初高中数学衔接教材(已整理)

初高中数学衔接教材


现有初高中数学教材存在以下“脱节”：
1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；
2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；
3、因式分解中，初中主要是 限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的
涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几 乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用
到它，如解方程、不等式等；
4、二次根式中对 分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函
数、不等式常用的解题技巧； < br>5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材
的始终的重 要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求
最大最小值、研究闭区 间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；
6、二次函数、二次不等式与二次 方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不
作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度 不大的应用题，而在高中数学中，它们的
相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本
知识要领；
8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题
内容在 教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；
9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外 心、垂心、旁心）和定理（平行
线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初 中早就已经删除，
大都没有去学习；
10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、 待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，
甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中 数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我< br>们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，
加以 补充和完善。

.


目录

第一章 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系

2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定

3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程（选学）




. . .

.



1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值 是它的相反数，零的绝对
值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得
x
＜0，
又
x
＜1，
∴
x
＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的
x
；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得
x
＞4．
又
x
≥3，
∴
x
＞4．
综上所述，原不等式的解为

x
＜0，或
x
＞4．
解法二：如图1．1－1，
x?1< br>表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到坐标为1的点
A
之间的距离
|
PA
|，即|
PA
|＝|
x
－1|；|
x
－3|表示
x
轴上点
P
到坐标为2的点B
之间的距离|
PB
|，即|
PB
|
＝|
x< br>－3|．
|x－3|
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|
PA
|＋|
PB
|＞4．
由|
AB
|＝2，可知
点
P
在点
C
( 坐标为0)的左侧、或点
P
在点
D
(坐标
为4)的右侧．

x
＜0，或
x
＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
，则
x
=_________；若
x??4
，则
x
=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则
b
＝________；若
1?c?2
，则
c
＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
. . .
P
x
C
0
A
1
B
D
3 4
x
|x－1|
图1．1－1

.
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|
x
－ 5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

416
3
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方
的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
x
2< br>?2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
. . .
2
x?1
，
2

.
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需
要引入有 理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
我们就说这两个代数 式互为有理化因式，例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32< br>，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与ax?by
，
ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；
而分子有理化则是 分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次 根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运
用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通
过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与 多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括
号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3?1
1
33?1
3
解法二：
3?(3?3)
＝ ＝ ＝＝＝．
2
3?1
(3?1)(3?1)3(3?1)
3?3
例3 试比较下列各组数的大小：
2
（1）
12?11
和
11?10
； （2）和
22－6
.
6?4
解法一：
3?(3?3)
＝
3

＝
解： （1）∵
12?11?

11?10?
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
1
12?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
. . .

.
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2
∴＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
（2）∵
22－6?
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

?
＝
(3?2)?(3?2)?(3?2)
＝?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝
1
2004
?(3?2)
＝
3?2
．
20042004
2004
?(3?2)

例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
2
x
解：（1）原式
?5?45?4

?(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
．
1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?
，
x
x
1
1
∵
0?x?1
，∴
?1?x
，所以，原式＝
?x
．
x
x
3?23?2
例 6 已知
x?
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
3?23?2
解： ∵
x?y???(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?23?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?32
（2）若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x
，则
x
的 取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
3．若< br>b?
，求
a?b
的值．
a?1
等式
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式

1．分式的意义
. . .

.
形如AAA
的式子，若
B
中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当< br>M
≠0时，分式具有下列性质：
BBB
AA?MAA?M
；
?
．
?
BB?MBB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?
解得
A?2,B?3
．
2A?4,
?
111
??
例2 （1）试证：（其中
n
是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：
；
??
L
?
1?22?39?10
1111
??
L
??
．
（3）证明：对任意大于1的正整数
n
， 有
2?33?4n(n?1)2
1 1(n?1)?n1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中
n
是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
1111111119


?(1?)?(?)?L?(?)?1?
＝．
??
L
?
1?22?39?1
111
11111111
??
L
?< br>（3）证明：∵
＝
(?)?(?)?
L
?(?
，
)
＝
?
2?33?4n(n?1)
2334nn?12n?1
1
又
n
≥2，且
n
是正整数，∴ 一定为正数，
n
＋1
1
111
??
L
?
∴
＜
．
2?33?4n(n?1)
2
c
，且
e
＞1，2
c
2
－5
ac
＋2
a
2
＝0，求
e
的值．
a
2
解：在2
c
－5
ac
＋2
a
2
＝0两边同除以
a
2
，得
2
e
2
－5
e
＋2＝0，
∴(2
e－
1)(
e
－2)＝0，
1
∴
e
＝ ＜1，舍去；或
e
＝2．
2
∴
e
＝2．

例3 设
e?
练 习
1．填空题：对任意的正整数
n
，
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2
. . .

.
2．选择题：
2x?y2
x
?
，则＝ （ ）
x?y3
y
546
（A）１ （B） （C） （D）
455
x?y
22
3．正数
x ,y
满足
x?y?2xy
，求的值．
x?y
1111
4．计算．
???...?
1?22?33?499?100
若

习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x?y?3xy
的值．
3．填空：
1819
（1）
(2?3)(2?3)
＝________；
33
（2）若
(1?a)?(1?a)?2
，则
a
的取值范围是____ ____；
（3）

22
11111
?????
________．
1?22?33?44?55?6
B 组
1．填空：
3a
2
?ab
11
?
____ ____； （1）< br>a?
，
b?
，则
2
3a?5ab?2b
2
2 3
x
2
?3xy?y
2
22
?
__ __； （2）若
x?xy?2y?0
，则
22
x?y
2．已知：< br>x?
yy
11
?
的值．
,y?
，求
23
x?yx?y
C 组
1．选择题：
?b??a
，则 （ ）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

1
（2）计算
a?
等于 （ ）
a
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

11
2
2．解方程
2(x?
2
)?3(x?)?1?0
．
xx
1111
3．计算：
．
???
L
?
1?32?43?59?11
111
1
??
L
?
4．试证： 对任意的正整数
n
，有
＜
．
1?2?32?3?4n(n?1) (n?2)
4
（1）若
?a?b?2ab?
1.2因式分解
因式分 解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应
了解求根法及待定系数法 ．
. . .

.
1．十字相乘法
例1 分解因式：
22
（1）
x
－3
x
＋2； （2）
x
＋4
x
－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．1－1，将二次项
x
2
分解成图中的两个
x
的积，再将常数项2分解成－1
与－2的乘 积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3
x
，就是
x
2
－3< br>x
＋2中的一次项，所
以，有
x
2
－3
x
＋2＝(
x
－1)(
x
－2)．


1
x
x
1
－2
－1
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．1－3
图1．1－1
图1．1－4
图1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将 图1．1－1中的两个
x
用1
来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x
2
＋4
x
－12＝(
x
－2)(
x
＋6)．
（3）由图1．1－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
(x?ay)(x?b y)

x
－1
（4）
xy?1?x?y
＝
xy
＋(
x
－
y
)－1
y
1
＝(
x
－1) (
y+
1) （如图1．1－5所示）．
图1．1－5
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式： （1）
x?5x?6?
______________________________ ____________________。
（2）
x?5x?6?
______ ____________________________________________。
（3）
x?5x?6?
________________________________ __________________。
（4）
x?5x?6?
________ __________________________________________。
2< br>2
2
2
2
（5）
x?
?
a?1
?< br>x?a?
_______________________________________ ___________。
（6）
x?11x?18?
_____________ _____________________________________。
（7）
6x?7x?2?
______________________________________ ____________。
（8）
4m?12m?9?
____________ ______________________________________。
（9）
5?7x?6x?
_____________________________________ _____________。
（10）
12x?xy?6y?
_________ _________________________________________。
2、
x?4x? ?
?
x?3
??
x?
?

2
22
2
2
2
2
3、若x?ax?b?
?
x?2
??
x?4
?
则
a?
，
b?
。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
2
1、在多项式（1）
x?7x?6
（2）
x?4x?3
（3）
x?6x?8
（4）x?7x?10

（5）
x?15x?44
中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式
a?8ab?33b
得（ ）
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、
?
a?11b
??
a?3b
?
A、
?
a?11
??
3、
?
a?b
?
?8
?
a?b
?
?20
分解因式得（ ）
2
2222
2
22
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
A、
?
a?b?10
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
C、
?< br>a?b?2
??
4、若多项式
x?3x?a
可分解为
?
x?5
??
x?b
?
，则
a
、
b
的值是 （ ）
2
. . .

.
A、
a?10
，
b?2
B、
a?10
，
b??2
C、
a??10
，
b??2
D、
a??10
，
b?2

x?b
?
其中
a
、
b
为整数，则
m
的值为（ ） 5、若
x?m x?10?
?
x?a
??
2
A、
3
或
9< br> B、
?3
C、
?9
D、
?3
或
?9

三、把下列各式分解因式
322
1、
6
?
2p?q
?
?11
?
q?2p
?
?3
2、
a?5ab?6ab

2
42
3、
2y?4y?6
4、
b?2b?8

2
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1）
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
（2）
x
3
?9?3x
2
?3x

解： （1）．
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b< br>?
=
a(b?5)(a?1)

（2）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
) ?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]
＝
(x?3)(x
2
?3)

课堂练习：
一、填空题：
1、多项式
6xy?2xy?4xyz
中各项的公因式是_____________ __。
2、
m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?
?
x?y
?
?
______________ ____。
3、
m
?
x?y
?
?n
?
y ?x
?
?
?
x?y
?
?
____________ ________。
222
22
4、
m
?
x?y?z?
?n
?
y?z?x
?
?
?
x?y?z
?
?
_____________________。
5、
m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z
?
?< br>______________________。
6、
?13abx?39abx< br>分解因式得_____________________。
7．计算
99?99
=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、
2ab?4ab?2 ab
?
a?b
?
………………………………………………………… （ ）
22
26325
2
2、
am?bm?m?m
?
a?b
?
…………………………………………………………… （ ）
3、< br>?3x?6x?15x??3xx?2x?5
…………………………………………… （ ）
4、
x?x
nn?1
32
?
2
?
?x
n?1
?
x?1
?
………………………………………………………… …… （ ）

3：公式法
例3 分解因式： （1）
?a
4
?16
（2）
?
3x?2y
?
?
?
x?y
?
< br>解：(1)
?a
4
?16
=
4
2
?(a2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(4? a
2
)(2?a)(2?a)

22
(2)

?
3x?2y
?
?
?
x?y
?
=
(3x?2 y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)


课堂练习

222233
一、
a?2ab?b
，
a ?b
，
a?b
的公因式是___________________________ ___。
22

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
4
?
2
??
2
??
2
?
2
1、
x
2
?0.01?
?
x
?
?
?
0 .1
?
?
?
x?0.1
?

?
x?0.1
?
………………………… （ ）
9
?
3
??
3
??
3
?
22
22
3a?4b
?
………………………………… 2、
9a?8b?
?
3a
?
?
?
4b
?
?
?
3a?4b
??
（ ）
2
5a?4b
?
………………………………………………… （ ） 3、
25a?16b?
?
5a?4b
??
2222
x?y
?
………………………………………… （ ） 4、
?x?y???
x?y
?
??
?
x?y
??
2
a?b?c
?
……………………………………………… （ ） 5、
a??
b?c
?
?
?
a?b?c
??
2
2
. . .

.
五、把下列各式分解
1

3
2
42
3、
4?x
2
?4x?2
4、
x?2x?1

1、
?9
?
m?n
?
?
?
m?n
?
2、
3x
2
?
22
??
4．分组分解法
例4 （1）
x
2
?xy?3y?3x
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2 x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2) (x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5 y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．

课堂练习 ：用分组分解法分解多项式（1）
x
2
?y
2
?a
2
?b
2
?2ax?2by

（2）
a?4ab?4b?6a?12b?9

22
5．关于
x
的二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
(< br>a
≠0)的因式分解．
若关于
x
的方程
ax
2?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a?0)
就可分解为
a (x?x
1
)(x?x
2
)
.
例5 把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
233
（1）
x
＋6
x
＋8； （2）8
a
－
b
；
2
（3）
x
－2
x
－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；
22
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
22
22
342
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
22
4．分解因式：
x
＋
x
－(
a
－
a
)．
5. （尝试题）
已知abc=1，a+b+c=2， a?+b?+c?=， 求
222
22222
111
++的值.
ab?c-1bc?a-1ca?b-1
2.1 一元二次方程
. . .

.

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）
x?2x?3?0
(2)
x?2x?1?0
(3)
x?2x?3?0
}

2
我们知道，对于一元二次方程< br>ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），用配方法 可以将其变形为
222
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2
2a4a
因为
a
≠0，所以，4
a
＞0．于是
2
（1）当
b
－4
ac
＞0时，方程①的右端是一个正数， 因此，原方程有两个不相等的实数根
2
?b?b
2
?4ac

x
1，2
＝；
2a
（2）当
b
－4
ac
＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x< br>1
＝
x
2
＝－
2
2
b
；
2a
b
2
)
一定大于或等于零，因
2a
（3）当
b
－4
ac
＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
此，原方程没有实数根．
222
由此可知，一元二次方程
ax
＋
b x
＋
c
＝0（
a
≠0）的根的情况可以由
b
－4< br>ac
来判定，我们把
b
－4
ac
2
叫做一元二次方程
ax
＋
bx
＋c＝0（
a
≠0）的根的判别式，通常用符号 “Δ”来表示．
2
综上所述，对于一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），有
?b?b
2
?4ac
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x
1，2
＝；
2a
b（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于
x
的方程的根的情况（其中
a
为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）
x
－3
x
＋3＝0； （2）
x
－
ax
－1＝0；
22
（3）
x
－
ax
＋(
a
－1)＝0； （4）
x
－2
x
＋
a
＝0．
2
解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
22
（2）该方程的根的判别式Δ＝
a
－4×1×(－1)＝
a
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
x
1
?
，
x
2
?
．
22
（3）由于该方程的根的判别式为
222
Δ＝
a
－4 ×1×(
a
－1)＝
a
－4
a
＋4＝(
a－
2)，
所以，
①当
a
＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x
1
＝
x
2
＝1；
②当
a
≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根

x
1
＝1，
x
2
＝
a－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
2
Δ＝2－4×1×
a
＝4－4
a
＝4(1
－a
)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－a
) ＞0，即
a
＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即
a
＝1时，方程有两个相等的实数根

x
1
＝
x
2
＝1；
③当Δ＜0，即
a
＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的 判别式的符号随着
a
的取值的变化而变化，于是，在解题过程
中，需要对
a< br>的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非
. . .

.
常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程
ax
＋
bx< br>＋
c
＝0（
a
≠0）有两个实数根
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2a2a4a< br>2
4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果
ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠ 0）的两根分别是
x
1
，
x
2
，那么
x
1
＋
x
2
＝
?
2
bc
，
x
1
·
x
2
＝．这一关系也被称
aa
为韦达定理．
2
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程
x
＋
px
＋
q
＝0，若
x
1
，
x
2
是其两根，由韦 达定理可知

x
1
＋
x
2
＝－
p
，
x
1
·
x
2
＝
q
，
即
p
＝－(
x
1
＋
x
2< br>)，
q
＝
x
1
·
x
2
，
222
所以，方程
x
＋
px
＋
q
＝0可化为
x
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0，由于
x
1
，
x
2
是一元二次方程
x
＋
px
＋
q
＝
20的两根，所以，
x
1
，
x
2
也是一元二次方程
x
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋x
1
·
x
2
＝0．因此有
以两个数
x1
，
x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋x
1
·
x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及
k
的值． < br>分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出
k
的值，再由方程解出另 一个根．但
由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的 二次项系数
和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出
k
的值．
2
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×2＋
k
×2－6＝0，∴
k
＝－7．
所以，方程就为5
x
－7
x
－6＝0 ，解得
x
1
＝2，
x
2
＝－
所以，方程的另一个根 为－
2
2
3
．
5
3
，
k
的值为－7．
5
63
解法二：设方程的另一个根为
x
1
，则 2
x
1
＝－，∴
x
1
＝－．
55
3k
由 （－）＋2＝－，得
k
＝－7．
55
3
所以，方程的另一个根为－，
k
的值为－7．
5
例3 已知关于
x
的方程
x
＋2(
m－2)
x
＋
m
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求
m
的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方 和比两个根的积大21得到关于
m
的方程，从而解
得
m
的值．但在解 题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
2

x
1
＋
x
2
＝－2(
m－
2)，
x
1
·
x
2
＝
m
＋ 4．
22
∵
x
1
＋
x
2
－< br>x
1
·
x
2
＝21，
2
∴(
x
1
＋
x
2
)－3
x
1
·
x
2
＝21，
22
即 [－2(
m－
2)]－3(
m
＋4)＝21，
2
化简，得
m
－16
m
－17＝0，
解得
m
＝－1，或
m
＝17．
2
当
m
＝－1 时，方程为
x
＋6
x
＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
22
当
m
＝17时，方程为
x
＋30
x
＋293＝0，Δ＝30 －4×1×293＜0，不合题意，舍去．
. . .
22

.
综上，
m
＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方 程有两个实数根所对应的
m
的范围，然后再由
“两个实数根的平方和比两个根的积大2 1”求出
m
的值，取满足条件的
m
的值即可．
（1）在今后的解题 过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于
零．因为，韦达定理成立 的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为
x
，
y
，利用二元方程求解出这两个数 ．也可以利用韦达定理转化
出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是
x
，
y
，
则
x
＋
y
＝4， ①
xy
＝－12． ②
由①，得
y
＝4－
x
，
代入②，得
x
(4－
x
)＝－12，
2
即
x
－4
x
－12＝0，
∴
x
1
＝－2，
x
2
＝6．
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?

y?6,
y??2.
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．
2
解法二：由韦达定理可知，这 两个数是方程
x
－4
x
－12＝0的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，
x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
2
例5 若
x
1
和
x
2
分别是一元二 次方程2
x
＋5
x
－3＝0的两根．


（1）求|
x
1
－
x
2
|的值； （2）求< br>11
33
?
的值；（3）
x
1
＋
x
2
．
x
1
2
x
2
2
2
解：∵< br>x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
＋5< br>x
－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??

53
，
x
1
x
2
??
．
22
2222
（1）∵|
x
1
－
x
2
|＝
x
1
+
x
2
－2
x
1
x
2
＝(
x
1< br>＋
x
2
)－4
x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)
＝
5
2
2
3
2
49
25
＋6＝，
4
4
∴|
x
1
－
x
2
|＝
7
．
2
2
1
2
1
2
（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x< br>2
2
33
5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
3722
?
4
．
???
2
39
(x
1< br>x
2
)9
(?)
2
24
2
22 2
（3）
x
1
＋
x
2
＝(
x
1
＋< br>x
2
)(
x
1
－
x
1
x
2
＋
x
2
)＝(
x
1
＋
x
2)[ (
x
1
＋
x
2
)－3
x
1< br>x
2
]
＝(－
55
2
3215
)×[(－)－3×(
?
)]＝－．
2228
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这 一个量的问题，
为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
2
设
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），则
?b?b
2
?4ac ?b?b
2
?4ac
x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴|
x
1
－
x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
. . .

.
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），则|
x
1
－
x
2
|＝
2
?
2
（其中Δ＝
b
－ 4
ac
）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
2
例6 若关于
x
的一元二次方程
x
－
x
＋
a
－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数
a
的取值范围．
解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，则

x
1
x
2
＝
a
－4＜0， ①
2
且Δ＝(－1)－4(
a
－4)＞0． ②
由①得
a
＜4，
17
由②得
a
＜ ．∴
a
的取值范围是
a
＜4．
4
练 习
1．选择题：
22
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
2
（2）若关于
x
的方程
mx
＋ (2
m
＋1)
x
＋
m
＝0有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值 范围是
（ ）
（A）
m
＜
11
（B）
m
＞－
44
11
（C）
m
＜，且
m
≠0 （D）
m
＞－，且
m
≠0
44
2
2．填空:
（1）若方程
x
－3
x
－1＝0的两根分别是
x
1
和
x
2
，则
2
11
?
＝ ．
x
1
x
2
（2 ）方程
mx
＋
x
－2
m
＝0（
m
≠0）的 根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当
k< br>取何值时，方程
kx
＋
ax
＋
b
＝0有两个不相等的 实数根？
2
4．已知方程
x
－3
x
－1＝0的两根为x
1
和
x
2
，求(
x
1
－3)( x
2
－3)的值．

习题2.1
A 组
1．选择题:
2
（1）已知关于
x
的方程
x
＋< br>kx
－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
2
①方程
x
＋2
x
－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
2
②方程
x
－2
x
＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
2
③方程3
x
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
2
2
7
；
3
④方程3
x
＋2
x
＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
22
（3）关于
x
的一元二次方程
ax
－5
x
＋
a
＋
a
＝0的一个根是0，则
a
的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
2
（1）方程
kx
＋4
x
－1＝0的两根之和为－2，则
k
＝ ．
222
（2）方程2
x
－
x－4＝0的两根为α，β，则α＋β＝ ．
2
（3）已知关于
x
的方程
x
－
ax
－3
a
＝0的一个根是－2，则 它的另一个根是 ．
2
（4）方程2
x
＋2
x< br>－1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，则|
x
1
－
x
2
|＝ ．
22
3．试判 定当
m
取何值时，关于
x
的一元二次方程
mx
－(2
m
＋1)
x
＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个
相等的实数根？没有实数根？
2
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程
x
－7
x
－1＝0各根的相 反数．
B 组
. . .

.
1．选择题:
22
若关于
x
的方程< br>x
＋(
k
－1)
x
＋
k
＋1＝0的两根互为相反数，则
k
的值为 ( )
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
222
（1）若
m
，
n
是方程
x
＋2005
x
－1＝0的两个实数根，则
mn
＋
mn< br>－
mn
的值等于 ．
23223
（2）如果< br>a
，
b
是方程
x
＋
x
－1＝0的两个实数根 ，那么代数式
a
＋
ab
＋
ab
＋
b
的值是 ．
2
3．已知关于
x
的方程
x
－
kx
－ 2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为
x1
和
x
2
，如果2(
x
1
＋
x
2
)＞
x
1
x
2
，求实数
k
的取值范围 ．
2
4．一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的两根为
x
1
和
x
2
．求 ：
（1）|
x
1
－
x
2
|和
2
x
1
?x
2
33
；（2）
x
1
＋
x
2
．
2
5．关于
x
的方程
x
＋4< br>x
＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x
2< br>满足|
x
1
－
x
2
|＝2，求实数
m
的值．
C 组
1．选择题：
2
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2
x
－8
x
＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边
长等于 （ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
（2）若
x
1
，
x
2
是方程2
x
－4
x
＋1＝0的两个根，则
x
1
x
2
?
的值为 （ ）
x
2
x
1
3
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
2
2
22
（3）如果关于
x
的方程
x
－2(1－
m
)
x
＋
m
＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ）

11
（B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
22
c
2
（4）已知
a
，
b
，
c
是Δ
ABC
的三边长，那么方程
cx
＋(< br>a
＋
b
)
x
＋＝0的根的情况是( )
4
（A）α＋β≥
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2
2．填空：若方程
x
－8
x
＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x
2
，且3
x
1
＋2
x
2
＝18，则
m
＝ ．
2
3． 已知
x
1
，
x
2
是关于
x
的一元二次方程4
kx
－4
kx
＋
k
＋1＝0的 两个实数根．
（1）是否存在实数
k
，使(2
x
1
－x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝－
由；
（2）求使
3
成立？若存在，求出
k
的值；若不存在，说明理
2
x
x
1
x
2
?
－2的值为整数的实数
k
的整数值；（3）若
k
＝－2，
?
?
1
，试求
?
的值．
x
2
x
2
x
1
2
m
2
?0
． 4．已知关于
x
的方程
x?(m?2)x?
4
（1）求证：无论
m
取什么实 数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根
x
1
，
x
2
满足|
x
2
|＝|
x
1
| ＋2，求
m
的值及相应的
x
1
，
x
2
．
2
5．若关于
x
的方程
x
＋
x
＋
a
＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数
a
的取值范围．
2．2 二次函数

2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象和性质

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图
（1）
y?x
(2)
y??x
(3)
y?x?2x?3

22
问题1 函数
y
＝
ax
与
y
＝
x
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一 问题，我们可以先画出
y
＝2
x
，
y
＝
2222
222
1
2
x
，
y
＝－2
x
2
的图象，通过这些函数图象与函数
y
2
＝
x
的图象之间 的关系，推导出函数
y
＝
ax
与
y
＝
x
的 图象之间所存在的关系．
. . .

.
先画出函数
y
＝
x
，
y
＝2
x
的图象．
先列表：
22
x
x
2
2
2
x

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
2
－1
1
2
0
0
0
2
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…
从表中不难看出，要得到2
x
的值，只要把相应的
x
的值扩大两倍就可以 了．
22
再描点、连线，就分别得到了函数
y
＝
x
，y
＝2
x
的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到
22这两个函数图象之间的关系：函数
y
＝2
x
的图象可以由函数
y
＝
x
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得
到．
同学们也可以用类 似于上面的方法画出函数
y
＝
2
1
2
x
，
y
＝－2
x
2
的图象，并研究这两个函数图象与函
2
数y
＝
x
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
22
二次函数
y
＝
ax
(
a
≠0)的图象 可以由
y
＝
x
的图象各点的纵坐标变为原来的
a
倍得到．在 二次函数
y
2
＝
ax
(
a
≠0)中，二次项系数< br>a
决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
22
问题2 函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)＋
k与
y
＝
ax
的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利 用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数
y
＝2(
x
＋1)
2
＋1与
y
＝2
x
2
的图象（ 如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，
y
2
只要把函数
y
＝2
x
的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到
2
y＝ 2(x＋1)
2
＋1
函数
y
＝2(
x
＋1)＋1 的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”
的特点．
y＝2(x＋1)
2

22
类似地，还可以通过画函数
y< br>＝－3
x
，
y
＝－3(
x
－1)＋1的图象，研究它 们
y＝2x
2

图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
2
二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)＋
k
(
a
≠0) 中，
a
决定了二次函数图象的开口大小及方
向；
h
决定了二次函数图 象的左右平移，而且“
h
正左移，
h
负右移”；
k
决定了< br>二次函数图象的上下平移，而且“
k
正上移，
k
负下移”．
2
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数
y
＝
ax
＋
b x
＋
c
(
a
≠0)的图象的
方法：
x
－1
O
b
2
b
2
bb
222
由于
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
＝
a< br>(
x
＋
x
)＋
c
＝
a
(
x
＋
x
＋
2
)＋
c
－
aa
4a< br>4a
b
2
b
2
?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
22
图2.2-2
所以，
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0 )的图象可以看作是将函数
y
＝
ax
的图象作左右平移、上下平移得到的，< br>2
于是，二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)具有下列性质：
b4ac?b
2
,)，对称轴为直线
x
（1）当
a
＞0时，函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
bbbb
＝－；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＞
?
时，
y
随 着
x
的增大而增大；当
x
＝
?
2a2a2a2a
4 ac?b
2
时，函数取最小值
y
＝．
4a
b4ac?b
2
2
,)
，对称轴为 （2）当
a
＜0时，函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c图象开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
bbb
直线
x
＝－；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而增 大；当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而减小 ；当
x
2a2a2a
4ac?b
2
b
＝
?
时，函数取最大值
y
＝．
4a
2a
2
上述二次函数的 性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次
函数问题时，可 以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

b4ac?b
2
y
y
A
(?,)

b

. .
2

a
.
x＝－
2a4a

.


2
例1 求二次函数
y
＝
－
3
x
－6
x
＋1图象的 开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值（或最小值），并指出当
x
取何值时，
y
随
x
的增大而增大（或减小）？并
画出该函数的图象．
22解：∵
y
＝
－
3
x
－6
x
＋1＝－3 (
x
＋1)＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线
x
＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当
x
＝－1时，函数
y
取最大值
y
＝4；
当
x
＜－1时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x< br>＞－1时，
y
随着
x
的增大而
减小；
y
y＝2x
2
y＝x
2

A(－1,4)
y
O
图2.2-1
D(0,1)
x
23?3
,0)< br>和采用描点法画图，选顶点
A
(－1，4))，与
x
轴交于点
B
(
3
23?3
,0)
，与
y
轴的交点为
D
(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5
C
(?
3
所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以
直接选出关键点，减少 了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

2
函数
y
＝ax
＋
bx
＋
c
图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为
x??
C
O
B
x＝－1
图2.2－5
x
b

2a
2
（3） 确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方 程
x
＋
bx
＋
c=0
求
2
出②①若△=0 则与x轴有一个交点，可由方程
x
＋
bx
＋
c=0
求出③① 若△<0则与x轴有
无交点。
（4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）
（5） 由以上各要素出草图。
练习：作出以下二次函数的草图
（1）
y?x?x?6
(2)
y?x?2x?1
(3)
y??x?1

例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x
（元）与产品的日销售量
y
（件）之
间关系如下表所示：
x
元 130 150 165
y
件 70 50 35
< br>若日销售量
y
是销售价
x
的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利 润，每件产品的销售价应定为
多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝ 日销售量
y
×(销售价
x
－120)，日销售量
y
又是销售 价
x
的一次函数，所以，
欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销 售价
x
之间的函数关系，然后，再由它们之
间的函数关系求出每天利润的最大值． < br>解：由于
y
是
x
的一次函数，于是，设
y
＝
kx
＋
（B）

将
x
＝130，
y
＝70 ；
x
＝150，
y
＝50代入方程，有
222
?
70?130k?b,

?
50?150k?b,
?
解得
k
＝－1，
b
＝200．∴
y
＝－
x
＋200．
设每天的利润为
z
（元），则
z
＝(－
x
+20 0)(
x
－120)＝－
x
2
＋320
x
－240 00＝－(
x
－160)
2
＋1600，
∴当
x
＝160时，
z
取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
22
例3 把二次 函数
y
＝
x
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2 个单位，再向左平移4个单位，得到函数
y
＝
x
的
图像，求
b
，
c
的值．
. . .

.
b
2
b
2
解法一：
y
＝
x
＋
bx
＋
c
＝(
x
+)
?c ?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得
4
2
bb
2
2
2
到
y?(x??4)?c??2
的图像，也就是函数
y
＝
x
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得
b
＝－8，
c
＝14．
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
22
解法二：把二次函 数
y
＝
x
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个 单位，再向左平移4个单位，得到函数
y
＝
x
22
的图像，等价于把 二次函数
y
＝
x
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数< br>y
＝
x
＋
bx
＋
c
的图像．
22
由于把二次函数
y
＝
x
的图像向下平移2个单位，再 向右平移4个单位，得到函数
y
＝(
x
－4)＋2的
222
图像，即为
y
＝
x
－8
x
＋14的图像，∴函数
y
＝
x
－8
x
＋14与函数
y
＝
x
＋
bx
＋
c
表示同一个函数，∴
b
＝－
8，
c
＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同 学们要牢固掌握二次
函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一， 是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算
量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的 问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量
小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体 情况，选择恰当的方法来解决问题．
2
例4 已知函数
y
＝
x< br>，－2≤
x
≤
a
，其中
a
≥－2，求该函数的最大值 与最小值，并求出函数取最大值
和最小值时所对应的自变量
x
的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对
a
的取值进行讨论．
2
解：（1）当
a
＝－2时，函数
y
＝
x
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值
都是4，此时
x
＝－2；
（2）当－2＜
a
＜0时，由图2．2－6①可知，当
x
＝－2时，函数取最大值
y
＝4；当
x
＝
a
时，函数取< br>2
最小值
y
＝
a
；
（3）当0≤
a
＜2时，由图2．2－6②可知，当
x
＝－2时，函数取最大值
y
＝4；当
x
＝0时，函数取
最小值
y
＝0；
2
（4）当< br>a
≥2时，由图2．2－6③可知，当
x
＝
a
时，函数取最大 值
y
＝
a
；当
x
＝0时，函数取最小值
y
＝0．

y
y
y
y

4
2
a
4





4

说明：在本例中，
a
2
2
a

利用了分类讨论的方

法，对
a
的所有可能情
x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
－2
－2
a
形进行讨论．此外，本






例中所研究的二次函
③
②
①


数的自变量的取值不


是取任意的实数，而是
图2.2－6
取部分实数来研究，在
解决这一类问题 时，通
常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
2222
（A）
y
＝2
x
（B）
y
＝2
x
－4
x
＋2 （C）
y
＝2
x
－1 （D）
y
＝2
x
－4
x

22
（2）函 数
y
＝2(
x
－1)＋2是将函数
y
＝2
x
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
2
. . .

.
（1）二 次函数
y
＝2
x
－
mx
＋
n
图象的顶点坐 标为(1，－2)，则
m
＝ ，
n
＝ ． 2
（2）已知二次函数
y
＝
x
+(
m
－2)< br>x
－2
m
，当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
y
轴上；当
m
＝ 时，
函数图象的顶点在
x
轴上；当
m
＝ 时，函数图象经过原点．
2
（3）函数
y
＝－3(
x
＋2)＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
当
x
＝ 时，函数取最 值
y
＝ ；当
x
时，
y
随着
x
的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称 轴、顶点坐标、最大（小）值及
y
随
x
的变化情况，并画出其图
象．
22
（1）
y
＝
x
－2
x
－3； （2）
y
＝1＋6
x
－
x
．
2
4．已 知函数
y
＝－
x
－2
x
＋3，当自变量
x
在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并
求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x
的值：
（1）
x
≤－2；（2）
x
≤2；（3）－ 2≤
x
≤1；（4）0≤
x
≤3．

2
2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0) ；
2．顶点式：
y
＝
a
(
x
＋
h
)＋
k
(
a
≠0)，其中顶点坐标是(－
h
，
k
)． < br>除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究
二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象与
x
轴交点个数．
当抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
＋
bx
＋
c
＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是 ，不难发
2
2
22
2
2
2
现，抛物线
y< br>＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与< br>x
轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方
程①的根的判别式Δ ＝
b
－4
ac
有关，由此可知，抛物线
y
＝
ax< br>＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点 个数与根的判别
式Δ＝
b
－4
ac
存在下列关系：
（1） 当Δ＞0时，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点；反过来，若抛物线
y
＝ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有 一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛
物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点，则Δ＝0 也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线
y
＝
ax
＋
bx＋
c
(
a
≠0)与
x
轴没有交点；反过来，若抛物线< br>y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
与
x
轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线
y＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与x
轴有两个交点
A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)，则
x
1
，
x
2
是 方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0的两根，所以
22
22
2
2
22
2
22

bcbc
，
x
1
x
2
＝，即 ＝－(
x
1
＋
x
2
)， ＝
x
1
x
2
．
aaaa
bc
22
2
所以，
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x?x?
) =
a
[
x
－(x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1x
2
]＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
)．
aa
x
1
＋
x
2
＝
?
由上面的推导过程可以得到下面结论：
2
若抛物线
y
＝
ax＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交于< br>A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)两点，则其函数关系式可以表示为
y
＝
a
(
x
－< br>x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点 式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)，其中
x1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这
三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y
＝
x
＋1上，并且图象经过点（3，－1），
求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设 . . .

.
成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数
a
．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线
y
＝
x
＋1上，
所以，2＝
x
＋1，∴
x
＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
2
∴
?1?a(3?2)?1
，解得
a
＝－2．
∴二次函数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即
y
＝ －2
x
＋8
x
－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐 标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函
数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时， 要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地
解决问题．
例2 已知二次函数的图 象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x
轴的距离等于2，求此二次函数的表
达 式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与
x
轴的交
点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋3) (
x
－1) (
a
≠0)，
2
展开，得
y
＝
ax
＋2
ax
－3
a
，
2
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到
x
轴的距离2，
∴|－4
a
|＝2，即
a
＝
?
1
． 2
1
2
313
x?x?
，或
y
＝－
x
2
?x?
．
2222
所以，二次函数的表达式为
y
＝
分析二：由于二次函数的 图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线
x
＝－1，又由顶点到
x< br>轴
的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来 解，然后再
利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线
x
＝－1．
又顶点到
x
轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
22
于是可设二次函数为
y
＝a
(
x
＋1)＋2，或
y
＝
a
(
x< br>＋1)－2，
由于函数图象过点(1，0)，
22
∴0＝
a
(1＋1)＋2，或0＝
a
(1＋1)－2．
∴
a
＝－
11
，或
a
＝．
22
所以，所求的二次函数为
y
＝
－
11
22
(
x＋1)＋2，或
y
＝(
x
＋1)－2．
22
说明： 上述两种解法分别从与
x
轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来< br>解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
2
解：设该二次函数为
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得
a
＝－2，
b
＝12，
c
＝－8．
2
所 以，所求的二次函数为
y
＝－2
x
＋12
x
－8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式
. . .

.
来求二次函数的表达式？

练 习
1．选择题:
2< br>（1）函数
y
＝－
x
＋
x
－1图象与
x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
1
2
（2）函数
y
＝－ (
x
＋1)＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与
x
轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为
y
＝
a

(
a
≠0) ．
2
（2）二次函数
y
＝－
x
+23
x
＋1的函数图象与x
轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当
x
＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数 图象与
x
轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与
y
轴交于(0， －2)．

2.2.3 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的
图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改< br>变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置< br>即可．
2
例1 求把二次函数
y
＝
x
－4
x
＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二< br>次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然< br>后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．
2
解：二次函数
y
＝2
x
－4
x
－3的解析式可变为
2

y
＝2(
x
－1)－1，
其顶点坐标为(1，－1)．
2
（1）把函数
y
＝2(
x
－1)－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐
标是(3 ，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
2

y
＝2(
x
－3)－2．
2
（2）把函数
y< br>＝2(
x
－1)－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点 坐
标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
2

y
＝2(
x
＋1)＋2．



2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什 么特点？依据这一特点，
可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函 数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——
只改变函数图象的位置或开口方 向、不改变其形状，因此，在研究二
y
次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和
x＝－1
开口方向来解决问题．
2
例2 求把二次函数
y
＝2
x
－4
x
＋1的图象关于下列直线对称后所
得到图象对应的函数解析式：
（1）直线
x
＝－1；
O
（2）直线
y
＝1．
A(1,－1)
A
1
(－3,－1)
. . .
图2.2－7
x

解：（1）如图2．2－7，把二次函数
y
＝2
x
－4
x
＋1的图象关于直线
x
＝－1作对称变换后，只改变图
象的顶点位置，不改变其形状．
222
由于
y
＝2
x
－4
x
＋1＝2(
x
－1)－1，可知，函数
y
＝2
x
－4
x
＋1图象的顶点为
A
(1,－1)，所以，对称
2
后所得到图象的顶点为< br>A
1
(－3，1)，所以，二次函数
y
＝2
x
－4< br>x
＋1的图象关于直线
x
＝－1对称后所得到
22
图象的函数 解析式为
y
＝2(
x
＋3)－1，即
y
＝2
x＋12
x
＋17．
y
2
B(1，3)
（2）如图 2．2－8，把二次函数
y
＝2
x
－4
x
＋1的图象关于直 线
x
＝－1作对称
变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
222
由于
y
＝2
x
－4
x
＋1＝2(
x
－1)－1，可知，函数
y
＝2
x
－4
x
＋1图象的顶点为
y＝
A
(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为
B
(1，3)，且开口向下，所以，二次
2
函数
y
＝2
x< br>－4
x
＋1的图象关于直线
y
＝1对称后所得到图象的函数解析式为< br>y
＝－
22
O
x
2(
x
－1)＋3，即
y
＝－2
x
＋4
x
＋1．
A(1,－1)

练 习
图2.2－8
1．选择题：
2
把函数
y
＝－(
x－
1)＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得< br>图象对应的解析式为 （ ）
22
（A）
y
＝ (
x
＋1)＋1 （B）
y
＝－(
x
＋1)＋1
22
（C）
y
＝－(
x
－3)＋4 （D）
y
＝－(
x
－3)＋1
2某商场销售一批名脾衬衫，平均每 天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减
少库存，商场决定采取适当的降价 措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件：
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?



.
2

2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法
一、知识概述
1、二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．
关于x、y的 二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一个不为0)，< br>其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；dx、ey叫做一次项，d、 e分别是一次项
的系数；f叫做常数项．
例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy =－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程．
2、二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫
二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基 本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法
是“消元”和“降次”．因 此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
二、重点、难点和疑点突破
1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组)
(1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程；
③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；
⑤写出方程组的解．
(2)逆用根与系数关系定理法
对“二·一”型二元二次方程组成的形如的方程组，可以 根据一元二次方程根与系数的关
系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个方 程，求得的z1和z2的值，就是x，y的
值，当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2= z1，所以原方程组的解是两组“对称解”．
2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入
. . .

.
二元二次 方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两
个不相等 的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简
言之， 有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来
判断．
3、“二·二”型方程组的解法
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法
是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程 分
别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组， 所
得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一 次方程时，将第一个二元二次方程分解所得
到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得 的每一个二元一次方程组成方程组，可得到
四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都 是原方程组的解．
4、“二·二”型方程组的解的情况

由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．
值得注意的是“二· 一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既
不要漏解，也不要增解 ．
三、解题方法技巧点拨
1、“二·一”型二元二次方程组的解
例1、解方程组
分析：
此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法；如果把① 变形为(x＋y)2=4，
得x＋y=2或x＋y=－2，则原方程组可变形为两个二元一次方程组元一次方程组所得的解都是原方程组的解，这是第二种解法．
解法1：
由②得x=2y＋5 ③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．
整理，得3y2＋10y＋7=0．
．解这两个二

. . .

.

点评：解“二·一”型二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消元，再分解降次(或用
公式法)求解．本例的第二种解法是一种特殊解法，它只适合一些特殊形式的方程组．

分解：
仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造 一个以x，y为根
的一元二次方程来求解．
解法1：
由①得y=8－x．③
把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．
解得x1=2，x2=6．
把x1=2代入③，得y
1
=6．把x1=6代入③，得y
2
=2．


解法2：
根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程，得
z1=2，z2=6．

点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程和一个 二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法，
适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适 用于以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用
范围比较小．
2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法
例3、解方程组
分析：
观察方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．
这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：

分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解．
解：
由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．
∴x－y－3=0或x－y＋1=0．
∴原方程组可化为两个方程组：
. . .

.

3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法
例4、解方程组
分析： 方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目 的，方程②左边是完全平方式，
右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的．
解： 由①得(x－4y)(x＋y)=0
∴x－4y=0或x＋y=0
由②得(x＋2y)2=1
∴x＋2y=1或x＋2y=－1．
原方程可化为以下四个方程组

点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二 元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，
同时也要注意防止漏解现象．
4、已知解的情况，确定字母系数
例5、k为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解；
(2)有两个实数解；
(3)没有实数解．
分析：
所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y，可 得到关于x的一元
二次方程，再根据根的判别式来讨论．
解：
将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0 ③
△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．
. . .

.

点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0来讨论的．
解题易错点是一元二次方程中x
2
的系数k
2
不等于0容易被忽略．


练习 解方程组

22
?
?
3x?2xy?y?0
（1）
?
； 2
?
?
(x?y)?3(x?y)?18?0
22
?
?
x?2xy?y?4
（2）
?

2
?
?
(x?y)?5x?5y?6

2.3.2一元二次不等式的解法
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式
ax?bx?c?0或ax?bx? c?0
?
a?0
?
的解集：
22
2
设相应的一元 二次方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b?4a c
，则不等式的解
的各种情况如下表：


??0

??0

??0

2

二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象




. . .

.
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有两相异实根

有两相等实根 < br>?
a?0
?
的根
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a

无实根

R


?

ax
2
?bx?c?0

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


?
xx
1
?x?x
2
?

例1 解不等式：
22
（1）
x
＋2
x
－3≤0； （2）
x－x
＋6＜0；
22
（3）4
x
＋4
x
＋1≥0； （4）
x
－6
x
＋9≤0；
2
（5）－4＋
x
－
x
＜0．

例2 解关于
x
的不等式
x?x?a(a?1)?0

解：原不等式可以化为：
(x?a?1)(x?a)?0

2
1
则
x?a
或
x?1?a

2
11
2
1
若
a??(a?1)
即
a?
则
( x?)?0

x?,x?R

222
1
若
a??(a?1)
即
a?
则
x?a
或
x?1?a

2
若
a??(a?1)
即
a?


2
例3 已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2 ,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式< br>ax?bx?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
2< br>a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，
bc
∴
??5,?6
，
aa
bc
即
??5,?6
．
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
2

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6

x
＜－1，或
x
＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
练 习
1．解下列不等式：
22
（1）3
x
－
x
－4＞0； （2）
x
－
x
－12≤0；
22
（3）
x
＋3
x
－4＞0； （4）16－8
x
＋
x
≤0．

22
2.解关于
x
的不等式
x
＋2
x
＋1－a
≤0（
a
为常数）．
作业：
. . .

.
1
)<0的解是 ( )
a
11
A.
a
<
x
< B. <
x
<
a

aa
11
C.
x
>或
x
<
a
D.
x
<或
x
>
a

aa
22< br>2.如果方程
ax
＋
bx
＋
b
＝0中，
a< br>＜0，它的两根
x
1
，
x
2
满足
x
1
＜
x
2
，那么不等式
ax
＋
bx
＋b
＜0的解是______.

3．解下列不等式：
22
（1）3
x
－2
x
＋1＜0； （2）3
x
－4＜0；
22
（3）2
x
－
x
≥－1； （4）4－
x
≤0．

22
(5)4+3
x
－2
x
≥0; (6)9
x
－12
x
>－4;

2
4．解关于< br>x
的不等式
x
－(1＋
a
)
x
＋
a
＜0（
a
为常数）．
1.若0<
a
<1,则不等式(x
－
a
)(
x
－
5．关于
x
的不等式
ax?bx?c?0
的解为
x??2或x??
求关于
x
的不 等式
ax?bx?c?0
的解．

2
2
1

2



3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长 度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现
平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格 纸上，我们作平行线
l
1
,l
2
,l
3
（如图3. 1-1），
直线
a
交
l
1
,l
2
,l3
于点
A,B,C
，
AB?2,BC?3
，另作直
线< br>b
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A',B',C'
，不难发现
A'B'AB2
??.

B'C'BC3
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例
定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，
l
1< br>l
2
l
3
，有
ABDEABDE
图3.1-1 .当然，也可以得出
.在运用该定理解决问题的过程
=
?
BCEFACD F
中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB=2,BC=3,DF=4,
求
DE,EF
.
解
Q
l
1
l
2
l
3
,

AB DE2
==
,

BCEF3
28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35
图3.1-2

例2 在
VABC
中 ，
D,E
为边
AB,AC
上的点，
DEBC
，
ADAEDE
??
.
ABACBC
证明（1）
QDEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE
??.

?VADE
∽
VABC
，< br>?
ABACBC
求证：
. . .

.
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
QlDEBC,

ADAE
.
?
ABAC
过
E
作
EFAB
交
AB
于
D
，得
YBDEF
，
因而
DE?BF.

AEBFDE
QEFAB,???.

ACBCBC
ADAEDE
???.

ABACBC
?
图3.1-3
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于 三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例.

例3 已知
VABC
，
D
在
AC
上，
AD:DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设< br>EC
交
BD
于
F
，则
F
为
EC的中点，作
EGAC
交
BD
于
G
.
QEGAC,EF?FC
，
?
VEGF?VCDF
，且
EG?DC
，
1BEEG1
?EGAD,VBEG:VBAD
，且
??,

2BAAD2
?E
为
AB
的中点.
可见，当
E< br>为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
上.
例4 在
VABC
中，
AD
为
?BAC
的平分 线，求证：
证明 过
C
作
CE

AD
，交
BA
延长线于
E
，
图3.1-4
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.
ABBD
.
=
ACDC
BABD
=
.

AEDC
Q
AD
平分
衆BAC,?BAD?DAC,

由
ADCE
知
?BAD行E,DAC=?ACE,

ABBD
?E?ACE,即AEAC,

.
=
ACDC
Q
ADCE,


练习1
1． 如图3.1-6，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确 的是（ ）
图3.1-5
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
AD
=
DF
CE
=
C．
DF
A．

CEAD
=
B．
BCBE
ADAF
=
D.
BCDF
BC

AF
BE

CE
图3.1-6 图3.1-7

2．如图3.1-7，
DEB C,EFAB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,
求
BF
.




3．如图，在
VABC
中，
AD
是 角
BAC
的平分线，
AB
=5cm,
AC
=4cm,
BC
=7cm,求
BD
的长.
. . .

.



图3.1-8



4．如图，在
VABC
中，
?BAC
的外角平分线
AD
交
BC
的 延长线于点
D
，求证：
ABBD
.（三角形外角平分线定理）
=
ACDC


5．如图，在
VABC
的边
AB
、
AC
上分别取
D
、
E
两点，使
B D
=
CE
，
DE
延长线交
BC
DFAC
的 延长线于
F
.求证：
.
=
EFAB




图3.1-10
图3.1-9
3.12．相似形
我们学过三 角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判
定两个直角三角 形相似？
例5 如图3.1-11，四边形
ABCD
的对角线相交于点
O
，
?BAC?CDB
，求证：
?DAC?CBD
.
证明 在
VOAB
与
VODC
中，
?AOB行DOC,OAB=?ODC,


VOAB
∽
VODC
，
OAOBOAOD
，即.
==
ODOCOBOC
又
VOAD
与
VOBC
中，
?AOD?BOC
，
图3.1-11

VOAD
∽
VOBC
，

?DAC?CBD
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形
ABC
中，
?BAC
为直角，
AD^BC于D
.
2
求证：（1）
AB=BD?BC
，
AC
2
=CD?CB
；
2
（2）
AD=BD?CD

证明 （1）在
RtVBA C
与
RtVBDA
中，
?B
图3.1-12
∽，
VBAC
VBDA
BABC
=
,
即
AB
2
=
BD
?
BC.

BDBA
2
同理可证得
AC=CD?CB
.
o
（ 2）在
RtVABD
与
RtVCAD
中，
?C90-?CAD?BA D
，
ADDC
=
,
即
AD
2
=
BD
?
DC.

RtVABD
∽
RtVCAD
，< br>
BDAD

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有 用.
例7 在
VABC
中，
AD^BC于D,DE^AB于E,DF ^AC于F
，求证：
AE?AB
证明
QAD^BC
，

VADB
为直角三角形，又
DE^AB
，
2
由射影定理，知
AD=AE?AB
.
同理可得
AD=AF?AC
.
AE?ABAF?AC
.
例8 如图3.1-14，在
VABC
中，
D
为边
BC< br>的中点，
E
为边
AC
上的任
意一点，
BE
交
AD
于点
O
.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
. . .
2
?B
，
AF?AC
.
图3.1-13

.
图3.1-14
（1） 当
AE11AO22
====
时，有.（如图3.1-14a）
AC21< br>+
1AD32
+
1
AE11AO22
====
（2） 当时，有.（如图3.1-14b）
AC31
+
2AD42
+
2< br>AE11AO22
====
（3） 当时，有.（如图3.1-14c）
AC 41
+
3AD52
+
3
AE1
AO
=
在图 3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用
n
表示的一般结论，并给
A C1
+
n
AD
出证明（其中
n
为正整数）.
解：依题意可以猜想：当

AE1AO2
==
时，有成立.
AC1
+
nAD2
+
n
证明 过点
D
作
DF

BE
交
AC
于点
F
，
Q< br>D
是
BC
的中点，

F
是
EC
的中点 ，
AE1
AE1
=
可知
=
，

AC1+
n
ECn
AOAE2
==
.

ADAF2< br>+
n
AO
想一想，图3.1-14d中，若
=
AD
由
AE2AE2
=
,
=
.
.
EFnAF2
+
n
1AE
，则
=?

nA C
本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性< br>的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.

练习2 1．如图3.1-15，
D
是
VABC
的边
AB
上的一 点，过
D
点作
DE

BC
交
AC
于
E
.已知
AD
：
DB
=2：
3，则
S
V< br>ADE
:S
四边形
BCDE
等于（ ）
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21


2．若一个梯形的 中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是
图3.1-15
3:2
，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：
V ABC
的三边长分别是3，4，5，与其相似的
VA'B'C'
的最大边长是15，求
VA'B'C'
的面积
S
V
A'B'C'
.


4．已知：如图3.1-16，在四边形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
B C
、
CD
、
DA
的中点.
（1） 请判断四边形
EFGH
是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形
AB CD
是平行四边形，对角线
AC
、
BD
满足什么条件时，
E FGH
是菱形？是
正方形？

5．如图3.1-17,点
C
、
D
在线段
AB
上，
VPCD
是等边三角形，
（1） 当
AC
、
CD
、
DB
满足怎样的关系时，
VACP
∽
VPDB
？
（2） 当
VACP
∽
VPDB
时，求
?APB
的度数.
图3.1-17


. . .
图3.1-16

.




习题3.1
A组
1． 如图3.1- 18，
VABC
中，
AD
=
DF
=
FB
，
AE
=
EG
=
GC
，
FG
=4，则（ ）
A．
DE
=1，
BC
=7 B．
DE
=2，
BC
=6
C．
DE
=3，
BC
=5 D．
DE
=2，
BC
=8




2． 如图3.1-19，
BD
、
CE
是
VABC
的中线，
P
、
Q
分别是
BD
、
CE
的中点 ，则
PQ:BC
等
于（ ）
图3.1-18
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6



图3.1-19


3． 如图3.1-20，
YABCD
中，
E
是
A
B延长线上一点，
DE
交
BC
于点
F
，已知
BE
：
AB
=2：3，
S
V
BEF
=4
，
求
S
V
CDF
.




4． 如图3.1-21，在矩形
ABCD
中，
E
是
CD
的中点，
BE^AC
交
AC
于
F
，过
F
作
FG

AB
交
AE
于
G
，求证：
AG
2
=AF?FC
.

图3.1-21




B组
1． 如图3. 1-22，已知
VABC
中，
AE
：
EB
=1：3，
BD
：
DC
=2：1，
图3.1-20
EFAF
的值为（ ）
+
FCFD
13
A． B．1 C． D．2
22
AD
与
CE
相交于
F
，则
图3.1-22


2． 如图3.1-23，已 知
VABC
周长为1，连结
VABC
三边的中点构成第二个三角形，再连结第 二个对角
线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为
（ ）
A．
1111
B． C．
2002
D．
2003

2002200322



3． 如图3.1-24，已知
M
为
YABCD
的边
AB< br>的中点，
CM
交
于点
E
，则图中阴影部分的面积与
Y ABCD
面积的比是
（ ）
. . .
图3.1-23
BD

.
A．
1115
B． C． D．
34612




4． 如图3 .1-25，梯形
ABCD
中，
AD

BC
，
EF< br>经过梯形对角线的交点
O
，且
EF

AD
.
（1） 求证：
OE
=
OF
；
OEOE
的值；
+
ADBC
112
（3） 求证：
.
+=
ADBCEF
（2） 求






C组
1． 如图3.1-26，
VABC
中，
P
是边
AB
上一点，连结
CP
.
（1） 要使
VACP< br>∽
VABC
，还要补充的一个条件是____________.
（2） 若
VACP
∽
VABC
，且
AP:PB=2:1
，则
BC:PC
=_____.

图3.1-26


2． 如图3.1-27，点E是四边形
ABCD
的对角线
BD
上一点，且
?BAC?BDC?DAE
.
（1） 求证：
BE?ADCD?AE
；
（2） 根据图形的特点，猜想



图3.1-25
BC
可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线
DE
图3.1-27
段的一组比即可）？并证明你的猜想.
3． 如图3.1-28，在
RtVABC< br>中，
AB
=
AC
，
?A90
，点
D
为
BC
上任一点，
DF^AB
于
F
，
DE^AC< br>于
E
，
M
为
BC
的中点，试判断
VMEF< br>是什么形状的三角形，并证明你的结论.


图3.1-28


4． 如图3.1-29a，
AB^BD,CD^BD,
垂足分别为
B
、
D
，
AD
和
BC
相交于
E
，
EF^BD
于
F
，我们可
以证明
o
111
成立.
+=
ABCDEF

若将图3.1-29
a
中的垂直改为斜交，如图3.1-29
b
，
ABCD,AD、BC
相交于
E
，EFAB交
BD
于
. . .
图3.1-29

.
F
，则：
111
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
+=
ABCDEF
（2） 请找出
S
V
ABD
,S
V
BCD
和
S
V
EBD
之间的关系，并给出证明.
（1）



3.2三角形
3.2.1三角形的“五心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1
图3.2-2

如图3.2-1 ，在三角形△ABC中， 有三条边
AB,BC,CA
，三个顶点
A,B,C
，在三角形中，
角 平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线 相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内
部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比
为2：1.
已知
D
、
E
、
F
分别为△ABC三边
BC
、
CA
、
AB
的中点，
求证
AD
、
BE
、
CF
交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结
DE
，设
AD
、
BE
交于点
G
，
1
图3.2-3
Q
D
、
E
分别为
BC< br>、
AE
的中点，则
DE

AB
，且
DE=AB
，
2
VGDE
∽
VGAB
，且相似比为1：2，
AG=2GD,BG=2GE
.
设
AD
、
CF
交 于点
G'
，同理可得，
AG'=2G'D,CG'=2G'F.

则
G
与
G'
重合，
图3.2-4

< br>AD
、
BE
、
CF
交于一点，且都被该点分成
2:1
.


三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内
心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）


图3.2-5

例2 已知
VABC
的三边长分别 为
BC=a,AC=b,AB=c
，I为
VABC
的内心，且I在
V ABC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
，求证：< br>b
+
c
-
a
AE
=
AF
=
.
2
证明 作
VABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在三
. . .

.
边上的切点，
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
AE=AF
，
同理，
BD
=
BF
，
CD
=
CE
.
< br>b
+
c
-
a
=
AF
+
BF
+
AE
+
CE
-
BD
-
CD

=
AF
+
AE
=
2AF
=
2AE
图3.2- 6
b
+
c
-
a
即
AE
=
AF< br>=
.
2
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知
O
为三角形
ABC
的重心和内心.
求证 三角形
ABC
为等边三角形.
证明 如图，连
AO
并延长交
BC
于
D
.
Q
O
为三角形的内心，故
AD
平分
?BAC
，
ABBD
（角平分线性质定理）
=
ACDC
Q
O
为三角形的重心，
D
为
BC
的中点，即
BD
=
DC
.
AB
=
1
，即
AB=AC
.
AC
同理可得，
AB
=
BC
.
图3.2-7
VABC
为等边三角形.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为 三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在
三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形 的垂心在三角形的外部.（如
图3.2-8）

例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知
VABC
中，
AD^BC于D, BE^AC于E，
AD
与
BE
交
于
H
点.
求证
CH^AB
.
证明 以
CH
为直径作圆，
QAD^BC,BE^AC,?HDC?HEC90
o
,

D、E
在以
CH
为直径的圆上，
?FCB?DEH
. < br>同理，
E
、
D
在以
AB
为直径的圆上，可得
?BED?BAD
.
?BCH?BAD
，
图3.2-9
又VABD
与
VCBF
有公共角
?B
，
?CFB?ADB 90
o
，即
CH^AB
.

过不共线的三点
A< br>、
B
、
C
有且只有一个圆，该圆是三角形
ABC
的外 接圆，圆心
O
为三角
形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平 分线的交点.


. . .
图3.2-8