高中数学抛物线视频-高中数学三角函数动点问题
第一节 乘法公式、因式分解
重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分
解法，试根法
难点：公式的灵活运用，因式分解
教学过程：
一、 乘法公式
引入：回
顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变
化）那三数和的平方公式呢？(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ac
（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如
(a?b)
3
??
，
能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）
··················①
(a?b)
3
?(a?b)2
(a?b)???a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
·
那
(a?b)
3
??
呢，同理可推。那
能否不重复推导，直接从①式看出结果？将
(a?b)
3
中的b换成－b即可。（?b?R
）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候
才可以代换
···········符号的记忆，和――差 从代换的角
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
·
度看
问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（
）＝
a
3
?b
3
由①可知，
a
3
?b
3
?(a?b)
3
?(3a
2
b?3ab
2
)???(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
······②
立方差呢？②中的b代换成－b得出：
a
3
?b
3
?(a?
b)(a
2
?ab?b
2
)
▲符号的记忆，系数的区别
例1：化简
(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
法1：平方差――立方差
1
法2：立方和――立方差
（2）已知
x
2
?x?1
?0,
求证：
(x?1)
3
?(x?1)
3
?8?6x
▲注意观察结构特征，及整体的把握
二、因式分解：将一个多项
式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变
形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方
差、完全平方、立方和、
立方差等）
（1）十字相乘法
试分解因式：
x
2
?3x?2?(x?1)(x?2)
要将二次三项式x
2
+ px +
q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积
等于常数项q，和等于一次项系数p,
满足这两个条件便可以进行如下因式分解，
即
x
2
+ px + q =
x
2
+(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: 1 a
1 b
a +
b （交叉相乘后相加）
若二次项的系数不为1呢？
ax
2
?bx?c(a?0)
，如：
2x
2
?7x?3
如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3
2 －1
-6 + -1 = -7
2x
2
?7x?3?(x?3)(2x?1)
整理：对于二次
三项式ax
2
+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因
2
数之积，即a=a
1
a
2
，常数项c可
以分解成两个因数之积，即c=c
1
c
2
，把a
1
，a2
，
c
1
，c
2
排列如下：
a
1
+c
1
a
2
+c
2
a
1
c
2
+
a
2
c
1
= a
1
c
2
+
a
2
c
1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a
1
c
2
+a
2
c
1
，若它正好等于二次三项式ax
2<
br>+bx+c
的一次项系数b，即a
1
c
2
+a
2c
1
=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a
1
x+c
1
与a
2
x+c
2
之积，即
ax
2
+bx+c=（a
1
x+c
1
）
（a
2
x+c
2
）。〔按行写分解后的因式〕
十字相乘法关键：（1）看两端
，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项
系数为负时，如何简化
例2：因式分解：（1）
?6x
2
?7x?5
（2）
5x
2
?6xy?8y
2
（3）
(x?y)(2x?2y?3)?2
（2）分组分解法
分解
xm?xn?ym?yn
，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法
及十字相乘法
两种方法
适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法
▲如何适当分组是
关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以
提取公因式，或；利用公式
练习：因式分解（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
（2）
x
2
?4(xy?1)?4y
2
3
（3）
x
3
?3x?4
（试根法，竖式相除）
归纳：如何选择适当的方法
作业：
将下列各式分解因式
（1）
x
2
?5x?6
；
（2）
x
2
?5x?6
； （3）
x
2
?5x?
6
；（4）
x
2
?5x?6
（5）
3x
2
?2ax?a
2
； （6）
x
3
?y
3
?x
2
y?xy
2
；（7）
2
a
2
?b
2
?ab?2a?b
（8）
a
6
?64
；（9）
x
2
?(a?1)x?a
第二节 二次函数及其最值
重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题
难点：给定区间的最值问题
教学过程：
一、
韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）
二次方程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
什么时候有根（判别式
?
0时），此时由求根公式得，
?b?b<
br>2
?4ac
，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方
x?<
br>2a
程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
x
1
?x
2
??
??
2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acc
x
1
x
2
???
2a2aa
4
反过来，若
x
1
,x
2
满足<
br>x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?，那么
x
1
,x
2
一定是
ax
2
?b
x?c?0(a?0)
的
两根，即韦达定理的逆定理也成立。
作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系
（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次
方程（系数为1）：
x
2
?(x
1
?x
2
)x?x
1
x
2
?0
b
a
c
a
例1：
x
1
,x
2
是方程
2x
2
?3x?
5?0
的两根，不解方程，求下列代数式的值；
①
x
1
2
?x
2
2
②
|x
1
?x
2
|
③
x
1
3
?x
2
3
二、二次函数的三种形式
(1)
一般式：
y?ax
2
?bx?c(a?0)
(2)
顶点式：
y?a(x?h)
2
?k(a?0)
，其中顶点坐标为（h，k）
练：求下列函数的最值。（1）
y?x
2
?4x?5
（2）
y?3x
2
?6x?8
（3）
y??2x
2
?3x?4
除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与x轴的交点，得出另一种表
示方法；
函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图像与x轴公共点的横坐标就是方
程
ax
2
?bx?c?0
的
根，那它根的情况由谁决定 ，（判别式
），当方程有两根
x
1
,x
2
时，由韦达定理可
知
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?
，
所以
y?ax
2
?bx?c?a(x
2
?x?)?a[x<
br>2
?(x
1
?x
2
)x?x
1
x
2
]?a(x?x
1
)(x?x
2
)
，这是二次
函数
的交点式。
（3）交点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
5
b
a
c
a
b
a
c
a
▲根据题目所给条件，适当选择三种形式。
例2：分别求下列一元二次函数的解析式。（P43－44）
（1）
已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2；
（2）
已知二次函数的对称轴为x＝1，最大值为15，图象与x轴有两个交点，
其横坐标的立方和为17；
三、二次函数在给定范围内的最值问题
例3、已知函数
y??
x
2
?2x?3
，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的
最大值或最
小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值:
(1)
x??2
;
(2)
x?2
; (3)
?2?x?1
;
(4)
0?x?3
动范围问题（选讲）
例4、已知
?
1?x?a(a
为大于－1的常数），求函数
y?x
2
的最大值M和最小值m
。
（P50）
▲数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好<
br>为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。（要讲到位）
作业：
1、 已知
某二次函数的图象的顶点为A（2，18），它与x轴两个交点之间的距
离为6，求此二次函数的解析式
。
6
2、
如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙
围成矩形的苗圃。
（1）设矩形的一边为
x（m），面积为y（
m
2
），求y关于x的函数关系式，并写
出自变量x的
取值范围；
（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少
第三节 比例关系，性质及其应用
教学过程：
4
个非零数a，b，c，d成比例，即
a:b?c:d
，也可写成
?
a
b
c
，其中a，d叫做
d
比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，b，c
的第四比例项。
特别的当比例内项相等时，即
a:b?b:c
，（或
?），此时b叫做ac的比例中项。
一、比例的性质
1、 基本性质
ac??ad?bc(bd?0)
，比例的两个外项的乘积等于两个内项的
bd
ab
b
c
乘积。
特别地，
??b
2
?ac(bc?0)
2、 更比性质
a
b
cbdba
?ad?bc??????
dacdc<
br>a
b
b
c
当abcd
?0
时，
?
比
例式有多种变形形式：内项和外项可以相应的交换位置（注意是对应位置，
7
即交叉相乘相等出现的式子是一样的）
3、合比性质
aca?bc?d
???
（证明：两边＋1）
bdbd
4、等比性质
acma?c?
?
?ma
???
?
(
b?d?
?
?n?
0)
??
bdnb?d?
?
?nb
（证明：用中间量k过渡，这种设k的方法在解决比
例问题中很常用）
例1：(1)已知
a
b
a?b
b
cd
?
3
8
，求证：
?
a
b
11
8
（2）已知
?(b?d?0)
，求证：
（3）已知
?
二、 比例性质的应用
（一）平行线等分线段定理
a
b
a?cb?d
?
a?cb?d
ce
（比例性质的灵活使用）
??3,b?d?f?4,求
a?c?e
的值。
df
1、由特殊：“三条平行线被两条直线所截”情
况入手，观察（平行
?
非平行）、
猜想：
不管
l
与
l
?
是否平行，只要
A
1
A
2
?A
2<
br>A
3
,
就有
B
1
B
2
?B
2
B
3
。
l
A1
A2
A3
B3
B2
l'
A1
A2
A3
C2
C3
l
l'<
br>B1
C1
B2
B3
B1
l1
l2
l3
l1
l2
l3
证明：（1）先证
l
l
?
时，（特殊位置）（2）再证
l
不平行
l
?
时，（引导如何思考：
将一般位置化归为特殊位置处理：辅助线作法两种（上图）
〔给学生指出：在研究问题中，将
困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉
的问题，这是解决数学问题不可缺少的思想方法――－化归思
想〕
8
从运动的角度看，将
l
?
平移
，使得
l
?
与
l
1
相交于
A
1
，
得出
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；
例2：
已知三角形ABC中，AD是角平行线，求证：
析：证比例关系，从相似，平行入手，分析思路
▲三角形内角平分线性质定理：
三角形的内角平分线分对边所得的两条线段
和这个角的两边对应成比例。
练习：已
知在
?
ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，
则
BD=_____cm.
作业：1、根据下列各式，求
a:b
的值。（1）
2、已知
?
a
b
a?b3a5
?
（2
）
?
b8b?a7
BDAB
?
DCAC
ce
2a?c?3e
??2,
则＝_______________。
2
b?d?3f
df
3、已知在△ABC中，AB＝6,BC＝8,AC＝7，MNAC，分别交
AB，BC于点M，
N，且AM＝BN，求MN的长。
4、已知AD是△ABC的角平分线，
BH
?
AD，垂足为H，CK
?
AD，垂足为K，
求证：
9
ABDH
?
ACDK
第四课时
一、Rt
?
的射影定理及其应用
①Rt
?
ABC中，CD
是斜边AB上的高，图中线段AC、BC、AD、BD、CD之
C
间有些怎样的关系呢？（比如
等量关系、大小关系、比例关系等）
A
D
B
让学生探究得出以下结论 （1）
CD
2
?AD?BD
；（2）
BC
2
?
BD?AB
（3）
AC
2
?AD?AB
；（4）
AC?BC?AB?CD
其中（1）（2）（3）结论就是射影定
理。
②引入射影的概念（引垂直）
（1）点在直线上的正射影
（2）线段在直线上的正射影
③射影定理：从射影的角度把刚才的结论叙述一遍。
④射影定理的应用：求Rt
?
的边长、面积等有关量，研究相似、比例式的问题
练习： 圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2,DB＝8，求CD、AC
和BC的长。〔学生运算（此题是射影定理的典型应用，尤其是与圆结合）〕
例1: <
br>?
ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
CD
2
?AD?DB<
br>，求证：
?
ABC
是直角三角形。〔表示射影定理的逆定理也成立〕
10
点和线段的正射影简称为射影。
二、 常见的轨迹
（1） 到两定点距离相等的点的轨迹是
______
______________________________
（2） 到一个定点的距离等于定
长的点的轨迹是
____________________________________
（3） 与一条直线的距离等于定长的点的轨迹是
____________________
________________
（4） 与两条平行直线距离相等的点的轨迹是
____
________________________________
（5） 与相交两直线距离相
等的点的轨迹是
____________________________________
（6） 与已知线段两端点所连线段相互垂直的点的轨迹是
________________
____________________
三、
三角形的“心”（结合图形）
（1）
内心―――内切圆的圆心―――圆心到三边的距离相等――－三条内角
平分线的交点
（2）
外心―――外接圆的圆心――－圆心到三个顶点的距离相等―――三条
11
垂直平分线的交点
可得▲Rt△的外心就是斜边的中点，锐角三角形的外心在
三角形内，而钝角三
角形的外心在三角形外
（3） 重心―――中线的交点―――重心到顶点
与到对边中点的距离之比为2:1
（利用中点作平行线构造平行四边形可证明）
（4）
垂心―――－高的交点
Rt△的垂心就是直角顶点，锐角三角形的垂心在三角形内，而钝角三角形的垂
心在三角形外心
要求：清楚上述“四心”对应的性质，从形的角度理解和记忆，并能运用性质
解题
问：等腰三角形的四心有何特殊？（三线合一，则四心必在同一直线上）
那等边三角形呢？（四心合一，称为中心）
例2：（1）已知直角三角形的斜边长
为c，两直角边长分别为a，b，则内切圆的
半径为r＝____________
（2）在
△ABC中，AB＝AC＝5,BC＝6，求：①△ABC内切圆的半径；②外接
圆的半径。
作业：
1、在△ABC中，
?
ACB＝90°，CD
?
AB于点D，M是AB的中点，点E在
12
CD上，且M
E
?
BE于点E，求证：BC＝
2
BE。
2、等腰三角形的底边长
为10，腰长为13，则它的内切圆半径为_________，外
接圆半径为________。 <
br>3、一个正三角形的边长为6，求此三角形的外接圆和内切圆的半径，能否得出
任意一个正三角形
的外接圆和内切圆的半径与高的比是定值？
13