算法的概念 人教版高中数学必修3教材教案

第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了
如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为
了让学生更 好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，
归纳出了二元一次方程组 的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，
应从学生非常熟悉的例子引出算法， 再通过例题加以巩固.
三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河 ，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有
人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会 吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请

同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用 到我们今天学习的内容——算法.
思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分
几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，
计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、 画
卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
推进新课 新知探究 提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？
（2）结合教材实例
?
?
x?2y??1,(1)
总结用加减消元法解二元一 次方程组的步骤.
2x?y?1,(2)
?
?
x?2y??1,(1)总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
?
2x?y?1,(2)
（3）结 合教材实例
?
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.
（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组

?
x?2y??1,(1)
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
?
?
2x?y?1,(2)
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=
1
.
5
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=
3
.
5
1
?
x?,
?
?
5
第五步，得到方程组的解为
?

3
?y?.
?
5
?
(3)用代入消元法解二元一次方程组
?
x?2y??1,(1)
我们可以归纳出以下步骤：
?
2x?y?1,(2)
?
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=
3
.⑤
5
3
5
1
.
5
第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=
1
?
x?,
?< br>?
5
第五步，得到方程组的解为
?

3
?
y ?.
?
5
?
(4)对于一般的二元一次方程组
?
?
a
1
x?b
1
y?c
1
,(1)

?a
2
x?b
2
y?c
2
,(2)
其中 a
1
b
2
－a
2
b
1
≠0,可以写出类似 的求解步骤：
第一步，①×b
2
-②×b
1
，得
（a
1
b
2
－a
2
b
1
）x=b
2
c
1
－b
1
c
2
.③

第二步，解③，得x=
b
2
c
1
? b
1
c
2
.
a
1
b
2
?a
2
b
1
第 三步，②×a
1
-①×a
2
，得（a
1
b
2
－a
2
b
1
）y=a
1
c
2
－a
2
c
1
.④
第四步，解④，得y=
a
1
c
2
?a
2
c
1
.
a
1
b< br>2
?a
2
b
1
b
2
c
1
? b
1
c
2
?
x?,
?
a
1
b2
?a
2
b
1
?
第五步，得到方程组的解为
?

ac?ac
21
?
y?12
.
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说 洗衣机的使
用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法 的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是
可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从
开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相 扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，
“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要 有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要
解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完 成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤 来解决问题，这些步骤称
为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法 .算法一般是
机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得
到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.

（2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算法分析：（1）根据质数的定 义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能
整除7，则7不是质数，否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.
第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.
（ 2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为
余数不为 0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.
变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的 整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”
的算法包含下面 的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；
否则，将i的值增加1 ，再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
算法如下：第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.

第四步，判断“r=0”是否成立.若是， 则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，
仍用i表示.
第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.
例2 写出用“二分法”求方程x
2
-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x
2
-2,则方程x
2
-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点 所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分
为二”，得到［a,m］和［m,b］. 根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或
［m,b］，仍记为［a ,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足
够小”，则［a, b］内的数可以作为方程的近似解.
解：第一步，令f(x)=x
2
-2,给定精确度d.
第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点m=
a?b
.
2
第四步，若f(a)·f(m )<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得
到的含零点的区间仍 记为［a,b］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方 程的近似解；
否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a
1
1
1.25
1.375
b
2
1.5
1.5
1.5
|a-b|
1
0.5
0.25
0.125

1.375
1.406 25
1.406 25
1.414 062 5
1.414 062 5
1.437 5
1.437 5
1.421 875
1.421 875
1.417 968 75
0.062 5
0.031 25
0.015 625
0.007 812 5
0.003 906 25
于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度 为0.005时的原方程的
近似解.实际上，上述步骤也是求
2
的近似值的一个算法.
例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没
有 人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请
设计算法. < br>分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得
保证狼 的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能
使得两岸的羚羊数量 占到优势.
解：具体算法如下：
算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回.
第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.
第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.
强调：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、 程序化的刻画是最恰当的.
这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出 现的情况，体

现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次 才能解决，在现
实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利 用
某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax
2
+bx+c=0是否有实数根.
解：算法步骤如下：
第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b
2
－4ac的值.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结
束算法.
强调：用算法解决问 题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑
性、有穷性.让我们结合例题仔细 体会算法的特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟， 则收取话费0.22元；如果通话
时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分 钟按一分钟计算.设通话
时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.
解：算法分析：
数学模型实际上为：y关于t的分段函数.
关系式如下：
?
0.22,(0?t?3),
?
y=
?
0.22?0.1(t? 3),(t?3,t?Z),

?
0.22?0.1([T?3]?1),(T?3, t?Z).
?
其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.

算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行
y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.
第三步，输出通话费用c.
课堂小结
（1）正确理解算法这一概念.
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.
作业
课本本节练习1、2.