对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读

对高中数学新教材第二章《函数》的认识
一、 函数
函数是中学数学最重要 的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，
而且也是进一步学习高等数学的基础，同时， 函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方
法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对 本章内容力求学习得更
好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：函 数，主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图
象间的关系。这部分是学习本章内容的 基础。
第二单元：指数与指数函数
第三单元：对数与对数函数
本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 函数
关于函数的定义
设在某个变化过程中有两个变量 x和y，如果对于x在某一范围内 的每个
确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做
自变量.
函数的三大要素是：定义.域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
2.2 函数的表示方法：
① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式；
② 列表法；
③ 图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。甚至函数图象处
处不 连续，也可看作分段函数。
例 D(x)=
?
?
1(x为有理数)，

0(x为无理数)
?
如何确定常见函数的定义域？
( 1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R；
( 2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x取值的集合(R的子集)；
( 3 ) 当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的
集合(R的子集)；
( 4 ) 当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x取值的
集合(R的子集)；
( 5 ) 当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际问题中x取值的意义。
例1. 已知f(x+1)=
x?6x?2，
求f(0)，f(x).
2
解： 当x=－1时， x+1=0， f(0)= f(－1+1)= (－1)
2
+6(－1)+2

=－3.
法一：变量代换 令 x+1=t，则 x=t－1，
f(t)=( t－1)
2
+6(t－1)+2
=t
2
+4 t－3
f(x) = x
2
+4 x－3. f(0) =－3.
法二：配凑法
f(x+1) =( x
2
+2x+1)+(4 x+4)+2－5
=(x+1)
2
+4(x+1)－3
∴ f(x) = x
2
+4 x－3.
例2 己知函数f(x)的定义域为〔0，1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.
解：0?2x?1
?
0?x?
11
，∴ f(2x)的定义域为〔0，〕.
22
0?x+1?1
?
－1?x?0，
∴ f(x+1)的定义域.为〔－1，0〕.
例3 求函数
y?x?1?2x
的值域.
解：换元 设t=
1?2t
，则 t
2
=1－2x. 2x=－t
2
+1.
11
x??t
2
?
(t?0).
22
1
2
11
2
∴
y??t?t???(t?1)?1
(t?0)
222
1
故值域为〔－∞，〕.
2
求值域的方法：观察、配方、换元、⊿法等。
2.3 函数的单调性
什么叫做函数的单调性？
设给定区间B上的函数f(x)，对任x
1
，
x
2
∈B (x
1
＜x
2
)，
如果都有f(x
1
)＜ f(x
2
)，那么称函数f(x)在间B上是增函数，
如果都有f(x
1
) ＞ f(x
2
)，那么称函数f(x)在间B上是减函数.
可以表述为：(x
1
－x
2
)〔f(x
1
)－ f(x
2
)〕＞0为增函数，
(x
1
－x
2
)〔f(x
1
)－ f(x
2
)〕＜0为减函数，
如果函数f(x)在某区间B上是增函数或减函数，那 么称f(x)在区间B上具有
(严格的)单调性，并把区间B叫做f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数的整体性之一
① 函数的单调性(不说函数的增减性)
② 在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)函数”).实际上，函
数的单调性不涉及 区间端点问题，“上”包含了“内”，“内”却不包含“上”
用“上”能较好地反映函数的整体性质.

③ 在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)这仅仅是为了符合
语言使用习惯.
④ 在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内或某某区间上单调
递增(减) ”)，实际上“单调递增(减)”可以是不严格的增(减)，而且也不仅仅
对于区间来定义，它是更广泛 的概念，中学不予介绍.类似地教科书中只引入
“单调区间”，而不使用“单调递增(减)区间”这些词 语.在教学中更不能省略
成“单增”、“单减”.
⑤ 增函数、减函数(不使用单调函数)， 实际上“单调函数”通常是指整个定义
域内只具有一种单调性的函数，不能在有的区间上增，有的区间上 减.
研究函数的单调性，必须在定义域内的给定区间上，例如 f(x)=
1
的定义域是(－
x
∞，0)∪(0，+∞)，它在 (－∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数，但
不能说在定义域内是减函数.
怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？
若函数f(x)、 g(x)在区间上B具有单调性，那么在区间B上：
(1) f(x)与 f(x)+c(c为常数) 具有相同的单调性；
(2) f(x)与c f(x)当c＞0时，具有相同的单调性；
当c＜0时，具有相反的单调性；
(3) 当 f(x)恒不为零时，f(x)与
1
具有相反的单调性；
f(x)
(4)
(5)
(6)
当f(x)恒为非负时，f(x)与
f(x)
具有相同的单调性；
当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x)+ g(x)也是增(减)函数；
当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x)× g(x)当f(x)、 g(x)两者都恒大
于0时，也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数.
至于按定义来证明函数的单调性，通常须五步：
取值——求差——变形——定号——判断
(分解因式、配方等)
2.4 反函数
新教材关于反函数的定义是按照函数的定义 来重新定义的。见教材P
61
页。由定
义可知：
反函数x=f－
1
(y)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域.
这样定义的反函数有一定的局限性，事实上函数y=f(x)和x=f－
1
(y)表示 的是同一
种关系，两者的图象是一致的，这样，在同一个坐标系中，如果不记住是从x到y还
是 从y到x，就分不清函数的图象和它的反函数的图象了.为此，我们按照用x表示自
变量，用y表示函数 的习惯，把函数式x=f－
1
(y)中的字母x，y对调一下，从而把函
数y=f(x )的反函数x=f－
1
(y)改写成y=f－
1
(x).这样函数的解析式和 图象都变了，叫做
矫形反函数.在教科书中，函数的反函数都是指它的矫形反函数.
一般地讲 ，如果一个函数有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函

数.
求反函数时，应先确定原函数的值域，这样，反函数的定义域便确定了.
求反函数的步骡是“一解、二换”.
一解：即首先由给出的原函数解析式y=f(x)，反解 出用y表示x的式子x=f－
1
(y)；
二换：即是将x=f－
1
(y)中的x，y互换，得到y=f－
1
(x).
应该注意：
(1) 在 y=f(x)与x=f－
1
(y)中，字母x，y但所表示的量相同，但地位不同，
在 y=f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x=f－
1
(y)中，y是自变量，
x是y的函数.
(2) 在y=f(x)与y=f－
1
(x)中，字母x都是自变量 ，y是x的函数.即x，y地
位相同，但这时x与y表示的量的意义却互换了.
(3) 在同 一直角坐标系中，y=f(x)与x=f－
1
(y)是同一图象，而y=f(x)与y=f－
1
(x)的图象关于直线y=x对称.
注意利用函数图象来研究函数的性质
函数图象可直观地，生动地反映函数的某些性质，因此研究函数性质应密
切结合函数图象的特征 ，对应研究函数的性质.所以要注意观察函数图象的变化
趋势，总结函数的相关性质，同时在研究函数性 质时，头脑中要有相应函数图
象来印证.因此，记住某些函数图象的草图，养成分析问题的习惯，形成数 形结
合研究问题的意识.
例1. 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)， f(a)=b，ab≠0，则g(b)=( ).
(A) a (B) a－
1
(C) b (D) b－
1

解：由f(a)=b，得g(b)=g〔f(a)〕，
∵ f(x)与g(x)互为反函数，
∴ g〔f(a)〕= a. ∴ g(b)=a. 故选(A).
xx?2x
)=，求f－
1
() .
2x2
xx?22x?2x?1
?
解：由f()=，得f(x)=.
2x2xx
例2 己知 f(
即 y=
x?11
1
(y?1).
解得 x=
(x?1)
. 即 f－
1
， 故 f－
1
(x)=
xx?1
y?1
(
x
12
) =
?(x?2)
.
x
2
?1
x?2
2
?
x
2
?1(x?0)，
例3 求函数
y?
?
的反函数.
2
x
?1(
x?
0)
?
解：由
y?x?1(x?0)
) 解得 x
2
=y+1，
2

∵ x?0，∴ x=
y?1(y??1)，
又由 y=2x－1(x＜0解得 x=
1
(y?1)(y??1)
.
2
?
x?1(x??1)
?
x
2
?1，(x?0)
?
1
，
∴
y?
?
的反函数为f－(x)=
?
1

(
x
?1)(
x ?
?1)
?
2
x
?1(
x?
0)
?
?
2
例4己知(1，2)既在
y?
值.
解：∵ 点(1，2)既在
y?
∴
ax?b
的图象上，又在其反函数的图象上，求a，b的
ax?b
的图象上，
即 a+b=4， ①
a?b?2，
又∵ 点(1，2) 在
y?
∴ 点(2，1) 在
y?
∴
ax?b
的反函数的图象上，
ax?b
的图象上.
2a?b?1
，即 2a+b=1. ②
?
a??3，
由①、②联立，解得
?

b?7.
?
故 a，b的值分别为－3、7.
二、指数与指数函数
2.5 指 数
随着指数范围扩充，幂的运算性质可以合并和简化正整数指数幂的运算性质：
(1) a
m
·a
n
=a
m+ n
(m、n ∈N
*
)；
(2) (a
m
)
n
=a
mn
(m、n ∈N
*
)；
(3)
(4)
(5)
(ab)
n
=a
n
b
n
(n ∈N
*
)；
a
m
÷a
n
=a
m-- n
(a≠0 m、n ∈N
*
，

m＞0)；
a
n
a
n
()=
n
(b≠0 ，且n ∈N
*
)；
b
b
当指数的范围扩大到整数集Z之后，幂的运算性质可以合并：
(1) a
m
·a
n
=a
m+ n
(m、n ∈Z)；
′
(2)

(a
m
)
n
=a
mn
(m、n ∈Z)；
′

(3) (ab)
n
=a
n
b
n
(n ∈Z).
注意：零指数、负整指数幂底数不能等于0.
当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R，仉然符合上述三条运算性质：
′
(1) a
r
·a
s
=a
r+ s
(a＞0，r、s ∈Q)；
′
(2)

(a
r
)
s
=a
rs
(a＞0，r、s ∈Q)；
′
(3) (ab)
r
=a
r
b
r
(a＞0，b＞0，r ∈Q).
怎样证明？
′
设r=
m
p，s=，(其中m、n互质，p、q互质，且n＞1，q＞1)
n
q
m
n
p
(1) a
r
·a
s
=a·
a
q
=
a
m
a
p
，

′
n
q
∴
(a
r
?a
s
)
nq
?(
n
a
m
?a
p
)
n q
?(
n
a
m
)
nq
?(a
p
)
nq

=a
mq
·a
nq
=a
mq+nq
.
∴ a< br>r
·a
s
=
nq
qq
a
mq?np
①
p
又 a
rs
= a+
q
=a
a
m
n
p
q
m
n
mq?np
nq
?
p
nq
a
mq?np
.
②
q
由①、②得 a
r
·a
s
=a
r+ s
.
′
(2)

(a
r
)
s
=
(a )?(a
m
)
q
?(
n
a
m
)
p

mp
nq
q
=
′
q
n
a
mp
?
m
n
a
mp
?a
nq< br>?a
rs
.
n
(3) (ab)=(ab)
?
n
(ab)
m
?
r
a
m
b
m
?n
a
m
?
n
b
m
?
a
r
b
r.

1
71
?1
12
? 1
10
?
0
例1 计算：
2?()?()?(2)
3
?(3)
.
910527
553113
?100???1?101?5(?)?

31243124
13
=101+5
???103.

44
解： 原式=
例2 化简 ：
(1?2
?
1
16
)(1?2)(1?2)(1?2)
.
)(1?2)(1?2)(1?2)

?
1
8
?
1
4
?
1
2
?
1
8
?
1
4
?
1
2
解：
1?2
1?2
?
1
1 6
1
16
?
(1?2
?
1
16

?
1
1?2
?
1
16
(1?2)(1?2)
( 1?2)(1?2)

1
?
1
4
?
1
4< br>?
1
2
?
1
8
?
1
8
?< br>1
4
?
1
2
?
1?2
?
1
?
1
16
(1?2)(1?2)(1?2)

?
1
2
?
1
2
1
(1?2)(1?2)
?
1
1
(1?2
?1
)?
1
15
.

1?2?
16
1?2
?
16
1
3
例3 化简：
x?1
21
?
x?1
1
?
x?x
1
.< br>
x
3
?x
3
?1x
3
?1x
3< br>?1
12111
解： 原式=
(x
3
?1)?(x
3
?x
3
?1)?x
3
(x
3
?1)

1
=
?x
3
.

例4 计算
3
2?5?
6
9?45

解：原式=
3
2?5?
6
4?2?25?5

=
3
2?5?
.
921
例5 计算
(a
5b
?
5
)
?
3
?a
3
?b
2
(ab?0).

a
?
323
解：原式=
(
5
b
5
)?a
5
?b
?
2
5
? a
0
b
0
?1.

3
1
2
例6 己知
x
2
?x
?
1
2
?3，求
x?x< br>?
3
2
?3
x
2
?x
?2
?2的值.

11
1
解：由
x
2
?x
?< br>2
?3，
得
(x
2
?x
?
1
2
)?9，

x?x
?1
?7.
∴
(x?x
?1
)?49，
x
2
+x
-2
=47.
311
x
2
?x
?
3
2
?(x
2
?x
?
2
)(x ?1?x
?1
)?3(7?1)?18，

∴ 原式=
18?3< br>47?2
?
15
45
?
1
3
.

2.6 指数函数
在指数函数的解析式y=a
x
中，为什么规定a＞0且a≠1？
2?2
16

(1)如果a=0，那么当x＞0时，a
x
≡0.
当x?0时，a
x
无意义.
(2)如果a＜0，那么对于x的某些数值，可使. a
x
无意义.
1
例如当a=－4，.且x=时，
a
x?(?4)
2
??4.
无意义.
2
(3)如果a=1，那么对 于任何x∈R，a
x
≡1.对它没有研究的必要.
在规定了a＞0且a≠1以后，那 么对于任何x∈R，a
x
都有意义且a
x
＞0，因此，
指数函数的定 义域是R，值域是(0，+∞).要注意指数函数的解析式y=a
x
中a
x
的 系数是
1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
例如 y=a
x+k
(a＞0且a≠1，k∈Z).
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.
例如 y=a
-x
(a＞0且a≠1).
它可化为 y=
(a)?().
(a
-1
＞0且a
-1
≠1)
当x∈R，函数y=2
x
， y=2
x
+1，y=2
x+1
，y=－2
x
，y=2
-x

图象之间有什么关系？
(1) 将函数y=2
x
的图象沿y轴向上平移1个单位长度，就得到 y=2
x
+1的图
象；
(2) 将函数y=2
x
的图象沿x轴向左平移1个单位长度，就得到 y=2
x+1
的图象；
(3) 将函数y=2
x
的图象关于x轴作 “对称变换”(即画出它关于x轴对称的图
形)就得到 y=－2
x
的图象；
(4) 将函数y=2
x
的图象关于y轴作“对称变换”(即画出它关于y轴对称的图
形)就得到 y=2
-x
的图象；
等价化归在求解函数定义域、值域和判断函数的单调性中的作用：
等价化归很讲究技巧，要通过经常认真的训练才能获得.
例1 己知x，y ∈R，且2x
+3
y
＞2
-x
+3
-y
，求证：x+y＞ 0.
这个不等式两边都含有x，y两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把它
化归成 等价形式
2
x
－3
-x
＞2
-y
－3
y
，
使它两边都只含一个变量，于是可构造一个辅助函数：
f(x)= 2
x
－3
-x

由于指数函数2
x
是增函 数，3
-x
=(
)
是减函数，－3
-x

是增函数，因此，f(x)= 2
x
－3
-x
是增函数
因 2
x
－3
-x
＞2
-y
－3
y
=2-y
－3
-(-y)
，
可知 f(x) ＞ f(－y) ，
即 x＞－y. ∴ x+y＞0 .
把条件不等式化归成与它等价的不等式，也是 “化归”思想的运用.而构造辅助函
数在完成证明的过程起了重要的作用.
?1x
1
1
a
x
1
3
x

例2 求函数
y?3
2
?x
2
?2x?3
的定义域和值域.
解 ∵
?x?2x?3?0，解得?1?x?3.

故 函数的定义域为〔－1，3〕.

u??x
2
?2x?3??(x?1)
2
?4

当x∈〔－1，3〕，u. ∈〔0，2〕.
又 y=3
x
为增函数，∴
1?y?9.

故函数值域为〔1，9〕.
例3 求函数
y?()
1
3
x
2
?2x?1
的值域及单调区间.
解：设
u?x
2
?2x?1?(x?1)
2
?2，

u??2.

而
()
为减函数，
0?y?()
∴ 函数
y?()
1
3
u
1
3
?2
?9

1
3
x
2
?2x?1
的值域为〔0，9〕.
U的单调增区间为〔1，＋∞〕，单调减区间为(－∞，1).
故
y?()
1
3
x
2
?2x?1
的单调增区间为(－∞，1)，单调减区间是 〔1，＋∞〕.
10
x
?10
?x
，
例4己知f(x)=
x
求f(x)的定义城、值域，并判定f(x)的单调性.
10?10
?x
解：(1) ∵
10?10
x?x
?0，
∴ 函数定义域为(－∞，－∞).
10
x
?10
?x
10
2x
?12
??1?(2)又 y=
x

?x2x2x
10?1010?110?1
∵
10
2x2x
?
0，，
∴
10
?
1
?
1

0
?
1
10
2x
?1
?
1.

?2
?
?2
?
0
，
2x
10?1
1
?
1?
2
10
2x
?1
?
0，

∴函数的值域为(－1，1).
(3)设x
1
＞x
2
， x
1
、
x
2
∈(－∞，－∞).
10
2x
?110
2x
2
?12(10
2x
1
?10
2x
2
)
则 f(x
1
) － f(x
2
) =
2x

?
2x
2
?
2x
1
2x
21
10?110?1(10?1)(10?1)

∵
x
1
?x
2，，
∴
2x
1
?2x
2
，∴
10
2x
1
?
10
2x
2
.
1 0
2x
1
?
1
?
0
，
10
2x< br>2
?
1
?
0
， ∴ f(x
1
) ＞ f(x
2
).
10
x
?10
?x
故函数f(x)=
x
为增函数.
10?10
?x
例5 若
(a?1)
x
2
?2?(a?1)
3x
(a??1且a?0)

求x的取值范围.
解：当
a?1?1
，
即
a?0，x?2?3x，x?3x?2?0，解得x?1或x?2.

2
，
1?x?2.
当
0?a?1?1
即
?1?a?0，x?3x?2?0，解得
22
即当a＞0时，x?2或x?1.
当1＜a＜0时，1?x?2.
注意：对指数的底含字母参量的问题，一定要对底的取值分情况讨论.
我们应按教学大纲的要 求，把数学思想渗透到整个教学过程中.所谓数学思想，是
指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们 的意识之中，经过思维活动 而 产生的结
果，数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质的认 识，基本数学思想则是体
现或应该体现于基础教学中的具有奠基性、总结性和最广泛应用性的数学思想， 它含有
传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的.
“数学思想 ”比一般说的“数学概念”是具有更高的抽象概括水平，“数学概念”
比“数学思想”更具体、更丰富， 而“数学思想”比“数学概念”更本质、更深刻.数学
思想是与其相应的数学方法的精神实质与理论基础 .“数学方法”则是实施有关数学思想
的技术手段与操作程式，中学数学中用到的各种数学方法都体现著 一定的数学思想.
数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想，有的“哲学思想”(例如< br>“一分为二”的思想和转化思想)和逻辑思想(例如归纳思想)，由于其在数学中的运用而
被“数 学化”了，也可称之为数学思想.
基本数学思想包括：符号与变元表示的思想、集合思想、对应思想、 公理化与结
构的思想、数形结合思想、化归思想、函数与方程的思想、整体思想、极限思想、抽样
统计思想等.当我们按照空间形式和数量关系将研究的对象进行分类时，把分类思想也看
作基本数学思 想.
基本数学思想有两大基石——符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱
——对应 思想和公理化与结构思想，基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一
个结构性很强的网络. < br>数学中渗透著基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到学生
学习和应用数学的 思维活动上，就能在发展他们的数学能力方面发挥出一种方法论的功
能，这对于他们学习数学，发展能力 、开发智力都是至关重要的.

三、对数与对数函数
2.7 对数
“对数”几年前由初中移到高中，大多数老师都很熟悉，
为什么说求对数运算与求指数幂运算具有互逆关系？
2的4次幂等于16，记作2
4
=16.
16是2的4次幂，2是底数，4是指数.
相反的问题：2的多少次幂等于16？为了表示1 6是2的多少次幂，我们采用了
式子log
2
16=4，这里4叫做以2为底16的对 数.2仍然是底数，16叫做真数.
一般地，如果a(a＞0且a≠1)b的次幂等于N(即a
b
=N) 数b就叫以a为 底N的对
数，记作log
a
N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
在实数集R内，正数的任何次幂都是正数.
在式子a
b
=N中，因为a是不 等于1的正数，所以对于任意一个实数b，N总是正
数，也就是说，0与负数都没有对数.
本章对数式中的字母，如果不加特殊说明，底数都是不等于1的正数，真数都是
正数.
指数式a
b
=N中，底数、指数、幂与对数式log
a
N=b中的底数、对 数、真数的关系，
可以表示如下：
｜—————指数 对数——————｜
︱————幂 ｜ 真数————︱
a
b
=N ｜ logaN=b.
︱———————底数——————︱
如果把a
b
=N 中的写成log
a
N，就有a
logaN
=N，这是对数恒等式.
例如 2
4
=16，log
2
16=4，∴ 2
log
2
16
=16.
对数的运算性质：
如果，a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1) log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
(2) log
a
(3) log
a
M
n
=nlog
a
M (n∈R)
怎样用文字语言来描述？
(1) 两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和；
(2) 两个正数的商的对数，等于同一底数的这两个数的对数的级；
(3) 一个正数的任意实数幂的对数，等于这个幂的底数的对数乘以幂指数.
怎样使学生理解证明对数运算性 质log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N的思路？
先要弄清条件与结论，即
己知log
a
M、log
a
N， 求log
a
(MN).
还要明确a＞0，a≠1，且M＞0，N＞0.
因 为求对数是求幂指数的逆运算，为了利用幂的运算性质，所以设log
a
M=p，
M< br>?
log
a
M－log
a
N
N

log
a
N=q
然后转化成指数式M=a
p
，N=a
q
，于是
MN= a
p
a
q
= a
p+q
.
重新转化为对数式log
a
(MN)=p+q.
把所设代换便可得证：log
a
(MN)= log
a
M+log
a
N.
另法：MN= a
logaM
a
logaN.
=a
logaM+logaN.
，
由定义 log
a
(MN)= log
a
M+log
a
N.
关于对数换底公式，未出现于教材正文 ，但习题2.8中出现，可通过实例来研究：
当一个对数式的底改变时，整个对数式会发生什么变化？
例如 求log
3
5，
设log
3
5=x，改写成指数式，得 3
x
=5.
在等式两边同时取以a(a＞0且a≠1)为底的对数，得
log
a
3
x
=log
a
5， 即 xlog
a
3=log
a
5.
∴ x=
log
a
5log
a
5

，?log
3
?
log
a
3log
a
3.
在这个等式中，左边 对数式的底数为3，如果将3变为a，那么这个对数式变为
等式右边的式子.
一般地，我们有下面的换底公式：

log
b
N?log
a
N
.
log
a
b

以下给出两种证明方法：
证法一：设log
b
N=x，化为指数式，得b
x
=N.
在这个指数式两边同时取以a为底的对数，
得
log
a
b
x
?log
a
N，
即
xlog
a
b?log
a
N
.
∴
x?
log
a
N
log
a
b
. 即 log
b
N=
log
a
N
.
log
a
b
证法二：要证
log
b
N?
log
a
N
.
log
a
b

只须证
log
b
N?log
a
b?log
a
N.
①
由运算性质(3)，只须证
log
a
b
log
b
N
?log
a
N
. ②

但
b
log
b
N
?N
， 故log
a
N=log
a
N成立.
对数换底公式的意义是把一个对 数式的底数，换成另外的数(大于0且不等于1).
这在对数式的恒等变形或计算求值中有重要作用.对 数换底公式按大纲的要求，不需记
忆，只供学生学习时参考.
2.7 对数函数
关 于对数函数可与指数函数联系、比较，使学生更易掌握，对数函数的反函数是
指数函数，所以，要利用指 数函数的性质来研究对数函数，应该让学生注意到：
(1) 两种函数都要求底数大于0且不等于1.
(2) 定义域与值域
对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象，对数函数在y轴左侧没 有图象，即负
数没有对数，零也没有对数，也就是真数必须大于0.这个知识可以用来求含有对数的函数的定义域(比前面求定义域的准则扩充了).
(3) 通过将对数函数及指数函数的图象进行 对比，可以发现：当a＞1或0＜a＜1
时，对数函数与指数函数的单调性是一致的.(即在区间(0， +∞)上，同时为增函数或同时
为减函数)
(4)对数函数的图象都经过点(1，0)，这与 性质log
a
1=0
?
a
0
=1.
(5)对数函 数
y?log
a
x
与指数函数
y?a
x
互为反函数 ，那么它们的图象关于直线
y=x对称.
(5) 通过对底数a的取值进们分类讨论，研究对数函数的性质，包括函数
值大小的比较也是一个课题.
例1 求值：①
81
1
log
3
7
2
1< br>log
3
7
2
；②
5
2log
5
1
?15log
5
1?log
3
.
9
2
解 ：①
81?3
1
4?log
3
7
2
?3
l og
3
7
?49
.
② 原式=
5
log
5
9
?15?0?log
3
3
?2
?9?2?7
.
2
??
解：原式=
?
?
log6?log3?
?log2
?
log2?log9
?
?
?log2< br>
=
?
?
log2
?
?
?
log2
?
?log2
?
2log3
?
?
?2log2

=
?
2
?
log2
?
?2log2
?
log3
?
?
?2log2

例2 求值：
?
1?log
6
3
?
?lo g
6
2?log
6
18?log
6
4.

2
66666
2
6
22
66666
2
6666 =
log
6
2?log
6
3?1.

例3 设
lg
?
x?y
?
?lg
?
x?2y
?
?lg2?lgx?lgy，求的值.

解：由己知lg
?
x?y
??
x?2y
?
?lg2xy，

∴
?
x?y
??
x?2y
?
?2xy.

即
x
2
?xy?2?0.

x
y
?
x
?
x
?
??2?0.

?
?
y
?
y
??
解之，得
2
xx
?2或??1.
?
x?0，y?0，舍去
?

yy
∴
x
?2.

y
例4 求下列函数的定义域：
x
2
?5x?6
2
y?log2x?3x?2.
①
y?
②
；
?
x?2
?
2
lg4x?x
??
?
x
2
?5x?6?0，
?
2
解：①
?
4x?x?0，?
?
4x?x
2
?1
?
?
x?2或x?3，
?
?
0
?
x
?
4，< br>
?
x?2?3.
?
∴ 定义域为(0，2－
3
) ∪(2－
3
，2)∪〔3，2+
3
〕∪(2+
3
，4).
?
2
1
?
x
?
?或x
?
2，?
?
2x?3x?2
?
0，
2
?
?
②
?
x?2
?
0，?
?
x
?
?2，

?
?
x?2?1.x??1
?
?
?
?
故所 求函数的定义域为(－2，－1) ∪( －1，－
例5 己知f(x)=
2
解：设 y=
2
x
2
?2x?3
1
) ∪(2，+∞).
2
－
(x?1)，求f(x)的反函数，并计算f
1
(4).
x
2
?2x?3
(y?4)，

则
x
2
?2x?3?log
2
y，

?
x?1
?
?log
2
y?2

2
∴
x?1?log
2
y?2.

∵ x?1， ∴
f
?1
(x)?1?log
2
x?2(x?4)
，
∴
f
?1
(4)?1?log
2
?2?1.

另法：
f
?1
(4)?a，则f(a)?4，2
a
2
?2a?3

?2
2
，
－
∴
a
2
?2a?2，即(a?1)
2
?0，
∴ a =1.从而f
1
(4)=1.
例6 求下列函数的值域和单调区间：
①
y?log
1
(x?2x)；

2
2
②
y?log
a
(x?2?2)
.
解：①由
x?2x?0，得x?0或x??2，

又设u(x)=
x?2x(x?0或x??2)，化为y?log
1
u，

2
2
2
∵ u(x)在(0，+∞)为增函数，在(－∞，－2)上为减函数

而
y?log
1
u
为减函数，
2
故
y?log1
(x?2)
的单调减区间是(0，+∞).
2
2
单调减区间是(－∞，－2).
故
y?log
1
(x?2)
的值域为(－∞，+∞)
2
2
②设u(x)=
x?2?2，
则u(x)?2.
当a＞1时，函数值域为〔log
a
2，+∞〕.
又u(x)在〔2，+∞〕上为增函数，在. (－∞，－2)上为减函数，而
y?loga
u
在
定义域上为增函数..
故当a＞1时，. y=(
lo g
a
(x?2?2)
的单调增区问为〔2，+∞〕，单调减区间
为(－∞，－ 2).
当0＜a＜1时，函数值域为(－∞，log
a
2).

而u(x)单调区间不变，故当0＜a＜1时，y=(
log
a
(x?2?2)< br>的单调减区间为
〔2，+∞〕，单调增区间为(－∞，－2).
例7 己知
f (x)?log
b
(x?
求反函数
f
?1
x
2?2)
的反函数为
f
?1
(x)，(b?0且b?1)

(x)，并指出它的定义域.
?
x?x
2
?2?0，
解：由
?
中的不等式②得
2
x?2?0
?
而当
x??2
时，< br>x?x
2
?
2
?
0，

x?2或x??2，
故函数的定义域为〔2，+∞〕
令
y?log
b
(x?x
2
?2)，得b
y
?x?x
2
?2.< br>
b
2y
?2b
2x
?2
?1
，?f(x) ?.
解得
x?
2b
y
2b
x
又
x??
2，??
?
时，u(x)?x?
?1

x
2
?2为增函数，

?u(x)?2，
b
2x< br>?2
(x?log
b
2)
， ∴当b＞1时，反函数为
f(x )?
2b
x
b
2x
?2
f(x)?(x?log
b
2)
x
当0＜b＜1时，反函数为.
2b
?1
例8 己知正整数a，b，c(a?b?c) 与非零实数x，y，z，w，满足关系式
1111
< br>a
x
?b
y
?c
z
?30
w
，且? ??，
xyzw
求a，b，c的值.
解：由
a
x
?30< br>w
，可知(a)
同理可得
b
1
w
1
y
1
w
1
x
wx
1
z
1
w
wx< br>1
w
1
x
?(30)，即a?30
，

? 30，c?30，
1
w
111
??
xyz
相乘，得
(abc)?30

?30，
1
w

∴ abc=30.
由1?a?b?c，可分三种情况：
(1) 如果a=1，那么
a?30得30?1，w?0.舍去

(2)如果a=2，那么 bc=15，所以b=3，c=5.
(3)如果a＞2，那么由3
3
=27，32
×4＞30及3×4
2
＞30.
知 abc=30无正整数解.
综上可知 a=2，b=3，c=5.
别解：用对数，
a?30，两边取对数
.
得 xlga=wlg30， 即
xw
xww
wlga11lga
.
?
，
?
xlg30
xwlg30
同理
11lgb11lgc

?，?
ywlg30zwlg30.
11111lgalgblgc1
∴
(???，??)?.

wlg30lg30lg30w
xyzw
l galgblgc
???1.
∴ lg(abc)=lg30.
lg30lg30lg30
又
即
故 abc=30 .以下同前解法.
对底数的分类讨论应通过训练，让学生切实掌握.
1
2
例9 己知
log
2
x?log
3
y ?log
4
z?log
5
w，
请把
x，y，z，w按照由小到大的顺序
排列起来.
解：可设
log
2
x?log3
y?log
4
z?log
5
w?k，

则< br>x?2
k
，y?3
k
，z?4
k
，w?5
k
.

所以
x?2，y?3，z?4?2?x
，
w?5.

(1) 当0＜x＜1，0＜
x
＜1，即0＜
2
＜1，∴k＜0.
(2) 由科学计算器可得
2?
3
3，2?
5
5，
又 k＜0.
于是
2?(2)?
k
2
1
2
kk
2
1
3
1
4
1
5
1
2k
2
1
3
k
3
1
4
k
4k
2
1
2
1
5
k
5
1
(2)
k
?
1
(3)
3
k

?(3)?3，1
3
k
k
3

同理可证：
2
?< br>5，

∴
y?x?z?w.

(2)当x=1，y=z=w=1， 即
2?y?z?w
.
(3) 当x＞1时，
x
＞1，即
2
＞1，∴k＞0.
仿(1)可由
2?3
知
2
?
3，

由
5
?
2知5
?
2，

∴
y?x?z?w.


1
3
1
2
1
4
1
5
1
5
1
2
k
5
k
2
1
2
1
3
k
2
k
3
k
2
k
2
k
5
1
3
1
2
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
5