高中数学竞赛校本教材[全套共30讲

高中数学竞赛校本教材

目录
§1数学方法选讲（1） ????????????????????????1
§2数学方法选讲（2） ????????????????????????11
§3集 合 ????????????????????????22
§4函数的性质 ????????????????????????30
§5二次函数(1) ????????????????????????41
§6二次函数(2)
§7指、对数函数,幂函数
§8函数方程
§9三角恒等式与三角不等式
§10向量与向量方法
§11数列
§12递推数列
§13数学归纳法
§14不等式的证明
§15不等式的应用
§16排列，组合
§17二项式定理与多项式
§18直线和圆，圆锥曲线
§19立体图形，空间向量
§20平面几何证明
§21平面几何名定理
§22几何变换
§23抽屉原理
§24容斥原理
§25奇数偶数
§26整除
§27同余
§28高斯函数

????????????????????????55
????????????????????????63
????????????????????????73
????????????????????????76
????????????????????????85
????????????????????????95
????????????????????????102
????????????????????????105
????????????????????????111
????????????????????????122
????????????????????????130
????????????????????????134
????????????????????????143
????????????????????????161
????????????????????????173
????????????????????????180
????????????????????????186
????????????????????????194
????????????????????????205
????????????????????????214
????????????????????????222
????????????????????????230
????????????????????????238

§29覆盖 ????????????????????????245
§29涂色问题 ????????????????????????256
§30组合数学选讲 ????????????????????????265

§1数学方法选讲
（1）

同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲 课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都
能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看 来，要提高解决问题的能力，要能在
竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重 要的数学思想方法。
例题讲解
一、从简单情况考虑
华罗庚先生曾经指出：善 于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，
是学好数学的一个诀窍。从简单情况考 虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同 样大小的硬币。条件是硬币一定要平放
在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放 不下一枚硬币为止。谁放入了
最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？



2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成 蓝色，其余各点染
成红色或蓝色。这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？


< br>3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，?，1000。现在进行1，2报数：1号学生报 1
后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下??学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一
个人 。问：这个学生的编号是几号？

4．在6?6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。然后任意划掉3行和 3列，使得剩下的小
方格中至少有1个是红色的。那么，总共至少要涂红多少小方格？



二、从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说， 就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来
说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设 实际上也为题目增加了一个条件，求
解也就会变得容易得多。
5．新上任的宿舍管理员拿着2 0把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个
门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门 ，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？



6．有n名 （n?3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选
手A，B，C， 使得A胜B，B胜C，C胜A？



7．n（n?3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。
试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都
不完全相同。



8．在一个8?8的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数。 问：是否一定能够找到两个相
邻的方格，它们中所填数的差大于4？


三、从整体考虑

从整体上来考察研究的对象，不纠 缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主
要矛盾，一举解决问题。
9．右图是 一个4?4的表格，每个方格中填入了数字0或1。按下列规则进行“操
作”：每次可以同时改变某一行 的数字：1变成0，0变成1。
问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？



10．有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。现在对这三堆石子进 行如下的“操作”：每次
允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另 一堆中。
按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案； 如
不行，请说明理由。



11．我们将若干个数x，y，z， ?的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，?）和min（x，y，
z，?）。已知
a+b+c+d+e+f+g=1，求min[max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e +f+g）]









课后练习
1.方程x
1
+x
2
+x
3
+?+x
n
-1+x
n
=x
1
x
2
x
3
?x
n-1
x
n
一定有一个自然数解吗？为什么？

2.连续自然数1，2，3，?，8899排成一列。 从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6??
这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？

3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。例如当n=6时，因为6的
约数有1，2，3，6四个，所以A（6）=4。已知a
1
，a
2
，?，a
10
是 10个互不相同的质数，又x
为a
1
，a
2
，?，a
10
的积，求 A（x）。

4.平面上有100个点，无三点 共线。将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能
再连结时为止。问：是否存在一个以这些点 中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余97
个点中的任何一个点？

5.在 一块平地上站着5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿
着一把水枪。当发 出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。问：射击后有没有一个小朋
友身上是干的？为什么？

6.把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多。

7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。现在从甲桶取一满
杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的
牛奶多？为什么？

8.在黑板上写上1，2，3，?，1998。按下列规定进行“操 作”：每次擦去其中的任意两个
数a和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。
问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？

课后练习答案
1.有。
解：当n=2时，方程 x
1
+x
2
=x
1
x
2
有一个自然数解： x
1
=2，x
2
=2；
当n=3时，方程x
1
+x
2
+x
3
=x
1
x
2
x
3
有一个自然数解：x
1
=1，x2=2，x
3
=3；
当n=4时，方程x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=x
1
x
2
x
3
x
4
有一个自然数解： x
1
=1，x
2
=1，x
3
=2，x
4
= 4。
一般地，方程
x
1
+x
2
+x
3
+?+x
n-1
+x
n
=x
1
x
2
x
3
?x
n-1
x
n
有一个自然数解：x
1=1，x
2
=1，?，x
n
-2=1，x
n-1
=2， x
n
=n。
2.3508。
解：仿例3。当有3个数时，留下的数是1号。
小于8899的形如3的数是3=6561，故从 1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）
数后，还剩下6561个数。下一个要 划掉的数是2388÷2?3+1=3507，故最后留下的就是3508。
3.1024。
解：质数a
1
有2个约数：1和a，从而A（a
1
）=2；
2个质数a
1
，a
2
的积有4个约数：1，a
1
，a
2
，a
1
a
2
，从而
A（a
1
?a
2
）=4=22；
3个质数a
1
，a
2
，a
3
的积有8个约数：
1，a
1
，a
2
，a
3
，a
1
a
2
，a
2
a
3
，a
3
a
1
，a< br>1
a
2
a
3
，
从而A（a
1
?a
2
?a
3
）=8=23；
??
于是，10个质数a
1
，a
2
，?，a
10的积的约数个数为
A（x）=2=1024。
4.存在。
提示 ：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已“不
能再连结”矛盾。
10
n8
n

5.有。
解：设A和B两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友
射向他们中的 一个，即A，B中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果
没有其他的小朋友射向 A或B，那么我们再考虑剩下的三个人D，E，F：若D，E的距离是三人
中最近的，则D，E互射，而 F必然射向他们之间的一个，此时F身上是干的。
6.假设没有4只猴子分的花生一样多，那么至 多3只猴子分的花生一样多。我们从所需花生
最少情况出发考虑：
得1粒、2粒、3粒? ?32粒的猴子各有3只，得33粒花生的猴子有1只，于是100只猴子
最少需要分得花生
3?（0+1+2+?+32）+33=1617（粒），
现在只有1600粒花生，无法使得至多3只猴子分的花生一样多，故至少有4只猴子分的花生
一样多。
7.一样多。
提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里 有多少酒精，就必然
倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。
8.奇数。
解：黑板上开始时所有数的和为
S=1+2+3+?+1998=1997001，
是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b ）变成了（a-b），实际上减少了2b，即减少了一
个偶数。因为从整体上看，总和减少了一个偶数， 其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。

例题答案：
1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放 的人当然能够取胜。然后设想桌面变大，
注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的 中心，继而把硬币放在后放者所
放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。
2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异
色线 段的条数随之有哪些变化。由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。
解： 如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。将任意一个
红点染成蓝色 时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者
增加2条（相邻的两个 点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色
的点的左右两侧相邻的两个点若 异色，则异色小线段的条数不变。
综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一 个偶数，从而异色线段的条
数是一个奇数。
3．分析：这个问题与上一讲练习中的第8题非常 相似，只不过本例是报1的离开报2的留下，而
上讲练习中相当于报1的留下报2的离开，由上讲练习的 结果可以推出本例的答案。本例中编号
为1的学生离开后还剩999人，此时，如果原来报2的全部改报 1并留下，原来报1的全部改报
2并离开，那么，问题就与上讲练习第8题完全一样了。因为剩下999 人时，第1人是2号，所
以最后剩下的人的号码应比上讲练习中的大1，是
975＋1=976（号）。
为了加深理解，我们重新解这道题。
解：如果有2个 人，那么报完第1圈后，剩下的是2的倍数号；报完第2圈后，剩下的是2
的倍数号??报完第n圈后， 剩下的是2的倍数号，此时，只剩下一人，是2号。
nn
n2

如果有（2＋d）（1?d＜2）人，那么当有d人退出圈子后还剩下2 人。因为下一个该退出
去的是（2d＋1）号，所以此时的第（2d＋1）号相当于2人时的第1号，而 2d号相当于2人时
的第2号，所以最后剩下的是第2d号。
由1000=2＋488知，最后剩下的学生的编号是
488?2=976（号）。
4 ．分析与解：先考虑每行每列都有一格涂红，比较方便的涂法是在一条对角线上涂6格红色的，
如图1。
9
n
nn
nnn

任意划掉3行3列，可以设想划 行划列的原则是：每次划掉红格的个数越多越好。对于图1，
划掉3行去掉3个红格，还有3个红格恰在 3列中，再划掉3列就不存在红格了。
所以，必然有一些行有一些列要涂2个红格，为了尽可能地 少涂红格，那么每涂一格红色的，
一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。
先考 虑有3行中有2格涂红，如图2。显然，同时也必然有3个列中也有2格涂红。这时，
我们可以先划掉有 2格红色的3行，还剩下3行，每行上只有一格涂红，每列上也只有一格涂红，
那么在划掉带红格的3列 就没有红格了。
为了使得至少余下一个红格，只要再涂一格。此红格要使图中再增加一行和一列有两个红格
的，如图3。
结论是：至少需要涂红10个方格。
5. 解：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次，打开第二个房间需要19次??共计
最多要开
20＋19＋18＋?＋1=210（次）。
6. 解：从极端情况观察入手，设B是胜 的次数最多的一个选手，但因B没获全胜，故必有选手A
胜B。在败给B的选手中，一定有一个胜A的选 手C，否则，A胜的次数就比B多一次了，这与
B是胜的次数最多的矛盾。
所以，一定能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A。

7. 证明：如果去掉选手H，能使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同，那么我们称H为可去选手。我们的问题就是要证明存在可去选手。
设A是已赛过对手最多的选手。
若不存在可去选手，则A不是可去选手，故存在选手B和C，使当 去掉A时，与B赛过的
选手和与C赛过的选手相同。从而B和C不可能赛过，并且B和C中一定有一个（ 不妨设为B）
与A赛过，而另一个（即C）未与A赛过。
又因C不是可去选手，故存在选手D，E，其中D和C赛过，而E和C未赛过。
显然，D不是A， 也不是B，因为D与C赛过，所以D也与B赛过。又因为B和D赛过，
所以B也与E赛过，但E未与C赛 过，因而选手E只能是选手A。
于是，与A赛过的对手数就是与E赛过的对手数，他比与D赛过的 对手数少1，这与假设A
是已赛过对手最多的选手矛盾。
故一定存在可去选手。
8. 解：考虑这个方格棋盘的左上角、右上角及右下角内的数A，B，S。
设存在一个 填数方案，使任意相邻两格中的数的差不大于4，考虑最大和最小的两个数1和
64的填法，为了使相邻 数的差不大于4，最小数1和最大数的“距
越大越好，即把它们填在对角的位置上（A=1，S=64） 。
然后，我们沿最上行和最右行来观察：因为相邻数不大于4，
A→B→S共经过14格，所以 S?1+4?14=57（每次都增加最大数4），
从
与
离”
S=64矛盾 。因而，1和64不能填在“最远”的位置上。显然，1和64如果填在其他任意位置，
那么从1到64 之间的距离更近了，更要导致如上的矛盾。因此，不存在相邻数之差都不大于4
的情况，即不论怎样填数 必有相邻两数的差大于4。
9. 解：我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一个奇
数，
每一次“操作”，要改变一行或一列四个方格的奇偶性，显然整个16格中所有数的和的奇偶
性不变。
但当每一格中所有数字都变成1时，整个16格中所有数的和是16，为一偶数。故不能通过
若干次“操作”使得每一格中的数都变成1。
10. 解：要把三堆石子都取光是不可能的。

按“操作”规则，每次拿掉的石子数的总和是3的倍数，即不改变石子总数被 3除时的余数。
而199 8+998+98=3094，被3除余1，三堆石子被取光时总和被3除余0。所以，三堆石子都被取
光是办不到的。
11. 解：设 M=max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）。
因为a+b+c，c+d+e，e+f+g都不大于M，所以

§2
数学方法选讲（2）
四、从反面考虑
解数学题，需要正确的思路 。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，
求得结论。但是，如果直接从正面不易 找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或
从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到 解决。
1．某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：
每答对一题得4分，不答题 得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：
此次测验至多有多少种不同的分数 ？



2．一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4 人编队，则最后差3人；若按每排
3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这 支队伍至少有多少人？



3．在八边形的8个顶点上是否可以分别记上 数1，2，?，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的
和大于13？




4．有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？


五、从特殊情况考虑
对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以
先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊
化。

对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研 究一般情况较为容易；另一方
面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结 论或启发解决问题的
思路，它是探索问题的一种重要方法。
运用特殊化方法进行探索的过 程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过第
一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以 解答。
5．如下图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的
中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。




6．是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点？




7．如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a，b，c，d，e，

求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。




8．将n个互不相等的数排成下表：
a
11
a
12
a
13
? a
1n

a
21
a
22
a
23
? a
2n


a
n
1
a
n
2
a
n
3
? a
nn

先取每行的最大数，得到n个数 ，其中最小数为x；再取每列的最小数，也得到n个数，其
中最大数为y。试比较x和y的大小。
2

六、有序化
当我们研究的对象是一些数的时候，我们常常将这些数排一个次序，即将它们 有序化。有序
化的假设，实际上是给题目增加了一个可供使用的条件。
9．将10到40之间 的质数填入下图的圆圈中，使得3组由“→”所连的4个数的和相等，如果把
和数相等的填法看做同一类 填法，请说明一共有多少类填法？并画图表示你的填法。




10．有四个互不相等的数，取其中两个数相加，可以得到六个和：24，28，30，32，34，38。求< br>此四数。




11．互不相等的12个自然数，它们均 小于36。有人说，在这些自然数两两相减（大减小）所得
到的差中，至少有3个相等。你认为这种说法 对吗？为什么？




12．有8个重量各不相同的物品，每个 物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的
次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下 的测定法：
（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；
（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重；
（3）把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个。
小平称了3次天平都没有平衡，最后便得到一个物品。
可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。
问：小平找出的这个物品有多重？并求出第二轻的物品重多少克？

课后练习
1.育才小学40名学生参加一次 数学竞赛，用15分记分制（即分数为0，1，2，?，15）。
全班总分为209分，且相同分数的学 生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。

2.今有一角纸币、二角纸币、 五角纸币各1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币任意
付款，一共可以付出多少种不同数额的款项 ？

3.求在8和98之间（不包括8和98），分母为3的所有最简分数的和。

4.如右图，四边形ABCD的面积为3，E，F为边AB的三等分点，M，N是CD边上的三等分 点。
求四边形EFNM的面积。

5.直线上分布着1998个点，我们标出以这些 点为端点的一切可能线段的中点。问：至少可
以得到多少个互不重合的中点？

6. 假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。为了使所有的
人都知道一 切消息，他们一共至少要打多少个电话？

7.有4个互不相等的自然数，将它们两两相加， 可以得到6个不同的和，其中较小的4个和
是64，66，68，70。求这4个数。

8.有五个砝码，其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。 问：这五个砝码的重量相等
吗？为什么？


课后练习答案

1.若得分超过12分的学生至少有10人，则全班的总分至少有
5?（12+13）+5?（0+1+2+3+4+5）=210（分），
大于条件209分，产生了矛盾，故得分超过12分的学生至多有9人。
2.119种。
解：从最低币值1角到最高币值14元8角，共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。
经计算，应该剔除的币值为（i+0.4）元（i=0，1，2，?，1 4）及（j+0.9）元（j=1，2，3，?，
13），一共29种币值。所以，一共可以付出148 -29=119（种）不同的币值。
3.9540。

=2?（8+9+?+97）+（97-8+1）=9540。
4.1。

解：先考虑ABCD是长方形的特殊情况，显然此时EFNM的面积是1。下面就一般情况求解。

连结AC，AM，FM，CF，则

5.3993个。

解：为了使计算互不重复， 我们取距离最远的两点A，B。先计算以A为左端点的所有线段，
除B外有1996条，这些线段的中点 有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一
半。
同样，以B为右端 点的所有线段，除A外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不
重合，且到点A的距离小 于AB长度的一半。
这两类中点不会重合，加上AB的中点共有1996+1996+1=399 3（个），即互不重合的中点不
少于3993个。
另一方面，当这1998个点中每两个相邻点的间隔都相等时，不重合的中点数恰为3993。
这说明，互不重合的中点数至少为3993个。
6.198个。
解：考虑一种特殊 的通话过程：先由99人每人打一个电话给A，A再给99人每人打一个电话，
这样一共打了198个电 话，而且每人都知道了所有的消息。
下面我们说明这是次数最少的。考虑一种能使所有人知道一切 消息的通话过程中的关键性的
一次通话，这次通话后，有一个接话人A知道了所有的消息，而在此之前还 没有人知道所有的消
息。
除了A以外的99人每人在这个关键性的通话前，必须打出电话 一次，否则A不可能知道所有
的消息；又这99人每人在这个关键性的通话后，又至少收到一个电话，否 则它们不可能知道所有
的消息。
7.30，34，36，38或31，33，35，39。
解：设4个数为a，b，c，d，且a ＜b＜c＜d，则6个和为a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d。
于是有
a+b＜a+c＜a+d＜b+d＜c+d

和a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d。

分别解这两个方程组，得

8.相等。
解：设这五个砝码的重量依次为a?b?c?d?e。
去掉e，则有a+d=b+c； ①
去掉d，则有a+e=b+c。 ②
比较①②，得d=e。
去掉a，则有b+e=c+b； ③
去掉b，则有a+e=c+d。 ④
比较③④，得a=b。
将a=b代入①得c=d，将d=e代入④得b=c。所以e=b=c=d=e。

例题答案：
1． 分析：最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。
从正面考虑 计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到
的分数就可以了。
解：最高的得分为50分，最低的得分为0分。在从0分到50分这51个分数中，有49，48，
47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种） 。
2． 分析：从条件“若按每排4人编队，则最后差3人”的反面来考虑，可理解为“若按每排< br>4人编队，则最后多1人”。同理，按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。
这样一来，原题就化为：
一个5的倍数大于1000，且它被12除余1。问：这个数最小是多少？
解：是5的倍数且除以 12余1的最小自然数是25。因为人数超过1000，[3，4，5]=60，所
以最少有
25+60?17=1045（人）。
3． 解：将八边形的8个顶点上的数依次记为a1，a2， a3，?，a8，则有S=a1+a2+a3+?
+a8=1+2+3+?+8=36。
假设任意3个相邻顶点上的数都大于13，因为顶点上的数都是整数，所以
a1+a2+a3?14；
a2+a3+a4?14；
??
a7+a8+a1?14；
a8+a1+a2?14。
将以上 8个不等式相加，得3S?112，从而 S＞ 37，这与S=36矛盾。故结论是否定的。
4．解：假设这个数为A，它是自然数a的平方。
因为A的各位数字之和888是3的倍 数，所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数，
但888不是9的倍数，这样就产生了矛盾，从 而A不可能是平方数。

5.
分析：我们先考虑 正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的
情况（见上图）。此时，显 然有

得出答案后，这个问题还得回到一般情况下去解决，解决的方法是将一般情况变成特殊情况。
解：自E向AB和AD分别作垂线EN和EM（右图），则有
S=S△PME+S四边形AMEQ
又S△PME=S△EQN，故
S=S△EQN+S四边形AMEQ
=S正方形AMEN

6. 分析与解：先考虑一种特殊的图形：围棋盘。它有38条直线、361个交点。我们就从这种< br>特殊的图形出发，然后进行局部的调整。

先加上2条对角线，这样就有40条直 线了，但交点仍然是361个。再将最右边的1条直线向
右平移1段，正好增加了4个交点（见上图）。 于是，我们就得到了有365个交点的40条直线。
7. 分析：从这8个数都相等的特殊情况入手， 它们满足题目条件，从而得所求值为0。这就启发
我们去说明a+b+c+d=e+f+g+h。
解：由已知得
3a=b+e+d，3b=a+c+f，
3c=b+d+g，3d=a+c+h，
推知
3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h，
a+b+c+d=e+f+g+h，
（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。
8. 分析：先讨论n=3的情况，任取两表：
1 3 7 1 2 3
2 5 6 4 5 6
8 9 4 7 8 9
左上表中x=6，y=4；右上表中x=3，y=3。两个表都满足x?y，所以可以猜想x?y。

解：设x是第i行第j列的数aij，y是第l行第m列的数alm。考虑x 所在的行与y所在的列交
叉的那个数，即第i行第m列的数aim。显然有aij?aim?alm，当 i=l，j=m时等号成立，所以x
?y。
9. 解：10到40之间的8个质数是
11，13，17，19，23，29，31，37。
根据题目要求，除去最左边和 最右边的2个质数之外，剩下的6个质数在同一行的2个质数
的和应分别相等，等于这6个数中最小数（ 记为a）与最大数（记为b）之和a+b。根据a，b的
大小可分为6种情况：
当a=11，b=29时，无解；
当a=11，b=31时，有11+31=13+29=19+23，得到如下填法：

当a=11，b=37时，有11+37=17+31=19+29，得到如下填法：

当a=13，b=31时，无解；
当a=13， b=37时，无解；
当a=17，b=37时，无解。
所以，共有2类填法。
10. 解：设四个数为a， b，c，d，且a＜b＜c＜d，则六个和为a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d，
其中 a+b最小，a+c次小，c+d最大，b+d次大，a+d与b+c位第三和第四。

分别解这两个方程组，得


11. 解：设这12个自然数从小 到大依次为a1，a2，a3，?，a12，且它们两两相减最多只有2
个差相等，那么差为1，2，3 ，4，5的都最多只有2个。从而
a12-a11，a11-a10，a10-a9，?，a2-a1，
这11个差之和至少为
2?（1+2+3+4+5）+6=36，

但这11个差之和等于a12-a1＜36。这一矛盾说明，两两相减的差中，至少有3个相等。
12. 解：设这8个物品的重量从重到轻依次排列为：
15?a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＞a8?1。
小平找出的这个物品重量为a5，第二轻的物品重量为a7。
由于a5加上一个比它轻的物品不可 能大于两个比a5重的物品重量之和，因而第一次必须筛
去3个比a5重的物品。
这样就有以下四种可能：

先考虑第一种情况。根据①式，a4比a1至少轻3 克，a5比a2，a6比a3也都至少轻3克，
则a7比a8至少重 10克。根据②式，a5比a4至少轻1克，则a6比a7至少重 18克。与已知矛
盾，第一种情况不可能出现。
按同样的推理方法，可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。
最后，考虑第四种情况。a1比 a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少轻1克，则a7比a8
至少重4克。根据④式，a5比 a4至少轻4克，则a6比a7至少重5克。这样得到的这8个物品
的重量分别为：
a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克，
a5=11克， a6=10克， a7=5克， a8=1克。
因此，小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克。

§3集 合
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、
结 论以及处理集合、子集与划分问题的方法。
1．集合的概念
集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：
（1） 确定性 设
A
是一 个给定的集合，
a
是某一具体对象，则
a
或者是
A
的元素， 或者不是
A
的
元素，两者必居其一，即
a
?
A
与< br>a
?
A
仅有一种情况成立。
（2） 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元
素。
（3） 无序性
2．集合的表示方法
主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：
N,Z,Q,R
应熟记。
3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转
换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。
4．子集、真子集及相等集
（1）
A
?
B?
A
?
B
或
A
＝
B
；
（2）
A
?
B
?
A
?
B< br>且
A
≠
B
；
（3）
A
＝
B
?
A
?
B
且
A
?
B
。
5．一 个
n
阶集合（即由个元素组成的集合）有
2
个不同的子集，其中有
2
－1个非空子集，也
有
2
－1个真子集。
6．集合的交、并、补运算
n
nn
A
?
B
={< br>x|x?A
且
x?B
}；
A
?
B
={
x|x?A
或
x?B
}
A?{x|x?I
且
x?A
}
要掌握有关集合的几个运算律：
（1）交换律
A
?
B
＝
B
?
A
，
A
?
B
＝
B
?
A
；
（2）结 合律
A
?
（
B
?
C
）＝（
A
?< br>B
）
?
C
，

A
?
（
B
?
C
）＝(
A
?
B
)
?
C
；
（3）分配律
A
?
（
B
?
C
）＝（
A
?
B
）
?
（
A
?
C
）

A
?
（
B
?
C
）＝ (
A
?
B
)
?
（
A
?
C
）
（4）0—1律
A< br>?
?
＝
A
，
A
?
I
＝
A< br>，
A
?
I
＝
I
，
A
?
?< br>＝
?

（5）等幂律 A
?
A
＝
A
，
A
?
A
＝A

（6）吸收律
A
?
(
A
?
B
)＝
A
，
A
?
（
A
?
B
）＝
A

（7）求补律
A
?
C
I
A＝
I
，
A
?
C
I
A＝
?

（8）反演律
A?B?A?B,A?B?A?B

7．有限集合所含元素个数的几个简单性质
设
n(X)
表示集合< br>X
所含元素的个数,（1）
n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)
,
当
n(A?B)?
?
时，
n(A?B)?n(A)?n(B)
（2）
n(A?B?C)?n(A)?n(B)?n(C)
－
n(A?B)?n( A?C)?n(B?C)?n(A?B?C)

例题讲解
元素与集合的关系
1．设
A
＝{
a
|
a
＝
x
2
? y
2
,
x,y?Z
}，求证：（1）
2k?1
?
A
(
k?Z
)；
（2）
4k?2?A (k?Z)







2．以某些整数为元素的集合
P
具有下列性质：①
P
中的元素有正数，有负数；
②
P
中的元素有奇数,有偶数；③－1
?
P
；④若
x
，
y
?
P
,则
x
＋
y
?
P
试判断实数0和2 与
集合
P
的关系。







3．设
S
为满足下列条件的有理数的集合：①若
a
?S
，
b
?
S
，则
a
+
b
?< br>S
，
ab?S
；②对任一个有理数
r
，三个关系
r
?
S
，－
r
?
S
，
r
＝0有且仅 有一个成立。证明：
S
是由全体正有理数组成的集合。

两个集合之间的关系
在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关
系。 这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元
素与这两个集 合的关系入手。
4．设函数
f(x)?x
2
?ax?b (a,b?R)
，集合
A?{x|x?f(x),x?R}
，
B?{x|x?f[f(x)],x?R}
。
（1）证明：
A?B
；
（2）当
A?{?1,3}
时，求
B
。
（3）当
A
只有一个元素时，求证：
A?B
．




5．
S
1
,S
2
,S
3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列
i,j,k
，若
x?S
i< br>,y?S
j
，则
x?y?S
k

（1）证明：三个集合中至少有两个相等。
（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？




6．已知集合：
A?{(x,y)|ax?y? 1},B?{(x,y)|x?ay?1},C?{(x,y)|x
2
?y
2
?1}
问
（1）当
a
取何值时，
(A?B)?C
为含有两个元素的集合？
（2）当
a
取何值时，
(A?B)?C
为含有三个元素的集合？




7．设
n?N
且
n
?1 5，
A,B
都是{1，2，3，?，
n
}真子集，
A?B?
?
，且
A?B
={1，2，3，?，
n
}。证明：
A或者
B
中必有两个不同数的和为完全平方数。

课后练习
?
{
?
} ④
?
?
{
?
}⑤{0}
?
?
⑥0
?
?
⑦
?
?
{0} 1．下列八个关系式:①{0}=
?
②
?
=0 ③
?
?
⑧
?
?
{
?
} 其中正确的个数 （ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．设A、B是全集U的两个子集，且A
?
B，则下列式子成立的是 （ ）
（A）C
U
A
?
C
U
B （B）C
U
A
?
C
U
B=U （C）A
?
C
U
B=
?
（D）C
U
A
?
B=
?

3．已知M=
{ x|x?3n,n?Z},N?{x|x?3n?1,n?Z},P?{x|x?3n?1,n?Z}
， 且
a?M,b?N,c?P
，
设
d?a?b?c
，则
d?< br> （ ）
（A）M （B）N （C）P （D）
M?P

4．设集 合
M?{x|x?
k1k1
?,k?Z},N?{x|x??,k?Z}
，则 （ ）
2442
（A）
M?N
（B）
N?M
（C）
M?N
（D）
M?N??

5．设M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且满足条件: 当x?A时,15x
?
A，则A中元素的个数最
多是_______________.
6．集合A,B 的并集A∪B={a
1
,a
2
,a
3
}，当且仅当A≠B时 ，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)
对的个数有_____________ ____.
7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22},则能 使A
?
A∩B成立的a的取值范围是
_______________.
8 ．若A={x|0≤x
2
+ax+5≤4}为单元素集合，则实数a的值为_________ __________.
9．设A={n|100≤n≤600,n?N}，则集合A中被7除余2且 不能被57整除的数的个数为
______________.
10．己知集合A={x|x =f(x)}，B={x|x=f(f(x))},其中f(x)=x
2
+ax+b (a,b?R)，
证明：（1）A
?
B （2）若A只含有一个元素，则A=B .

11．集合A={（x,y）
x
2
?mx?y?2?0
},集合B={（x,y）
x?y?1?0
,且0
?x?2
}，
又A
?B?
?
，求实数m的取值范围.
课后练习答案
1-4 C C B A
5．解：由于1995=15?133，所以，只要n>1 33，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过
1995的整数. 由于这时己取出了15?9=135, ? 15?133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数?1870。 < br>另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1?k?133）共得133—8=125对，每
对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数?1870，综上可知应填1870
6．解 ：A=φ时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二元
集时，B必须 含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.故共
有1+6+12+ 8=27个.
7．解：由A非空知2a+1?3a-5，故a?6. 由A?A?B知A?B. 即3?2a+1且3a-5?22, 解之，
得1?a?9. 于是知6?a?9
2222
8．解：由
x?ax?5?(x?
1
a)?5?
1
a
.若
5?
1
a?4
，则A有无数个元，若
24
4< br>5?
1
a
2
?4
，则A为空集，只有当
5?
1
a
2
?4
即
a??2
时，A为单元素集
{?1}
或
{1}
.所以
44
a??2

9．解：被7除余2的数可写为7k+2. 由100?7k+2?600.知14?k?85. 又若某个k使7k+2能
被57整除，则可设7k+2=57n. 即
k?
57n?2
?
56n?n?2
?8n?
n?2
. 即n-2应为7的倍数. 设
777
n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14?57m+16?85. m=0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=70
10．证明：（1）
?x?A ?f(x)?x,?f(f(x))?f(x)?x?x?B?A?B

(2)设A={c}，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c为 f(x)-x=0的重根.
∴ f(x)-x=(x-c)
2
即f(x)=(x-c)
2+x,于是f(f(x))=(f(x)-c)
2
+f(x),
f(f(x)) -x=(f(x)-c)
2
+f(x)-x=[(x-c)
2
+x-c]2
+(x-c)
2
=0
?
?
(x?c)
2
?x?c?0
∴
?

?
?
x?c
故f(f(x))=x也只有惟一解x=c，即B={c}. 所以A=B
?
?
x
2
?mx?y?2?0
11．解：由< br>?
得
x
2
?(m?1)x?1?0

?
?< br>x?y?1?0
?
0??
m?1
?2
?
2
或 f(2)?0
设
f(x)?x
2
?(m?1)x?1
由数形结合 得:
?
2
?
?
??(m?1)?4?0
解得：
m? ?1

例题答案：
1．分析：如果集合
A
＝{
a
|
a< br>具有性质
p
}，那么判断对象
a
是否是集合
A
的元素 的基本方法就
是检验
a
是否具有性质
p
。
解：（1）∵< br>k
,
k?1
?
Z
且
2k?1
＝
k< br>2
?(k?1)
2
,故
2k?1
?
A
；
（2）假设
4k?2?A (k?Z)
，则存在
x,y?Z
，使
4k?2
＝
x
2
?y
2

即
(x?y)(x?y)?2(2k?1)
(*)
由于
x?y
与
x?y
具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有 两种可能：奇数或4的倍
数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此 ，
4k?2?A (k?Z)
。
2．解：由④若
x
，
y
?
P
,则
x
＋
y
?
P
可知，若
x
?
P
，则
kx?P (k?N)

（1）由① 可设
x
，
y
?
P
，且
x
＞0，
y
＜0，则－
y
x
＝|
y
|
x
(|
y
|?
N
)
故
x
y
,－
y
x
?
P
,由④,0＝(－
y
x
)+
xy
?
P
。
（2）2
?
P
。若2?
P
，则
P
中的负数全为偶数，不然的话，当－（
2k?1
）?
P
（
k?N
）
时，－1＝（－
2k?1
）＋
2k< br>?
P
，与③矛盾。于是，由②知
P
中必有正奇数。设
?2m, 2n?1?P (m,n?N)
，我们取适当正整数
q
，使
q?|?2m |?2n?1
，则负奇数
?2qm?(2n?1)?P
。前后矛盾。
3．证 明：设任意的
r
?
Q
，
r
≠0,由②知
r
?
S
，或－
r
?
S
之一成立。再由①，若?
S，则
r
r
2
?S
；若－
r
?
S
，则
r
2
?(?r)?(?r)?S
。总之，
r
2
?S
。
取
r
=1，则1?
S
。再由①，2=1+1?< br>S
，3=1+2?
S
，?，可知全体正整数都属于
S
。 设
p,q?S
，由①
pq?S
，又由前证知
p1
1?S
，所以?
S
。因此，
S
含有
?pq?
2< br>2
q
q
q
全体正有理数。
再由①知，0及全体负有理数不属 于
S
。即
S
是由全体正有理数组成的集合。
4．解：（1）设任意
x
0
?
A
，则
x
0
＝
f(x0
)
.而
f[f(x
0
)]?f(x
0
)?x
0

故
x
0
?
B
,所以
A?B
.

（2）因
A?{?1,3}
，所以
?
(?1)
2
?a?(?1)?b??1
解得
a??1,b??3

?
2
?
3?a?3?b?3
故
f(x)?x
2
?x?3
。由
x?f[f(x)]
得 (x
2
?x?3)
2
?(x
2
?x?3)?x?3?0

解得
x??1, 3, ?3

B
＝{
?1,3,?3,3}
。
5．证明：（1）若
x?S
i
,y?S
j
，则
y?x?S
k
,(y?x)?y??x?S
i

所以每个集合中均有非负元素。
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。
否 则，设
S
1
,S
2
,S
3
中的最小正元素为
a
，不妨设
a?S
1
，设
b
为
S
2,S
3
中最小的非负元素，
不妨设
b?S
2
,
则
b
－
a
?
S
3
。
若
b
＞0,则0?
b
－
a
＜
b
，与
b
的取法 矛盾。所以
b
=0。
任取
x?S
1
,
因0?S
2
,故
x
－0＝
x
?
S
3
。所以
S
1
?
S
3
，同理
S
3
? S
1
。
所以
S
1
=
S
3
。 < br>（3）可能。例如
S
1
=
S
2
={奇数}，
S
3
={偶数}显然满足条件，
S
1
和
S
2
与
S
3
都无公共元素。
6．解：
(A?B)?C
=(A?C)?(B?C)
。
A?C
与
B?C
分别为方程组
（Ⅰ）
?
?
ax?y?1
?
x?ay?1
（Ⅱ）
?
x
2
?y
2
?1

22
x?y?1
??
2a
1?a
2
的解集。由（Ⅰ）解得（
x, y
）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得
1?a
2
1?a
22a
1?a
2
（
x,y
）=（1，0），（，）
2< br>2
1?a
1?a
（1）使
(A?B)?C
恰有两个元素的情况 只有两种可能：

?
2a
?
2a
?0?1
??
?
1?a
2
?
1?a
2
①
?
②
?

22
1?a1?a
??
?1?0
22
??
1?a1?a
??
由①解得
a
=0；由②解得
a
=1。
故
a
=0或1时，
(A?B)?C
恰有两个元素。
2a< br>1?a
2
（2）使
(A?B)?C
恰有三个元素的情况是：= < br>1?a
2
1?a
2
解得
a??1?2
，故当
a??1?2
时，
(A?B)?C
恰有三个元素。
7．证明：由题设，{1 ，2，3，?，
n
}的任何元素必属于且只属于它的真子集
A,B
之一。
假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，?，
n
}的真子集
A,B
，使得无论是
A
还是
B
中
的任两个不同的数的和都不 是完全平方数。
不妨设1?
A
，则3
?
A
，否 则1+3=
2
，与假设矛盾，所以3?
B
。同样6
?
B，所以6
?
A
，这时10
?
A
，，即10?
B
。因
n
?15，而15或者在
A
中，或者在
B
中， 但当15?
A
时，
因1?
A
，1+15=
4
，矛盾 ；当15?
B
时，因10?
B
，于是有10+15=
5
，仍 然矛盾。因此假设
不真。即结论成立。



















2
2
2

§4
函数的基本性质
函数的性质通常是指函数的定义域、 值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，
在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题 时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得
问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
I．函数的定义
设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A 到B的映射f：A→B就
叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x?A，y?B，原象集合，A 叫做函数f(x)的定义域，象的
集合C叫做函数的值域，显然C
?
B.
II．函数的性质
（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的 数集.若对任意的x?D，都有
f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x?D， 都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.
（2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x
1
, x
2
?D′，并且x1
2
时，总有
f(x
1
)2) (f(x
1
)>f(x
2
)),则称f(x)在区间D′上的增函数 （减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增
（减）区间.
III．函数的周期性
对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)= f(x)
总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周 期中存在最小
值T
0
，称T
0
为周期函数f(x)的最小值正周期.
例题讲解
1．已知f(x)＝8＋2x－x
2
，如果g(x)＝f(2－x
2
)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增

2．设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤
A.－1 B.0 C.1
3
时，f(x)＝x，则f(2003)＝( )
2
D.2003

3．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有 f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个
不同的实数根，那么所有实数根的和为 ( )
303305
A.150 B. C.152 D.
22

4．实数x，y满足x
2
＝2xsin(xy)－1，则x
1998
＋6sin
5
y＝______________.



5．已知x＝
19?99
是方程x
4
＋bx
2
＋c＝0的 根，b，c为整数，则b＋c＝__________.

6．已知f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a＞0)，f(x )＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a
＞4.





7．已知f(x)＝x
2
＋ax＋b(－1≤x≤1 )，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥






8．⑴解方程:(x＋8)
2001
＋x
2001
＋2x＋8＝0
⑵解方程：






9．设f(x) ＝x
4
＋ax
3
＋bx
2
＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2 ，f⑶＝3，求







10．设f(x)＝x
4
－4x
3
＋







13
2
1
x－5x＋2，当x?R时，求证：|f(x)|≥
22
1
[f⑷＋f(0)]的值.
4
1
.
2< br>2x?4x
2
?1
x
2
?1?(x
2
?1)
2
?1
?2
(x?1)

2

课后练习
1. 已知f(x)＝ax
5
＋bsin
5
x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )
A.3 B.－3 C.5

2. 已知(3x＋y)
2001
＋x
2001
＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.

3. 解方程：ln(
x
2
?1
＋x)＋ln(
4x
2
?1
＋2x)＋3x＝0

4. 若函数y＝log
3
(x
2
＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是___________ ___.

5. 函数y＝
x
2
?4x?5?x
2
?4x?8
的最小值是______________.

6. 已知f(x)＝ ax
2
＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x
1
，x
2
，a ＞0，x
1
－x
2
＞
1
，若0＜t＜x
1
，试比较f(t)
a
D.－5
与x
1
的大小.

7. f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时.
求证：存在实数x，y，使得

8. 设a，b，c?R，|x|≤1，f(x)＝ ax
2
＋bx＋c，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax＋b|≤4.

9．已知函数f(x)＝x
3
－x＋c定义在[0，1]上，x
1
，x2
?[0，1]且x
1
≠x
2
.
⑴求证：|f(x< br>1
)－f(x
2
)|＜2|x
1
－x
2
|；
⑵求证：|f(x
1
)－f(x
2
)|＜1.









课后练习答案

1.解：∵ f⑴＝a＋bsin
5
1＋1＝5
设f(－1)＝－a＋bsin
5
(－1)＋1＝k
相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k
∴ f(－1)＝k＝2－5＝－3
选B
2.解：构造函数f(x)＝x
2001
＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0
逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，
所以3x＋y＝－x
4x＋y＝0
3.解：构造函数f(x)＝ln(
x
2
?1
＋x)＋x
则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0
不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)
所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)
由函数的单调性，得x＝－2x
所以原方程的解为x＝0
4.解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，
则其真数函数g(x)＝x
2
＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数
所以函数y＝g(x)的图象应该与x轴相交
即△≥0 ∴ a
2
＋4a≥0
a≤－4或a≥0
解法二：将原函数变形为x
2
＋ax－a－3
y
＝0
△＝a
2
＋4a＋4·3
y
≥0对一切y?R恒成立
则必须a
2
＋4a≥0成立
∴ a≤－4或a≥0
5.提示：利用两点间距离公式处理
y＝
(x?2)
2
?(0?1 )
2
?(x?2)
2
?(0?2)
2

表示动点P(x，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和
当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|＝5
6.解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax
2
＋(b－1)x＋c，
＝a(x－x
1
)(x－x
2
)
∴ f(x)＝a(x－x
1
)(x－x
2
)＋x
作差：f(t)－x
1
＝a(t－x
1
)(t－x
2
)＋t－x
1
＝(t－x
1
)[a(t－x
2
)＋1]
1
＝a(t－x
1
)(t－x
2
＋)
a
又t－x
2
＋
1
＜t－(x
2
－x
1
)－x
1
＝t－x
1
＜0
a
∴ f(t)－x
1
＞0
∴ f(t)＞x
1

解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x
1
)(x－x
2
)＋x
令g(x)＝a(x－x
2
)

∵ a＞0，g(x)是增函数，且t＜x
1

? g(t)＜g(x
1
)＝a(x
1
－x
2
)＜－1
另一方面：f(t)＝g(t)(t－x
1
)＋t
f(t)?t
∴ ＝a(t－x
2
)＝g(t)＜－1
t?x
1
∴ f(t)－t＞x
1
－t
∴ f(t)＞x
1

7.|xy－f(x)－g(y)|≥
1

4
1

4
证明：(正面下手不容易，可用反证法)
若对任意的实数x，y，都有|xy－f (x)－g(y)|＜
记|S(x，y)|＝|xy－f(x)－g(y)|
1111
则|S(0，0)|＜，|S(0，1)|＜，|S(1，0)|＜，|S(1，1)|＜
4444
而S(0，0)＝－f(0)－g(0)
S(0，1)＝－f(0)－g(1)
S(1，0)＝－f(1)－g(0)
S(1，1)＝1－f(1)－g(1)
∴ |S(0，0)|＋|S(0，1)|＋|S(1，0)|＋|S(1，1)|
≥|S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)|
＝1
矛盾！
故原命题得证！
8.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题)
f⑴＝a＋b＋c
f(－1)＝a－b＋c
f(0)＝c
1
∴ a＝[f⑴＋f(－1)－2f(0)]
2
b＝
1
[f⑴－f(－1)]
2
1
[f⑴－f(－1)]|
2
c＝f(0)
|2ax＋b|＝|[f⑴＋f(－1)－2f(0)]x＋
＝|(x＋
≤|x＋
≤|x＋
11
)f⑴＋(x－)f(－1)－2xf(0)|
22
11
||f⑴|＋|x－||f(－1)|＋2|x||f(0)|
22
11
|＋|x－|＋2|x|
22
1111
]，(－，0)，[0，)，[，1]讨论即可
2222
接下来按x分别在区间[－1，－

9. 证明：⑴|f(x
1
)－f(x
2
)|＝|x
1
3
－x
1
＋x
2
3
－x
2
|
＝|x
1
－x
2
||x
1
2
＋x
1
x
2
＋x
2
2
－1|
需证明|x
1
2
＋x
1
x
2
＋x
2
2
－1|＜2 ………………①
x
2
3x
2
2
2
x
1< br>＋x
1
x
2
＋x
2
＝(x
1
＋)?
2
≥0
24
22
∴ －1＜x
1
2＋x
1
x
2
＋x
2
2
－1＜1＋1＋1－1＝ 2
∴ ①式成立
于是原不等式成立
⑵不妨设x
2
＞x
1

由⑴ |f(x
1
)－f(x
2
)|＜2|x
1
－x
2
|
①若 x
2
－x
1
?(0，
1
]
2
则立即有|f(x
1
)－f(x
2
)|＜1成立. ②若1＞x
2
－x
1
＞
11
，则－1＜－(x
2
－x
1
)＜－
22
1
(右边变为正数)
2
∴ 0＜1－(x
2
－x
1
)＜
下面我们证明| f(x
1
)－f(x
2
)|＜2(1－x
2
＋x
1
)
注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c
|f(x
1
)－f (x
2
)|＝|f(x
1
)－f⑴＋f(0)－f(x
2
) |
≤|f(x
1
)－f⑴|＋|f(0)－f(x
2
)|
＜2(1－x
2
)＋2(x
2
－0) (由⑴)
＝2(1－x
2
＋x
1
)
＜1
综合⑴⑵，原命题得证.
10. 已知f(x)＝ax
2
＋x－a(－1≤x≤1)
⑴若|a|≤1，求证：|f(x )|≤
⑵若f(x)
max
＝
5

4
17
，求a的值.
8
解：分析：首先设法去掉字母a，于是将a集中
⑴若a＝0，则f(x)＝x，
当x?[－1，1]时，|f(x)|≤1＜
5
成立
4
若a≠0，f(x)＝a(x
2
－1)＋x
∴ |f(x)|＝|a(x
2
－1)＋x|
≤|a||x
2
－1|＋|x|
≤|x
2
－1|＋|x| (∵ |a|≤1)
≤1－|x
2
|＋|x|
＝
≤
51
－(|x|－)
2

42
5

4

⑵a＝0时，f(x)＝x≤1≠
∴ a≠0
∵ f(x)
max
＝max{f⑴，f(－1)，f(－
又f(±1)＝± 1≠
17

8
117
)＝
2a8
1
)}
2a
17

8
∴ f(x)
max
＝f(－
a(－
1
2
117
)＋(－)－a＝
2a2a8
1

8
1

8
? a＝－2或a＝－
但此时要求顶点在区间[－1，1]内，应舍去－
答案为－2

























例题答案：

1．提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C
2．解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)
∴ f(x)的周期为6
f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1
选A
3
3．提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝
2
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
33
即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称
2 2
利用中点坐标公式，这100个根的和等于
所有101个根的和为
3303
×101＝.选B
22
3
×100＝150
2
4．解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解
注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法
(x－sin(xy))
2
＋cos
2
(xy)＝0
∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0
∴ x＝sin(xy)＝±1
∴ siny＝1 xsin(xy)＝1
原式＝7
5．解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)
由已知变形得x－
19?99

∴ x
2
－2
19
x＋19＝99
即 x
2
－80＝2
19
x
再平方得x
4
－160x
2
＋6400＝76x
2

即 x
4
－236x
2
＋6400＝0
∴ b＝－236，c＝6400
b＋c＝6164
6．证法一：由已知条件可得
△＝b
2
－4ac≥0 ①
f⑴＝a＋b＋c＞1 ②
f(0)＝c＞1 ③
b
0＜－＜1 ④
2a
b
2
≥4ac
b＞1－a－c
c＞1
b＜0(∵ a＞0)
于是－b≥2
ac

所以a＋c－1＞－b≥2
ac

∴ (
a?c
)
2
＞1
∴
a?c
＞1
于是
a?c
＋1＞2
∴ a＞4
证法二：设f(x)的两个根为x
1
，x
2
，
则f(x)＝a(x－x
1
)(x－x
2
)
f⑴＝a(1－x
1
)(1－x
2
)＞1
f(0)＝ax
1
x
2
＞1
由基本不等式
x
1
(1－x
1
)x
2
(1－x
2
)≤[
11
(x
1
＋(1－x
1
)＋x
2
＋(1－x
2
))]
4
＝()
2

44
a
2
2
∴
≥a
x
1
(1－ x
1
)x
2
(1－x
2
)＞1
16
∴ a
2
＞16
∴ a＞4
7．解：M＝|f(x)|
max
＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－
⑴若|－
a
|≥1 (对称轴不在定义域内部)
2
a
)|}
2
则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}
而f⑴＝1＋a＋b
f(－1)＝1－a＋b
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
1
∴ M≥2＞
2
⑵|－
a
|＜1
2
a
)|}
2
M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－
a
2
＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|}
4
a
2
a
2
＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|，|－＋b|}
44
1
a
2
a
2
≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)
4
44
1
a
2
a
2
≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]
4
44

1a
2
＝
(2?)

42
≥
1

2
综上所述，原命题正确.
8．⑴ 解：原方程化为(x＋8)
2001
＋(x＋8)＋x
2001
＋x＝0
即(x＋8)
2001
＋(x＋8)＝(－x)
2001
＋(－x)
构造函数f(x)＝x
2001
＋x
原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)
而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数
于是有x＋8＝－x
x＝－4为原方程的解
⑵两边取以2为底的对数得
log
2
2x ?4x
2
?1
x
2
?1?(x
2
?1)
2
?1
?(x?1)
2
即log
2
(2x?4x
2< br>?1)?log
2
(x
2
?1?(x
2
?1)
2
?1)?x
2
?2x?1

即log
2
(2x ?4x
2
?1)?2x?log
2
(x
2
?1?(x
2
?1)
2
?1)?(x
2
?1)
构造函数f(x)?l og
2
(x?x
2
?1)?x
于是f(2x)＝f(x
2< br>＋1)
易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，
所以：2x＝x
2
＋1
解得：x＝1
9．解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m，
记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)
∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x
f⑷＝6(4－m)＋4
f(0)＝6m
1
∴ [f⑷＋f(0)]＝7
4
10．证明：配方得：
51
f(x)＝x
2
(x－2)
2
＋(x－1)
2
－
22
＝x
2
(x－2)
2
＋
＝(x
2
－2x)
2
＋
51
(x－1)
2
－1＋
22
51
(x－1)
2
－1＋
22
51
(x－1)
2
－1＋
22
51
(x－1)
2
－1＋
22
＝[(x－1)
2
－1]
2
＋
＝(x－1)
4
－2(x－1)
2
＋1＋

＝(x－1)
4
＋
≥


































1

2
11
(x－1)
2
＋
22
§5二次函数(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内 涵。在中学数学数材中，对二次函数
和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深 入和反复的讨论与练习。它

对近代数学，乃至现代数学，影响深远 ，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，
以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化 ，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有
关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必 须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。

学习二次函数的关键是抓住顶点（-b2a，(4 ac-b4a），顶点的由来体现了配方法
222)22
（y=ax+bx+c=a(x+b2 a)+(4ac-b4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax→y=a(x-h)+k）；
函数 的对称性（对称轴x=-b2a，f (-b2a+x)=f (-b2a-x)，x?R），单调区间（-∞， -b2a），
2)2
[-b2a,+∞]、极值（(4ac-b4a），判别式（Δb-4ac ）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）
等，全都与顶点有关。
一、“四个二次型”概述

（一元）二次函数
→

2
y=ax+bx+c (a≠0)

↑

↑

（一元）一次函数
y=bx+c(b≠0)

↑

↑

a=0

→

一次二项式
bx+c(b≠0)

↓

↓

一元一次方程
bx+c=0(b≠0)

↓

↓

↓

2)
a=0

→



（一元）二次三项式
→

2
ax+bx+c(a≠0)

↓

↓

↓

↓

↓





a=0



→

一元二次方程
→

2
ax+bx+c=0(a≠0)

↓
一元二次不等式
2
ax+bx+c>0或
2
ax+bx+c<0(a≠0)


→


a=0


→

↓
一元一次不等式
bx+c>0或
bx+c<0(b≠0)


观察这个框图，就会发现：在a≠0 的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二
次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们 合称为“四个二次型”。其中二次三项式
22
ax+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配 着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax+bx+c(a
≠0)，犹如“四个二次型”的 首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n
22
?R；它的解析式f(x )即是二次三项式ax+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax+bx+c=0（a≠0），就是初
2 2
中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax+bx+c>0或ax+bx+c<0（a≠ 0），就是高中一
年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的 一元二次
函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程
和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可
看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，
把握它们 的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。

二、二次函数的解析式

上面提到，“四个二次型 ”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特
别注意二次项系数a≠0）；二次函数 的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先
要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多 的问题。

y=ax+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数 的解析式就是确定字母a、b、c
的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法 ，依靠的是方程思想及解
方程组。

二次函数有四种待定形式：









1．标准式（定义式）：f(x)=ax+bx+c.(a≠0)
2
2．顶点式： f(x)=a(x-h)+k .(a≠0)
3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
). (a≠0)
4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）

2
2
过三点A（x
1
,f (x
1
)）、B（x
2
,f (x
2
)）、C（x
3
,f (x
3
)）的二次函数可设为

f (x)=a
1
(x-x
2
)(x-x
3
)+a
2
(x-x
1
)(x-x
3
)+a
3
(x-x
1
)(x-x
2
)把ABC坐标依次代入，即令x=x< br>1
,x
2
,x
3
,得

f (x
1
)=a
1
(x
1
-x
2
)(x
1
-x
3
)，
f (x
2
)= a
2
(x
2
-x
1
)(x
2
-x
3
)，
f (x
3
)=a
3
(x
3
-x
1
)(x
3
-x
2
)

解之，得：a
1
=f (x
1
) (x
1
-x
2
)(x
1
-x
3
)，a
2
=f (x
2
) (x
2
-x
1
)(x
2
-x< br>3
)，a
3
=f (x
3
) (x
3
-x
1
)(x
3
-x
2
)

从而得二次函数的三点式为：
f(x)=[f(x
1
)(x1
-x
2
)](x
1
-x
3
)(x-x
2
)(x-x
3
)+[f(x
2
) (x
2
-x
1
)(x
2
-x
3
)](x-x
1
)(x -x
3
)+[f(x
3
)(x
3
-x
1
) (x
3
-x
2
)](x-x
1
)(x-x
2
)
根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。

例题讲解
元素与集合的关系
1. 集合
A
={
y|y?x?2x?4
}，
B
={
y|y?ax?2x?4a
}，
A
?
B
，求实数
a
的取值集
合．


2. 考察所有可能的这样抛物线
y?x?ax?b
，它们与坐标轴各有三 个不同的交点，对于每
一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定 点．


22
22

3. 抛 物线
y?x
2
?bx?c
的顶点位于区域
G?{(x,y)|0?x ?1.0?y?1}
内部或边界上，求
b
、
c
的取值范围．





4. 设
x
=
p时，二次函数
f(x)
有最大值5，二次函数
g(x)
的最小值为－2， 且
p
＞0，
f(x)

+
g(x)
=
x? 16x?13
,
g(p)
=25．求
g(x)
的解析式和
p
值．




5. 已知0?
x
?1,
f(x)
=
x?ax? (a?0)
,
f(x)
的最小值为
m
．
（1）用
a
表示
m
；（2）求
m
的最大值及此时
a
的值．





6．函数
f(x)
=
?3x?3x?4m?
大值时自变量的值．






7．一幢
k
（＞2 ）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳
k
－1个人，现有
k
－1个学生同时在 第一
层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪
一层 ，可使不满意的总分达到最小？




8．已知方程
( ax?1)?a(1?x)
，其中
a
＞1，证明：方程的正根比1小，负根比 －1大．
222
22
2
2
a
2
9
，x
?[―
m
,1―
m
],该函数的最大值是25,求该函数取最
4

9．若抛物线
y?x
2
?a x?2
与连接两点
M
（0，1），
N
（2，3）的线段（包括
M
、
N
两点）
有两个相异的交点，求
a
的取值范围．




10．设
x
1
?
x2
?
x
3
?
x
4
?2，且
x
2
＋
x
3
＋
x
4
?
x
1
，证明：
(x
1
?x
2
?x
3
?x
4)
2
?4x
1
x
2
x
3
x
4






11．定义在
R
上 的奇函数
f(x)
，当
x
?0时，
f(x)
=－
x ?2x
．另一个函数
y
=
g(x)
的定义域
为[
a
,
b
],值域为[
2
11
,
],其中
a< br>≠
b
,
a
、
b
≠0．在
x
?[a
,
b
]上,
f(x)
=
g(x)
．问:是 否存在实数
ba
m
,使集合{
(x,y)|y?g(x),x?[a,b]} ?{(x,y)|y?x
2
?m}
恰含有两个元素?

课后练习
1．

已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。

2．二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式

3．已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125 4，求它的解
析式。

4．已知二次函数经过3点A（12，34）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。

5．当X为何值时，函数 f(x)=(x-a
1
)+(x-a
2
)+?+(x-a
n
)取最小值。

6．已知x
1
,x
2
是方程x-(k-2)x+(k+3k+5)=0 (k为实数)的两个实数根，x
1
+x
2
的最大值是：（ ）

2222
222

（A）19； （B）18； （C）509

(D)不存在


7．已知f (x)=x-2x+2，在x?[t,t+1]上的最小值为g (t)，求g (t)的表达式。

2




8．（1）当x+2y=1时，求2x+3y的最值；

222
（2）当3x+2y=6x时，求x+y的最值。

2222

课后练习答案
1． [解法一]：用标准式

∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3）

∴可设y=f(x)=ax
2
+bx+c，且有a-b+c=－6 ①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③

解之得：a=1，b=2，c=－5

∴所求二次函数为y=x
2
+2x-5

[解法二]：用三点式

∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3）

∴可设y=a
1
(x-x
2
)(x-x
3< br>)+a
2
(x-x
1
)(x-x
3
)+a
3
(x-x
1
)(x-x
2
)=(a
1
+a
2
+a
3
)x
2
－


[a
1
(x
2
+x
3
)+a
2
( x
1
+x
3
)+a
3
(x
1
+x
2
)]x+(a
1
x
2
x
3
+a
2
x
1
x
3
+a
3
x
1
x
2)

计算可得：a
1
=－6(－1－1)(－1－2)=－1，
a
2
=－2 (1＋1)(1－2)=1，
a
3
=3 (2＋1)(2－1)=1

∴f(x)=x＋2x－5

2
2． 解：∵它的顶点坐标已知

∴可设f (x)=a(x－1)
2
－8
，
又函数图象通过点（2，－5），

∴a(2－1)
2
－8=－5
，
解之，得a=3

故所求的二次函数为：y=3(x－1)
2
－8

即：y=f (x)=3x
2
－6x－5

[评注]，以顶点坐标设顶 点式a(x-h)
2
+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入
得到关于 a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。

3． 解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点，

∴x
1
＝－2，x
2
＝3 可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)
222
=a(x-x-6)=a[(x-12)-254]=a(x-12)-254a

它的顶点的纵坐标为－254a
，
∴－254a=1254，a=－5

故所求的二次函数为：f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x+5x+30

2
[想一想]：本例能否用顶点式来求？

4． [分析]本例当然可 用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a
1
、a
2
、a
3计算较繁。仔细
观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解 。

[解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=( -1+2)2=12
即为图象的对称轴，从而点A（12，34）必是二次函数的顶点，故可设顶点2
式:f(x)=a(x-(12))+(34)

把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-32)+(34)=(94)a+(34)=3

2
解得：a=1
，
∴f(x)=(x-(12))+34=x-x+1

22
[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C
两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为： f (x)-3=a(x+1)(x-2)

把A点坐标代入，有 f (12)-3=a(12+1)(12-2)，即－94=－94a，a=1

从而f (x)=(x+1)(x-2)+3=x-x+1

2
5.解：∵f (x)=(x-2a
1
x+a
1
)+(x -2a
2
x+a
2
)+?+(x-2a
n
x+a
n
)=nx-2(a
1
+a
2
?+a
n
)x+(a< br>1
+a
2
+?+a
n
)

2222222222
∴当x=((a
1
+a
2
+?+ a
n)
n)时，f(x)有最小值。

[评注]：1994年全国普通 高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和
观察的误差，使得n次测量分别得到a
1
、a
2
、?，a
n
共n个数据。我们规定的所测物理量的 “最
佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1
,a
2
,?
a
n
推出a= 读者从5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？

6．解：由韦达定理得：x
1+x
2
=k-2，x
1
x
2
=k+3k+5

2
∴x
1
＋x
2
＝（x
1
＋x
2
）-2x
1
x
2
=(k-2)-2(k+3k+5)
22
=-k-10k-6=-(k+5)+19

如 果由此得K＝-5时，（x
1
+x
2
）
max
=19，选（ A），那就错了。为什么？已知该x
1
,x
2
是方程
的两个“实数” 根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式Δ?0，即

22
22222

Δ＝(k-2)2
-4(k
2
+3k+5)=-3k
2
-16k-16?0 ①

解①得：-4?k?-43

∵k=-5[-4,-43]，设f( k)=-(k+5)+19则f(-4)=18,f(-43)=509<18

2
∴当k=-4时，(x
1
+x
2
)
max
=18，

22
∴选（B）

[评注]：求二次函数最值时，必须 首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二
字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。

7． 解：f (x)= (x-1)+1

2
(1)当t+1<1即t<0时，g(t)=f(t+1)=t+1

2
(2)当t?1?t+1，即0?t?1时，g (t)=f (1)=1

(3)当t>1时，g(t)=f (t)=t-2t+2

2
综合（1）、（2）、（3）得：
22222

22
8．解：（1）由x+2 y=1得y=12(1-x)，代入2x+3y=2x+(32)(1-x)=
(-
(32)) (x-(23))+(136)

又1-x=2y?0，∴x?1，－1?x?1

222
∴当x=23时，y=(√10)6，（2x+3y）
max
=163；

2
当x=-1时，y=0， （2x+3y）
min
=－2

2

(2)
由3x
2
+2y
2
=6 x，得y
2
=(32)x(2-x)，代入x
2
+y
2
=x
2
+(32)x(2-x)=-12 (x-3)
2
+92

又y=(32)x (2-x)?0，得0?x?2

2
当x=2 ，y=0时，（x+y）
max
=4；当x=0，y=0时，(x+y)
min
=0

2222

例题答案：
1．解：
A
、
B
分别表示函数
y?x
2
?2x?4
与函数
y?ax
2
?2x?4a
的值 域．由
x
2
?2x?4?(x?1)
2
?3
?3知
A
=[3，＋∞）．而
B
受参数
a
的影响，要进行讨论．
a
=0时，
y??2x
，值域是
R
符合条件
A
?< br>B
．
1
??
a
≠0时，
f(x)
=
ax
2
?2x?4a
是二次函数，如果
a
＜0，该函数的值域为< br>?
??,4a?
?
，
a
??

?
1
?
a?0
1
这时
AB
不成立．如果
a
＞0时，由[3，＋∞]
?
[
4a?
，＋∞],得
? ∴ 0＜
a
?
4a??3
a
?
a
?
1
综上所述,
a
的可取值集合为{
a
|0?
a
?1}。
说明： 参数
a
的取值决定了函数
f(x)
=
ax?2x?4a
的类 别及性质，因而对该函数的值域有影
响．为了由
A
?
B
求出
a
的允许值范围，必须对参数
a
分情况讨论．

2．证明：设抛物 线
y?x?ax?b
与
x
轴的交点为（
x
1
，0） 、（
x
2
，0）．由韦达定理知
x
1
?x
2
??b
2
222
2
＜0 (因为
b
=0,则
y?x?ax
与坐标轴只有两个不同的交点),故点（
x
1
，0）、（
x
2
，0）在坐
标原点的两侧．又因为
|x
1
|?|x< br>2
|?|?b|?1
，由相交弦定理的逆定理知，点（
x
1
， 0）、（
x
2
，
2

0）、（0 ，
?b
），（0，1）在同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的三个交点（
x
1
，0）、（
x
2
，
0）、（0，
?b
）的圆一定 过定点（0，1）．于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1）．
2
2
b
?
0???1
?2?b?0
?
?
b4c?b
?
2
2
b
2
3． 解：抛物线的顶点坐标为（
?,
），故
?

?
?
b
，
2
?c??1
4c?b
24< br>?
?
0??1
4
?
4
4
?
上式即为
b
、
c
的取值范围．
2
4．解：由题设
f(p)
=5，
g(p)
=25，
f(p)?g(p)
=
p
2
?16p?13
，所以
p
2
?16p?13
=30，
解得
p
=1 （
p
= －17舍去）．由于
f(x)
在
x
=1时有最大值5，故设
f(x)
=
a(x?1)
2
?5,a?0

所以
g(x)
=
x?16x?13
－
f(x)
=
(1? a)x
2
?2(a?8)x?8?a
，因
g(x)
的最小值为－2
4(1?a)(8?a)?4(a?3)
2
2，故
??2
,所 以
a??2
．从而
g(x)
=
3x
2
?12x?1 0
．
4(1?a)
a
2
aa
2
aaa
2
5．解：（1）把
f(x)
改写成
f(x)
=
(x?)??
．于是知
f(x)
是顶点为（
,?
），
224224
开口向上的抛物线．又因为
x
?[0,1],故当0＜
a
?1，即0＜a
?2时，
f(x)
的最小值为
2
aaa
2
f ()??
；
224
?
aa
2
?
?, (0 ?a?2)
aa
4
当＞1,即
a
＞2时，
f(x)
有最小值
f(1)?1?
．于是
m?
?
2

a
2
2
?
1?, (a?2)
2
?
a11
aa
2
2
（2）当
a
＞2时，
1?
的值小于0，而当0＜
a
?2时，
?
=
?(a?1)?
，它的最大值
2
44
24
为
11
（当
a< br>=1时取得），故
m
的最大值为，此时
a
=1．
44
说明：对于某些在给定区间上的二次函数最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑．
6． 分析：限定在区间[―
m
,1―
m
]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上 的单调情况．当
x
可
取任意实数时，二次函数
?3x?3x?4m?
22
91
的图象是对称轴为
x??
开口向下的抛物线，
2
4
?
1
与区间[―
m
,1―
m
]的位置关系决定了已 知函数的单调状况，因此要分区间讨论．
2

当
?
1
113
2
2
?[―
m
,1―
m
],即
?m?
时,最大值应是
f(?)?4m?3
．由
4m?3< br>=25,
2
22
2
m
2
=
1313
1122
,不符合
?m?
的条件．可见
m
?[,]
． < br>得|m|?
22
22
22
139
22
＞1―
m
,即
m
＞时，函数
f(x)
=
?3x?3x?4m?，
x
?[―
m
,1―
m
]是增函
22
4
523233
15
2
?25
，数，可见
f(1?m)?m ?9m?
解之得
m
=或
m
=
?
．其中
m< br>=
?
不合
m
＞
2222
4
53
的条 件，舍去．可见1―
m
=1－=－．
22
119
22
当< br>?
＜―
m
，即
m
＜时,函数
f(x)
=?3x?3x?4m?
是[―
m
,1―
m
]是减函数,
22
4
71371
9
2
可见
f(?m)?m?3m??25
,解之得
m
=或
m
=
?
．其中
m
=不合
m
＜的条件,舍
2222
4
13313
去,由此知< br>m
=
?
． 综上所述,当
x
=－或
x
=时, 函数
f(x)
有最大值25．
222
1
说明：由点
?与区间[―
m
,1―
m
]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的 引导作用．本
2
题中虽然只是求函数取最大值时的自变量
x
的值，没有问m
的值，但这个
x
值与
m
值有直接关系，
所以要先求< br>m
再求
x
．
7．解：设电梯停在第
x
层，则不满意 的总分为
S
=（1＋2＋?＋
x
－2）＋2（1＋2＋?＋
k
－
x
）
4k?5
1
22
)
时，
S
最小，=
[3x?(4k?5)x]?k?k?1
,所以当
x
=
N (
其中
N(a)
表示最接近于
a
6
2
4k?5)
时，的整数．例如
N(3)?3,N(3.6)?4,
N(2.1)?2,N( 2.5)?2或3
,故当电梯停在
N(
不
6
当
?
满 意总分最小．
8．证明：原方程整理后，得
2ax?2ax?1?a
=0，令
f(x)
=
2ax?2ax?1?a
，则
f(x)
2
是开 口向上的抛物线，且
f(0)?1?a?0
，故此二次函数
f(x)
=0有一 个正根，一个负根．要
222222
证明正根比1小，只须证
f(1)?0
， 要证明负根比 －1大，只须证
f(?1)
＞0．因为
f(1)?2a
2?2a?1?a
2
?(a?1)
2
?0
f(?1)?2a?2a ?1?a?(a?1)?0
222
从而命题得证．
2
9．解：易知过 两点（0，1）、（2，3）的直线方程为
y?x?1
，而抛物线
y?x?ax?2< br>与线
2
段
MN
有两个交点就是方程
x?ax?2
?x ?1
在区间[0，2]上有两个有两个不等的实根．令

a ?1
?
2
?
0??2,??(a?1)?4?0
解得的范围为
?
3
??－
f(x)?x?(a?1)x?1
．则
?
a a
2
2
?
?
f(0)?1?0,f(2)?2a?3?0
2
1．
说明：利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段．
10 ．证明：令
a
＝
x
2
＋
x
3
＋
x
4
,
b?x
2
x
3
x
4
,则原不 等式为
(x
1
?a)
2
?4x
1
b
,即< br>2
2
x
1
?2(a?2b)x
1
?a
2=0，令
f(x)
=
x?2(a?2b)x?a
2
,则只需证明
f(x
1
)
?0．因
??4(a?2b)
2
?4a
2
?16b(b?a)
，而
a
x
2
?x
3
?x
4
111
?
????
bx
2
x
3
x
4
x
2
x
3
x
3
x
4
x
2
x
4
1113
????1
，所以
b?a
,从而
?
＞0，
f(x)
与
x
轴有两个不同 的交点．易知这两个交点为
4444
u?2b?a?2b(b?a)
v?2b?a?2 b(b?a)
[
，下证
x
1
?[
u,v
]．
a?3x
1
?3a,
?x
1
?[,a]
，只需 证
a
3
aa
,a
]
?
[
u,v
] ,即
u?,a?v
,由于
v?2b?a?2b(b?a)?2b?a?a
，
3
3
u?2b?a?2b(b?a)?(b?b?a)
2
?(
a
b?b?a
)
2
?
(
a
bb
??1)
2
aa
?
(
a
41
2
?)
33< br>?
a
3
所以
x
1
?[
u,v
]，从 而必有
f(x
1
)
?0．
解法二：只需证明
f(x
1
)
?0，而
aa
?x
1
?a
，因此只需证f(a)?0,f()?0
而
33
a4a3a
f(a)?4a(a?b)
，
f()?a(4a?3b)
，由
?
可证得
f(a)?0, f()?0

b4
393
2
2
说明：通过构造二次函数，然 后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化．
11．分析：{
(x,y )|y?x?m
}是以
y
轴为对称轴由
y
=
x
的图 象平移所形成的抛物线系．对给
定的
m
它表示一条抛物线，条件
(x,y)| y?g(x),x?[a,b]?{(x,y)|y?x?m}
恰含有两个元
素的意思是函数< br>y
=
g(x)
，
x
?[
a
,
b]的图象与抛物线
y?x?m
恰有两个交点．首先要弄清楚
2
2
y
=
g(x)
，
x
?[
a
,
b
] ，进而作出它的图象．
?
?x
2
?2x (x?0)
容易求出 奇函数
y
=
f(x)
在
x
＜0时的解析式是
f(x )
=
x?2x
．即
f(x)
=
?
2

?
x?2x (x?0)
2

1 1
函数
y
=
g(x)
的定义域为[
a
,
b
],值域为[
,
],其中
a
≠
b
,
a、
b
≠0，这表明
ba
可见
a
、
b
同号．也就是说
y
=
g(x)
，
x
?[
a
,
b
]的图象在第一或第三
象限内．根据
f(x)
=
g( x)
（
x
?[
a
,
b
]以及
f(x)的图象可知，函数
g(x)
a?b
?
?
1
?
?
1

?
?
ba
的图象如所示曲线的一部分．
值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关．如果只考虑0＜
a
＜
b
＜2或－2＜
a
＜
b
＜0两种情况，不能准确地用,
a
、
b
表示出值域
区间的端点，因此要把区间（0，2），（－2，0）再分细 一些，由图中
看出，当
a
、
b
＞0时，考虑以下三种情况较好．0＜
a
＜
b
?1，0＜
a
＜1＜
b
，1?a
＜
b
＜2．
111
＞1．但是
x
?（0， 1]时，
f(x)
?1,这与
g(x)
的值域区间[
,
]< br>aba
的右端点大于1矛盾．可见不出现0＜
a
＜
b
?1的情 形．
?
1
2
?g(b)??b?2b
?
b
如果1 ?
a
＜
b
＜2，由图看出
g(x)
是减函数，可见
?
整理得
1
?
?g(a)??a
2
?2a
?a
a?1
?
?
(a?1)(a
2
?a?1)?0
?

?
，考虑到1?
a
＜
b
＜2的条件，解之得
?1?5
．
2
b?
(b?1)(b?b?1)?0
?
?
2
?
完全类似地，考虑到－1?
a
＜
b
＜0，－2 ＜
a
＜－1＜
b
＜0，－2＜
b
＜
a
?－ 1三种情况
如果0＜
a
＜
b
?1，那么
?
?
a?
?1?5
后,可以在－2＜
b
＜
a
?－1的情况下通 过值域条件得出
?
，这就得到了函数
2
?
?
b??1
?
1?5
2
?x?2x (1?x?)
?
?
2
g
?
(x)?
?

?1?5
?
x
2
?2x (? x??1)
?
2
?
对于某个
m
，抛物线与函数
g< br>?
(x)
的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在
第三象限．因 此，
m
应当使方程
x?m??x?2x
，在[1，
22
1? 5
]内恰有一个实数根，并且使
2
方程
x?m?x?2x
，在[22
?1?5
,?1
]内恰有一个实数根．问题归结为求
m
，使
2

?
2
1?5
2x?2x?m?0 在[1,]内恰有 一个实根
??
(1)
?
?
2
2
由（1）得，方程< br>2x?2x?m
?
?1?5
?
x?
1
m 在[,?1]内恰有一个实根
?
(2)
?
22
?
在
[1,
1?51?5
]
内恰有一根，设
h(x)?2x?2x
2，则
h()?m?h(1)
即
?2?m?0
，由（2）
22得
?1?51
?m??1
，即
?1?5?m??2
，∴
m
＝－2．易证，抛物线
y?x
2
?2
与函数
22
5?15?1
,)

22
g(x)
图象恰有两个交点（―1,―1）和（
综上所述：题目条件下的实数
m
＝－2．
说明：解题过程可分为“求函数
y ?f(x)
”，“求函数
y?g(x)
”，“求
m
”三个阶段．求函
数
y?g(x)
的关键步骤是求
a,b
的值．运用了数形结合的方法 和分类讨论的运算过程，最终把求
m
的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问 题．
可以看出，当
m
?(－2,0)时,抛物线
y?x
2
?m
与函数
y?g(x)
的图象在第一象限内有一个
交点,当
m
?
?1?5,?2
时,在第三象限内有一个交点．



















?
?

§6二次函数(2)
二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问 题，因此，二次方程
的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象 利用形数结
合的方法来研究是非常有益的。

设f(x)=ax+bx+c(a ≠0)的二实根为x
1
,x
2
，(x
1
＜x
2)，Δ=b-4ac，且α、β(α＜β)是预先给
定的两个实数。

1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：

∵α＜x
1
＜x
2
＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)

22

当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0

当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0

两种情形合并后的充要条件是：

Δ＞0，α＜-b2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞
0
①

2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：

∵α＜x
1
＜β或α＜x
2
＜β，对应的函数f(x)的图象有 下列四种情形（图2）


从四种情形得充要条件是：

f (α)?f (β)＜0 ②

3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：

（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：

∵x
1
＜α＜β＜ x
2
，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：


当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0

当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0

两种情形合并后的充要条件是：

af (α)＜0，af (β)＜0 ③

（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：

∵x
1
＜x
2
＜α＜β或α＜β＜x
1
＜x
2
，对应 函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：

当 x
1
＜x
2
＜α时的充要条件是：

Δ＞0，-b2a＜α，af (α)＞0 ④

当β＜x
1
＜x
2
时的充要条件是：

Δ＞0，-b2a＞β，af (β)＞0 ⑤
二次函数与二次不等式
前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明
不等式成立， 经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。

例题讲解
1. 已知方程x+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为 。


22
2. 如果方程（1-m）x+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。

2
3. 已知二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求 证：方程f[f(x)]=x也无实根，

2
4. 对二次函数f(x)= ax+bx+c(a≠0)，求证，必存在x=±M≠0，使f(±M)均与a同号。








222222
5. 若a< br>1
,a
2
,?,a
n
,b
1
,b
2
,?,b
n
都是实数，求证：（a
1
b
1
+a2
b
2
+?+a
n
b
n
）?(a
1< br>+a
2
+?+a
n
)(b
1
+b
2
+?
2
+b
n
)






2

6．设二次函数f(x)= a x+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x
1
,x
2
满足0 ＜x
1
＜x
2
＜1a。

2
（1）当x?(0,x
1
)时，证明x＜f(x)＜x
1

（ 2）设函数f(x)的图象关于直线x=x
0
对称，证明：x
0
＜x
1
2。







7．当 K为什么实数时，关于X的二次方程7x-(k+13)x+k-k-2=0的两个实根α和β分别满足0
＜α＜1和1＜β＜2？








8．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值是 。




22
课后练习
1．f(x)是定义 在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x?(-2,2]时f(x)
2222< br>的表达式为-x+1，则当x?(-6,-2)时，f(x)的表达式是：(A)-x+1，（B）-(x -2)+1，(C)-(x+2)+1，
2
（D）-(x+4)+1。 （ ）

2．已知x-4x+b=0的一个根的相反数为x＋4x-b=0的根，则x+bx-4=0的正根为 。
222

3．

已知f(x)=x+(lga+2)x+l gb且f(-1)=-2，又f(x)?2x对一切x?R都成立，求a+b=?
2

4．设θ?[0,π]，关于x的方程x-2∣x∣cosθ+1 =0有实根，则4x+13∣x∣+23= 。
22

5．已知方程ax+b x+c=0(a≠0)有实根x
1
与x
2
，设P=x
1
ap +bq+cr= 。
22002
+x
2
,q=x
1
+x
2
2
,r=x
1
+x
2
20002 000
则

6．若二次函数f(x)=ax+bx+c(a＜0)满足f(x+2)= f(2-x)，那么f(0),f(-2002),f(2002)的大小关
系是（A）f(0)＜f( 2002)＜f(-2002)，(B)f(2002)＜f(0)＜f(-2002)，(C)f(-2002 )＜f(0)＜f(2002)，
(D)f(-2002)＜f(2002)＜f(0)
2

7．若sinx+cosx+a=0有实根，试确定实数a的取值范围是什么？
2

8．已知x,y都是实数，C=x+y-xy-x+y，则C的最小值等于 。
9．代数式2x+2xy+2y+2x+4y+5的最小值为：（A）0 （B）5 （C）92 （D）3
10．函数f(x)=x-2x+2的单调增区间是：（A）[1,+∞) ，（B）(-∞,-1)∪[1,+∞)，(C)[-1,0]
∪[1,+∞)，(D)以上都不对
11．若二次函数f(x)=ax+bx，有f(x
1
)=f(x
2
)(x
1
≠x
2
)则f(x
1
+x
2
)= 。
2
22
22
42
12．给定函数f(x)=x+ax+b设 P，q是满足P+q=1的实数，证明，若对于任意的实数x,y，均有：
pf(x)+qf(y)?f (px+qy)，则0?p?1

2

课后练习答案
1．（D ）；2.2；3.110；4.40；5.0；6.(D)；7.[-54,1]；8.-13；9.(D)；1 0.(D)；11.0；12.(略)。

例题答案：
1．解：记f(x)=x+ 2px+1，则f(x)r的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点一个在（1,0）左
2
方，另一个在（1,0）右方时，必有f(1)＜0，即：1+2P＋1＜0，即P＜－1

2

所以P的取值为（－∞，－1）
2．解：令f(x)=(1-m)x+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图 5）：

22

得充要条件：（1-m）f(0)＜0,(1-m)f(1)＜0；即1-m＞0,(1-m)(2m-m)＜0

22222
解得：-1＜m＜0

3．证明：已知f(x)=ax+bx+c(a≠0)

2
方程f(x )=x即f(x)-x=ax+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍 是二次
2
方程，它无实根即Δ=(b-1)-4ac＜0

若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方，

∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。

∴对f(x)，

有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立

∴f(f(x))=x无实根

若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方

∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立

∴对任意实数x，f(x) ＜0恒成立

∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立

∴f(f(x))=x无实根

综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x))=x也无实根

4．分析：这是一 道证明题。从图象上看，当a＞0时，抛物线开口向上，f(x)＞0的解集要么为
全体实数集合R（△ ＜0)；要么为（-∞,x
0
）∪(x
0
,+ ∞)(Δ=0,f(x
0
)=0)，要么为（-∞,x
1
）∪(x
2
,+
∞) (Δ＞0,f(x
1
)=f(x
2
)=0)，故总可以找到±M≠0，±M? R，或±M?（-∞,x
0
）∪(x
0
,+∞)，或
2

±M?（-∞,x
1
）∪(x
2
,+∞) ，使f(±M)＞0，因此af(±M)＞0，对于a＜0的情形，也是如此，
22
只不过f( ±M)＜0，从代数的角度看问题，af(x)＞0即ax+abx+ac＞0 ①它有解且解集合中包
含着x=M与x=-M（M≠0）一对相反数，因此，需考虑①所对应的二次方程的判别式。

证明：∵f(x)= ax+bx+c(a≠0)

2
∴af(x)= ax+abx+ac=14［4ax+4abx+4ac］=14(2ax+b)-14(b-4ac)

222222
∴af(x)＞0即:14(2ax+b)-14(b-4ac)＞0

22
亦即(2ax+b)-(b-4ac)＞0

22
（1）当Δ=b-4ac＜0时，af(x)＞0的解集为(-∞,+∞)
2
（2）当Δ=b-4ac=0时，af(x)＞0的解集为(-∞,-b2a)∪（-b2a,+∞)
2
（3）当Δ=b-4ac＞0时，方程af(x)=0有两个不等的实数根x
1
,x
2
(x
1
＜x
2
)，相应的不等式
a f(x)＞0的解集合为：（-∞,x
1
）∪(x
2
,+∞)

因为三种情况下的解集合均为无穷区间，故均存在- M与M同属于解集合，使af(±M)＞0，从
而a与f(±M)同号。

5．证明：构造二次函数

f(x)=(a
1
x-b
1
)+(a
2
x-b
2
)+?+(a
n
x-bn
)=(a
1
+a
2
+?+a
n
)x-2(a
1
b
1
+a
2
b
2
+?+a
n< br>b
n
)x+(b
1
+b
2
+?
2
+ b
n
)

当a
1
+a
2
+?+a< br>n
≠0即a
1
,a
2
,?,a
n
不全为零时 ，显然有对x?R，f(x)?0，故f(x)＝0的判别
2222222
式：Δ=4（a1
b
1
+a
2
b
2
+?+a
n
b
n
）-4(a
1
+a
2
+?+a
n
) ?(b
1
+b
2
+?+b
n
)?0

即（a
1
b
1
+a
2
b
2
+?+a
n
b
n
）?(a
1
+a
2
+?+a
n< br>)?(b
1
+b
2
+?+b
n
)

2222222
222
222222222
2
当a
1< br>=a
2
=?=a
n
=0时，结论显然成立，故命题成立。

[评注]本例中的不等式即是著名的柯西不等式，有时它也写作
等号当且仅当a
1
b
1
=a
2
b
2
=?=a
n
b< br>n
时成立。

。
6．［分析］该题是一九九七年全国普通高考理工类 数学第24题，它综合考查二次函数、二次方
程和不等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析 、解决问题的能力，当年没有几个考
生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考：

从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程f(x)-x=0即ax+(b-1)x +c=0(a＞0)是二次方程，
2
由于x
1
,x
2
是它的 两个根，且方程中x的系数是a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x
1
)(x-x2
)进而，
利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。

2

从几何角度看，抛物线y=f(x)-x开口向上 ，因此在区间［x
1
,x
2
］的外部，f(x)-x＞0，（1）
的 左端得证。其次，抛物线y=f(x)的开口也向上，又x
1
=f(x
1
)， 于是为了证得（1）的右端，相
当于要求证明函数f(x)在区间［0,x
1
］的最大 值是f(x
1
)，这相当于证明f(0)?f(x
1
)，也即C?
x
1
，利用韦达定理和题设，立即可得。

至于（Ⅱ）的证明，应用配方法可得x
0
=-b2a，进而利用韦达定理与题设，即得证明。

证明：①欲证：x＜f(x)＜x



只须证：0＜f(x)-x＜x
1
-x ①

因为方程f(x)-x=0的两根为x
1
,x
2
,f(x)=ax+ bx+c(a＞0)，∴f(x)-x=a(x-x
1
)(x-x
2
)

2

①式即: 0＜a(x-x
1
)(x-x
2
)＜x
1
-x ②

∵a＞0，x?(0,x
1
),x
1
-x＞0,∴a (x
1
-x)＞0

②式两边同除以a(x
1
-x) ＞0，得：0＜x
2
-x＜1a，即：x＜x
2
＜1a+x

这由已知条件：0＜x＜x
1
＜x
2
＜1a，即得：x＜x2
＜(1a)＜1a+x，

故命题得证。

（2 ）欲证x
0
＜x
1
2，因为x
0
=-b2a，故只须证：x
0
-x
1
2=-b2a-x
1
2＜0 ③

由韦达定理，x
1
+x
2
=(-b-1)a，(x
1< br>+x
2)
2=-(b-1)2a，代入③式，有
(-(b2a))-(x
1
2)=(x
2
2)-(1(2a))＜0
,
即：x
2
＜1a

由已知：0＜x
1
＜x
2
＜1a，命题得证。

［评 注］证（1）用到了二次函数的零点式f(x)-x=a(x-x
1
)(x-x
2)

证（2）用到了x
0
=-(b(2a)),((x< br>1
+x
2
)2)=-((b-1)2a)，都是二次函数二次方程的
基 础知识。

7．［分析］它是一个一元二次方程的问题，利用求根公式解出α、β，再解不等 式0＜α＜1和
1＜β＜2顺理成章，但计算变形较繁难。如果把此题的方程的左端看作是一个二次函数 的话，结
合函数的图象和性质来解此题，那就简便得多了。

解：设y=f(x )=7x-(k+13)x+k-k-2，则因为a=7＞0，且方程f(x)=0有两实根α，β，所以
它的图象是开口向上且与X轴相交于两点（α,0）、(β,0)的抛物线。由于0＜α＜1，1＜β＜2，< br>可知在x＜α或x＞β时，f(x)取正值；在α＜x＜β时，f(x)取负值。于是，当x分列取0,1 ，2
222
时，有：f(0)=k-k-2＞0，f(1)=k-2k-8＜0，f(2)=k -3k＞0解这三个不等式组成的不等式组，
可得-2＜k＜-1和3＜k＜4。

22

显然，上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。

8．［分析］这是1996年北京高中 一年级数学竞赛的复试题，是一个四次函数的最值问题。表面
上看起来很难。但借助于配方法、换元法及 二次函数极（最）值性质，可得结果。

解：∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5


=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5

=(x
2
+5x+4)(x
2
+5x+6)+5

=(x
2
+5x+5-1)(x
2
+5x+5+1)+5

=(x
2
+5x+5)
2
+4



设Z=x
2
+5x+5，则y=Z
2
+4，对Z=x
2+5x+5=(x+52)
2
-54，x?[-3,3]，易知Z
min
=-54，Z
max
=29

∴y=Z+4，Z?[-54,29]抛 物线开口向上，对称轴Z=0?[-54,29]，∴y
min
=4

2
故y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值是4。

§7指、对数函数,幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数 非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛
中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟 练掌握指数函数与对数函数这一
对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大 。
一、 指数概念与对数概念：
指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相 乘a·a……a(n个)=a
n
导出乘方，这里的n
为正整数。从初中开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指
数；最后，在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：―对数源出于指数‖。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab
=N，那么
数b叫做以a为底N的对数，记作：log
a
N=b
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
a
b
=N与b=logaN 是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，
是指数运算，当给出N求b时 ，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质
1．指数运算性质主要有3条：
a
x
·a
y
=a
x+y
,(a
x
)
y
=a
xy
,(ab)
x
=a
x
·b
x
（a>0,a≠1,b>0,b≠1）
2．对数运算法则（性质）也有3条：
（1）loga(MN)=logaM+logaN
（2）logaMN=logaM-logaN
（3）logaM
n
=nlogaM(n?R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
3．指数运算与对数运算的关系：
X=a
logax
；m
logan
=n
logam

4．负数和零没有对数；1的对数是零，即log
a
1=0；底的对数是1，即l og
a
a=1
5．对数换底公式及其推论：

换底公式：logaN=logbNlogba
推论1：loga
m
N
n
=(nm)logaN
推论2：
三、指数函数与对数函数

函数y=a
x
(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：
（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）
（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0
（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0 （5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=a
x
与y=a
- x
的图象关于y轴对称
，
y=a
x
与y=
-
a< br>x
的图
象关于x轴对称；y=a
x
与y=logax的图象关于直线y =x对称。
（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）
（7）抽象性质：f(x)=a
x
(a>0,a≠1),
f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)f(y)
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：
（1）定义域为正实数（0，+∞）
（2）值域为全体实数（-∞，+∞）
（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。
（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0 （5）无奇偶性。但y=lo g
a
x与y=log
(1a)
x关于x轴对称，y=logax与y=log a(-x)图象关于y轴
对称，y=logax与y=a
x
图象关于直线y=x对称。
（6）有特殊点（1，0）,(a，1)
（7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1)，
f(x·y)=f(x)+f(y),
f(xy)=f(x)-f(y)
例题讲解
1．若f(x)=(a
x
(a
x
+√a))，求f(11001)+ f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)

2．5
log25
等于：（ ）
（A）12 （B）(15)10
log25
（C）10
log45
（D）10
log52



3．计算


4．试比较(12
2002
+1)(12< br>2003
+1)与(12
2003
+1)(12
2004
+1 )的大小。



5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）
（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定


6．已知函数y=((10
x
-10
-x
)2)(X?R)
（1）求反函数y=f
-1
(x)
（2）判断函数y=f
-1
(x)是奇函数还是偶函数



7．已知函数f(x)=loga((1+x)(1-x))(a＞0,a≠1)











（1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；
（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；
（4）求它的反函数f
-1
(x)

8 ．2
2003
的十进制表示是个P位数，5
2003
的十进位表示是个q位数 ，则p+q= 。



9．已知x
2
-2x+lo ga(a
2
-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。



10．设y=log(12)[a
2x
+2(ab)
x
-b
2x
+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围





课后练习
1．设a,b,c都是正数，且3
a
=4
b
=6
c
，那么（ ）
（A）(1c)=(1a)+(1b), (B)(2c)=(2a)+(1b), (C)(1c)=(2a)+(2b), (D)(2c)=(1a)+(2b)
2.F(x)= (1+((2(2
x
-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f (x)( )
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数
3．若f(x)=3
x
+5，则f
-1
(x)的定义域是（ ）
（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)
4．求值：6
lg40
×5
lg36

5．已知m,n为正整数 ，a＞0,a≠1,且
logam+loga(1+(1m))+loga(1+(1(m+1))+… +loga(1+(1(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n
6．X=((1(log(12)(13))+(1(log(15)(13))的值属于区间（ ）
（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）
7．计算：（1）lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)
2

8．若集合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，则log8(x
2
+y
2
)= 。
9．若x?(1,10)，则lg
2
x ,lgx
2
,lglgx的大小顺序是：
（A）lg
2
x＜lgx
2
＜lglgx (B)lg2
x
＜lglgx＜lgx
2

（C）lgx
2
＜lg
2
x＜lglgx (D)lglgx＜lg
2
x＜lgx
2

10．计算：


11．集合{x∣-1≤log(1x)10＜-(12),x?N}的真子集的个数是 。


12．求函数y=(14)
x2-2x-3
的单调区间。



13．已知指数函数f(x)=a
x
(a＞0,且a≠1)，求 满足f(3x
2
-4x-5)>f(2x
2
-3x+1)的x的取值。



14．解方程8
log6(x2-7x+15)
=5
log68



15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a
（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R？

课后练习答案
























1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；
6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.13；9.（D）；
10.12；11.290
-1；12.单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞）
13.当a＞1时，x＜-2或x＞3，当0＜a＜1时，-2＜x＜3；
14.x1=2,x2=5；
15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1
例题答案：
1． 分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x )的结构特征，发现规
律，注意到11001+10001001=21001+9991001=31 001+9981001=…=1，
而
f(x)+f(1-x)=(a
x
(a
x
+√a))+(a
1-x
(a
1-x
+√a))= (a
x
(a
x
+√a))+(a(a+a
x
·√a))=( a
x
(a
x
+√a))+((√a)(a
x
+√a))=( (a
x
+√
a)(a
x
+√a))=1规律找到了，这启示我们将和 式配对结合后再相加：
原式
=[f(11001)+f(10001001)]+[f( 21001)+f(9991001)]+…+[f(5001001)+f(5011001)]=(1+1+ …+1)5000
个=500
说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。
（1）取a=4就是19 86年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4
x
(4
x
+2))，那么和 式
f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)的值= 。
（2）上题中取a=9，则f(x)=(9
x
(9
x
+3) )，和式值不变也可改变和式为求
f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f((n-1)n).

（3）设f(x)=(1(2
x
+√2)) ，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f( 5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。
2．解：∵5
log25
=(102)
log25
=(10
log25
)(2< br>log25
)=(15)×10
log25

∴选（B）
说明：这里用到了对数恒等式：a
logaN
=N(a＞0,a≠1,N＞0)
这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。

3．解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有


说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。

4．解：对于两个正数的大小，作商与1 比较是常用的方法，记12
2003
=a＞0，则有

((12
2002
+1)(12
2003
+1))÷((12
2003
+1) (12
2004
+1))=((a12)+1)(a+1)·((12a+1)(a+1))= ((a+12)(12a+1))(12(a
+1)
2
)=((12a
2+145a+12)(12a
2
+24a+12))＞1
故得：((12< br>2002
+1)(12
2003
+1))＞((12
2003
+1)(12
2004
+1))

5． 解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1log310)=-lglog310=-t

而f(t)+f(-t)=

∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3

说明：由对数换底公式可推出 logab·logba=(lgblga)·(lgalgb)=1，即logab=(1logba)，因而
lglog310与lglg3是一对相反数。设中的部分，则
g(x)为奇函数，g(t)+ g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致
观察函数式结构特征 及对数的恒等变形。

6．分析：（1）求y=(10
x
-10
- x)
2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f
-1
(x)；
（2）判断函数y=f
-1
(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X?R时是否有
f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f(-x)=f(x)
恒成立。
解：（1）由y=((10
x
-1 0
-x)
2)(X?R)可得2y=10
x
-10
-x
，设 10
x
=t，上式化为：2y=t-t
-1
两边乘t，
得2yt=t
2
-1整理得：t
2
-2yt-1=0，解得：
由于t=10
x
＞0，故将舍去，得到：将t=10
x
代入上式，即得:


所以函数y=((10
x
-10
-x
)2)的反函数是
(2)由得:

∴f-1(-x)=-f(x)
所以，函数 是奇函数。
说明：①从本题求解及判 断过程可以得到更一般的结论：函数y=((a
x
-a
-x)
2)(X?R, a＞0,a≠1)的
反函数是，它们都是奇函数。当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目。 进
一步还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((e
x
-e
-x
)2)的反函数








（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；
（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。
②函数y=((a
x
-a
-x)
2)是由y=f(x)=a
x
构造而得，全日制普通高级中学教科 书（试验修订本。必
修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题 二B组第6题：
设y=f(x)是定义在R上的任一函数，
求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；
（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。
而f(x)=F1(X)+F2(x)，它 说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一
个偶函数(F1(x))的代 数和。从这个命题出发，由f(x)=a
x
就可以构造出诸多奇函数，比如，
y=(( a
x
-a
-x)
2)；y=((a
x
-a
-x)< br>(a
x
+a
-x
))=((a
2x
-1)(a
2x
+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底，
作函数sh(x) =((e
x
-e
-x
)2),ch(x)=((e
x
+e< br>-x)
2),th(x)=((e
x
-e
-x)
(e
x
+e
-x))
它们分别叫做双曲正弦函数，双曲
余弦函数，双曲正切函数， 它们具有如下性质：
(1)ch
2
(x)-sh
2
(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);
(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);
(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))(1+th(x)·th(y)));
(5)ch(-x)=ch(x);
(6)sh(-x)=-sh(x);
(7)th(-x)=-th(x).
令x=y，则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);
(9)ch(2x)=ch
2
(x)+sh
2
(x)
其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。
7． 解：（1）由对数的定义域知((1+x)(1-x))＞0
解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1
故函数f(x)的定义域为（-1，1）

（2）f(-x) =loga((1-x)(1+x))=log((1+x)(1-x))
-1
=-loga( (1+x)(1-x))=-f(x)
由奇函数的定义知，函数f(x)是奇函数。
（3）由loga((1+x)(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)(1-x))＞loga1，
因为a＞1，所以由对数函数的单调性知((1+x)(1-x))＞1，考虑由（1）知x＜1, 1-x＞0，去分
母，得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1
所以对于a＞1，当x?(0,1)时函数f(x)＞0
（4）由y=loga((1+x)(1 -x))得：((1+x)(1-x))=a
y
应用会比分比定理得：
((1+x)+ (1-x))((1+x)-(1-x))=((a
y
+1)(a
y
-1)) 即:(22x)=((a
y
+1)(a
y
-1))
∴x=((a
y
-1)(a
y
+1))交换x,y得：
y=( (a
x
-1)(a
x
+1))，它就是函数f(x)=loga((1+x) (1-x))的反函数f
-1
(x)即f
-1
(x)=((a
x-1)(a
x
+1))
说明：（1）函数y=loga((1+x)(1- x))与y=((a
x
-1)(a
x
+1))是一对反函数。取a=e，函数
y=((e
x
-1)(e
x
+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。
（2）已知f(x)=lg((1-x)(1+x)),a,b?( -1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)(1+ab))（P89习题2.8第4题）
可 以看作该类函数的性质。
（3）y=a
x
与y=logax；y=((a
x
-a
-x
)2)与
这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

8．解：∵2
2003
是个P位数,
∴10
p-1
＜2
2003
＜10
p
①
∵5
2003
是个q位数，
∴10
q-1
＜5
2003
＜10
q
②
①×② 得:10
p+q-2
＜(2×5)
2003
＜10
p+q
即10
p+q-2
＜10
2003
＜10
p+q
③
∴2003=p+q-1
∴p+q=2004
9．解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：
loga(a
2
-a)＜0（由韦达定理而来）①
；y=((a
x
-1)(a
x
+1))与y=loga((1+x)(1-x))
由a＞0,a≠1,a
2
-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，从而由loga(a2
-a)＜0=loga1得:a
2
-a＜1,a
2
-a-1＜ 0，解
得: ③，由②③得：

10．解：∵(12)＜1,要使y＜0,只要








a
2x
+2(ab)
x
-b
2x
+1＞1，
即a
2x
+2(ab)
x
-b
2x
＞0
→b
2x
[(ab)
2x
+2(ab)
x
-1]＞0
→[(ab)
x
]
2
+2(ab)
x
-1＞0


.
→
→∵
→
1°当a＞b＞0时,ab＞1,
2°当b＞a＞0时,0＜ab＜1,
3°当a=b＞0时，x?R。







；

§8函数方程
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战
意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：
方程f(x)?f(?x)?1?0
无解）。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
22

1、换元法
2、赋值法
四、研究函数的性质
例题讲解
1．设函数
f(x)
满足条件
3f(x?1)?2f(1?x)?2x
，求
f(x)
。







2．设函数
f( x)
定义于实数集
R
，且
f(x)
满足条件
f(x)?xf (1?x)?1?x
，求
f(x)
。







3．函数
f(x)
在
x?0
处没有 定义，但对所有非零实数
x
有：
f(x)?2f
??
?3x
，求
f(x)
。






24
4．求满足条件
xf(x)?f(1?x)?2x?x
的
f(x)
。
?
1
?
?
x
?






5．设函数
f(x)
定义于实数集
R
上，且
f(0)?1
，若对于任意实数
m
、
n
，都有：
f(m?n)?f(m)?n(2m?n?1)
，求
f(x)
。

6．设函 数
f(x)
定义于自然数集
N
上，且
f(1)?1
，若对于 任意自然数
x
、
y
，都有：
f(x?y)?f(x)?f(y)?x y
，求
f(x)
。







7．设函数
f(x)
定义于
R
上，且函数
f(x )
不恒为零，
f()?0
，若对于任意实数
x
、
y
，恒有：
?
2
f(x)?f(y)?2f(
x?yx?y
)?f()
。
22
① 求证：
f(x?2
?
)?f(x)

② 求证：
f(x)?f(?x)

③ 求证：
f(2x)?2f(x)?1



8．对常数
m
和任意
x
，等式
f(x?m)?








9．设函数
f( x)
定义于实数集
R
上，函数
f(x)
不恒为零，且对于任意实数< br>x
1
、
x
2
，都有：
2
1?f(x)
都成立，求证：函数
f(x)
是周期函数。
1?f(x)
f(2x
1
)?f(2x
2
)?f(x
1
?x
2
)?f( x
1
?x
2
)
，求证：
f(x)?f(?x)
。

§9三角恒等式与三角不等式

三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.
三角恒等式 包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证
或所证恒等式等号两边三 角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所
证恒等式等号两边三角式的角、函 数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择
恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消 除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化
和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的 变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦
化切割”，将题目转化为一个关于
t?tanx
的代数恒等式的证明问题.
2
要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公
式及各公式的来龙去脉和变形形式.
T
2
?


相除
?
?
?

T
?
?
?

相除
T
?
?
?

相除
S
2
?

?
?
?

S
?
?
?

S
?
?
?

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.
此外， 三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往
可以从几何或复数角 度获得巧妙的解法.
三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较 法、放缩法、
基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而 三角函
数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.
三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内
角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余
弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式
S?p(p?a)(p?b)(p?c)[其中p?
1
(a ?b?c)]
，大家往往不甚熟悉，但十分有用.
2
例题讲解
1．已知< br>sin
?
?Asin(
?
?
?
),|A|?1,求证 :tan(
?
?
?
)?
sin
?
.
cos
?
?A
2．证明：
cos7x?7cos5x?21ocs3x? 35cosx?64cos
7
x.




3．求 证：
3tan18
?
?tan18
?
tan12
?
?3tan12
?
?1.

4．已知
1?tan
?
?2001,求证:sec 2
?
?tan2
?
?2001.

1?tan
?



5．证 明：
4sin
?
sin(60
?
?
?
)sin(60
?
??
)?sin3
?
.




6．求 证：①
cos6
?
cos42
?
cos66
?
co s78
?
?
②sin1°sin2°sin3°?sin89°=
()
1

16
1
4
45
?610.




7．证明：对任一自然数n及任意实数
x
?




8．证明：
sin
?
?sin(
?
?
?
) ?sin(
?
?2
?
)???sin(
?
?n
?< br>)?
m
?
(k
?
0,1,2,
?
,n,m< br>为任一整数），有
2
k
111
?????cotx?cot2
n
x.

n
sin2xsin4x
sin2x
sin(
?
?
nn?1
?
)sin
?
22
.

sin
?
2

9．若
0?
?
?
?
，求证：
sin
?
?






11
sin2
?
?sin3
?
?0

23