(2020年整理)初高中数学衔接教材(已整理).doc

学 海 无 涯


目录
第一章 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定
3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程（选学）

1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝 对值是它的相反
数，零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．

1

学 海 无 涯
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距
离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0< br>，得
x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A
之间的距离|PA|，即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的
距离|PB|，即|PB|＝ |x－3|．
|x－3|
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即
P
C
A
B
D
为
x x
0
1 3 4
|PA|＋|PB|＞4．
|x－1|
由|AB|＝2，可知
图1．1－1
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点
D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
， 则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是
（ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

2

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（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1111
9423
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
（1）
a
2
?b
2
?(b?a)
（ ）；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b< br>2
?c
2
?(

)
．
2．选择题：
1
2
（1）若
x
2
?mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于
（ ）
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
1
4
1
3
a
2
?b
2
?2a?4b?8
1
2
m

16
（2）不论
a
，
b
为何实数，的值
（ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负
数

1.1.3．二次根式
一 般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能
够开得尽方 的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
2
x?1
，
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等 是有理式．
2
3

学 海 无 涯
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根 号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）
有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二 次根式的代数式相乘，如果
它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by
，< br>ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分 子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的
根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理 化因式，化去分
子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多 项式乘法进行，
运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的 除法，通常先写成
分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加
减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3
解法二：
3?(3?3)
＝ ＝
3?3
解法一：
3?(3?3)
＝
3

＝
1
33?1
＝＝＝
3?1
3(3?1)(3?1)(3?1)
3?1
．
2
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
2
和
22－6
.
6?4

4

学 海 无 涯
解： （1）∵
12?11?

11?10?
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
1
12?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
（2）∵
22－6?
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
∴
2
＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?
?(3?2 )
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
2004
?( 3?2)

＝
1
2004
?(3?2)
＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
x
2
解：（1）原式
?5?45?4

?(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
．
（2）原式=
(x?)
2
?x?
1
x
1
x
1
，
x
∵
0?x?1
，∴
?1?x
，所以，原式＝
?x
．
3?23?2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
3?23?2
解： ∵
x?y???(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?23?2
3?23?2
xy???1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
1
x
例 6 已知
x?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3
（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5 ?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：

5
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1

学 海 无 涯
等式
x
?
x?2
x
x?2
成立的条件是
（ ）
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
3．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且B?0
，则称为分式．当M≠0时，分
式具有下列性质：
AA?MAA?M
；
?
．
?
BB?MBB?M
A
B
A
B
A
B
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?
解得
A?2,B?3
．
2A?4,
?
111
??
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：；
???
1?22?39?10
1111
????
． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
11(n?1)?n 1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
111111111
9
???

?(1?)?(?)??(?)?1?
＝．
1?22?39?102239101 0
10
111
11111111
???
)
＝
?（3）证明：∵＝
(?)?(?)??(?
，
2?33?4n(n?1)
2334nn?12n?1


6

学 海 无 涯
又n≥2，且n是正整数，∴
1
一定为正数，
n＋1
1
111
???
∴＜ ．
2?33?4n(n?1)
2
c
例3 设
e?
，且e＞1， 2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a
解：在2c
2
－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
∴e＝
1
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：对任意的正整数n，
1
n(n?2)
?
(
11
n
?
n?2
)；
2．选择题：
若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
（ ）
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
5

3．正数
x,y
满足
x< br>2
?y
2
?2xy
，求
x?y
x?y
的值．
4．计算
1111
1?2
?
2?3
?
3?4
?...?
99?100
．
习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x
3
?y
3
?3xy的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）< br>1
1?2
?
1
2?3
?
111
3?4
?
4?5
?
5?6
?
________．
B 组
1．填空：
（1）
a?
1
2
，
b?
1
3a
2
?ab
3
，则
3a
2
?5ab?2 b
2
?
____ ____；
（2）若
x?xy?2y?0< br>，则
x
2
2
?3xy?y
2
2
x
2
?y
2
?
__ __；

7
x
y
（D）
6
5

＝

；

学 海 无 涯
2．已知：
x?, y?
，求
1
2
1
3
y
x?y
?
y
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若，则
?a?b?2ab??b??a
（ ）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

（2）计算
a?
1
a
等于
（ ）
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

11
)?3(x?)?1?0
．
x
2
x
1111
3．计算：．
????
1?32 ?43?59?11
11
??
4．试证：对任意的正整数n，有
1?2?32 ?3?4
2．解方程
2(x
2
?
?
1
1
＜
4
．
n(n?1)(n?2)
1.2因式分解
因式分解的主要 方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解
法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项
2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是
x
2
－3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1
－2
－1
－ay
－1

1
x
今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图
x
1 6
说明：
－2
－by
1．1－1中
－2
图1．
－1
图1．1－4
的两个x
图
用
1．
1
1
来表示（如图1．1－．
1－3
图1．1－2
2所示）
（2）由图1．1－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．1－4，得
x

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
(x?ay)(x?by)

－1
（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
y
1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
图1．1－5
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：

8

学 海 无 涯
（1）
x
2
? 5x?6?
_________________________________________ _________。
（2）
x
2
?5x?6?
________ __________________________________________。
（3 ）
x
2
?5x?6?
_________________________ _________________________。
（4）
x
2
?5 x?6?
__________________________________________ ________。
（5）
x
2
?
?
a?1
?< br>x?a?
_______________________________________ ___________。
（6）
x
2
?11x?18?
____ ______________________________________________。 （7）
6x
2
?7x?2?
____________________ ______________________________。
（8）
4m
2
?12m?9?
___________________________________ _______________。
（9）
5?7x?6x
2
?
_ _________________________________________________。
12x
2
?xy?6y
2
?
______________ ____________________________________。（10）
2、
x
2
?4x? ?
?
x?3
??
x?
?

3、若
x
2
?ax?b?
?
x?2< br>??
x?4
?
则
a?
，
b?
。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）
x
2
?7x?6
（2）
x
2
?4x?3
（3）
x< br>2
?6x?8
（4）
x
2
?7x?10

（5）
x
2
?15x?44
中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式
a
2
?8ab?33b
2
得（ ）
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、
?
a?11b
??
a?3b
?
A、
?
a?11
??
3、
?
a?b
?
2
?8
?
a?b
?
?20
分解因 式得（ ）
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
A、
?
a?b?10
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
C、
?< br>a?b?2
??
4、若多项式
x
2
?3x?a
可分解 为
?
x?5
??
x?b
?
，则
a
、
b
的值是（ ）
A、
a?10
，
b?2
B、
a?10
，
b??2
C、
a??10
，
b??2
D、
a??10
，
b?2

x?b
?
其中
a
、
b
为整数，则
m
的值为（ ） 5、若
x2
?mx?10?
?
x?a
??
A、
3
或9
B、
?3
C、
?9
D、
?3
或
?9

三、把下列各式分解因式
1、
6
?
2p?q
?
2
?11
?
q?2p
?< br>?3
2、
a
3
?5a
2
b?6ab
2


3、
2y
2
?4y?6
4、
b
4
?2b
2
?8


2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1）
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
（2）
x
3
?9?3x
2
?3x

解： （1）．
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b< br>?
=
a(b?5)(a?1)

（2）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
) ?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]
＝
(x?3)(x
2
?3)

课堂练习：

9

学 海 无 涯
一、填空题：
1、多项式6x
2
y?2xy
2
?4xyz
中各项的公因式是______ _________。
2、
m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?
?
x?y
?
?
_______ ___________。
3、
m
?
x?y
?
2
?n
?
y?x
?
2
?
?
x?y
?
2
?
____________________。
4、
m
?x?y?z
?
?n
?
y?z?x
?
?
?
x?y?z
?
?
_____________________。
5、< br>m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z?
?
______________________。
6、
?13a b
2
x
6
?39a
3
b
2
x
5< br>分解因式得_____________________。
7．计算
99
2
?99
=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、
2a
2b?4ab
2
?2ab
?
a?b
?
……………………… …………………………………
（ ）
2、
am?bm?m?m
?< br>a?b
?
……………………………………………………………
（ ）
3、
?3x
3
?6x
2
?15x??3x
?
x
2
?2x?5
?
……………………………………………
（ ）
4、
x
n
?x
n?1
?x
n?1
?< br>x?1
?
………………………………………………………………
（ ）
3：公式法
例3 分解因式： （1）
?a
4
?16
（2）
?
3x?2y
?
2
?
?
x?y
?< br>2

解：(1)
?a
4
?16
=
4
2
?(a
2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(4?a
2
)(2?a)(2?a)

(2)
?
3x?2y
?
2
?
?
x?y
?
2
=
(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)

课堂练习
一、
a
2
?2ab?b
2
，
a
2
?b
2
，
a
3
?b
3
的公因式 是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
42
??
2??
2
?
2
1、
x
2
?0.01?
?
??
x?0.1?x?0.1
????

?
x?0.1
?
………………………… （ ）
9
?
3
??
3
??
3
?
3a?4b
?
…………………………………2、
9a
2
?8b2
?
?
3a
?
2
?
?
4b
?
2
?
?
3a?4b
??
2
（ ）
5a?4b
?
………………………………………………… 3、
25a
2
?16b?
?
5a?4b
??
（ ）
x?y
?
…………………………………………4、
?x
2?y
2
??
?
x
2
?y
2
?
??
?
x?y
??
（ ）
a?b?c
?
………………………………………………5、
a
2
?
?
b?c?
2
?
?
a?b?c
??
（ ）
五、把下列各式分解
1
3
2
3、
4?x
2
?4x?2
4、
x
4
?2x
2
?1

1、
?9
?
m?n
?
2
?
?
m?n
?
2
2、
3x
2
?

??


4．分组分解法

10

学 海 无 涯
例4 （1）
x
2
?xy?3y?3x
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2 x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2) (x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5 y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
课堂练习：用分组分 解法分解多项式（1）
x
2
?y
2
?a
2
?b2
?2ax?2by

（2）
a
2
?4ab?4b
2
?6a?12b?9


5．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?b x?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
；
（3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
； （2）
x
2
?22x?3
；
（3）
3x
2
?4xy?y
2
； （4）
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x)?1 2
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc ?ca
，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．
5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a?+b?+c?=，求
值.
2.1 一元二次方程

11
111
++的
ab?c-1bc?a-1ca?b-1

学 海 无 涯
2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）
x
2
?2x?3?0
(2)
x
2
?2x?1?0
(3)
x
2
?2x?3?0
}
我们知道，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变
形为
b
2
b
2
?4ac

(x?)?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不
相等的实数 根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当b
2
－4a c＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数
根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
b
2
)
2a
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而 方程①的左边
(x?
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元 二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac< br>来判定，我们把b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式，
通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
?b?b
2
?4ac
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x
1
，
2
＝；
2a
b
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实
数根，写出方程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有
两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4< br>x
1
?
，
x
2
?
．
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a
2
－4×1×(a－ 1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根

12

学 海 无 涯
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而
变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分
类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的
解题中会经常地运用这一方 法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2a2a4a< br>2
4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
，x
1
·x
2
c
a
b
a
＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其
两根，由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2＝0，由于x
1
，x
2
是一元
二次方程x
2
＋ px＋q＝0的两根，所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2－(x
1
＋x
2
)x＋
x
1
·x
2< br>＝0．因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x
2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，
再由方程解出另一个根 ．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来
解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项 系数和常数项，于是可以利
用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×2
2
＋k×2－6＝0，∴k＝－7．

13

学 海 无 涯
所以，方程就为5x
2
－7x－6＝0，解得x
1
＝2，x
2
＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－，∴x
1
＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
例3 已知关于x的方程x< br>2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这< br>两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数 根的平方和比两个根的积大21得
到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由 于所给
的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
∴(x
1
＋x
2
)
2
－3 x
1
·x
2
＝21，
即 [－2(m
－
2)]
2
－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，
舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以 先研究满足方程有两个实数根所
对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21” 求出m的
值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解 题时，还要考虑到根的
判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出 这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也
可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解 ．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．

14
3
5
3
5
6
5
3
5
3
5
k
5
3
5

学 海 无 涯
∴
?
?
x
1
??2,
?
x?6,
或
?
2

?
y
1
?6,
?
y2
??2.
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x
2
－4x－12＝0的两个根．
解这个方程，得x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）
要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．


（1）求| x
1
－x
2
|的值； （2）求
5
2
3
2
11
?
的值；（3）x
1
3
＋x
2
3< br>．
22
x
1
x
2
解：∵x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根，
5
2
3
2
25
＋6
4
∴< br>x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
??
．

＝
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
( ?)
2
?4?(?)
＝
49
，
4
7
2
∴| x
1
－x
2
|＝．


（2）
x?x< br>2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
2
1
2
1
2
5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37
22
?
4
．
???
2
39
(x
1
x
2
)9
(?)
2
24
2
（3）x
1
3
＋x
2
3
＝ (x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x
1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
5
2
5
2
3
2
215
．
8
＝(－)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－
说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会
遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探 讨出其一般规律：
设x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?
，
x
2
?
， < br>2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其
|a|
中Δ＝ b
2
－4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于 x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于
零，求实数a的取 值范围．

15

学 海 无 涯
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜
4
．∴a的取值范围是a＜4．
练 习
1．选择题：
（1）方程
x
2
?23kx?3k
2
?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实
数m的取值范围是
（ ）
（A）m＜ （B）m＞－
11
44
11
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
44
11
?
＝ ．
x
1
x
2
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x
2
，则
（2）方程mx
2
＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时， 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等
的实数根？
4．已知方程x
2
－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3)( x
2
－3)的值．
习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
；
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋ a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是
（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，

16
7
3

学 海 无 涯
或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β< br>2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3 a＝0的一个根是－2，则它的另一个根
是 ．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．
3．试判定当m取何值时，关于 x的一元二次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两
个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 ( )
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x
2
＋XXXXx－1＝0的两个实数根 ，则m
2
n＋mn
2
－mn的
值等于 ． < br>（2）如果a，b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
的值是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（ a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1－x
2
|和
x
1
?x
2
；（2）x
1
3
＋x
2
3
．
2
5．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
－8x＋7＝0的两根，
则这个直角三角形的斜边长等于
（ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
（2）若x
1
，x
2
是方程2x
2
－4 x＋1＝0的两个根，则
（ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）如果关于x的方程x
2
－2(1－m )x＋m
2
＝0有两实数根α，β，则α＋β的取
值
范
围
为

17
x
1
x
2
?
的值为
x
2
x
1
3
2

学 海 无 涯

（




）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx
2
＋(a＋b)x＋＝0的根的< br>情
况
是
(



)
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空： 若方程x
2
－8x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
，且3x< br>1
＋2x
2
＝18，则m＝ ．
3． 已知x
1，x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0的两个实 数根．
（1）是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－成立？若存在，求出k的
值；若不存在，说明理由；
（2）求使
试求
?
的值．
m
2
4．已知关于x的方程
x?(m?2)x??0
．
4
2
1
2
1
2
c
4
3
2
x
1
x
2
x
?
－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k ＝－2，
?
?
1
，
x
2
x
1
x< br>2
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方 程的两个实数根x
1
，x
2
满足|x
2
|＝|x
1
|＋2，求m的值及相应的x
1
，
x
2
．
5．若 关于x的方程x
2
＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值
范围．

2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象和性质
情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图
（1）
y?x
2
(2)
y??x
2
(3)
y?x
2
?2x?3

问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝x
2
，y＝－2x
2< br>的图象，通

18
1
2

学 海 无 涯
过这些函数图象 与函数y＝x
2
的图象之间的关系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的
图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x
2
… 9 4 1 0 1 4 9 …
2x
2
… 18 8 2 0 2 8 18
从 表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了 ．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象 （如图2－1所示），
从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x
2< br>的图象可以由
函数y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x
2
，y＝－2x
2
的图象 ，并研
究这两个函数图象与函数y＝x
2
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax
2
(a≠0) 的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a
倍得到．在二次函数y＝ax
2
(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在
同一个坐标系中的开口的大 小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来
y
研究它们之间的关系．同 学们可以作出函数y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2
＋1
与y＝2x
2
的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难
发现，只要 把函数y＝2x
2
的图象向左平移一个单位，再向上
y＝2(x＋1)
2
平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这
y ＝2x
2

两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地 ，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3(x－1)
2
＋1
的图 象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象
x
－1
O
的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而
且“h 正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，
图2.2-2
而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方
法：
b
2
b
2
bb
2
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac

?a(x?)?
，
2a4a
22
1
2
所以，y＝ ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左 右平
移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列 性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为

19

学 海 无 涯
b4ac?b
2
bb
(?,)
，对称轴为直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；2a4a
2a2a
4ac?b
2
bb
当x＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
时，函数取最小值y＝．
4a
2a2a
（2）当a＜0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象 开口向下；顶点坐标为
b4ac?b
2
bb
(?,)
，对称轴为直线 x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；
2a4a
2a2a
4 ac?b
2
bb
当x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
时，函数取最大值y＝．
4a
2a2a
上述二次函数的性质可以分 别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出
来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函 数图像、利用数形结合
b4ac?b
2
的思想方法来解决问题．
y
y
A
(?,)

b
2a4a

x＝－
y
2a
2
y＝x
2

y＝2x



2
例1 求二次函数y＝
O
x
－
3x－6x＋1图象的开口方向、对
O
x
称轴、顶点坐标、最 大值（或最小值），并指出当x取何值时，
b4ac?b
2
b
,)
A
(?
y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
x＝－
2 a4a
2a
解：∵y＝
－
3x
2
－6x＋1＝－3(x＋1 )
2
＋4，
x
O
图2.2-4
y
A(－1,4)
图2.2-3
∴函数图象的开口向下；
图2.2-1
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
D(0,1)
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，
y随着x的增大而减小；
O
B
x
C
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B
(
23?323?3
,0)
和C
(?,0)
，与y轴 的交点为D(0，1)，过
33
x＝－1
这五点画出图象（如图2－5所示）．
图2.2－5
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画
函数的图象，可 以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图
象更精确．
函数
y＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为
x??
b

2a
（3） 确定图象与x轴 的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由
方程
x
2
＋
bx
＋
c=0
求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程
x
2＋
bx
＋
c=0
求出③①若△<0则与x轴有无交点。
（4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，
c）
（5） 由以上各要素出草图。

20

学 海 无 涯
练习：作出以下二次函数的草图
（1）
y?x
2
?x?6
(2)
y?x
2
?2x?1
(3)
y??x
2
?1

例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段 每件产品的售价x（元）与产
品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
x 元 130 150 165
y件
70 50 35

若日销售量y是销售价x的一 次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，
每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多 少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售
价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的
利润与销售价x之间的函数关系 ，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利
润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋
（
B
）

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
?
70?130k?b,

?
?
50?150k?b,
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝ －x
2
＋320x－24000＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个
单位，得到函数y＝x
2
的图像，求b，c的值．
b
2
b
2
解法一：y＝x＋b x＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向
4
2
bb
2
2
左平移4个单位，得到
y?(x??4)?c??2
的图像 ，也就是函数y＝x
2
的图像，
24
2
所以，

?
b
??4?0,
?
?
2

?
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平 移2个单位，再向左平移4
个单位，得到函数y＝x
2
的图像，等价于把二次函数y＝ x
2
的图像向下平移2个
单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x
2＋bx＋c的图像．
由于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位，再向 右平移4个单位，得
到函数y＝(x－4)
2
＋2的图像，即为y＝x
2－8x＋14的图像，∴函数y＝x
2
－8x＋
14与函数y＝x
2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图 像的平移规律来解决问题，所以，
同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反 映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向
的思维来解决的，其运算量相对较大；而解 法二，则是利用逆向思维，将原来

21

学 海 无 涯
的问题等价转化成与之等价的问题来解 ，具有计算量小的优点．今后，我们在
解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小 值，
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨
论．
解 ：（1）当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，
函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当 x＝－2时，函数取最大值y
＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a
2
；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y
＝4；当x＝0时，函 数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a< br>2
；
当x＝0时，函数取最小值y＝0．

y
y
y
y
4
说明：在本例
a
2
4



中，利用了分类
4

讨论的方法，对a
a
2
2
a


的所有可能情形
x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
－2
－2
a
进行讨论．此外，






本例中所研究的
③
②
①



二次函数的自变
图2.2－6
量的取值不是取
任意的实数，而
是取 部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观
地解决问题．
练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2 （C）y＝2x
2
－1 （D）
y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n
＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在
y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，

22

学 海 无 涯
函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，
顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y
＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x
的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下 列取值范围内时，分别求函
数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种
表示方式，我们先来 研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y ＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax
2
＋bx
＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax
2
＋ bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐
标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程
①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程 ①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac
有关，由此可知，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝
b
2
－4ac存在下列关系 ：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点； 反过来，
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成 立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点 （抛物线的
顶点）；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个 交点，则Δ＝0也成
立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c (a≠0)与x轴没有交点；反过来，若
抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与 x轴有两个交点A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，
则x
1
，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，所以

23

学 海 无 涯
bcbc
x
1
＋x
2
＝
?
，x
1
x
2
＝， 即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aaaa
bc
所以，y＝ax2
＋bx＋c＝a(
x
2
?x?
) = a[x
2－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]＝ a(x－x
1
) (x－
aa
x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函数
关系式 可以表示为y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交
点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一
般式、顶点式、交点 式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线 y＝x＋1上，并且
图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要 充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，
从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过 定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶
点坐 标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要
充分挖掘题目所给的条件，并巧 妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点 到x轴的距离等于
2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的 图象所过的两点实际上就是二
次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，

24

学 海 无 涯
∴|－4a|＝2，即a＝
?
．
所以，二次函数的表达式为y＝
x
2
?x?
，或y＝－
x
2
?x?
．
分 析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x
＝－1，又由顶点到 x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又
可以将二次函数的表达式设成顶点式来解， 然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，
0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y ＝a(x＋1)
2
＋2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函数为y＝
－
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
说明：上述两种解法分别从与x轴的交 点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，
利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条 件，选择恰
当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函
数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的
一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练 习
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是
（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确
定
1
（2）函数y＝－
2
(x＋1)
2
＋2的顶点坐标是
（ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，

25

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－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数
的解析式可设 为y＝a (a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离
为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两 点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，
－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可
以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改
变函数图象的位置 、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，
只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点 的位置即可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后 得到的图象所
对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位 置而不改变其形状（即不改变二次
项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常 数项），
所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二
次函数图 象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x
2
－4x－3的解析式可变为
y＝2(x－1)
2
－1，
其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函 数y＝2(x－1)
2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，
其函数图 象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数
表达式就为
y＝2(x－3)
2
－2．
（2）把函数y＝2(x－1)
2
－ 1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，
其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函
数表达式就为
y＝2(x＋1)
2
＋2．

26

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2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有
什么特点？依据这一特点，可以怎样来 研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变 换
时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，
因此，在研究二 次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点
位置和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下
y
x＝－1
列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x
2
－4x
O
x
＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图
A(1,－1)
A
1
(－3,－1)
象的顶点位置，不改变其形状．
图2.2－7
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2－1，可知，函数y
＝2x
2
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对 称后所得到图象的顶点为A
1
(－3，
1)，所以，二次函数y＝2x
2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象
的函数解析式为y＝2(x＋3)
2
－1，即y＝2x
2
＋12x＋17．
y
B(1，3)
2
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于
直线x＝－1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方
y＝
向，不改变其形状．
由于y＝ 2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x
2< br>－4x
O
x
＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为
A(1,－1)
B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象
图2.2 －8
关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－
1)
2
＋3，即y＝－2x
2
＋4x＋1．
练 习
1．选择题： 把函数y＝－(x
－
1)
2
＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个 单位，所
得图象对应的解析式为
（ ）
（A）y＝ (x＋1)
2
＋1 （B）y＝－(x＋1)
2
＋1
（C）y＝－(x－3)
2
＋4 （D）y＝－(x－3)
2
＋1
2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件 ，每件盈利40元，为了扩大
销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发 现
每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件：
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?
2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法

27

学 海 无 涯
一、知识概述
1、二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元
二次方程．
关于 x、y的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、
c至少有 一个不为0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项
的系数；dx、ey 叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项．
例，xy=1，x2－y=0，x－y －2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0
都不是二元二次方程．
2、二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两 个二
元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为
一次，转化的 基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法
和技巧是解二元二次方程组的关键 ．
二、重点、难点和疑点突破
1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”
型方程组)
(1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另
一个未知数；
②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一
元一次方程；
③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；
⑤写出方程组的解．
(2)逆用根与系数关系定理法
对“二·一”型二元二次方程组成的形如的方程组，可以 根据一元二次
方程根与系数的关系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个< br>方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2
时 ，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”．
2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
“二·一”型的二元二次方程组 的实数解有三种情况：有一解、两解和没有
解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后 ，得到一个一元
二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个
相 等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情
况．简言之，有一个二元一次方 程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可
通过一元二次方程的根的判别式来判断．

28

学 海 无 涯
3、“二·二”型方程组的解法
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它
的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得
到的两个二元 一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个
“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型 方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一 次方程时，将第一
个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程
分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解
这四个二元一次方程组，所 得的解都是原方程组的解．
4、“二·二”型方程组的解的情况

由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．
值得注意的是“二· 一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个
解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解 ．
三、解题方法技巧点拨
1、“二·一”型二元二次方程组的解
例1、解方程组
分析：
此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法；
如果把①变形为(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，则原方程组可变形为两个
二元一次方 程组．解这两个二元一次方程组所得的解都是原
方程组的解，这是第二种解法．
解法1：
由②得x=2y＋5 ③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．
整理，得3y2＋10y＋7=0．


29

学 海 无 涯

点评：解“二·一”型 二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消
元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二 种解法是一种特殊解法，它只适
合一些特殊形式的方程组．

分解：
仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系
通过构造一个以x，y为根的一 元二次方程来求解．
解法1：
由①得y=8－x．③
把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．
解得x1=2，x2=6．
把x1=2代入③，得y
1
=6．把x1=6代入③，得y
2
=2．

解法2：
根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个
方程，得
z1=2，z2=6．

点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程和一个 二元二次方程组成的二元二
次方程组的一般方法，适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适 用于
以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小．
2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法
例3、解方程组
分析：
观察方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x－y)的一
元二次方程，且可 分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程
x－y－3=0和x－y＋1 =0．
这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：

30

学 海 无 涯

分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解．
解：
由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．
∴x－y－3=0或x－y＋1=0．
∴原方程组可化为两个方程组：

3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法
例4、解方程组
分析： 方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目 的，
方程②左边是完全平方式，右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的．
解： 由①得(x－4y)(x＋y)=0
∴x－4y=0或x＋y=0
由②得(x＋2y)2=1
∴x＋2y=1或x＋2y=－1．
原方程可化为以下四个方程组

点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二 元一次方程组成方程
组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象．
4、已知解的情况，确定字母系数
例5、k为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解；

31

学 海 无 涯
(2)有两个实数解；
(3)没有实数解．
分析：
所考知识点：二元二 次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知
数y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判 别式来讨论．
解：
将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0 ③
△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

点悟：解这种 题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△
=0，△＞0，△＜0来讨论的．
解题易错点是一元二次方程中x
2
的系数k
2
不等于0容易被忽略．
练习
解方程组
22
?
?
3x?2xy?y?0
（1）
?
； 2
?
?
(x?y)?3(x?y)?18?0
22
?
?
x?2xy?y?4
（2）
?

2
?
?
(x?y)?5x?5y?6

2.3.2一元二次不等式的解法
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式
ax
2
?bx?c ?0或ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的解集：
设相应的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b
2
?4ac
，

32

学 海 无 涯
则不等式的解的各种情况如下表：


??0


二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c


??0

y?ax
2
?bx?c


??0

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

有两相异实根
x
1
,x
2
(x
1
?x< br>2
)


有两相等实根

x
1
?x
2
??
b

2a
?
a?0
?
的根
(a?0)的解集
ax
2
?b x?c?0
(a?0)的解集


无实根

R


?

ax
2
?bx?c?0
?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?
xx
1
?x?x
2
?


?

例1 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．


例2 解关于x的不等式
x
2
?x?a(a?1)?0

解：原不等式可以化为：
(x?a?1)(x?a)?0

1
2111
若
a??(a?1)
即
a?
则
(x?)
2
?0

x?,x?R

222
1
若a??(a?1)
即
a?
则
x?a
或
x?1?a

2
例3 已知不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx
2
?ax?c?0
的
若
a??(a?1)
即
a?
则
x?a
或
x?1?a

解．
解：由不等式
ax
2
?bx?c?0( a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，
c
?6
，
a
bc
?6
． 即
??5,
a a
由于
a?0
，所以不等式
bx
2
?ax?c?0
可变为
bc

x
2
?x??0
，
aa
即 －
5x
2
?x?6?0,

∴
??5,
b
a

33

学 海 无 涯
整理，得

5x
2
?x?6?0,

所以，不等式
bx
2
?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞
5
．
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
练 习
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；
（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．

2.解关于x的不等式x
2
＋2x＋1－a
2
≤0（a为常数）．

作业：
1.若01
)<0的解是 ( )
a

A.a1

a
a






B.

1
a
a

C.x>
1
或x1
或x>a
2.如果方程ax2
＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x
1
，x
2
满足x1
＜x
2
，那么不等式
ax
2
＋bx＋b＜0的解是_ _____.
3．解下列不等式：
（1）3x
2
－2x＋1＜0； （2）3x
2
－4＜0；
（3）2x－x
2
≥－1； （4）4－x
2
≤0．
(5)4+3x－2x
2
≥0; (6)9x
2
－12x>－4;

4．解关于x的不等式x
2
－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．
5．关于x的不等式
ax
2
?bx?c?0
的解为
x??2或x ??

求关于x的不等式
ax
2
?bx?c?0
的解．

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何 问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学
学习与研究中，我们发现平行线常能产生 一
些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线
l
1
,l2
,l
3
（如图3.1-1），直线
a
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A,B,C
，
AB?2 ,BC?3
，另作直线
b
交
l
1
,l
2
, l
3
于点
A',B',C'
，不难发现
1
2
A'B 'AB2
??.

B'C'BC3
34
我们将这个结论一般化，归纳出平行线

图3.1-1

学 海 无 涯
分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，
l
1< br>l
2
l
3
，有
AB
BC
DEABDE
.当然，也可以得出.在运用该定理
?
EFACDF
解决问题的过程中，我们一定要 注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB2,BC3,DF4,
求
DE,EF
.
ABDE2
,

BCEF3
图3.1-2
28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35
例2 在
ABC
中，
D,E
为边
AB,AC
上的点，
DE BC
，
ADAEDE
求证：.
??
ABACBC
证明（1）
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE
??.

?ADE
∽
ABC
，
?
ABACBC
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
lDEBC,

ADAE
.
??
ABAC
过
E
作
EFA B
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
解 < br>l
1
l
2
l
3
,
因而
DE?BF.

AEBFDE
??.

ACBCBC
ADAEDE
???.

ABACBC
EFAB,?
图3.1-3
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线
段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三
边与原三角形的三边对应成比 例.
例3 已知
ABC
，
D
在
AC
上，
AD:DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线
段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设
EC
交
BD
于
F
，则
F
为
EC< br>的中点，作
EGAC
交
BD
于
G
.
EGAC,EF?FC
，
?
EGF?CDF
，且
EG?DC
，
1BEEG1
AD,BEGBAD
，且
??,

2BAAD2
?E
为
AB
的中点.
可见，当
E< br>为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
上.
?EG
图3.1-4
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有 解则存在，
无解或矛盾则不存在.

35

学 海 无 涯
例4 在
ABC
中，
AD
为
BAC
的平分线，求证：
AB
AC
BD
.
DC
证明 过C作CEAD，交BA延长线于E，
BABD
.

AEDC
AD平分
BAC,BAD
ADCE,
DAC,

图3.1-5
由
ADCE
知
BAD
EACE,即AEE,DACACE,

ABBD
AC,
.
ACDC
例 4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等
于该角的两边之比）.

练习1
1．如图3.1-6，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的
是（ ）
CEADBC
B．
BCBEAF
ADAFBE
D.
BCDFCE
2．如图3.1-7，
DEBC,EFAB,AD
AD
DF
CE
C ．
DF
A．
图3.1-6 图3.1-7
5cm,DB3cm,FC2cm,
求
BF
.

3．如图 ，在
ABC
中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求B D
的长.


图3.1-8

4．如图，在
A BC
中，
BAC
的
外角平分线
AD
交
BC
的延长线
于点
D
，求证：
AB
AC
BD
.（三角形 外角平分线定理）
DC
5．如图，在
ABC
的边AB、AC上分别取D、E 两点，使BD=CE，
DE延长线交BC的延长线于F.求

图3.1-10
证：
DF
EF
图3.1-9
AC
.
AB
3.12．相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有
哪些方 法可以判定两个三角形相似？有哪些方法
可以判定两个直角三角形相似？
例5 如图3. 1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，
BACCDB
，求证：
DACCBD
.
证明 在
OAB
与
ODC
中，
AOBDOC,OABODC,

OAB
∽
ODC
，

36

学 海 无 涯
OAOBOAOD
，即. < br>ODOCOBOC
又
OAD
与
OBC
中，
AODBO C
，
图3.1-11
OAD
∽
OBC
，
DACCBD
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，
BAC
为直角，
ADBC于D
.
求证：（1）
AB
2
BDBC
，
AC
2
C DCB
；
（2）
AD
2
BDCD

图3.1-12
B
证明 （1）在
RtBAC
与
RtB DA
中，
∽，
BAC
BDA
BC
,即AB
2
BDBC.

BA
同理可证得
AC
2
CDCB
.
BA
BD
B
，
（2）在
RtABD
与
R tCAD
中，
C90
o
RtABD
∽
RtCAD
，
AD
BD
DC
,即AD
2
AD
CADBAD
，
BDDC.

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在< br>ABC
中，
ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F
，求证：
AE ABAFAC
.
证明
ADBC
，
ADB
为直角三角形，又
DEAB
，
由射影定理，知
AD
2
AEAB
.
同理可得
AD
2
AFAC
.
图3.1-13
AEABAFAC
.
例8 如图3.1-14，在
ABC
中，< br>D
为边
BC
的中点，
E
为
边
AC
上 的任意一点，
BE
交
AD
于点
O
.某学生在研究这一
问题时，发现了如下的事实：
图3.1-14
AE
AC
AE
（2） 当
AC
AE
（3） 当
AC
（1） 当
AO2
11AD321
1AO22
时，有.（如图3.1-14b）
12AD422
1AO22
时，有.（如图3.1-14c）
13AD52 3
AE1
AO
在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示< br>AC1n
AD
1
2
1
3
1
4
1时，有

2
.（如图3.1-14a）
的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.

37

解：依题意可以猜想：当
AE
AC
学 海 无 涯
1AO2
时，有成立.
1nAD2n
证明 过点D作DFBE交AC于点F，
D是BC的中点，F是EC的中点，
由
AEAC
AO
AD
1
1n
AE2
.

AF 2n
可知
AE
EC
1
，
n
AE
EF
2AE
,
nAF
2
2n
.
.
想一想，图3.1 -14d中，若
AO
AD
1AE
，则
nAC
?
< br>本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一
些规律，进而作出一般 性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断
探索的历史.
练习2
1 ．如图3.1-15，D是
ABC
的边AB上的一点，过D点作DEBC交
AC于E. 已知AD：DB=2：3，则
S
ADE
:S
四边形BCDE
等于（ ）
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21

2．若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线
图3.1-15
段的比是
3:2
，则梯形的上、下底长分别是__________.
3． 已知：
ABC
的三边长分别是3，4，5，与其相似的
A'B'C'
的最大边 长是15，
求
A'B'C'
的面积
S
A'B'C'
.

4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条
件时，EFGH是菱形？是正方形？
图3.1-16
5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，
PCD
是等边三角形，
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，
ACP
∽
PDB
？
（2） 当
ACP
∽
PDB
时，求
APB
的度数.
图3.1-17

习题3.1
A组
1． 如图3.1-18，
ABC
中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8

2． 如图3.1 -19，BD、CE是
ABC
的中线，P、Q分别是BD、
CE的中点，则
P Q:BC
等于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6


38
图3.1-18
图3.1-19

学 海 无 涯
3． 如图3.1-20，
ABCD
中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点 F，已
知BE：AB=2：3，
S
BEF
4
，求
S
CDF
.

4． 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，
BEAC
交
图3.1-20
2
AC于F，过F作FGAB交AE于G，求证：
AGAFFC
.

图3.1-21

B组
1． 如图3.1-22，已知
ABC< br>中，AE：EB=1：
3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则
EFAF的值为（ ）
FCFD
13
A． B．1 C． D．2
22
2． 如图3.1-23，已知
ABC
周长为1，连结
图3.1-22
ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个
三边中点构成第三个三角形，依此类推，第
个 三角形周长为（ ）
A．
1111
B． C．
2002
D．
2003

2002200322
图3.1-23
对角线
XXXX

3． 如图3.1-24，已知M为
ABCD
的边AB
中点，CM交BD于点 E，则图中阴影部分
面积与
ABCD
面积的比是（ ）
A． B． C． D．
1
3
1
4
1
6
5

12
的
的

图3.1-24
4． 如图3.1-25，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且
EFAD.
（1） 求证：OE=OF；
OE
的值；
BC
112
（3） 求证：.
ADBCEF
（2） 求
OE
AD
图3.1-25

C组
1． 如图3.1-26，
ABC
中，P是边AB上一点，连
（1） 要使
ACP< br>∽
ABC
，还要补充的一个条件是
____________.
（2） 若
ACP
∽
ABC
，且
AP:PB2:1
，则
BC:PC
=_____.

图3.1-26

2． 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且
BACBDCDAE
.

39
结CP.

学 海 无 涯
（1） 求证：
BEADCDAE
；
（2） 根据图形的特点，猜想
BC
可 能等于那两条线段的比（只须写出图中已有
DE
图3.1-27
线段的一组比即可）？并证明你的猜想.

3． 如图3.1-28，在
R tABC
中，AB=AC，
A90
o
，点D为BC
上任一点，
DFAB
于F，
DEAC
于E，M为BC的中点，试判
断
MEF< br>是什么形状的三角形，并证明你的结论.

图3.1-28
4． 如图3. 1-29a，
ABBD,CDBD,
垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，
EFB D
于F，我们可以证明
1
AB
1
CD
1
成立.
EF

若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，
ABCD,AD、BC
相交于E，
EFAB交BD于F，则：
图3.1-29
（1）
1
AB
1
CD
1
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说
EF
BCD
明理由；
（2） 请找出
S
ABD
,S
之间的关系，并给出证明.



3.2三角形
3.2.1三角形的“五心”
三角形是最重要 的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角
EBD
和
S
形的问题 .


如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边
AB,BC,C A
，三个顶点
A,B,C
，
在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2- 2）是三角形中的三种重要线段.

图

3.2-1

40
图3.2-2

学 海 无 涯
三角形的三条中线相交于一点 ，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心
在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两
段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且
DE
GDE
∽
GA B
，且相似比为1：2，
AG2GD,BG2GE
.
1

AB
，
2
图3.2-3
设AD、CF交于点
G'
，同理可得，
AG'2G'D,CG'2G'F.

则
G
与
G'
重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
.

图3.2-4
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三
角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
（如图3.2-5）

图3.2-5
例2 已知
ABC
的三边长分别为
BCa,AC b,ABc
，I为
ABC
的内心，且I在
ABC
的边
BC、 AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
，求证：
ca
.
2
证明 作
ABC
的内切圆，则
D、E、F
分别
AEAF
b
为内
线，
切圆在三边上的切点，
AE,AF
为圆的从同一点作的两条切
AEAF
，
同理，BD=BF，CD=CE.
bcaAFBFAE
AFAE2AF2AE
bca
即
AEAF
.
2
CEBDCD

图3.2-6
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分
BAC
，
AB
AC
BD
（角平分线性质定理）
DC
O为三角形的重心，D为BC的中
BD=DC.
AB
AC
1
，即
AB
点，即
AC
.
41

学 海 无 涯
同理可得，AB=BC.
图3.2-7
ABC
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心 .锐角三角形
的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形
的垂 心在三角形的外部.（如图3.2-8）
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知 中，
ABC
ADBC于D,BEAC于E，
AD与BE交于H点.
求证
CHAB
.
证明 以CH为直径作圆，
ADBC,BEAC,HDCHEC90
o
,

D、E
在以CH为直径的圆上，
FCBDEH
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
BEDBAD
.
BCHBAD
，
图3.2-9
o
ADB90
，即
CHAB
. 又
ABD
与
CBF
有公共角
B
，
CFB
过不共线的三点A、B、C有且只有一 个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，
圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是 各边的垂直平
分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2． （1） 若三角 形ABC的面积为S，且三边长分别为
a、b、c
，则三角形的内
切圆的半径是___ ________;
（2）若直角三角形的三边长分别为
a、b、c
（其中
c
为斜边长），则三角形的
内切圆的半径是___________. 并请说明理由.



3.2.2解斜三角形
一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念；
1正弦、余弦、正切、余切 2、特殊角的三角函数值
二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系
sin
2
a+cos
2
a=1 tga=
分别写出变形式：

42
图3.2-8

sina
cosa
ctga= tg
2
a·ctg
2
a=1
cosa
sina

学 海 无 涯
三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。（A为钝角）
sinA=sin(180
0
-A) cosA=-cos(180
0
-A) tgA=-tg(180
0
-A)
ctgA=-ctg (180
0
-A)
画图像举例说明：正弦值为“﹢”，其余为“﹣”
四、正弦定理和余弦定理
正弦定理 三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外
接圆的直径
证明（传统证法）在任意斜△ABC当中：

111
absinC?acsinB?bcsinA
S△ABC=
222

1abc
abc??2R
两边同除以 即得：
?

2sinAsinBsinC
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA 变形式：
b
2
=c
2
+a
2
-2accosB 变形式：
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC 变形式：
五．例题分析
例1 在△ABC中，已知a=3，c=33 ，∠A=30°，求∠C及b
分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两
边和一边的对角所对 应的三角形是不确定的，所以要讨论．
33
解 ∵∠A=30°，a＜c，c·sinA=
2
＜a， ∴此题有两解．
1
33×
2

csinA3
sinC=
a
=
3
=
2
， ∴∠C=60°，或∠C=120°．
∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a
2
+b
2
=6．
当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．
点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论．
例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．
分析 欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直
接变形难以进行 ，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角
函数，则可进行三角变换．
b
2
+c
2
—a
2
a
2
+c2
—b
2
解 方法一：由余弦定理，得 a·（
2bc
）=b·（
2ac
），
∴a
2
c
2
－a
4
－b
2
c
2
+b
4
=0 ．
∴(a
2
－b
2
)(c
2
－a
2
－b
2
)=0 ．

∴ a
2
－b
2
=0，或c
2
－a
2
－b2
=0．
∴a=b，或c
2
=a
2
+b
2
．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB．

43

学 海 无 涯
∴sin2A=sin2B． ∴2A=2B，或2A=180
0
－2B．
∴A=B，或A+B=90
0
．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
点评 若已知式中既含有 边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将
角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．
例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，
BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．
A
分析 四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的
面积之和，由三角形面积公式及∠ A+∠C=π可知，只需
B
求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程．
D
O
解 连结BD，则有四边形ABCD的面积
·
11
S=S
△
ABD
+S
△
CDB< br>=
2
AB·AD·sinA+
2
BC·CD·sinC．
C
∵A+C=180°， ∴sinA=sinC．
1
故S=
2
（2×4+6×4）sinA=16sinA． 在△ABD中，由余弦定理，得BD
2
=AB
2
+AD
2
－2AB·ADcosA=20－16cosA ．
在△CDB中，由余弦定理，得BD< br>2
=CB
2
+CD
2
－2CB·CD·cosC=52－48 cosC．
∴20－16cosA=52－48cosC．
1
∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－
2
．
又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．
故S=16sin120°=8 3 ．
A

点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用．
b
例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线
B
b米，
a
下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使
P
C
观察者上、下视角最大．
分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB
最大，所以需寻找∠APB的目标函数．由于已知有关边长，
所以考虑运用三角函数解之．
解 设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，
则∠APB=θ为视角．
ba
?
tan∠APC—tan∠BP C
y=tanθ=tan(∠APC－∠BPC)= =
xx

ba
1+ tan∠APC·tan∠BPC
1??
xx
b—ab—a
ab
=
ab
≤， 当且仅当x=
x
, 即x=ab 时，y最大．
2ab
x+
x
ππ
由θ∈（0，
2
）且y=ta nθ在（0，
2
）上为增函数，故当且仅当x=ab 时
视角最大．
点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．

44

学 海 无 涯

练习
3
1．△ABC中，tanA+tanB+3 =3 tanAtanB，sinAcosA=
4
，则该三角形是
（
）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形或直角三角形
2．在△ ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角
为
（

）
A．120° B．150° C．60° D．90°
3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．
5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 ．
6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若
a= 4，b=5，s=53 ，求c的长度．
7．在△ABC中，sin
2
A－sin< br>2
B+sin
2
C=sinAsinC，试求角B的大小．
C
B

8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，
A
‘

B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC
O
，问B
A
点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最
大面积．

3.3 圆
3.3.1圆幂定理及其应用

教学目标
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合
运用它们解
决有关问题；
2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加
辅助线的方
法；
3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和
运动变化的
观点的教育.

45

学 海 无 涯
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用
圆幂定理解题
是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割
线定理、割
线定理的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联
系?
提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形
的变化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.
(1)如图7-163，⊙O的 两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便
是我们学过的相交弦定理.对于这个定 理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此< br>时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝
PD＝O ，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)
(2)点P 继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于
圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD ，这就是
我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)

(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕
P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠
近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB
＝PC·PD＝PC2，这 就是我们学过的切割线定理.(图7-167)
(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有
PA2＝PB2，可

46

学 海 无 涯
得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定
理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.
观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)
在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝(R-OP)(R+OP)
＝R2-OP2；
在图(2)中，PA·PB＝PT＝OP-OT
＝OP
2
-R
2

在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT
2

＝OP
2
-R
2
.
教师指出，由于PA·PB均等于｜O P
2
-R
2
｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的
幂，所以相交弦定理 、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)
例1 如图7-170，两个以 O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于
C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，A D＝8，求两圆的半径.
分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB .求OC
也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用
垂径 定理便可求出AC，于是问题得解.
(由学生讨论、分析，得出解决)

例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，
B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的 割线AXY和BPQ.
求证：AX·AY=BP·BQ
分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个
简单的图形组合而成的.但本题

47
222

学 海 无 涯
不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图
形，以此为出
发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.
方法1 在图7-172中，过 点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.
这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有

AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.
再连结CO，AO，DO，BO，
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法2 在图7-173中，作直线XP 交大圆于E，F，分
别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有

AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.
易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.
所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的 特殊割线，
作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本
图形.于是有
AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.
易证AE＝BC，AF＝BD，
所以AE·AF＝BC·BD.
从而AX·AY＝BP·BQ.
通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密
结合起来，
沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的
作法来证明此
题?

三、练习
练习1 已知P为⊙O外一点，O P与⊙O交于点A，割线PBC
与⊙O交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC 的长.
练习2 如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O
于P ，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.

48

学 海 无 涯

四、小结
用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学
生观察并说出相应的定理.



教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.
五、习题

1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。
已知：如图5，⊙O
1
和⊙O
2
相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点 ，且PC、
PD与⊙O
1
和⊙O
2
分别切于C、D两点。求证：PC =PD。

2、如图6，过点P作⊙O的切线PA，A为切点，过PA中点B作割线交⊙O于 C、
D，连结PC并延长交⊙O于E，连结PD，交⊙O于F。求证：EF∥PA。

3、如图7，已知PBD是⊙O的割线，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，求证：

49

学 海 无 涯

（1）PA·AB=PB·AD；
（2）；
（3）AD·BC=AB·DC。 < br>提示：（1）要证PA·AB=PB·AD，只要证得就可以了。而PA、AD、PB、
AB分别 是△PAD和△PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然
∠APD=∠BPA，∠A DP=∠BAP，因此△PAD∽△PBA。
（2）由问题（1）可知
PA
2
=PB·PD，故有
，因此要证
。
，只需证。而
（3）要证AD·BC= AB·DC，只需证得
类似问题（1）可证得
即可。由问题（1）可知
。因此有。
，
。因PA=PC，故

3.3.2 点的轨迹：三点的轨迹
［教学目标］
1. 了解点的轨迹的定义。
2. 掌握五种基本轨迹（即轨迹定理1、2、3、4、5）。
3. 学会利用定理1、2、3、4、5求简单轨迹。
4. 初步学会交轨法作图。
二. 重点、难点：
1. 重点：有关轨迹的5个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用。
2. 难点：

50

学 海 无 涯
（1）如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法。
（2）如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决。
例1. 求下列点的轨迹。
（1）当的斜边AB固定时，求直角顶点C的轨迹。
（2）已知⊙O及弦AB，求与AB平行的弦的中点的轨迹。
解：（1）如图，设O为AB的 中点，连结CO，则。因为AB固定，
所以O为定点，CO为定长。由定理“到定点的距离等于定长的点 的轨迹，是以
定点为圆心，定长为半径的圆”，得所求轨迹是以AB为直径的圆。

由于圆上A，B两点不能作为以AB为斜边的直角三角形的直角顶点，故应
除去。
（ 2）如图，动点是与AB平行的弦的中点，不变量是⊙O的弦AB，根据垂
径定理，弦中点到A、B的距 离相等，由定理2，所求中点的轨迹是与弦AB垂直
的直径（除去两端点及AB的中点）

精析：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为课
本中某一个轨 迹定理的条件，从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。在求出
轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了 某些不合题意的点，如果有，则应当
将它们除去。
例2. 求下列点的轨迹，并画出图。
（1）在半径为5cm的圆中，长为6cm的动弦的中点的轨迹。

51

学 海 无 涯
（2）与相交于A、B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹。
解：（1）如图，连结OC、OA，其中C为弦AB的中点，根据垂径定理得：OC
⊥AB。

所以，所以
所以以长为6cm的已知线段为弦，且在半径为5cm的圆中运 动所得的弦的
中点的轨迹是以点O为圆心、半径为4cm的一个圆。
（2）设P是所求轨迹上的任意一点，连结
又因为，所以AB垂直平分
，则
而线段AB上的任意一点都不可能是和⊙O
1
，⊙O
2
都外切的动圆圆心
所以所求轨迹是的中垂线AB，并除去线段AB，如图所示。

精 析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画
出图形（如本例第（1）小题中， 设AB是半径为5cm的⊙O中的一条长为6cm的
弦，C是AB的中点，然后分析当AB运动时，中点 C如何变化。）这样便于借助
图形，找出能反映动点运动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个 轨
迹定理中的条件。在检验求出的轨迹时，有时要剔除的不只是某几个点，而可
能是一条线段， 或一段圆弧等。如本例中第（2）小题。
例3. 求以4cm长的已知线段AB为一边，且面积为
点C的轨迹。

52
的三角形的第三个顶

学 海 无 涯
解：因为AB的长为4cm，三角形面积为

，则三角形AB边上的高线长
所以三角形的第三个顶点C到对边AB所在直线的距离为6cm
因此所求轨迹是与线段AB所在直线平行，且到这条直线的距离等于6cm的
两条平行直线（如图所示）

精析：求点的轨迹的一般步骤：
（1）描出一些适合的点（画出草图）；
（2）研究并总结这些点具有的共同特点与已知条件 的关系，从而根据五个
轨迹定理中的一个确定所求的轨迹是什么图形；
（3）根据题意考虑是否有需要排除的特殊点（或线段、圆弧），然后用文
字叙述完整。
例4. 如图所示，已知∠EOF，点A和点B，求作一点P，使点P同时满足：
（1）到∠EOF的两边距离相等；
（2）到点A、B的距离相等。

解：点P到∠EOF两边的距离相等，则点P在∠EOF的平分线上，故作∠EOF
的平分线。
点P到A、B两点的距离相等，则点P在线段AB的中垂线上，故作线段AB
的中垂线。
两线的交点为P，则点P即为所求。
精析：当所求作的点同时满足两个（或多个）条件时，应单一地考虑每一

53

学 海 无 涯
个条件，确定所求作点各是什么轨迹上 的点，并作出每一个轨迹，则这两个（或
多个）轨迹的交点就是所求作的点，这种作图方法称为交轨法作 图。
例5. 已知⊙O和定长r，点A是圆内的一点，求作一个半径为r的圆，使它
经过点A，并且与⊙O内切。
解：以O为圆心，以⊙O的半径减去定长r的差为半径画圆
以点A为圆心，以定长r为半径画圆，两圆相交于点
则以或为圆心，定长r为半径画圆，所得⊙或⊙

就是所求作的圆。
（如图所示）

精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为已知线段r，故作图的关
键是找圆心，由已知条件，就是到定点O的距离为定长（⊙O的半
径与r之差）的点的轨迹和到定点A的 距离为定长r的点的轨迹的交点。
练习
1. 到定点P的距离等于6cm的点的轨迹是_____________。
2. 以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是_____________。
3. 已 知⊙O'与半径是4cm的⊙O外切，且⊙O'的半径为2cm，则点O'的轨迹
是_________ _。
4. 已知动点P到直线的距离为5cm，则点P的轨迹是____________。
5. 半径等于2cm，与直线相切的圆的圆心的轨迹是______________。
6. 如图所示，
知
____________。
中，∠C＝Rt∠， BC边在上，点A在上，。已
进行平行移动，那么AB边的中点Q的轨迹是

54

学 海 无 涯

7. 与正方形ABCD的AB、AD两边（不延长）都相切的圆的圆心的轨迹是
________。
8. 到半径为r的定圆O的切线长等于定长a的点的轨迹是___________。
9. 一动点P绕定点O，且到定点O的距离为4cm旋转半周，那么点P运动所
经过的路程是____ _____cm。
10. 如图所示，半径为3cm的弹子沿着半径为8 cm的圆形钢圈内壁滚动3周，
那么弹子圆心P随之运动所经过的路程是________ cm。

二. 选择题。
11. 到已知角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是（ ）
A. 这个角的平分线
B. 这个角的平分线所在直线
C. 这个角和它的邻补角的平分线所在的直线
D. 这个角和它的邻补角的平分线
12. 已知线段AB，切AB中点E的动圆圆心的轨迹是（ ）
A. 线段AB的中垂线
B. AB的垂线（除去E点）
C. 线段AB的垂线
D. 线段AB的中垂线（除去E点）
13. 已知两条平行线之间的距离为6 cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心
的轨迹是（ ）

55

学 海 无 涯
A. 和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线
B. 和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线
C. 和这两条直线平行，且距离都等于3cm的一条直线
D. 和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线
14. 点P（x，y）在直角坐标系内运动，且满足
A. 平分第I象限角的一条射线
B. 平分第II象限角的一条射线
C. 平分第III象限角的一条射线
D. 平分第I、第III象限角的一条直线
15. 已知抛物线的对称轴是到A（-3，0）和B（5，0）的距离相
，则点P的轨迹是（ ）
等的点的轨迹，则b的值是（ ）
A. -4 B. 4 C. -2 D. 2
三. 解答题。
16. 如图所示，已知⊙O和⊙O上一点A，求以点A为一端点的弦的中点的轨
迹，并画出图形。

17. 如图所示，已知∠EAF，B是AE上一点，求作一个
为2 cm，点C到AE，AF的距离相等。
，使AB边上高线

18. 如图所示， 一根小木棒两端A、B紧靠钢圈上，现小木棒A、B两端紧靠
钢圈按逆时针方向滑动到A'B'位置上， 使得A与B'重合，B与A'重合，且

56

学 海 无 涯
ABA'B'，已知小木棒长为8cm ，钢圈半径为5cm，求木棒中点P随之运动所经
过的路程。

19、在三角形ABC中 BC=6 AC=5 AB=4 过点A且与BC边相切的圆分别
与AB、AC交于点DE 求线段DE长度的最小值

3.3.3 证明四点共圆的基本方法
1、利用圆的定义
C
根据圆的定义 可以知道，平面上到一个定点
D
?
等距离的几
D
个点在同一个圆上， 这个圆是以定点为圆心，以定点到这几
个点中任一点的距离为半径。
O
2、利用三角形的关系
A
B
(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
图7-39
(2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
已知C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB。
求证：A，B，C，D四点共圆。
证明：如图7-39，过A，B，C三点
D
D
D
作⊙O。
C
D
?

C
C
O

O
O
(1)
A
BE
如果D点
B
A
B
O在⊙A
内部，则延长BD
图7-42
图7-41
交⊙O于
D
?
，连A
D
?
。
图7-40
∵∠
D
?< br>=∠C，且∠ADB＞∠
D
?
。∴∠ADB＜∠C，这与
∠ADB=∠ ACB矛盾。
因此D点不可能在⊙O的内部。
(2)如图7-40，如果D点在⊙O的外部 ，连AD，BD。则必有一条线段与⊙O
相交，设BD与⊙O交于
D
?
，连A
D
?
。
∵∠A
D
?
B=∠ACB，且∠D＜∠A
D
?
B。
B
D
∴∠D＜∠ACB，这与∠ADB=∠ACB矛盾。
P
因此，D点不可能在⊙O的外部。
A
O
综上所述，D点必在⊙O上。
C
3、利用四边形的关系
(1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆
图7-43

57

学 海 无 涯
(图7-41)；
(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42)
4、利用线段的乘积式的关系
(1)线段AB，CD相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆。
证明：如图7-43，连AD，BC，AC。
A
PAPD
在△APD和△BPC中，∵PA·PB=PC·PD，∴。
?
PCPB
B
O
C
P
又∠APD=∠BPC，∴△APD∽△ BPC。∴∠B=∠D，又B，D在线
段AC同侧。
D
图7-44
因此，A，C，B，D四点共圆。
(2)两线段AB，CD的 延长线相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D
四点共圆(图7-44)。
例1、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线。其
D
G
C
交点 分别为E，F，G，H，证明这些交点在以对角线的交点O为圆心
的圆上。
O
分析： 由于P点选取的任意性及正方形ABCD顶点，对角线交
F
点的固定性，应通过三角形全等证明 OE=OF=OG=OH，根据圆的定义
H
P
AE
B
证明四点共圆。
图7-45
证明：如图7-45，连OE、OF、OG、OH。
∵OA=OB=OC，∠OAH=∠OBE=∠OBF=∠OCG=45?，AH=BE=BF=CG。
∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCG。
∴OH=OE=OF=OG。
因此，E，F，G，H四点共圆。
A
?
A
例2、从一定点P向各同心圆作切线，求证各切点共圆。
O
P
分析：由于切线垂直于过切点的半径，因此条件中存在较多的
B
垂直关系。 可以考虑使用“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”进
B
?
行证明。
图7- 46
证明：如图7-46，连
OA,OA
?
,OB,OB
?
,OP
。
∵∠OAP=∠O
A
?
P=∠OBP=∠O
B< br>?
P=90?，且都以OP为斜边，
∴A，B，
B
?
，
A
?
共圆。
例3、已 知AB，CD是⊙O的弦，且AB∥CD，M为AB的中点，DM交⊙O于E，
E
求证E，M， O，C四点共圆。
M
B
A

分析：注意“同斜边的直角三角形的各 顶点共圆”与“同底同
O
侧张等角的三角形的各顶点共圆”的区别与联系。前者的直角可在D
N
斜边两侧，而后者的等角必须在同底的同侧。本题应使用后者进行
C
图7-47
证明。
证明：连OE，OM，OC，MC，反向延长OM与CD交于N，如图7-47所示。
∵AB∥CD，AM=BM，∴MC=MD，∠MCD=∠MDC。
又∠CME=∠MCD+ ∠MDC=2∠MDC，而∠COE=2∠MDC，∴∠CME=∠COE，且M，
C在线段CE同侧。
因此E，M，O，C四点共圆。

58

学 海 无 涯
例4、两圆交于A，B过B的直线交两 圆于C，E，在BA的延长线上任取一
点P，连PC，PE，交两圆于D，F。求证：P，D，A，F四 点共圆。
分析：涉及到四边形时，可以考虑使用“如果四边形的
P
一组对角互补，那 么它的四个顶点共圆”，也可以考虑使用“如
D
A
F
果四边的一个外角等于它 的内对角，那么它的四个顶点共
圆”。
证法1：如图7-48，由∠PDA=∠ABC，∠P FA=∠ABE，并
C
E
B
且∠ABC+∠ABE=180?，所以∠PDA +∠PFA=180?。
图7-48
因此P，D，A，F四点共圆。
证法2：由∠PDA=∠ABC，∠ABC=∠AFE，所以∠AFE=∠PDA。
因此P，D，A，F四点共圆。
例5、从⊙O外一点A作切线AB，AC过BC的中点M作弦
B
PQ。求证：Q，P，A，Q四点共圆。
P
M
O
分析： 使用相交弦定理的逆定理及割线定理的逆定理证
A
明四点共圆较为困难。本题可以使用相交弦定 理的逆定理进
C
G
行证明。
图7-49
证明：如图7-49连OB ，则OB⊥AB，又BC⊥OA，所以根
据射影定理，有
BM
2
?
A M·OM。
根据相交弦定理，有PM·QM=BM·CM=
BM
2
。
∴AM·OM=PM·QM。
D
根据相交弦定理的逆定理，有O，P，A，Q四点共圆。
A
?
?
MN
例1、两个角的边交于点A、B、C、D(如图5-18)，已知这
E
?
90??
?
?
两角的平分线互相垂直。求证：A、B、C、D四点共圆。 < br>B
P
C
证明：由题意可设∠AEM=∠MEB=
?
，∠NMF =∠AME=
?
，∠
90??
?
DAB是△EAM的外角，所以∠D AB=
?
?
?
。因为EN⊥NF，所以∠
F
图5-18EPN=90?－
?
，∠NFM=90－
?
=∠PFC。
又∠ EPN与∠CPF是对顶角，∴∠CPF=∠EPN=90?－
?
。∠BCD是△PCF的外< br>角，∴∠BCD=∠PEC+∠CPF=(90?－
?
)+(90?－
?
)=
180??
?
?
?
。
于是∠DAB+∠BCD=< br>(
?
?
?
)?(180??
?
?
?
)
=180。
A
∴A、B、C、D四点共圆。
E
1
3< br>D
例2、O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC、AB于D、E。
O
2< br>C
2
4
如果BE·BA+CD·CA=
BC
。求证：A、D、 O、E共圆。
F
B
22
证明：∵BE·BA+CD·CA=
BC< br>，∴BE·BA∠
BC
。①
图5-19
故在线段BC上存在一点F( 如图5-19)，使BE·BA=BF·BC。
②
由①，得CD·CA=
BC
2
－BE·BA=(BF+FC)·BC－BF·BC，
即CD·CA=FC·BC。③
连AF，由②知A、C、F、E四点共圆。∴∠1=∠2。
又由③知A、B、F、D四点共圆。∴∠3=∠4。
∴∠BAC=∠1+∠3=∠2+∠4=COD。∴A、D、O、E四点共圆。

59

学 海 无 涯
例3、如图5-20，设AD、BE、 CF为△ABC的高，垂心为
H，N、S、P分别为三边中点，G、T、M分别为AH、BH、CH的< br>中点。求证：D、E、F、G、T、M、N、S、P九点共圆。
分析：对于多点共圆问题，要归 结为四点共圆问题加以
解决。所以，欲证九点共圆，可先证其中四点共圆。再证余
下五点都在此 圆周上。
证明：∵PS∥TM∥BC(PS=TM=BC)，
1
2
12
1
2
1
2
A
E
P
F
BD
图5-20
T
H
N
S
M
C
PT∥S M∥AH(PT=SM=AH)，又AD⊥BC，∴PTMS的矩形。
同理证TNSG也为矩形。故T S、NG、PM是同一个圆的
D
C
E
三条直径。
F
又∠G DN=90?，∴D在此圆上。同理，E、F也在此圆上。
B
故结论成立。
说明：本 题是著名的“九点圆定理”，即：任意三角形
A
三条高的垂足、三边的中点、以及垂心与三顶点 连线的中点，
图5-21
这九个点共圆。其证明方法很多，上述是用四点共圆给以证
明 的。
例4、如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB。求证：∠BAC=∠DAE。
分析：欲证∠BAC=∠DAE，如图5-21，在△ABC与△ADE中， 已知∠CBA=∠
ADE，故只须证明∠BCA=∠DEA即可。
证明：∵∠AEC=∠ADB，∴A、F、D、E四点共圆。
∴∠AFE=∠ADE，而∠A DE=∠ABC。∴∠AFE=∠ABC。∴A、B、C、F四点共
圆。
于是，得∠BCA=∠BFA=∠DEA。
在△BCA与△DEA中，∵∠ABC=∠ADE，∠BCA=∠DEA，∴∠BAC=∠DAE。 < br>例5、设⊙
O
1
、⊙
O
2
、⊙
O
3
两两外切，M是⊙
O
1
、⊙
O
2
的切点，R、S分 别
是⊙
O
1
、⊙
O
2
与⊙
O
3< br>的切点，连心线
O
1
O
2
交⊙
O
1
于P，交⊙
O
2
于Q。求证：P、
Q、R、S四点共圆。分析：如图5-22 ，连结MR、PR，则∠PRM=90?，欲证P、Q、
R、S四点共圆，设法证明∠PRS与∠Q互补 即可。
O
证明：连结RM、PR、RS、SQ，并作切线RN，则在四边
P
M
1
1
形PQSR中，∠Q=∠
O
1
O
2
O
3
，
2
O
2
R
N
Q
S
∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS=90?+∠P+∠
O
3

=9 0?+∠
O
2
O
1
O
3
+∠
O
3
，
1
2
1
2
O
3
1
2
1
∴∠Q+∠PRS=90?+(∠
O
1
O
2
O
3
+∠
O
2
O
1
O
3
+∠
O
3
)=90?+90?=180?
2
图5-22
∴P、Q、R、S四点共圆。

例5、若凸四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，试证：

60
A
1
2
E
3
B
4
C
D

学 海 无 涯
该四边形四个顶点共圆。
分析：若题目中直接指明需证某四点共圆，则一般采用直接寻找共圆条件，
以证得结果。
证：如图7－5，在四边形ABCD中引AE，BE使得∠1=∠2，∠3=∠4。
则△ABE∽△ACD，所以
即
AB?CD?AC?BE
①
连结ED，由∠BAC=∠EAD及
因此
ABAE
得△BAC∽△EAD，
?
ACAD
ABBE

?
ACCD
ACBC

?
ADED
即
AD?BD?AC?ED
②
①+②得
AB?CD?AD?BC?AC?(BE?ED)

但由题设
AB?CD?AD?BC?AC?BD
可知
EF?ED?BD
，故B，E，D三点共 线，
所以∠ABD=∠ACD。于是A，B，C，D四点共圆。
例2设△ADE内接于圆O， 弦BC分别交AD，AE边于F，G，且
AB?AC
(图
3-35)。求证：
F,D,E,G
四点共圆。
分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因 此，用圆幂
定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆．
证：作
AM?BC
交圆O于N，因为
AB?AC
，则
AN
必为⊙O的
A
直径，所以
B
F
M
C
∠FDN=∠FMN=90°，
O
所以F，D，N，M四点共圆，所以AD·AF=AN·AM．
D
E
同理，AG·AE=AN·AM，所以AD·AF=AG·AE，
N
所以F，D，E，G四点共圆．
3-55
多点共圆问题
这里所 说的多点共圆是指四点及四点以上的诸多点共圆问题，而其中四点
共圆是基本技能，应立于善于将其灵活 运用于解题实践之中；后者也很重要，
其方法主要是先证其中四点共圆，然后证明其余各点均在这个圆上 ，另外，定
义有时也能起到很大的作用。
例1、如图14-5所示，在△ABC的边AB、B C、CA上分别用黑点标出C1，A1
和B1，它们都不是这些边的端点，现知有
AC1BA1 CB1
??
及∠BAC=∠B1A1C1，
C1BA1CB1A
证明：黑点为 顶点的三角形相似于△ABC。
分析、要证两三角形相似，已有∠BAC=∠B1A1C1，再设法找出另一对角相
等即可。
证明：过C1作C1M∥AC，如图，连B1M，则
CMAC1CB1
??
，
MBC1BB1A
A
从而B1M∥AB。故四边形AC1MB1为平行四边形，∠B1 A1C1=∠
P
A=∠B1MC1。于是A1，C1、B、M四点共圆，∠A1B1C1=∠A 1MC1。
O
D
Q
B
又C1M∥AC，故∠C=∠A1MC1=∠A 1B1C1。因此△A1B1C1∽△ABC。
C
O1
例2、如图14-6所示，A BCD是⊙O的内接四边形，延长
AB和DC相交于E，延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切⊙
E
G
F

61
图14-6

学 海 无 涯
O于P、Q。求证：EP
2
+FQ
2
=EF
2
。
分析、对于在解题中需证明某四点共圆的问题，是一个较难掌握的问题，
一般只能按结论逐步推 理。此例所要证明的结论中EP、FQ均在切线，
B
G
R
此我们不妨从割线定 理着手。证明：过B、C、E作⊙O1，交EF于G，
M
连CG，因为∠FDC=∠ABC=∠ CGE，故F、D、C、G四点共圆。于是可
A
P
O
反复使用切割线定理，有
C
EP
2
=(EG+GF)·EF=EG·EF+GF·EF=EC·ED+ FC·FB
图14-7
22222
=EP+FQ，即EF=EP+FQ。
例3、如图14-7所示，设A为⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于B、C，
APQ为⊙O的一条 割线。过B作BR∥AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M，试证：A、
B、C、O、M五点共圆。
分析、将五点共圆问题转化为四点共圆问题。
DI
证明：连接OB、OC、BC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，故A、B、O、C
B
四点共圆。由于BR∥AQ，故∠GRB=∠B AQ。而∠GBR=∠BCR，故∠BAQ=
O
MI
∠BCR。即∠BAM=∠BCM 。于是A、B、M、C四点共圆。
但过A、B、C三点只能作一个圆，因此 ，A、B、C、O、M五点
CI
A
图14-8
共圆。
例4、AB为 一圆O中的定弦，作⊙O的弦C1D1，C2D2，…，C
1998
D
1998
，对其
中每个
i
(
i
=1，2，…，1998)C
iD
i
都被弦AB平分于M，过C
i
，D
i
作⊙O的切线 ，
两切线交于点PI。求证：P1，P2，…，P1998在同一个圆周上。
分析、如图14 -8所示，这是证明1998个点的共圆问题，不便考察，先取
定一点PI，看它与三个定点A、B、O 存在什么关系。
证明：先取一条弦CIDI(I=1，2，…，1998)来研究。
因A、B、CI、DI在⊙O上，且MI为AB与CIDI的交点，故有
CIMI·DIMI=AMI·BMI，①
又因PICI、PIDI为⊙O的切线，易证O， CI，PI，DI四点共圆，且OPI与
CIDI也交于MI，故有
CIMI·DIMI=OMI·PIMI。②
由①、②得AMI·BMI=OMI·PIMI。
于是PI，O，A、B四点共圆，即PI在 △OAB的外接圆上，亦即点P1，P2，…，
P1998在△OAB的外接圆上。
例7、如 图5-24，AB、CD是圆的两条弦，延长AC、BD交于P。求证：△PAB
与△PCD的外心，垂 心四点共圆。
分析：易知△PAB∽△PDC。设△PAB的垂心为
H
1
，
A
C
外心为
O
1
，△PCD的垂心为
H
2
，外心为
O
2
，于是有
O
H
H
O
P
H
1
∶P
H
2
=P
O
1
∶P< br>O
2
，因此只需证明P、
O
1
、
H
2
共线
B
P
D
OH
及P、
2
、
1
共线，命题就可获证。
图5-24
证明：如上所设
H
1
是△PAB 的垂心，
O
2
是△DPC
的外心。
1
2
1
2
Q
PI
∴∠
H
1
PA+∠BAP=90?，∠
O
2
PC+∠C
O
2
P=90?。

62
1
2

学 海 无 涯
而∠CDP=C
O
2
P，∴∠
O
2
PC+CDP=90?。又∵CDP=B AP，∴
H
1
PA=∠
O
2
PC。
∴
H
1
、
O
2
、P三点共线。同理，
O
1
、< br>H
2
、P三点共线。
又∵△PAB∽△PDC，∴
PH
1< br>PO
1
?
，
PH
1
?PO
2
?PH
2
?PO
1
。
PH
2
PO
2
1
2
∴
O
1
、
O
2
、
H
1
、
H
2
四点共圆。
例8、设AB为定⊙O中的定弦，作⊙O的弦< br>C
1
D
2
,C
2
D
2
,?C
1988
D
1988
，对其中每
一
i
(
i
=1，2，…，1988)，
C
i
D
i
都被AB平分于
M
i
，过
C
i
,D
i
分
D
i
别作⊙O的切线，两切线交于点
P
i
。求证：
P
1
,P< br>2
,?,P
1988
共圆。
O
M
i
证明： 对每个
i
(
i
=1，2，…，1988)，连结
OCi,ODi。如图
B
A
5-25。
P
i
C
i
∵
CiDi
均被AB平分于
Mi
，∴
CiMi?DiMi?AMi?M iB
。
图5-25
又
P
i
C
i
,Pi
D
i
分别切⊙O于
C
i
,D
i
，∴ O、
Ci
、
Pi
、
Di
四点共圆，
且O
P
i
过
Mi
。
∴
C
i
M
i
?D
i
M
i
?P
i
M
i
?OM
i
。故
OM
i
?M
i
P
i
?M
i
A?M
i
B
。
∴
Pi
和O、A、B共圆。 而O、A、B为定点，所以
P
i
在△ABO的外接圆上，即
P
1
,P
2
,?,P
1988
共圆。
多圆共点问题
所谓多圆共点问题，就是证几个圆同时过某一点。证明多圆共点问题通常
有以下两种方法： < br>(1)先证两圆相交(切)于某点，然后证此点在其它圆上，即把这类问题转化
为多点共圆的情形 。
(2)找出某一定点，然后证明该点在这多个圆上，这里定
A
点一般为特殊点。
例1、四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F两点，
B
C
D
求证：所成的四个三角形：△ABF、△ADE、△CDF、△BCE的
外接圆共点。
E< br>P
F
分析、如图14-9所示，两个较大的三角形的外接圆交于
图14-9A、P两点；显然两个较小的三角形的外接圆不能过点A。故应
设法证明四个外接圆过点P。
证明：设P是△ABF与△ADE外接圆的另一交点，连结PA、PB、PE。
因A、B、P、F四点共圆，故∠PBF=∠PAF。
又因A、E、P、D四点共圆，故∠D EP=∠PAF。从而∠PBF=∠DEP，E、B、C、
P四点共圆，即P在△BCE的外接圆上。同 理，P在△CDF的外接圆上。因此，
△ABF、△ADE、△CDF、△BCE的外接圆共点P。
证明若干个圆共点常用的方法主要有以下二个：
(1)先证其中两圆相交(或相切)于某点， 然后证明此点在
A
E
其它圆上，即把圆共点的问题转化为共圆点问题。
F< br>(2)找出某一定点，然后证明该点在诸所设圆上(这定点一
O
般为特殊点)。
例8、如图7－8，在△ABC的各边上向外各作一个正三角
BC

63
D

学 海 无 涯
形BCD，CAE，ABF。证明：这三个正三角形的外接圆共点。
证：设△CAE与△AB F的外接圆交于O点，连接AO，BO，CO。因为∠AOC+
∠E=180?，∠AOB+∠F=18 0?，∠E=∠F=60?，所以∠AOC=360?－∠AOC－∠
AOB=120?，∠D=60? ，故∠BOC+∠D=180?，
因此，O，B，D，C四点共圆，即△BCD的外接圆通过O点。于 是△BCD，△
CAE，△ABF的外接圆共点。
例9、如图7－9，I为△ABC的内心， 过B作圆
O
1
与直线CI相切于I点，
又过C作圆
O
2与直线BI相切于I点，求证：所作两圆与△
A
ABC的外接圆共点。
证：因为
?BIC?180??(?B??C)?180??(180???A)
，
1
?90???A?180?

2
所以⊙
O
1和⊙
O
2
的另一个交点D必在∠BIC内部。连
I
Q
1
Q
2
1
2
1
2
接DI，DB，DC。
由于
?BID??ICD,?CID??IBD

所以
?BDC?3 60??(?BIC??IBD??ICD)
?360??2?BIC

1
? ?
?360??2
?
90???A
?
?180???A
，
2
??
即
?A??BDC?180?
。
B
DC
因此，A，B，D，C四点共圆。故△ABC的外接圆通过D点，于是，所说的
三圆共点 。
A
练习
S
F
H
E
Q
R
P< br>C
1．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，
B
第3题
B，F，E四点共圆，则C，D，E，F也必四点共圆．
2．四边形EFGH的顶点 顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，
CF=CG，DG=DH．求证：E， F，G，H四点共圆．
1、设△ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且BD=CD，
CE=AE，BE、AD相交于P。求证：P、D、C、E四点共圆，且AP
1
2O
2
O
1
1
2
A
O
3
CBD
⊥CP。
2、设△ABC的BC边的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于D，第5题
求证：A、B、C、D四点共圆。
3、如图，两圆相交，过一交点A引两圆的直径 AB、AC，交两圆于E、F，
过B、E及C、F的直线交两圆于P、Q、R、S。求证：P、S、Q、 R四点共圆。
4、在△ABC中，过B、C分别作∠BAC的平分线为垂线，E、F的垂足，AD⊥BC于D，M为BC中点。求证：M、E、D、F四点共圆。

64

学 海 无 涯
5、如图，D是△ABC的BC边上的 一点，
O
1
O
2
和
O
3
分别为△
N
ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心。求证：A、
O
2
、
O
1
、
O
3
四点共
Q
M
S
圆。 < br>K
H
L
C
6、在Rt△ABC中，∠BAC=90?，AH⊥BC于H ，S为AH的中点，
B
过S点作各边的平行线与三边交于P、Q、K、L、M、N，如图。求< br>第6题
证：P、Q、K、L、M、N六点共圆。
7、设ABCD为平行四边形，∠AB C＞90?，O为其对角线交点，自点D作对
对角线AC的垂线，垂足为
B
?
，自点D作AB边垂线，垂足为
C
?
，自点D作BC边
的垂线。垂足为
A
?
。求证：O、
A
?
、
B
?
、
C
?
共圆。
8、已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且
2S
四边形ABCD
=AB·CD+BC·AD。求证：
A、B、C、D四点共圆。
教材部分答案
第一章 数与式
1.1.1．绝对值
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
P
A
1．（1）
a?b
（2）
,
（3）
4ab?2ac?4bc

2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1
99
1．
2
2．B 3．
2?1
4．
100
1.2 因式分解 略
第二章 二次方程与二次不等式
略
第三章 三角形与圆
3.1 相似形
练习1
1．D
DEADx51010
?,??,x?
，即
BF?
.
BCABx?2833
ABBD535
??,?BD?cm.
3．
ACDC49
ABBD
4．作
CFAB
交
AD
于
F
，则，又
?AFC??FAE??FAC
得
?
CFDC
AB BD
?
.
AC?CF,
?
ACDC
EGCEACCEDB DFAC
?,
即
??,??
5．作
EGAB
交
BC
于
G
，
CEGCAB,?
.
ABACABEGEGEFA B
1
3
1
2
11
24
2．设
BF?x,< br>
65