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初高中数学衔接教材(共28页)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 05:19
tags:高中数学教材

辽宁省高中数学联赛如何进省队-教师资格证高中数学选修部分



初高中数学衔接教材


引 入 乘法公式
第一讲 因式分解
第二讲 函数与方程
第三讲 三角形的“四心”
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?
2

b

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?
2
b)?
3
a?

3
b

(2)立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?
2
b)?
3
a?

3
b

(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?
2
b?
2
c2?(ab?bc?

(4)两数和立方公 式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b? 3a
2
b?

3
b

(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3a
2
b?

b

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1 计算:
(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2?x?1)

解法一:原式=
(x
2
?1)
?
?
(x
2
?1)
2
?x
2
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1

解法二:原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1

例2 已知
a?b?c?4
,< br>ab?bc?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值.
解:
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8

练 习
1.填空:
(1)
1
9
a
2
?
14
b
2
?(
11
2
b?
3
a)
( );
(2)
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)

(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)

2.选择题:
(1)若
x
2
?
1
2
mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于 (
(A)
m
2
(B)
1
4
m
2
(C)
1
2
1
2
3
m
(D)
16
m
(2)不论
a

b
为何实数,
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 (
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数

第一讲 因式分解

1

c)a




< br>因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及
待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)x
2
-3x+2; (2)x
2
+4x-12;
(3)
x
2
?(a?b)xy?aby
2
; (4)
xy?1?x?y

说明:(2)x
2
+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)
x
2
?(a?b)xy?aby
2

(x?ay)(x?by)< br>
x
-1
(4)
xy?1?x?y
=xy+(x-y)-1
y
1
图1.1-5
=(x-1) (y+1) (如图1.1-5所示).
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)
x
2
? 5x?6?
_________________________________________ _________。
(2)
x
2
?
?
a?1
?
x?a?
______________________________________ ____________。
(3)
x
2
?11x?18?
___ _______________________________________________。 < br>(4)
6x
2
?7x?2?
___________________ _______________________________。
(5)
4m
2
?12m?9?
__________________________________ ________________。
(6)
5?7x?6x
2
?
__________________________________________________ 。
(7)
12x
2
?xy?6y
2
?
_____ _____________________________________________。
2、
x
2
?4x? ?
?
x?3
??
x?
?

3、若
x
2
?ax?b?
?
x?2< br>??
x?4
?

a?

b?

二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的)
1、若多项式
x
2< br>?3x?a
可分解为
?
x?5
??
x?b
?
,则
a

b
的值是( )
A、
a?10

b?2
B、
a?10

b??2
C、
a??10

b??2
D、
a??10
b?2
2、若
x
2
?mx?10?
?
x?a
? ?
x?b
?
其中
a

b
为整数,则
m< br>的值为( )
A、
3

9
B、
?3
C、
?9
D、
?3

?9

2.提取公因式法
例2 分解因式:
(1)
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
(2)
x
3
?9?3x
2
?3x

解: (1).
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b< br>?
=
a(b?5)(a?1)

(2)
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
) ?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
.或
x
3
?9?3x
2
?3x

(x
3
?3x
2
?3x?1) ?8

(x?1)
3
?8

(x?1)
3
?2
3


[(x?1)?2][(x?1)
2
?(x? 1)?2?2
2
]

(x?3)(x
2
?3)

3:公式法
例3 分解因式: (1)
?a
4
?16
(2)
?
3x?2y
?
2
?
?
x?y
?< br>2


2



解:(1)
?a
4
?16
=
4
2
?(a
2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(4?a
2
)( 2?a)(2?a)

(2)

?
3x?2y
?
2
?
?
x?y
?
2
=
(3x?2y?x?y)(3 x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)

课堂练习

22223 3
一、
a?2ab?b

a?b

a?b
的公因式 是______________________________。
4.分组分解法
例4 (1)
x
2
?xy?3y?3x
(2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6

(2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2 x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2) (x?y?3)


2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5 y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)

第二讲 函数与方程
2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)

如果ax
2< br>+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x
1
,x
2
,那么x
1
+x
2

?
2
c
b
,x
1·
x
2
=.这一关系也被称为韦
a
a
达定理.
例1 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
例2 已知关于x的方程x
2
+2(m

2)x+m
2
+4
=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个
根的积大21,求m的值.
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,由韦达定理,得
x
1
+x
2
=-2(m

2),x
1
·x
2
=m
2
+4.
22

x
1
+x
2
-x
1
·x
2
=21,
2
∴(x
1
+x
2
)-3 x
1
·x
2
=21,
即 [-2(m

2)]
2
-3(m
2
+4
)=21,
化简,得 m
2
-16m-17=0,
解得 m=-1,或m=17.
当m=-1时,方程为x
2
+6x+5=0,Δ>0,满足题意;
当m=1 7时,方程为x
2
+30x+293=0,Δ=30
2
-4×1×293<0 ,不合题意,舍去.综上,m=17.
2
例3 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x+5x-3=0的两根.
(1)求| x
1
-x
2
|的值;
11
(2)求
2
?
2
的值;
x
1
x
2
(3)x
1
3
+x
2
3

解:∵x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
+ 5x-3=0的两根,
53

x
1
?x
2
??

x
1
x
2
??

22
53
(1)∵| x
1
-x
2
|
2
=x
1
2
+ x
2
2
-2 x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-4 x
1
x
2

(?)
2
?4?(?)

22
49
25
=+6=,
4
4
7
∴| x
1
-x
2
|=.
2

3



5
2
325
(?)?2?(?)?3
x< br>1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
1137
22
?4
(2)
2
?
2
?
22
?
??
2
39
x
1
x
2
x
1
? x
2
(x
1
x
2
)9
(?)
2
2 4
3322 2
(3)x
1
+x
2
=(x
1
+x
2
)( x
1
-x
1
x
2
+x
2
)=(x
1
+x
2
)[ ( x
1
+x
2
)-3x
1
x
2
]
55215
3
=(-)×[(-)
2
-3×(
?
)]=-.
228
2
例6 若关于x的一元二次方程x
2
-x+a-4=0的 一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,则
x
1
x
2
=a-4<0, ①
且Δ=(-1)
2
-4(a-4)>0. ②
由①得 a<4,
17
由②得 a<
4
.∴a的取值范围是a<4.
练 习
1.选择题:若关于x的方程mx
2
+ (2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
( )
(A)m<
2.填空:
(1)若方程x
2
-3x-1=0的两根分 别是x
1
和x
2
,则
1111
(B)m>- (C)m<,且m≠0 (D)m>-,且m≠0
4444
11
?
= .
x
1
x
2
(2)方程mx
2
+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 .
2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图象和性质

二次函数y=a(x+h)
2
+k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移” .
例1 已知函数y=x
2
,-2≤x≤a,其中a≥-2,求该函数的最大值与 最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应
的自变量x的值.
分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a的取值进行讨论.
解:(1) 当a=-2时,函数y=x
2
的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最 小值都是4,此时x
=-2;
(2)当-2<a<0时,由图2.2-6①可知,当x=-2 时,函数取最大值y=4;当x=a时,函数取最小值y=a
2

(3)当0≤a< 2时,由图2.2-6②可知,当x=-2时,函数取最大值y=4;当x=0时,函数取最小值y=0; (4)当a≥2时,由图2.2-6③可知,当x=a时,函数取最大值y=a
2
;当x= 0时,函数取最小值y=0.
2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
1.一般式:y=ax
2
+bx+c(a≠0);
2.顶点式:y=a(x+h)
2
+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
3.交点式:y=a(x-x
1
) (x-x
2
) (a≠0),其中x
1
,x
2
是二次函数图象与x轴交点的
例1 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
练 习
1.填空:
(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0 )和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a

4



(a≠0) .
(2)二次函数y=-x
2
+23x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 .
第三讲 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1 图3.2-2
如图3.2-1 ,在三角形△ABC中,有三条边
A B,BC,CA
,三个顶点
A,B,C
,在三角形中,角平分线、
中线、高( 如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点,这个交 点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每
条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的
三边的距离相等.(如图3.2-5)


图3.2-5





三角形的三 条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内
部,直角三角形 的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图3.2-8)

图3.2-8

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是三角形ABC的 外接圆,圆心O为三角形的外心.
三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.



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