初升高经典 数学教材

初高中数学衔接教材

第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心 、旺盛的求知欲，
都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、
课外练习时，又是 磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当
部分学生进入数学学习的“困难期”，数 学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们
认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心， 甚至失去了学习数
学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学
们认真吸取前人的 经验教训，搞好自己的数学学习。

一 高中数学与初中数学特点的变化

1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，
觉得离生活很远 ，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。初
中的数学主要是以形象、通俗的语言方 式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象
的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空 间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中 阶
段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式

分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、
角相等,分别确定 了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操
作的定势方式。高中数学在思维形式上 产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思
维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝 一夕的。这种能力要
求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经< br>验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3 知识内容的 整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例
如：高一《代数》第一章就有基本概念5 2个，数学符号28个；《立体几何》第一章有
基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合 在一起仅基本概念就达89个之
多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中 一年级第
一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，
因 而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不
适应高中数学学习，而影 响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，
记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知 识的内在联系，使新知识顺利地同化
于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的 ，当知识信息
量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，
实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一
类到多类，由多类到 统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、
归类，建立主体的知识结构网络。

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵ 正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
?
a(a?0)?
a?
?
0(a?0)

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a? 0)?x??a
或
x?a

2 乘法公式：

⑴平方差公式 ：
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

⑵立方差 公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑶立方和公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑷完全平方公式：
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
，

⑸完全立方公式：
(a?b)
3
?a
3
?3a
2< br>b?3ab
2
?b
3

3 分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1 ，这样的方程叫一元
一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程
ax?b
解的讨论

①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
；

b
a
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解

③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程 的解。

5 二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6 不等式与不等式组

（1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫
一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式
组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式
组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7 一元二次方程：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b
2
?4ac?0

?
??0
?
②方程有两根同号
?

?


c
xx??0
12
?
a
?
?
??0
?
③方程有两根异号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?
a
?
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??,x< br>1
x
2
?
b
a
c

a
?b
2
?4ac
x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
,
x
1
?x
2
?(x1
?x
2
)?4x
1
x
2
??

aa
2
1
2
2
2
2
8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数 轴上的点自变量，用竖直
方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量y
,
x
间的关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不
等于0）的形式，则称
y
是
x
的一 次函数。②当
b
=0时，称
y
是
x
的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量
x
与对应的因 变量
y
的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在
直角坐标系内描出它的对应点，所有这些 点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1 、
2、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、
3象限。

④当
k
?
0时，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?< br>0时，
y
的值随
x
值的增大而减
少。

（4）二次函数：

b
2
4ac?b
2
b
①一般式：
y?ax?bx?c?a(x?)?
(
a?0
)，对称轴是
x??,

2a4a
2a
2
b4ac?b
2
（－ ,)
；

顶点是
2a4a
②顶点式：
y?a(x?m)2
?k
(
a?0
)，对称轴是
x??m,
顶点是
?
?m,k
?
；

③交点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(
a?0
)，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0
）是抛物线与x轴的
交点
（5）二次函数的性质

①函数
y?ax
2
?bx ?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0
时，在对称轴 （
x??
b
对称。

2a
bb
）左侧，在对称轴（
x??
）
y
值随
x
值的增大而减少；
2a2a4ac?b
2
b
右侧；
y
的值随
x
值的增大而 增大。当
x??
时，
y
取得最小值

4a
2a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
bb< br>）左侧，在对称轴（
x??
）
y
值随
x
值的增大而增 大；
2a2a

4ac?b
2
b
右侧；
y的值随
x
值的增大而减少。当
x??
时，
y
取得最大值

4a
2a
9 图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一 个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 对称轴。②轴对称图形上关于对
称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2 ）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的
图形互相重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中
心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都 被对称中心平分。

10 平面直角坐标系

（1）在平面内，两条互相垂直 且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数
轴叫做
x
轴或横轴，铅直的数轴叫 做
y
轴或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐标轴，他们的公
共原点
O
称为直角坐标系的原点。

（2）平面直角坐标系内的对称点：设< br>M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x2
,y
2
)
是直角坐标系内的两点，

?
x< br>1
??x
2
①若
M
和
M'
关于
y< br>轴对称，则有
?
。

y?y
?
12
?
x
1
?x
2
。

?
y
1
??y
2
?
x
1
??x
2
。

?
y
1
??y
2
②若
M
和
M'
关于
x
轴对称，则有
?
③若
M
和
M'
关于原点对称， 则有
?

④若
M
和
M'
关于直线
y? x
对称，则有
?
?
x
1
?y
2
。

y?x
?
12
?
x
1
?2a?x
2
?
x
2
?2a?x
1
⑤若
M
和
M'关于直线
x?a
对称，则有
?
或
?
。

y?yy?y
?
12
?
12
11 统计与概率：
（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成
A?10
N
的形式，其中
A
大于等于1
小于10，
N
是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表 示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，
扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样 的统计图叫做扇形统计图。②扇
形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度 数与360
度的比。
（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体 数目；②折
线统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在
总 体中所占的百分比。

（5）平均数：对于
N
个数
x
1,x
2
,L,x
N
，我们把
算术平均数，记为
x
。
（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数
据的 平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
（7）中位数与众数：①
N
个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或
最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位 数。②一组数据中出现次数最大的
1
(
x
1
?x
2
?L?x
N
)叫做这个
N
个数的
N

那个数据 叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充
分利用数据所提供的信息，因此 在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：
计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数 据的信息；众数：各个数据如
果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。
（8）调查 ：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要
考察对象的全体称为总体，而组 成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽
取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从 总体中抽取的一部分个体叫
做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点 是调
查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果
准确。为 了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。
（9）频数与频率：①每个对象出 现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数
的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常 先将数据适当分组，然后再
绘制频数分布直方图。
（10）数据的波动：①极差是指一组数据 中最大数据与最小数据的差。②方差是各
个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算 术平方根。④一般
来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事
件；有些事情我们 能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和
不可能事件都是确定的。②有很多事情我 们无法肯定他会不会发生，这些事情称为
不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的 。

（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0 来表
示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必
然事件发 生的概率为1，记作
P
（必然事件）
?1
；不可能事件发生的概率为
0
，记
作
P
（不可能事件）
?0
；如果A为不确定事件，那 么
0?P(A)?1

第一部分： 整式及方程

⑴平方差公式：< br>a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

⑵立方差公式 ：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b2
)

⑶立方和公式：
a
3
?b
3
? (a?b)(a
2
?ab?b
2
)

⑷完全平方公式：(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
，

杨辉三角

思考 （x+1）^n=A1x^n+A2^xn-1>........

求A1+A2+A3…….=

例1已知
a?b?c?4
，
ab?b c?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值 ．

⑸完全立方公式：
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3

6、1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)< br>
例2：1+2+3+…+n=
n(n?1)
，请看下面的计算：
< br>2
1
6

∵（n+1）
3
-n
3
=3n
2
+3n+1

∴n=1时，2
3
-1
3
=3×1
2
+3×1+1

n=2时，3
3
-2< br>3
=3×2
2
+3×2+1

n=3时，4
3
-3
3
=3×3
2
+3×3+1

… …

n=n时,( n+1)
3
-n
3
=3n
2
+3n+1

把以上的n个等式相加得：( n+1)
3
-1=3（1
2
+2< br>2
+3
2
+…+n
2
）+3(1+2+3+…+n)+n
所以，3（1
2
+2
2
+3
2
+…+n2
）=( n+1)
3
-（n+1）-3
1
2
+2< br>2
+3
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)

1
6
n(n?1)
,即

2
类比上述方法，求1< br>3
+2
3
+3
3
…+n
3
。

7、求
x
?4
+
x
?1
得值

例3 等推
x
?4
-
x
?1
的值

例4、
9?45
；

总思路：几次方就几个根

二次方程

例 方程2
x
2
＋2
x
－1＝ 0的两根为
x
1
和
x
2
，则|
x
1
－
x
2
|

例 求一个一元二 次方程，使它的两根分别是方程
x
－7
x
－1＝0各根的相反数．

2
5．关于
x
的方程
x
2
＋4
x
＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x
2
满足| x
1
－
x
2
|＝2，求实数
m
的值．

m
2
?0
．

4．已知关于
x
的方程x?(m?2)x?
4
2
（1）求证：无论
m
取什么实数时，这 个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根
x
1
，
x
2
满足|
x
2
|＝|
x
1
| ＋2，求
m
的值及相应的
x
1
，
x
2
．< br>
5、解方程x
3
-x
2
-6x=0

例 2x
5
+x
3
+x+c=（2x
4
+ax
2
+b）（x+1） 求c=________

例 x
2
-3x+1 =0的两根为a，b也为方程x
6
-px
2
+q=0的根，期中p、q为整数 ，则q
为_____

函数图形：

]一次函数 反比例函数的图象与性质

各种图形变换：

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数
y?ax
2
?bx?c (a?0)
的最值．

二次函数在自变量
x
取任意实数时的最值情况 (当
a?0
时，函数在
x??
b
处取
2a
4ac? b
2
4ac?b
2
b
得最小值，无最大值；当
a?0
时，函数在
x??
处取得最大值，无
4a4a
2a
最小值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定
a
的 符号，
a
＞0有最小值，
a
＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：
y?ax
2
? bx?c
在
m?x?n
（其中
m?n
）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
x?x
0
；

第二步：讨论：

[1]若
a?0
时求最小值或
a?0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于
m
即
x< br>0
?m
，即对称轴在
m?x?n
的左侧；

②对 称轴
m?x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的内部；

③对称轴大于
n
即
x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的右侧。

[2] 若
a?0
时求最大值或
a?0
时求最小值，需分两种情况讨论：
< /p>

①对称轴
x
0
?
②对称轴
x
0
?
m?n
，即对称轴在
m?x?n
的中点的左侧；

2
m?n
，即对称轴在
m?x?n
的中点的右侧；

2
说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围
相应位置，具体 情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）
y?2x
2
?3x?5
； （2）
y??x
2
?3x?4
．

例2当
1?x? 2
时，求函数
y??x
2
?x?1
的最大值和最小值

例3当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．

例4当
t?x?t?1
时，求函数
y?x
2
?x?
的最小值(其中
t
为常数)．

分析：由于
x
所给的范围随 着
t
的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的
相对位置．

解 ：函数
y?x
2
?x?
的对称轴为
x?1
．画出其草图．< br>
?
1
2
?
2
t?3,t?0
?
综 上所述：
y?
?
?3,0?t?1

?
15
?t
2
?t?,t?1
2
?
2
1
2
5< br>2
1
2
5
2
【巩固练习】

1．抛物线
y?x
2
?(m?4)x?2m?3
，当
m
= _____ 时，图象的顶点在
y
轴上；当
m
= _____
时，图象的顶点在
x
轴上；当
m
= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为
l
米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为
________ ．

3．设
a?0
，当
?1?x?1< br>时，函数
y??x
2
?ax?b?1
的最小值是
?4
，最大值是0，求
a,b
的值．

4．已知函数
y?x
2< br>?2ax?1
在
?1?x?2
上的最大值为4，求
a
的值．< br>
5．求关于
x
的二次函数
y?x
2
?2tx?1< br>在
?1?x?1
上的最大值(
t
为常数)．

★ 专题七 不 等 式

【要点回顾】

1．一元二次不等式及其解法

[1]定义：形如 为关于
x
的
一元二次不等式．

[2]一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)
与二次函数
y?ax
2
?bx ?c (a?0)
及一元二
次方程
ax
2
?bx?c?0
的关系(简称：三个二次)．

（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元 二次方程求解，
步骤如下：

(1) 将二次项系数先化为正数；

(2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图 象与
x
轴有两个交点
(x
1
,0),(x
2
,0)
，此时对应的一元二次方程有两个不
相等的实数根
x
1
,x
2
(也可由根的判别式
??0
来判断) ．则

②如果图象与x
轴只有一个交点
(?
的实数根
x
x
?x
2< br>??
b
,0)
，此时对应的一元二次方程有两个相等
2a
b< br>(也可由根的判别式
??0
来判断) ．则：

2a
③如果图象与
x
轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根
的判别式
??0
来判断) ．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：

(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根
x
1
,x2
．那么“
?0
”
型的解为
x?x
1
或x?x
2
(俗称两根之外)；“
?0
”型的解为
x
1
?x ?x
2
(俗称两根之间)；

b
2
4ac?b
2
(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax?bx?c?a(x?)?
，结合
2a4a
2
完全平方式为非负数的 性质求解．

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法 ：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等
式，应当注意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为
ax?b
的形式．

[1]当
a?0
时，不等式的解为：
x?
；

[2]当
a?0
时，不等式的解为：
x?
b
；
< br>a
b
a
[3]当
a?0
时，不等式化为：
0?x?b
；

① 若
b?0
，则不等式的解是全体实数；② 若
b?0
，则不等式无解．

【例题选讲】

例1 解下列不等式：(1)
x
2
?x?6?0

例2 解下列不等式：(1)
x
2
?2x?8?0

(2)

(3)
x
2
?x?2?0

(2)
x
2
?4x?4?0

例3 已知对于任意实数
x，
kx
2
?2x?k
恒为正数，求实数
k
的取值范围．

例4 解下列不等式： (1)
2x?3
?0

x?1
(2)
1
?3

x?2
例5 求关于
x
的不等式
m
2
x?2?2mx?m
的解．

【巩固练习】

1．解下列不等式：



(1)
2x
2
?x?0






(2)
x
2
?3x?18?0


(4)
x(x?9)?3(x?3)

(3)
?x
2
?x?3x?1

2．解下列不等式：

2x
2
?x?1
2
3x?1
?0

(2)
?2
(3)
??1
(4)
2x?1
x
2x?1

x?1
(1)
?0

x?1
3．解下列不等式：

(1)
x
2
?2x?2x
2
?2
(2)
x
2
?x??0

1
2
1
3
1< br>5
4．解关于
x
的不等式
(m?2)x?1?m
．

5．已知关于
x
的不等式
mx
2
?x?m?0
的解 是一切实数，求
m
的取值范围．

6．若不等式
x?2x?3
?1?
2
的解是
x?3
，求
k
的值．

kk
7．
a
取何值时，代数式
(a?1)
2
?2(a?2) ?2
的值不小于0？

1已知函数
y?8?2x?x
2
和< br>y?kx?k(k
为常数）则不论
k
为何值，这两个函数的图像
（ ）

A．只有一个交点 B．只有二个交点 C．只有三个交点 D．只有四个交点

2、x
3
-2x
2
-3x-5=0有几个根

3、