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片
面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平 均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的
中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数 是从五十万名中学生抽出的五十名身高
较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所 有中学生的身体素质.因此,
只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考 察样本数据的统
计量——标准差.(教师板书课题)
思路2
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕
甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；
乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判断哪个运 动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手
去参加正式比赛？
我们知道,x
甲
=7，x
乙
=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没 有水平差
距呢？

从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较 分散,乙的成绩相对集中,因此我们
从另外的角度来考察这两组数据——标准差.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？
(2)有甲、乙两 种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kgmm
2
）,
通过计算发现,两个样本的平均数均为125.
甲
乙
110
115
120
100
130
125
125
130
120
115
125
125
135
125
125
145
135
125
125
145
哪种钢筋的质量较好？
(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙 两种水稻进行了连续7年的种植对
比实验,年亩产量分别如下:(千克)
甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)
乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)
请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?
(4)全面建设小康社会是我们党和 政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达
到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民 政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均
收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水 平已达到小康水平,你认为这样的结论是否
符合实际?
(5)如何考查样本数据的分散程度的 大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断
数据的离散程度?

讨论结果：
(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(2)

由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大 值145高
于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）.由上图可以看出,乙的极差较
大,数据 点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比
较,操作简单方 便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.
(3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.
(4)不符合实际.
样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,
都 是考察数据的分散程度.
(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道, 乙组数据比甲组数据更
集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数
据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.
标准差：
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是
样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.
所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:
假设样本数据是x
1
,x
2
,…,x
n
,
x
表示这组数据的平均数.x
i
到
x
的距离是|x
i
-
x
|(i=1,2,…,n). < br>于是,样本数据x
1
,x
2
,…,x
n
到
x
的“平均距离”是S=
|x
1
?x|?|x
2
?x|??? |x
n
?x|
.
n
由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差:
s =
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)< br>2
???(x
n
?x)
2
]
.
n
意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,
数据 的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所
有的 样本数据都等于样本平均数.
标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,
在关于 居民月均用水量的例子中,平均数
x
=1.973，标准差s=0.868，所以
x
+s=2.841,
x
+2s=3.709；
x
-s=1.105,
x
-2s=0.237.
这100 个数据中，在区间［
x
-2s,
x
+2s］=［0.237,3.709］外 的只有4个，也就是说，
［
x
-2s,
x
+2s］几乎包含了所有样本数据.

从数学的角度考虑， 人们有时用标准差的平方s
2
——方差来代替标准差，作为测量样本
数据分散程度的工 具：
s
2
=
1
［(x
1
-
x
)
2
+(x
2
-
x
)
2
+…+(x
n
-
x
)
2
］.
n
显然，在刻画样本数据的离散 程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般
多采用标准差.
需要指 出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不
知道的.如何求得总体 的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计
总体的平均数与标准差.这与前面用 样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样
本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接 受的.
两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导 入
中的运动员成绩的标准差的计算器计算.
用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：

即s
甲
=2.
用类似的方法，可得s
乙
≈1.095.
由s
甲
>s乙
可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击
成 绩稳定.
应用示例
思路1
例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算 出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即
可算出每一组数据的标准差.
解：四组样本数据的条形图如下：

四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.
它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.

例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质 量进行评比,
从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):
甲
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42
25.39 25.43 25.39 25.40 25.44
25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?
分析:每一个 工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出
(内径25.40 mm) ,生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内
径标准尺寸25.40 m m的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接
近时,总体的标准差小的时候质 量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要
比较他们所生产的零件内径尺寸所组成 的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两
个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样 本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别
获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差 ,以此作为两个总体之间差异的
估计值.
解：用计算器计算可得
x
甲
≈25.401，
x
乙
≈25.406;
s
甲
≈0.037,s
乙
≈0.068.
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样 本
标准差看,由于s
甲
乙
,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程 度高得多.于是,可以作出判断,甲
生产的零件的质量比乙的高一些.
强调：从上述例子我们 可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的
零件内径(样本数据)直接相关 .显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,
尽管总体是同一个,但由于样本不同, 相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,
这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本 的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产
生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性 就非常大.这也正是我们在前面讲
随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误 的发生,条件许可时,通
常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的 代表性.
变式训练
某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为 了估计学生的成绩,从不同学
校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.
请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）.
解：运用计算器计算得：
100?12?90?30?80?18?70?24?60?12?50?4
=79.40,
100
(12+30+18+24+12)÷100=96%,
所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40
分,合格率是96%.

思路2
例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：thm
2
）,试根据
这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种
甲
乙
第1年
9.8
9.4
第2年
9.9
10.3
第3年
10.1
10.8
第4年
10
9.7
第5年
10.2
9.8
解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为
［（9.8-10）
2
+（9.9-10）
2
+（10.1-10 ）
2
+（10-10）
2
+（10.2-10）
2
］÷5= 0.02.
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
［（9.4-10）
2+（10.3-10）
2
+（10.8-10）
2
+（9.7-10）< br>2
+（9.8-10）
2
］÷5=0.24.
因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
例2 为 了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的
100只日光灯在必须 换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.
天数
灯泡数
151—18
0
1
181—21
0
11
211—24
0
18
241—27
0
20
271—30
0
25
301—33
0
16
331—36
0
7
361—39
0
2
分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命.
解：各组中值分别 为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+1 95
×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7% +375×2%=267.9≈268(天).
这些组中值的方差为
1
×［1×(1 65-268)
2
+11×(195-268)
2
+18×(225-268 )
2
+20×(255-268)
2
+
100
25×(2 85-268)
2
+16×(315-268)
2
+7×(345-268)
2
+2×(375-268)
2
］=2 128.60(天
2
).
故所求的标准差约
2128.6
≈46（天）.
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
知能训练
（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9. 4,9.7,去掉
一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为___________ _.
（2）若给定一组数据x
1
,x
2
,…,x
n
,方差为s
2
,则ax
1
,ax
2
,…,ax
n
的方差是____________.
(3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了 6次测试,测得他们的最大速度(单位：ms)
的数据如下：
甲
乙
27
33
38
29
30
38
37
34
35
28
31
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适？
答案：（1）9.5,0.016 （2）a
2
s
2

(3)
x
甲
＝33，
x
乙
＝33,
s< br>甲
?
2
4737
2
?s
乙
?
,
33
乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.
拓展提升
某养 鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉
鱼后有多少收入,这 个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应
该了解什么？怎样去了解？请 你为他设计一个方案.
解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x条）,作上标记 后放回鱼塘,
过一段时间再捕出一些鱼（设有a条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估 计

总体,则

a条鱼中带有标记的条鱼数塘中所有带有标鱼记的条数(x)
?

a鱼塘中鱼的总条数
这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来 ,就可以估计鱼塘中的
平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.
课堂小结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水
平.
用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕
平均数波动的大 小,反映了一组数据变化的幅度.
2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布 ；用样本的数字特征估计
总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大 的估计偏差,
且样本容量越大,估计的结果也就越精确.
作业
习题2.2A组4、5、6、7,B组1、2.

2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
三维目标
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.
2.明确事物间的相 互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确
定性的相关关系,并利用散点 图直观体会这种相关关系.
3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的 思想,能根据给出的
线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
重点难点
教学重 点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散
点图直观认识两个变 量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归
方程．
教学难点：变量 之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最
小二乘法的思想.
第1课时
导入新课
思路1
在学校里,老师对学生经常这样说： “如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有
什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩 与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种
说法有没有根据呢?
请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:

你的数学成绩
你的物理成绩
好


中


差


学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好
的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,
由于 物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有
一定影响的.但决 非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.
（总结：不能通过一个人的 数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两
个变量是有一定关系的,它们之间是一种 不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成
绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地 说明上述问题,我们开始学习变量之间的
相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)
思路2
某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如 果村庄附
近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论
的可靠性 ？
提出问题
（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高 ,学生的水平也
越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关 关
系的成语吗？
（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？
（3）两个变量间的相关关系的判断.

讨论结果：
（1）粮食产量 与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平
与学生的水平是相关的, 如水滴石穿,三人行必有我师等.
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:
商品销售收入与广告支出经费 之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联
系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关, 还与商品质量、居民收入等因素有关.
粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量 越大,粮食产量就越高.但是,施肥量
并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量 、降雨量、田间管理水平
等因素的影响.
人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一 定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪
含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼 等有关,可能还与个人的先天体质
有关.
应当说,对于上述各种问题中的两个变量之 间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、
学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是 ,不管你的经验多么丰富,如果只凭经
验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关 系时,我们需要一些有说服力
的方法.
在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样 发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这
种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全 确定的,而是带有不确定性.这
就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据 进行统计分析的基础上,
发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.
(2)相关关系 的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关
系,叫做相关关系.两个 变量之间的关系分两类：
①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等； ②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变
量具 有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.
如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）
(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以
准确地 判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.
①教学散点图
出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：
年龄
脂肪
年龄
脂肪
23
9.5
53
29.6
27
17.8
54
30.2
38
21.2
56
31.4
41
25.9
57
30.8
45
27.5
58
33.5
49
26.3
60
35.2
50
28.2
61
34.6
分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加. 我们可以作散点
图来进一步分析.
②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画 出来,得到表示两个变量的一组
数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.

从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之
间确实存在一定的 关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.
（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就 用该函数来描述变量之间的关系,即变量之
间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线 附近,变量之间就有相关关系.c.
如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系 ）
③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相
关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果

< br>几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）
应用示例
思路1
例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.
①正方形的边长与面积之间的关系
②水稻产量与施肥量之间的关系
③人的身高与年龄之间的关系
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
解析：两变 量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面
积之间的关系是函数关系 .②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相
关性,因而是相关关系.③人的身高 与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为
人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化 了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通
事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.
答案：②④
例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否 一定会引起健康
问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?
分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.
解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身 体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机
因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的 结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更
容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问 题.但吸烟引起健康问题的可
能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是 不对的.
强调：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意< br>义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原
因是 什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.
思路2
例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食
品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给
出的对此 种食品口味的评价:
品牌
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
口味记录
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
（1）作出这些数据的散点图.
(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?
解：(1)散点图如下：

(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.
例2 案例分析：
一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在

< br>着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学
生的身高与右手一拃长的数据如下表.
性别
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
身高cm
152
156
158
160
160
160
160
161
162
163
164
164
165
165
166
167
168
170
170
171
172
173
164
168
169
170
170
171
171
172
173
173
174
175
175
175
176
176
177
178
178
179
右手一拃长cm
18.5
16.0
17.3
15.0
17.5
19.0
19.0
16.1
18.2
20.0
17.0
19.0
15.0
17.5
19.0
19.0
19.0
21.0
21.0
20.0
18.5
22.0
19.0
18.0
17.0
20.0
21.5
21.5
22.3
23.0
20.0
20.0
22.0
16.0
21.0
22.0
19.0
22.0
21.0
21.0
24.0
21.5
性别
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
身高cm
153
157
159
160
160
160
160
161
162
163
164
164
165
165
167
168
168
170
171
171
173
162
165
168
169
170
170
171
172
173
173
173
174
175
175
176
176
176
178
178
179
179
右手一拃长cm
16.0
20.0
20.0
16.0
17.5
19.0
19.5
18.0
18.5
21.5
18.5
20.0
16.0
19.5
19.0
16.0
19.5
21.0
19.0
21.5
18.0
19.0
21.0
19.0
20.0
21.0
22.0
21.5
21.5
20.0
20.0
21.0
22.0
20.0
21.2
16.0
20.0
22.0
21.0
22.5
21.5
23.0

男
男
男
男
男
男
180
181
182
182
185
191
22.5
21.5
18.5
24.0
25.0
21.0
男
男
男
男
男
男
181
181
182
183
186
191
21.1
23.0
21.5
21.2
22.0
23.0
（1）根据上表中的数据,制成散点图.你 能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系
吗？
（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.
（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？
解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.

从散点图上可以发现,身高 与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之
间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线 呢？
同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线.
同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.
同学3：多取几组 点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均
值,作为所求直线的斜率、截 距.
同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.


同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出 近似的直线,
使得在直线两侧的点数尽可能一样多.

同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm
以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平
均 值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线.
同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按
照同学3的 方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大< br>的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺 连接最大点与最
小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.

同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.
在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之 间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其
变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们 可以用这个方程来估计这个人的右手一
拃长，这是十分有意义的.
知能训练

一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收
集数据如下：
零件数x（个）
加工时间y(min)
10
62
20
68
30
75
40
81
50
89
60
95
70
102
80
108
90
115
100
122
画出散点图；
关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？
答案：（1）散点图如下：

（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．

拓展提升
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积（m
2
）
销售价格（万元）
115
24.8
110
21.6
80
18.4
135
29.2
105
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）指出是正相关还是负相关;
（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？
解：（1）数据对应的散点图如下图所示：

（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.
（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系.
课堂小结
通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间
的相关关系.
作业
习题2.3A组3、4(1).

第三章 概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学目标：
1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.
2.通过 获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A出现的频率的意义，真
正做到在探索中学习, 在探索中提高.
3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件A发生 的频
率f
n
（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系,体会数学知识与现实世 界的联系.
教学重点：
理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
教学难点：
理解频率与概率的关系.
教学方法：
讲授法
教学过程
一、导入新课：
在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的 作用超过10个师的兵力.这句
话有一个非同寻常的来历.（故事略）
在自然界和实 际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,
可以分为两大类：一类现象的 结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预
知的,这类现象称为确定性现象；另一类 现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现
那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象 .随机现象是我们研究概率的基础,为此
我们学习随机事件的概率.
二、新课讲解：
1、提出问题
（1）什么是必然事件？请举例说明.
（2）什么是不可能事件？请举例说明.
（3）什么是确定事件？请举例说明.
注：以上3问初中已经学习了.
（4）什么是随机事件？请举例说明.
（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？
（6）频率与概率的区别与联系有哪些?
观察：
（１）掷一枚硬币,出现正面；
（２）某人射击一次,中靶；
（３）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；
这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.
２、活动
做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生
理解的难点：“ 随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生
的频率,可以发现随着实验 次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.
在这个过程中,重视了掌握知识的过程 ,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法
具体如下：

第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下
表：
姓名

试验次数

正面朝上总次数

正面朝上的比例

思考：
试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？
第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.
组次

试验总次数

正面朝上总次数

正面朝上的比例

思考：
与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？
通过学生的实 验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的
结果不完全相同,从而说明实 验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的
差别小,小组的结果一般会比学生的结果更 接近0.5.
第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为 实验结果出
现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？
第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.
思考：
这个条形图有什么特点？
引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下 ,班级的结果应比
多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0 .5附近.
并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故
而知新的目的.
第五步 请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.
思考：
如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？
出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.
由特殊事 件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生
是不能预知的,但是在大量 重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区
间［0,1］中的某个常数上.从而得 出频率、概率的定义,以及它们的关系.
3、讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的 事件,叫相对于条件S的必然事件
（certain event）,简称必然事件.
（2） 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件
（impossible event）,简称不可能事件.
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
（4）随机事件： 在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件
（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.
（5）频数 与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验
中事件A出现的次数n
a
为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例f
n
( A)=
n
A
n
为事件A出现的频率（relative frequency ）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的
增加,事件A发生的频率f
n
(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概
率（probability）. （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数
n
A
与试 验总次数n

的比值
n
A
,它具有一定的稳定性,总在某个常数 附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这
n
种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事 件的概率,概率从数量上反映了随机事件
发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地 作为这个事件的概率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率. 在实际问题中,通
常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.
概率是一个确 定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则
掷硬币出现正面朝上的概率 就是0.5,与做多少次实验无关.
三、课堂练习：
教材113页练习：1、2、3
四、课堂小结：
本节研究的是那些在相同条件下,可以进行 大量重复试验的随机事件,它们都具有频率
稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的, 但是在大量重复试验后,随着试
验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常 数上（即事件A的概率）,
这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性 就越大.反之,概
率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的 可能性
大小的量.
五、课后作业：

教学反思：

3.1.2 概率的意义
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学目标：
1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
2.通过对现实生 活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感
知应用数学知识解决数学问题的方 法,理解逻辑推理的数学方法.
3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践 的辩证唯物主义观,
进而体会数学与现实世界的联系.
教学重点：
理解概率的意义.
教学难点：
用概率的知识解释现实生活中的具体问题.
教学方法：
讲授法
教学过程：
一、导入新课：
生活 中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨
都没下,天气预报 也太不准确了.”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义.
二、新课讲解：
1、提出问题：
（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛 掷一枚硬币两次,一
定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？
（2）如果某种彩票中奖的概率为
1
,那么买1 000张彩票一定能中奖吗？ 1000
（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁 先
发球,其具体规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得
双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指
定单数的运 动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到
先发球权,你认为这个规 则公平吗？
（4）“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确 了.”
学了概率后,你能给出解释吗？
（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.
(6)如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么?
2、讨论结果：
（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果： “两次正面朝
上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为
0. 25,0.25,0.5.
（2）不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是
随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能
有一张、两张乃至多张中奖.
（3）规则是公平的.
（4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨” 并不说明“昨天的降水
概率为90%”的天气预报是错误的.
（5）奥地利遗传学家（,18 22—1884）用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果（其
中F
1
为第一子代,F< br>2
为第二子代）：

性状
种子的形状
茎的高度
子叶的颜色
豆荚的形状
F
1
的表现
全部圆粒
全部高茎
全部黄色
全部饱满
圆粒5 474
高茎787
黄色6 022
饱满882
F
2
的表现
皱粒1 850
矮茎277
绿色2 001
不饱满299
圆粒∶皱粒≈2.96∶1
高茎∶矮茎≈2.84∶1
黄色∶绿色≈3.01∶1
饱满∶不饱满≈2.95∶1
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能 性为100%,另一种性状的可能性
为0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为75%,后一种性状 的可能性约为25%,通过进一
步研究,他发现了生物遗传的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状发 生的频率作出估计
的.
(6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通 过试验和观察,可以发现
出现各个面的可能性都应该是
11
10
,从而连续1 0次出现1点的概率为()≈0.000 000 001
66
653 8,这在一次试验( 即连续10次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,
特别是当6点的那面比较重时 (例如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,更有可能连续
10次出现1点.
现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地
不均匀.当连续1 0次投掷这枚骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二种情况:这
枚骰子靠近6点的那面比较 重.原因是在第二种假设下,更有可能出现10个1点.
如果我们面临的是从多个可选答案中 挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的
可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题 所作的推断.这种判断问题的方法称
为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大.
这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

三、例题讲解：
例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例
如2 000尾, 给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库
中其余的鱼充分混合, 再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设
有40尾.
试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.
分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概
率为
40
,问题可解.
500
2000
. ①
n
解：设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P(A)=
因P(A )≈
40
， ②
500
200040
?
由①②得,解得n≈25 000.
n500
所以估计水库中约有鱼25 000尾.



四、课堂练习：
教材第118页练习：1、2、3、