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高中数学选修教材比较难的专题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 05:17
tags:高中数学教材

高中数学必修一新教材三维设计答案-高中数学教学德育案例




高中数学选修教材比较难的专题
选修三:3-3球面上的几何。
球面几何是研究球面上的点、线、面的距离,面积, 位置关系及其有关性质的一门学科,
在测量、航空、卫星定位等方面有着极为广泛的应用。对于培养学生 的空间想象能力及几何直
观能力,以及对现代数学思想方法的掌握都有着很重要的作用。
在学习这一专题前我们得让学生知道球面几何与人类生产生活的关系,让学生对该专题的
学习产生一定的 兴趣,本专题一共有七讲,从我们熟悉的偶是几何出发就,回顾平面、直线与
球面的位置关系,得出与园 幂定理类似的球幂定理。然后以距离和角的一些列问题引导学生进
入球面几何的学习。其中比较重要的内 容就是第一讲中球面和直线还有平面的位置关系的判断
和距离问题。在这一讲中的圆幂定理是我们上高中 大学都没有接触到的东西,属于教材改编后

加进来的内容,它既是重点也是难点。所以我们一定得自己先把这些东西从头学习一遍,
在平面几何中所谓的圆幂定理就是在平面几何中有切线长定理、切割线定理、
相交弦定理。这些定理统称为圆幂定理。类比于圆幂定理我们便可以推出球幂定理
。我们不难知道球幂定理实际上就是球的割线、切线之间的关系。例如
在下图中我们通过圆幂定理可以得到:



< br>第二讲中球面上任意两点的距离和角的问题,学生通过本章的学习得学会有题目中的已知条件
求球 面的角和距离,对于球面两点间的距离并不少两点连成的直线的长度,而是两点把园分成
的两个弧中劣弧 的长度,如右图:
球的一个截面圆上两点AB之间的距离并不是线段AB的长度,
?
而是弧
ACB
的长度。与距离对应的就是角了,平面上的角是两条射线
构成的图形,而球面上的角则是过某个定点的两条圆弧形成的夹角。
其中球的二面角即使重点也是难点,球的三面角我认为只要学生理解就
可以,不要求掌握求角的大小等问题。
第三讲和第四讲都涉及到了球面三角形的问题,主要讲了对顶三角形,


球极三角形,球面等腰三角形的定义,通过本节的学习学生要能够辨别
这三种 三角形并知道为什么球面三角形的周长小于大圆的周长和球面三角形的内角和的内角
和是大于
?
小于2
?
的。这是第四讲最重要的两个定理。
第五讲主要讲了球面三角形全 等的几个判断,主要有“边边边”判定定理、“边角边”判
定定理、“角边角”判定定理、和“角角角“ 判定定理。这与平面三角形的全等判定是大致一
样的,所以通过比较粗略的讲解学生应该就要能够学会用 这五个判定定理判定两个球面三角形
是否全等。
第六讲是比较难的一讲,主要讲了球面多边形 及其内角和、简单多面体的欧拉公式。在求
面上的n个点:
A
1

A
2

A
3
??
A
n
,且任意 三点不在同一个大圆上,经过这n个点中任意两
点作大圆,首尾顺次连接劣弧
A
1A
2

A
2
A
3
??
A
n? 1
A
n
,如果这些劣弧互不相交,那么就把这些
劣弧组成的封闭图形叫做球面 n边行。
A
1

A
2

A
3
??
A
n
称为球面n边形的顶点。
?A
1

?A< br>2
??
?A
n
称为球面多边形的内角。其面积公式为:
A1
?A
2
?……A
n
?(n?2)
?
?S(其中
A
1

A
2
、??
A
n
分别表示弧度数)。再由多边形内角和与面积的关系球面多边形的内角和为
(n?2)
??S
便可求出球面多边形的内角和。欧拉公式是一个相对比较陌生的概念,如果用V
表示简 单多面体的定点数,E表示简单多面体的楞数,F表示简单多面体的面数,通过计算可
以得出V-E+F =2,这个结论就称为简单多面体的欧拉公式。学生通过这一节的学习要牢记欧拉,
在知道其中的两个量 后要能熟练的运用欧拉公式求出第三个量。
通过前面几讲对球面三角形进行了定性研究后,第七讲主要 讨论球面三角形之间量的关
系,主要就是正弦定理和余弦定理。通过对球面三角形内各个量的讨论应该让 学生明白在球面
三角内正弦定理和余弦定理都是成立的,而且和以前学的平面三角形的正、余弦定理是一 样的。
并能够运用向量证明球面上的余弦定理和运用余弦定理求地球上两城市间的距离。其中对余弦定理的运用是其中应该重点要掌握的内容,因为它牵涉到生活中的实际应用问题。作为应用题
出题的 几率比较大。
总之在本教材的教学过程中,要遵循下面几点原则:
1、要注重形象思维与抽 象思维的结合,因为在球面几何中研究的对象为球面上的点、线、
面及其它们之间的关系,所以我们在培 养学生逻辑思维的同时也得培养学生的再造想象和创造
想象的能力。
2、切实贯彻新课标课程 理念,营“做数学”、“探究式”、“合作式”的学习环境。调动学
生的学习兴趣和自我参与意识。 < br>3、注重类比、推广等研究方法在教学中的渗透。如将平面几何的知识结构类比到球面几
何中去, 将球面三角形的内角公式加以推广运用到球面三角形中去。
4、引入有价值的实际问题,增强学生“用 数学”的能力。学习数学的目的除了培养一个
人的思维以外,另一个重要的方面就是应用,只有能学以致 用的知识才是对人类有意思的好知
识。球面几何这一讲许多问题的产生的历史背景都与一些天文、航海的 实际应用问题有关,因
此在教学过程中应该加强有价值问题的引入,以提高学生的实际应用能力。 5、有效的使用信息技术,增加学生使用技术的能力。因为球面几何涉及到的是立体几何,
所以如果 能够通过多媒体技术使很多图形直观的展现出来学生应该比较容易理解一些,尤其是
对于那些空间想象能 力比较弱的同学。


选修4-9风险与决策。
在日常生活和经济活动中 。如购物、求职、投资.工商企业的生产或经营的方案。经常需要
对市物的未来作出决策.以便用最有利 的方式采取行动,由于事物的未来和信息往往受随机因
素的影响。不能准确地判断.决策往往带有风险. 在这种情况下,决策通常有很多行动方案加
以采用,而统计决策方法可以提供最优的行动方案.大大减少 由于盲日地决定而导致的损失。
因此。统计决策方法 I统计决策分析将会红社会的发展与进步中发挥越来越大的作用.
在现代社会巾。具有合理的决策能力 是每个公民都应该具备的基本素质.因此.在中学阶段最
好能掌握一些简 单的统计决策而的知识和方法,形成初步的决策意识。
本专题低音第一讲主要讲了与风险与决策有关的几个概念,
1、风险(平均损失):行动方案 对应损失函数的均值称为行动方案的风险。我们应该选用
风险最小的行动方案,即按照最小准则选择行动 方案。
2、平均收益:行动方案对应收益函数的均值称为行动方案平均收益,我们在做决策应该
按照平均收益最大立体几何做出决策。
3、损益矩阵:表示损失函数的矩阵称为缺失矩阵,表示收益 函数的矩阵称为收益矩阵,
损失矩阵和收益矩阵统称为损益矩阵。
在对上面三个概念有所了 解以后,学生要能够运用上面的知识在有风险的情况下做出正确的
决策。也就是风险型决策。风险型决策 人一般决策过程为:
1、明确问题的决策目标;2、寻找所有可选择的行动方案;3、确定所有可能出 现的状态,以
及每种状态发生的概率;4、确定损益函数或函数;5、计算各行动方案所对应的损益函数 的均
值;6、根据决策目标,气按照风险最小立体几何或平易收益最大准则选择最优决策。在这里
要注意的是当风险相差不大时不能随便选择一个行动方案,而是应该继续求出损失方差,选择
损失方差 小的行动方案。
第二讲主要向我们介绍了一种分析和待批决策方案的方法,因数其运用树状图形 来分析和
待批决策机构方案所以被称为决策树方法。决策树的基本构成如图1所示,其中方形框叫做决< br>策点,从决策点引出的3条线段分别代表可供选择的3种方案,叫做方案枝。方案枝末端的圆
叫做 机会点,从机会点引出的2条线段表示有2种可能发生的状态,叫做状态枝(概率枝),
我们将状态发生 的概率标注在相应的概率枝上,状态枝的末端的三角形叫做后果点,并疳相应
的损失函数的值标注在后果 点的旁边。
图1 图2

















在了解国决策树的结构以后我们要做的就要利用决策树上的信息做出决策,决策过程可分为下
面两个步 骤:
1、计算损益函数的均值。计算连接到同一机会点的各个后果点的值l(d,h)(或q(d,h ))与相
应的状态枝的标注值P(h)的乘积,并将所得的乘积加起来,得到机会点的均值,如图2各机
会点的昀值为:
12*0.3+5*0.5+(-4)*0.2=5.3;
8*0.3+6*0.5+(-1)*0.2=5.2;
3*0.3+3*0.5+2*0.2=2.8;
2、根据决策目标待批最优决策。图2中因为方案枝 d1末端的机会点的值是5.3是收益最大值,
所以为最优的决策方案。
第三讲的主要内容是 对决策做敏感性分析,即分析未来状态的概率有所变化时,对最优决策的
选择是否有影响,如果有,有怎 样的影响。具体的做法就是将变化量代入收益函数或者损失函
数中算出其收益平均值或损失平均值,再观 察其灵敏度。
第四讲主要介绍了马尔可夫链和马尔可夫型决策,最后一小节关于长期准则下的马尔可夫 型决
策理论是比较难的内容,不要求掌握。对于随机变量序列
X
n
,已知第n 个小时的状态
X
n
,如

X
n?1
的变化规律与< br>X
0
、X
1
、X
2
、……X
n?1
的取值都没有关系,那么称随机变量序列
X
n
具有马
尔可夫性,有马尔可夫性 的随机变量序列
?
X
N
?
马尔可夫链。在风险决策案例中,各可能状 态
的分布列一般是不变的,当可能状态随时间变化,其状态的随机序列是一个马尔可夫链时,这
类决策就叫做马尔可夫决策,解决这类问题的一般步骤为:
1、先写出行动方案和可能状态。
2、写出状态转移矩阵。
3、写出收益矩阵,初始分布。
4、写出平均收益矩阵。
5、根据题目要求选择最大收益决策。

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