上海地区高中二年级数学教材知识点总结

上海地区高中二年级数学教材知识点总结
七、数 列
1、等差数列
定义：
a
n?1
?a
n
?d

通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d

求和 ：
S
n
?
中项：
b?
n(a
1
?a
n
)
1

?na
1
?n(n?1)d

2
2
a?c
（
a,b,c
成等差）
2

性质：若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
2、等比数列
定义：
a
n?1
?q(q?0)
a
n

通项：
a
n
?a
1
q
n?1

?
na
1
(q?1)
?
n
求和：
S
n
?
?
a
1
(1?q)

(q?1)< br>?
?
1?q
中项：
b?ac
（
a,b,c
成 等比）
性质：若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

3、数列通项与前
n
项和的关系
?
s
1
?a
1
(n?1)

a
n
?
?
s?s(n?2)
n?1
?
n
2
4、 数列求和常用方法
公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、平面向量
1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则
AB?BC?
AC
首尾相 接，
OB?OC
=
CB
共始点
中点公式：
AB?AC?2AD?
D
是
BC
中点
2． 向量数量积
a?b
=
a?b?cos
?
xx?yy
12
=
12
00
注：①
a,b
夹角：0≤θ≤180

②
a,b
同向：
a?b?a?b

3．基本定理
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
（
e
1
,e
2
不共线--基底）
平行：
ab?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
（
b?0
）
垂直 ：
a?b?a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

2
?
22
模：
a
＝
x?y

a?b?(a?b)
2
??

?????
夹角：
cos
?
?
a?b

|a||b|
?
注：①
0
∥
a
②
a?b?c?a?b?c
（结合律）不成立
③
a?b?a?c
?b?c
（消去律）不成立


????
九、复数与推理证明
1．复数概念
复数：
z?a?bi
(a,b
?R)
，实部a、虚部b
分类：实数（
b?0
），虚数（
b?0
），复数集C
注：
z
是纯虚数
?a?0
，
b?0

相等：实、虚部分别相等
共轭：
z?a?bi

模：
z?a
2
?b
2

z?z?z

2
复平面：复数z对应的点
(a,b)

2．复数运算
加减：（a+bi）±(c+di)=？
乘法：（a+bi）（c+di）=？
除法：
a?bi
(a?bi)(c?di)
===?
c?di< br>(c?di)(c?di)
2
乘方：
i??1
，
i?i
n4k?r
?i
r

3．合情推理
类比：特殊推出特殊
归纳：特殊推出一般
演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）

4．直接与间接证明
综合法：由因导果
比较法：作差—变形—判断—结论
反证法：反设—推理—矛盾—结论
分析法：执果索因

分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证??，
这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真
注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5．数学归纳法：
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立
注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角 范围
?
0,
?
?

斜率
k?tan
?
?
y
2
?y
1

x
2
?x
1
注：直线向上方向与
x
轴正方向所成的最小正角
倾斜角为
90?
时，斜率不存在
2、直线方程
点斜式
y ?y
0
?k(x?x
0
)
，斜截式
y?kx?b

两点式
y?y
1
x?x
1
xy
?
， 截距式
??1

ab
y
2
?y
1
x
2
?x
1
一般式
Ax?By?C?0

注意适用范围：①不含直线
x?x
0

②不含垂直
x
轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系（注意条件）
平行
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

垂直
?
k
1
k
2
??1
垂直< br>?
A
1
A
2
?B
1
B
2
? 0

4、距离公式
两点间距离：|AB|=
(x
1
?x< br>2
)?(y
1
?y
2
)

22

点到直线距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
22

5、圆标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

圆心
(a,b)
，半径
r

圆一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（条件是？）
2
?
DE
?
圆心
?
?,?
?
半径
r?
2
??
2


6、直线与圆位置关系

位置关系
几何特征
代数特征
相切
D
2
?E
2
?4F

2
相交 相离
d?r

△?0

d?r

△?0

d?r

△?0







注：点与圆位置关系
(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
?r
2
?
点
P
?
x
0
,y
0
?
在圆外
7、直线截圆所得弦长
AB?2r
2
?d
2



十一、圆锥曲线
一、定义
椭圆： |PF
1
|+|PF
2
|=2a(2a>|F
1
F
2
|)
双曲线：|PF< br>1
|-|PF
2
|=±2a(0<2a<|F
1
F
2
|)
抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)
ab
x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0 )
ab
中心原点 对称轴？ 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)
顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0)
范围: 椭圆-a?x?a,-b?y?b
双曲线|x| ? a，y?R

焦距：椭圆2c（c=
a
2
?b
2
）
双曲线2c（c=
a
2
?b
2
）
2a、2b:椭圆长轴、短轴长，
双曲线实轴、虚轴长
离心率：e=ca 椭圆01

x
2
y
2
b
注 ：双曲线
2
?
2
?1
渐近线
y??x

a
ab
方程
mx?ny?1
表示椭圆
?m?0,n?0.m?n

22
方程
mx?ny?1
表示双曲线
?mn?0

22
抛物线y=2px(p>0)
顶点（原点） 对称轴（x轴）
开口（向右） 范围x?0 离心率e=1
焦点
F(

2
pp
,0)
准线
x??
22

十二、矩阵、行列式、算法初步
【矩阵】
1.
矩阵的概念
?
1?2
?
形如
??
纵横排列的矩形二维数据表格叫做矩阵，矩阵中的 每个数叫做矩阵的元
31
??
素．矩阵的一行叫做矩阵的行向量，如
(1,? 2)
；一列叫做矩阵的列向量，如
??
．
矩阵一般用大写字母来表示，例如
m
行
n
列的矩阵可记做
A
m?n
，简记为
A
，也可以把
第
i
行第
j
列的元素用圆括号括起来表示，即
A?(a
ij
)
．
若
A
m?n
?(a< br>ij
)
、
B
m?n
?(b
ij
)
是 两个行数与行数相等，列数与列数相等的矩阵，当且仅
当它们对应位置的元素都相等时，即
a< br>ij
?b
ij
(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)
，称两矩 阵相等，
记作
A?B
．
行数与列数相等的矩阵称为方矩阵，简称方阵．
?
1
?
?
3
?

主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵叫做单位矩阵．如
?

?
10
?
?
．
?
01
?
2.
矩阵的初等变换
（1） 交换矩阵的两行（或两列）；
（2） 将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个非零常数；
（3） 将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个数加到另一行（或另一列）．

矩阵的初等变换实则对应了用加减消元法求解方程组的过程．

3.
矩阵与方程组
把方程组的系数写成矩阵叫做方程组的系数矩阵，把方程组的系数和常数项写成 矩阵叫
做方程组的增广矩阵．解
n
元一次方程组的过程就是通过一系列的矩阵初等变换 ，使方程组
的系数变为单位矩阵的过程，在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化．最后增广矩阵的最< br>后一列给出方程组的解．

4.
矩阵的运算
（1） 加减法 < br>当两个矩阵
A
、
B
的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素 相加
c
ij
?a
ij
?b
ij
,1,;?mj2, 1,?
（相减
c
ij
?a
ij
?b
ij
） ，
i?2
（差），记作
A?B(A?B)
．

（2） 数乘
?n
，所得到的矩阵
(c
ij
)
称为矩阵
A
、
B
的和
设
?
为任意实数，我们把矩阵
A?(a< br>ij
)
的所有元素都与
?
相乘所得到的矩阵
(
?a
ij
)
叫
做矩阵
A
与实数
?
的乘积 矩阵，记作
?
A
．

矩阵
A
与实数
?
相乘满足如下交换律和分配律：
1°
?
A?A
?

2°
?
(A?B)?
?
A?
?
B


（3） 乘法

设
A
m?k
，
B
k?n
，
C
m?n
，如果矩阵
C
中第< br>i
行第
j
列的元素
c
ij
为
A
的第
i
个行向量与
B
的第
j
个行向量的数量积，
i?1 ,2,?,m;j?1,2,?,n
．那么矩阵
C
叫做矩阵
A
和矩阵
B
的乘积．
由定义可知，只有当矩阵
A
的列数等于矩阵
B
的行数时，矩阵之积
AB
才有意义．
一般地，
AB?BA
．

【行列式】
1.
行列式的概念及运算
（1） 二阶行列式
a
1
我们用记号
a
2
b
1
a
1
表示算式
a
1
b
2
?a
2
b
1
，即
b
2
a
2
b
1
b
2
该记号叫做行列式，
?a
1
b
2
?a
2
b
1
．
因为它只有两行、两列，所以把 它叫做二阶行列式，算式
a
1
b
2
?a
2
b
1
叫做行列式的展开式，
其计算结果叫做行列式的值．
a
1
,a< br>2
,b
1
,b
2
都叫做行列式的元素．行列式一般可用大写字 母
表示，如
D?

a
1
a
2
b
1
．
b
2
a
1

b
1

a
2

b
2


将实线表示的对角线（叫 做主对角线）上的两个数的乘积减去虚线表示的对角线（叫做
副对角线）上两个数的乘积所得的差即为< br>a
1
b
2
?a
2
b
1
．利用对角线 可把二阶行列式写成它的
展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则．

（2） 三阶行列式
a
1
我们用记号
a
2
b1
b
2
b
3
c
1
c
2
表示算 式
a
1
b
2
c
3
?a
2
b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2
?a< br>3
b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3
?a
1
b
3
c
2
，即
c
3
a
3

a
1
a
2
a< br>3
b
1
b
2
b
3
c
1
c< br>2
?a
1
b
2
c
3
?a
2
b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2
?a
3
b
2
c
1
?a
2
b
1< br>c
3
?a
1
b
3
c
2
．该记号叫做 三阶行列式，
c
3
该算式叫做三阶行列式的展开式．
a
i
, b
i
,c
i
(i?1,2,3)
都叫做行列式的元素．

三阶行列式的两种展开方法：
1°按对角线展开


2°按一行（或一列）展开
一般地，把三阶行列式中某个元素
a
ij
所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置
关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式，在余子式 前添上
(?1)
i?j
叫做元素
a
ij
的代数余
子 式，记作
A
ij
．
三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或 该列）元素与其对应的代数
余子式的乘积之和．
a
1
例如：
a2
b
1
b
2
b
3
a
3
bc
2
按第一列展开
?a
1
A
1
?a
2
A
2
?a
3
A
3
，其中
A
1?
2
b
3
c
3
c
1
c
2c
3
，
A
2
??
b
1
b
3< br>c
1
c
3
，
A
3
?
b
1< br>b
2
c
1
c
2
，它们分别是元素
a
1
,a
2
,a
3
的代数余子式．
如果将三阶行列式的某一 行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子
式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零．

2.
行列式与方程
（1） 二阶行列式与二元一次方程组

设二元一次方程组
?
a
1
?
a< br>1
x?b
1
y?c
1
，它的系数行列式为
D?
a
2
?
a
2
x?b
2
y?c
2
b
1
c
1
，记
D
x
?
b
2
c
2
b
1
b
2
，
D
y
?
a
1
a
2
c
1
c
2
，即用常数项替换系 数行列式中
x
的系数列或
y
的系数列．
D
x
?< br>x?
?
?
D
当
D?0
时，方程组有唯一解
?
．
?
y?
D
y
?
?D
当
D?D
x
?D
y
?0
时，方程组有无穷多组解．
当
D? 0
，
D
x
?0
或
D
y
?0
时，方 程组无解．

（2） 三阶行列式与三元一次方程组
a
1
?a
1
x?b
1
y?c
1
z?d
1
?< br>设三元一次方程组
?
a
2
x?b
2
y?c
2
z?d
2
，它的系数行列式为
D?a
2
?
ax?b y?cz?d
a
3
333
?
3
d
1
Dx
?d
2
d
3
b
1
b
2
b< br>3
c
1
a
1
d
1
d
2
d< br>3
c
1
a
1
b
1
b
2
b< br>3
d
1
c
2
，
D
y
?a
2
c
3
a
3
c
2
，
D
z
? a
2
c
3
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
，记
c
3
d
2
，即用常数项替换系数行列式
d
3
中
x
、
y< br>或
z
的系数列．
D
x
?
x?
?
D
?
D
y
?
当
D?0
时，方程组有唯一解
?
y?
．
D
?
D
z
?
z?
?D
?
当
D?0
，
D
x
,D
y
,D
z
不全为零时，方程组无解．
当
D?D
x
?D
y
?D
z
?0
时，方程组或者无解或者有无穷多组解．

3.
行列式的应用
（1）三角形面积公式
在平面直角坐标系中，点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
，则△
ABC
的面积为

S
?ABC
x
1
1
?x
2< br>2
x
3
x
1
y
1
1
y
2< br>1
（行列式的绝对值）．于是可知，同一平面上
A,B,C
三点共线的充
y
3
1
y
1
1
y
2
1?0
．
y
3
1
要条件为
x
2
x
3

（2）两向量的向量积
?
?
?
已知两个向量
a
和
b
，且它们的夹角为
?
(0?
?
?
?
)< br>，如果向量
c
满足
??
?
（1）
c?absin
?
；
??
?
?
（2）
c?a
且
c?b

?
?
?
（3）按
a,b,c
的次序构成右手系，
??
?
??
?
那么把向量
c
叫做向量
a
与
b
的向量积，记作
c?a?b
．
?
?
?
?
根据定义，可知向量
a
与
b
的向量积仍是一个向量，它的模等于向 量
a
、
b
构成的平行
四边形的面积，它的方向垂直于
a、
b
所在的平面．
?
?
?
?
设
a? (x
1
,y
1
,z
1
),b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
?
??
??
?< br>c?a?b?(y
1
z
2
?y
2
z
1
)i?(z
1
x
2
?z
2
x
1
)j?( x
1
y
2
?x
2
y
1
)k?x
1
x
2
?
i
?
j
y
1
y
2
?
k
z
1
．
z
2
利用行列式可以以简洁的表达式快速求出一个平面的法向量．

【算法初步】
一．程序框图
程序框





输入、输出框
赋值、计算
名称
起止框
功能
起始和结束
输入和输出的信息
处理框

判断框
判断某一条件是否成立
循环框 重复操作以及运算








二．基本算法语句及格式
1输入语句：INPUT “提示内容”；变量
2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式
3赋值语句：变量=表达式
4条件语句
“IF—THEN—ELSE”语句 “IF—THEN”语句
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句1 语句
ELSE END IF
语句2
END IF
5循环语句
当型循环语句 直到型循环语句
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”

三．算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法：到达余数为0
更相减损术：到达减数和差相等
nn-1
2、多项式f(x)= a
nx+a
n-1
x+?.+a
1
x+a
0
的求值

秦九韶算法： v
1
=a
n
x+a
n－1
v
2
=v
1
x+a
n－2

v
3
=v
2
x+a
n－3


v
n
=v
n－1
x+a
0

注：递推公式v
0
=a
n
v
k
=v
k－1X
+a
n－k
(k=1,2,?n)
求f(x)值，乘法、加法均最多n次
3、进位制间的转换
k进制数转换为十进制数：
a
n
a
n?1
.....a< br>1
a
0
(k)?a
n
?k
n
?a
n ?1
?k
n?1
?.........?a
1
?k?a
0< br>
十进制数转换成k进制数：“除k取余法”
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
5432
例2已知f(x)=2x－5x－4x+3x－6x+7，秦九韶算法求f(5)
123＝2×48＋27 v
0
=2

48＝1×27＋21 v
1
=2×5－5=5
27＝1×21＋6 v
2
=5×5－4=21

21＝3×6＋3 v
3
=21×5+3=108
6＝2×3+0 v
4
=108×5－6=534
v
5
=534×5+7=2677



十三、立体几何
1．三视图 正视图、侧视图、俯视图
2．直观图：斜二测画法
?X
'
OY
''
=45
0

平行X轴的线段，保平行和长度
平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3．体积与侧面积
V
柱
=S
底
h V
1
锥 =
3
Sh V
4
3
底球=
3
πR
S=
?
rl
S
2
圆锥侧圆台侧
=
?
(R?r)l
S
球表
=
4
?
R

4．公理与推论 确定一个平面的条件：
①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点
③两相交直线 ④两平行直线
公理：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
5．两直线位置关系 相交、平行、异面
异面直线——不同在任何一个平面内
6．直线和平面位置关系

a?
?

a?
?
?A

a
?

7．平行的判定与性质
线面平行：
a
∥
b
，
b?
?
,a?
?
?
a
∥?

?
a
a
∥
?
，
a?
?< br>,
?
?
?
?b?
a
∥
b

b
面面平行：
AB
∥
?
，
AC
∥
?
?
平面
ABC
∥
?
?
∥
?
，
a?
?
?
a
∥
?

8．垂直的判定与性质



?

线面垂直：
p?AB,p?AC?p?面ABC

面面垂直：
a?
?
, a?
?
?
?
?
?

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三垂线定理：
P
O
A
PO?
?
,AO?a?PA?a

PO?
?
,PA?a?AO?a

在平面内的一条直线 ，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那
么它也和这条斜线垂直逆定理？
9．空间角、距离的计算
异面直线所成的角 范围（0°，90°]
平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理
直线和平面所成的角 范围[0°，90°]
定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形
二面角 范围[0°，180°]
定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形
点到平面的距离
体积法--用三棱锥体积公式
注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出
10．立体几何中的向量解法
a
?
?
法向量求法：设平面ABC的法向量
n
=（x,y）

??
n?AB,n?AC

??
n?AB?0,n?AC ?0
?
解方程组，得一个法向量
n

A

B


?

C

?????
线线 角：设
n
1
,n
2
是异面直线
l
1
,l< br>2
的方向向量，
l
1
,l
2
所成的角为
?
，则
cos
?
?cos?n
1
,n
2
?< br>
????
即
l
1
,l
2
所成的角等于?n
1
,n
2
?
或
?
??n
1
,n
2
?

线面角：
?
设
n
是平面< br>?
的法向量，
AB
是平面
?
的
一条斜线，
AB
与平面
?
所成的角为
?
，

则
sin
?
?cos?n,AB??
AB ?n
AB?n

?????
二面角：设
n
1
,n< br>2
是面
?
,
?
的法向量，二面角
?
?l?< br>?
的大小为
?
，则
co
?
s?co?sn
1
,n
2
?
或
?cos?n
1
,n
2?

????
即二面角大小等于
?n
1
,n
2
?
或
?
??n
1
,n
2
?

点到面距离：
?
若
n
是平面
?
的法向量，
AB
是平面
?
的一条斜线段，且
B?
?
，
?? ???
AB?n
则点
A
到平面
?
的距离
d?

?
n

十四、计数原理
1. 计数原理 加法分类，乘法分步
2．排列组合 差异---排列有序而组合无序
．．．．公式
A
m
n
=
n！
n(n?1)?(n?m?1)=
(n?m)！
n(n?1)
?
(n?m?1)
n！
= 1?2?
?
?m
m！?(n?m)！
m
?m！?C
n< br>
n?m

C
n
=
关系：
A
n
m
m
性质：
C
n
=
C
n< br>m

C
n
01
?C
n
?C
n< br>2
???C
n
n
?2
n

3．排列组合应用题
原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般
解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”
复杂问题“排除法”
4．二项式定理
1n?1
(a?b)
n
?C
n
0
a
n
?C
n
ab?C
n
2
a
n? 2
b
2
?
?
?C
n
r
a
n?r< br>b
r
?
?
?C
n
n
b
n

1rr
特例
(1?x)
n
?1?C
n
x???C< br>n
x???x
n

rn?rr
1，2?，n)
通项
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
r
注C
n
---第
r?1
项二项式系数

性质：所有二项式系数和为
2

中间项二项式系数最大
赋值法：取
x?0,1,?1
等代入二项式

n
十五、概率与统计
1．古典概型：
P(A)?
m
A包含的基本事件个数
（）
n
总的基本事件个数
求基本事件个数：列举法、图表法
2．几何概型：P
?
A
?
?
A的区域长度（面积或体积）

区域总长度（面积或体积）
注：试验出现的结果无限个
3．加法公式：若事件
A
和
B
互斥，则

互斥事件:不可能同时发生的事件
对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件
4．常用抽样（不放回）
简单随机抽样：逐个抽取（个数少）
系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）
分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）
5．用样本估计总体
众数：出现次数最多的数据
中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
P
?
A
?
?1?PA
??
1
n
平 均数：
x?
?
x
i
n
i?1

1
n
方差
S?
?
(x
i
?x)
标准差
s
n
i?1
2
6．频率分布直方图
小长方形面积=组距×
频率
=频率
组距
各小长方形面积之和为1
众数—最高矩形中点的横坐标
中位数—垂直于
x
轴且平分直方图面积的直线与
x
轴交点的横坐标
茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等