初高中数学衔接超好教材

初高中数学衔接教材


现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三
次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理 化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的
解题技巧。
4．初中教材对 二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值 域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是
高中数学必须掌握的 基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在 初中不作要求，此类
题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与 二次方程相互转化被
视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变 换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右
平移，两个函数关于原点，轴 、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而 高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部 分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定
理等）初中生大 都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。








目 录

1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.４ 分式
1．2 分解因式

2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹



1.1 数与式的运算

2

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式
‘
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
，则x=_______ __；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5< br>，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝__ ______.

2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
；
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（2）立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
；
（5）两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
33223
332232222
2233
2233
222
22

例1 计算：
(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)
．
2 22
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1) ?x
??

242
22
=
(x?1)(x?x?1)

=
x?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x?x?1)(x?1)(x?x?1)

=
(x?1)(x?1)

=
x?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，求
a?b?c
的值．
解：
a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
2222
33
22
6
6
222
1
2
1
2
11
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

416
3
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数



1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子 称为
无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x?
是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（ 子）有理化，需要引入有理化
因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互
2
2
x?1
，
x
2
? 2xy?y
2
，
a
2
等
2
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23 ?32
，为有理化因式，例如
2
与
2
，等等． 一
般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by
，< br>ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分 子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化
则是分母和分子都乘以分母的有理 化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法 进行，运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成 分式的形式，然后通过分母有理化进行
运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础 上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
的意义
2

a
2
?a?
?
例1
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
ab?a
6
2
b?ab(a?0)
；
3
（3）
4xy?2xy??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3
＝
9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3
解法二：
3?(3?3)
＝
3?3
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?

解法一：
3?(3?3)
＝
3

3

3(3?1)
1
＝
3?1
＝
＝
3?1

(3?1)(3?1)
3?1
．
2
＝
2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
112?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
11?10?
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
（2）∵
22－6?
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
∴
2
＜
22－6
.
6?4
2)
2004
?(3?2)
2005
． 例4 化简：
(3?
解：
(3?
＝
(3?
2)
2004
?(3?2)
2005

2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

2004
?(3?2)
＝
?
(3?2)?(3?2)
?
??
2004
?(3?2)
＝
3?2
． ＝
1

例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?

解：（1）原式
?5?45?4


?(5)?2?2?5?2

22
1
?2(0?x?1)
．
2
x
1
x
1
，
x
（2）原式=
(x?)
2
?x?
∵
0?x?1
，
?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．
1
?1?x
，
x
1
所以，原式＝
?x
．
x
∴
3?2
,y?
3?2
3?2
解： ∵
x?y??
3?2
例 6 已知
x?
3?2
22
，求
3x?5xy?3y
的值 ． < br>3?2
3?2
?(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
2222
∴
3x?5xy?3y?3(x?y)?11xy?3?10?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3
2
（2）若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

等式
a
2
?1?1?a
23．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．


1.1.４．分式
1．分式的意义
形如
AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
BBB
AA?M
?
；
BB?M

AA?M
．
?
BB?M
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又 含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?

?
2A?4,
解得
A?2,B?3
．
111
??
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：；
???
1?22?39?10
1111
????
． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
11(n?1)?n 1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
111

???
1?22?39?10
11111

?(1?)?(?)??(?)

223910
19

?1?
＝．
1010
111
???
（3）证明：∵
2?33?4n(n?1)
111111
)
＝
(?)?(?)??(?
2334nn?1
11
＝
?
，
2n?1

又n≥2，且n是正整数，
1
∴ 一定为正数，
n＋1
∴
例3 设
e?
11
??
2?33?4
?
1
1
＜ ．
n(n?1)
2
c
，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a

解：在2c
2< br>－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
∴e＝
1
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n，
1
n(n?2)
?
(
1
n
?
1
n?2
)；
2．选择题：
若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
x
y
＝ （ ）
（A）１ （B）
54
6
4
（C）
5
（D）
5

3．正数
x,y
满足
x
2
?y
2
?2xy
，求
x?yx?y
的值．
4．计算
11
1?2
?
2?3
?
1
3?4
?...?
1
99?100
．


习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
． < br>２．已知
x?y?1
，求
x
3
?y
3
?3x y
的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1 ?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（ 3）
1
1?2
?
1
2?3
?
1
3?4?
1
4?5
?
1
5?6
?
________．

B 组
1．填空：
（1）
a?
11
3a
2
?ab
2
，
b?
3
，则
3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
（2）若
x?xy?2y?0
，则
x
2
?3xy?y
2
22
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：x?
1
2
,y?
1
3
，求
y
x?y< br>?
y
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

）

1
等于 （ ）
a
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

11
2
2．解方程
2(x?
2
)?3(x?)?1?0
．
xx
1111
3．计算：．
????
1?32?43?59?11
111
1
???
4．试证：对任意的正整数n，有＜ ．
1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)
4
（2）计算
a?






1.1.1．绝对值
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1．（1）
a?
1
3
111
b
（2）
,
（3）
4ab?2ac?4bc

224
1.1.3．二次根式
2．（1）D （2）A
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
99
1
1． 2．B 3．
2?1
4．
2
100
习题1．1
A组
1．（1）
x??2
或
x?4
（2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

B组
35
1
1．（1） （2），或－ 2．4．
5
72
C组
136
,x
2
?2
3．
255
1111
?[?]
4．提示：
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
1．（1）C （2）C 2．
x
1
?








1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法 、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及

待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x?(a?b)xy?aby
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，
而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1 －2
－1
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图
1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x?(a?b)xy?aby
＝
(x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
32
（1）
x?9?3x?3x
； （2）
2x?xy?y?4x?5y?6
．
32
解： （1）
x ?9?3x?3x
=
(x?3x)?(3x?9)
=
x(x?3)?3(x? 3)

322
22
22
22
x
y
－1
1
图1．2－5
=
(x?3)(x?3)
．
或
2
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x
2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1 )
3
?2
3

22
＝
[(x?1)?2][(x?1)?(x?1)?2?2]

＝
(x?3)(x?3)
．
（2）
2x?xy?y?4x?5y?6
=
2x?(y?4)x?y?5y?6

=
2x?( y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或
2
2222
2
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)? (4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
2若关于x的方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1、
x
2
，则二次三项式
ax?bx?c(a?0)
就
2
可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

2
（1）
x?2x?1
； （2）
x?4xy?4y
．
22
解： （1）令
x?2x?1=0，则解得
x
1
??1?2
，
x
2
??1? 2
，
∴
x?2x?1
=
?
x?(?1? 2)
??
x?(?1?2)
?

2
2
????
=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x?4xy?4y
= 0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(? 2?22)y
，
22
∴
x?4xy?4y
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
22
练 习
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；
22
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
22
22
342
2．在实数范围内因式分解：
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．

1.2分解因式
1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
(2a?b)(4a?2ab?b)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．
习题1．2
1．（1）
?
a?1
?
a?a?1
（2）
?< br>2x?3
??
2x?3
??
x?1
??
x?1
?

2
22
22222
222
??
（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?
（4）
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

2．（1）
?
x?
?
?
?
5?13
??
5?13
?
； （2）
x?2?5x?2?5
；
x?
???
???
2??
2
?
????
（3）
3
?
x?
?
?
?
2?7
??
2?7
?
； （4）
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
． < br>y
??
x?y
?
???
33
???
3．等边 三角形
4．
(x?a?1)(x?a)


2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程a x
2
＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当b
2
－4a c＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当b< br>2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
b
2
)
一定大于或等于零，因
2a
此，原方程没有实数根．
由此可 知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－ 4ac来判定，我们把b
2
－4ac
叫做一元二次方程ax
2
＋bx ＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．

（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，在解题过程
中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论． 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非
常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决 问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋c＝0 （a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?

若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
bc
，x< br>1
·x
2
＝．这一关系也被称为
aa
韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
， x
2
是其两根，由韦达定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)程x
2
＋px＋q＝0的两< br>根，出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由< br>于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由< br>两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5 x
2
－7x－6＝0，解得x
1
＝2，x
2
＝－
3
．
5
所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的 值．但在解题中需要
特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
∴(x
1
＋x
2
)
2
－3 x
1
·x
2
＝21，
2
即 [－2(m
－
2)]－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由
“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到 根的判别式Δ是否大于或大于
零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为x，y，利用二元 方程求解出这两个数．也可以利
用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，

则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?

y?6,y??2.
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
（2）求
11
?
的值；
x
1
2
x
2
2

（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解：∵x1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??
2
1< br>2
1
22
5
2
，
x
1
x
2
??
3
2
）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2

5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37
224
．
??? ?
3
2
9
(x
1
x
2
)
2
9
(?)
24
553
215
)×[(－)
2
－3 ×(
?
)]＝－．
8
222
（3）x
1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x
1< br>2
－x
1
x
2
＋x
2
2
)＝(x< br>1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
＝(－
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问 题，
为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x
1
和x
2< br>分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b?b
2
?4ac
，
x
2
?
，
2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－ 4ac）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零 ，求实数a的取值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①

且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．



练 习
1．选择题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的
习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
22
7
；
3
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程a x
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． < br>（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根 为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2< br>－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个
相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．


B 组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x
2
＋2005x－1＝0的两个实数根 ，则m
2
n＋mn
2
－mn的值等于 ．
（ 2）如果a，b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
的值是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
4．－1 提示：(x
1
－3)( x
2
－3)＝x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9

习题2．1
2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m
2
n＋mn
2
－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝
2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
＝a
2
(a＋b)＋ b
2
(a＋b)＝(a＋b)( a
2
＋b
2
)

＝(a＋b)[( a＋b)
2
－2ab]＝(－1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－3．
3．（ 1）∵Δ＝(－k)
2
－4×1×(－2)＝k
2
＋8＞0，∴方程一定有两 个不相等的实数根．
（2）∵x
1
＋x
2
＝k，x
1
x
2
＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
3abc?b
3
b
b
2
?4ac
x
1
?x
2
33
4．（1）| x
1
－x
2
|＝，＝
?
；（2）x
1
＋x
2
＝．
a
3
22a
|a|
5．∵| x
1
－x
2
|＝
16?4m?24?m?2
，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意， ∴m＝3．

C组
1．（1）B （2）A
（3）C 提整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．
（3）当k＝－2时，x
1
＋x
2
＝1，① x
1
x
2
＝
①
2
÷②，得
1
， ②
8
x
1
x< br>2
1
?
＋2＝8，即
?
??6
，∴
?
2
?6
?
?1?0
，
x
2
x
1
?
∴
?
?3?22
．
4．（1）Δ＝
2(m?1)?2?0
；
2
m
2
（2）∵x
1
x
2
＝－
≤0，∴x
1
≤0，x2
≥0，或x
1
≥0，x
2
≤0．
4
①若x
1
≤0，x
2
≥0，则x
2
＝－x
1
＋2，∴x
1
＋x
2
＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2
－2x－4＝0，
∴
x
1
?1?5
，
x2
?1?5
．
②若x
1
≥0，x
2≤0，则－x
2
＝x
1
＋2，∴x
1
＋x
2< br>＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x
2
＋2＝0，∴x1
＝0，x
2
＝－2．
5．设方程的两根为x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝－1，x
1
x
2
＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x
1
－1)( x
2
－1)

2
2.2.1 二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质

问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关？
为了研究这 一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
1
2
x，y＝－2x2
的图象，通过这些函数图象与函数y
2
＝x
2
的图象之间的关 系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…

从表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2
，y＝2x2
的图象（如图2－1所示），
从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2x
2
的图象可以由函
数y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到．
同学们也可以象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论： < br>二次函数y＝ax
2
(a≠0)的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵 坐标变为原来的a
倍得到．在二次函数y＝ax
2
(a≠0)中，二次项系数a决定了 图象的开口方向和在同
一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关
系．同学们可以作出函 数y＝2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象（如图2－2所示），从y＝2x
2

y＝x
2

y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2

y
O
－1
x
x
图2.2-1
O
图2.2-2

函数的同学我 们不难发现，只要把函数y＝2x
2
的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得
到函数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不 同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3(x－1)
2
＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及 方向；h决定了二次函数图象
的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下 平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
b
2
b
2
bb2
由于
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
y＝ax
2
＋ bx＋c＝a(x
2
＋
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图 象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的，于
是，二次函数 y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac?b
2
,)
，对称轴为直线x（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4 a
bbbb
＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?< br>时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
2a2a2a2a
4ac?b
2
时，函数取最小值y＝．
4a
b4ac?b
2
2
,)，对称轴为直线x（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?2a4a
bbbb
＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞< br>?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
2a2a2a2a
4ac?b
2
时，函数取最大值y＝．
4a
y＝ax
2
＋bx＋c
上述二次函数的性质可以分别通过图2 ．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次
函数问题时，可以借助于函数图像、利 用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y＝
－
3x
2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指
出当x取何值时，y随 x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x
2< br>－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向

例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之
间关系如下表所示：
x 元 130 150 165

y件 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的 利润，每件产品的销售价应定为
多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润 ＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，
欲求每天所获得的 利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之
间的函数关系求出 每天利润的最大值．
解：由于
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x
2
的
图像，求b，c的值．
b
2
b
22
解法一：y＝x＋ bx＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
4
2
2
bb
y?(x??4)
2
?c??2
的图 像，也就是函数y＝x
2
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
?
c?
b
?2?0,
?
4
?
解法二：把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 函数y＝x
2
的图像，等价于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位， 再向右平移4个单位，得到函数y＝x
2
＋bx＋
c的图像．
由于把二次 函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)
2
＋2的图
像，即为y＝x
2
－8x＋14的图像，∴函数y＝x
2
－8x＋14与函数y＝x
2
＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，
c ＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌 握二次
函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条 件进行正向的思维来解决的，其运算
量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化 成与之等价的问题来解，具有计算量
小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰 当的方法来解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a，其中a≥－2， 求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和
最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1） 当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最 小值
都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2 时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取
最小值y＝a
2
；
（3）当 0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最
小 值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a
2
；当x＝0时，函数取最小值
y＝0．

y
y
y
y

4

a
2
4




4

2
a


a
2




x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
－2
－2
a







①


②
③

图2.2－6

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二
次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部 分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助
于函数图象来直观地解决问题．
练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2
（C）y＝2x
2
－1 （D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，
函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下 列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求
当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．


2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，
抛 物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解 的个数又与方程①的
根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4ac存在下 列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个 交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴有两个交点，则Δ＞ 0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一 个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物

线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物 线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于 是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x
1
， 0)，B(x
2
，0)，则x
1
，x
2
是方程ax
2
＋bx
＋c＝0的两根，所以

bc
，x
1
x
2
＝，
aa
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa
bc
2
所以，y＝a x
2
＋bx＋c＝a(
x?x?
)
aa
x
1
＋x
2
＝
?
= a[x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物 线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x
1
，0)，B(x2
，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x
－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这
三 种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在 直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求
二次函数的解析式．
分析：在解本例时 ，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设
成顶点式，再由函数图 象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后 设出二次函
数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用 条件简捷地
解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点 到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达
式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的 图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交
点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，

∴|－4a|＝2，即a＝
?
1
．
2
所以，二次函数的表 达式为y＝
1
2
313
x?x?
，或y＝－
x
2< br>?x?
．
2222
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴
的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于 是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再
利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就 可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋ 2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
，或a＝．
22
11
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
22
所以，所求的二次函数为y＝
－
说明：上述两种解法分别从与x轴的交 点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来
解题，在今后的解题过程中，要善于利用条 件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式
来求二次函数的表达式？

练 习
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．


2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的
图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改< br>变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置< br>即可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变 其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二
次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所 以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然
后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平 移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x
2
－4x－3的解析式可变为
y＝2(x－1)
2
－1，
其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函 数y＝2(x－1)
2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点 坐标
是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x－3)
2
－2．
（2）把函数y＝2(x－1)
2
－ 1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标
是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x＋1)
2
＋2．
2．对称变换
问题2 在把二次函数 的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，
可以怎样来研究二次函数 的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这 样的特点——
只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换 问题时，关键
是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后所
y
x＝－1
得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x
2
－ 4x＋1的图象关于直
线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x2
－4x＋1图
O
象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点 为A
1
(－3，1)，
A(1,－1)
A
1
(－3,－1)
所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋ 1的图象关于直线x＝－1对称后所得到
图象的函数解析式为y＝2(x＋3)
2
－1 ，即y＝2x
2
＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2
－4x＋1的图象关于直线x
图2.2－7
＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形
状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x2
－4x＋1图象的顶点为
A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3 )，且开口向下，所以，二次函
y
2
B(1，3)
数y＝2x－4x＋1 的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x
－1)
2
＋3， 即y＝－2x
2
＋4x＋1．
二、分段函数

一般地，如果自变 量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这
种函数，叫作分段函数．

例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超
过40g付邮资16 0分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0
＜x≤100)的信应付多少 邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．
O
A(1,－1)
图2.2－8
y＝1
x
x

分析 ：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给
出其对应 的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对
应 的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为


?
80,
?
160
?
?

y??
240,
?
320
?
?
?
400,


x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]
x?(60,80]
x?(80,100]
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2． 2－9所示．
D

例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一 个动点P，从点A出发
沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积 为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．





分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．
解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，
C
P
A
图
2.2
－
10
B
1
AP?BC
＝x；
2
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，
11
y＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－x；
22
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4
＜x≤6时，
11
y＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝x－4；
22
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6
＜x＜8时，
y＝

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有 未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其
中
x
,2xy
,
y
叫做这个方程的二次项,
x
,
y
叫 做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
2
2
22
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;

22
?
?
x?y?20,

?
2

2
?
?
x?5xy?6y?0.
第 一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方
程组成 的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例1 解方程组
?
x
2
?4y
2
?4?0,

?

x?2y?2?0.
?
①
②
分析：二元二次 方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的
形式．注意到方程②是一个一 元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一
个一元二次方程，从而将所求 的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得

x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是

?
?
x
1
?2,

?
y
1
?0，
?
x
2
?0,
< br>?
?
y
2
??1.
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时 ，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．
例2 解方程组

?
?
x?y?7,

?
xy?12.
①
②
解法一：由①，得

x?7?y.
③
把③代入②，整理，得

y?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是

?
2
?
x
1
?4,

?
y
1
?3，
?
x
2
?3,

?
?
y
2
?4.
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二 次方程的根与系数的关系，把
x,y
看作一个一元二次方程
的两个根，通过解这个一元 二次方程来求
x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是
2

?
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?

?
y
1
?3;
?
y
2
?4.
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
?
x
2
?y
2
?13,

?
x?y?5
?
的解?
（1）
?
?
x ?2,
?
x?3,
?
x?1,
?
x??2,
（2）
?
（3）
?
（4）
?

?
y?3;
?
y?2;
?
y?4;
?
y??3;
?
y?x?5,
22
2．解下列方程组:
（1）
?
?< br>x?y?625;
?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?





2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
（2）
?
?
x?y?3,

?
xy??10;
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程
x
2
－x－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，x
2
＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x
2
－x－6＜0
的解是
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6

－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次 不等式的解
集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用 类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次 不等式
ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解的情形按 照△＞0，△=0，△
＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有 实数解，相应地，抛物
线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、 一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，
我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次 不等式ax
2
＋bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（a＞0） 的
解．
（1）当Δ＞0时，抛物线x轴有两个公共点(x
1
，0)和(x
2
，0)，方程
＋c＝0有两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2.3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为
x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝ 0有
b
两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（2） 如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝0没有实数了;
（3） ‘x
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二 次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二
次项系数小于零，则可以先 在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上
面的结论去解不等式．
例3 解不等式：
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0成立；而 对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与ax
2
＋bx

∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
2
例4 已知不等式
ax?b x?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解为x?2,或x?3
，可知
2
a?0
，且方程
ax
2< br>?bx?c?0
的两根分别为2和3，
bc
∴
??5,?6
，
aa
bc
即
??5,?6
．
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
2

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
例5 解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,
欲求 一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关于未知系 数的代数式,
?
的符号取
决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对< br>?
的符号进行分类讨论.
解:
?
?a?4
,
2
①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是

2
2
?a?a
2
? 4?a?a
2
?4
x
1
?,x
2
?.
< br>22
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
所以,原不等式 的解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
例6 已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最 小值为n，试将n用a表示出来．
分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的 位置有关，于是需要对对称轴的位
置进行分类讨论．
解：∵y＝(x
－
a)
2
＋1－a
2
，
∴抛物线y＝x
2
－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．

（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值
n＝1－a
2
；
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值
n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值
n＝-2a+2.
综上,函数的最小值为
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
练 习
1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．
2．（1）
?
?
x
1
?1 5,
?
y
1
?20,
?
x
2
??20,< br>?
x
1
?5,
（2）
??
y??15;
?
2
?
y
1
??2,
?
x
2
? ?2,

?
y?5;
?
2
5
?
x?,?
?
x
1
?2,
?
3
（3）
?
（4）
?

?
y1
?2,
?
y??
4
.
?
3
?

?
x
2
?2,

?
?
y
2
??2.
2.3.2 一元二次不等式解法
练 习

4
1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；
3
（4）x＝4．
2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，
（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；
（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)
2
≤0，∴x＝－1；
（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．
综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；
当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；
当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

习题2．3
A 组
10
?
x?,
2
?
?
x
1
?2,
?
x
1
?0,
?
3
1．（1）
?

?
（2）
?

?
y
1
?0,
?
y
1
?0,
?
y?
4
.
2
?
3
?
?
?
x
1
?3?2,
?
?
x
2
?3?2,
（3）
?

?
?
?
y
1
?3?2,
?
?
y
2
?3?2;
?
x
3
??3,
??
?
x1
?3,
?
?
x
2
?3,
??
x4
??3,
（4）
?

???
??
?
y
1
?1,
?
?
y
2
??1,
?
?
y
4
??1.
?
y
3
?1,
2323< br>?x?
2．（1）无解 （2）
?

33
24
?
x?,
2
?
?
5
< br>?
?
y??
12
.
2
?
5
?

（3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2

B 组
1．消去
y
，得
4x?4(m?1)x?m?0
．
22
1
时，方程有一个实数解．
2
1
?
1
?
x?,
将
m?
代入原方程组，得方程组的解为
?
4

2
?
?
y?1.
当
??16(m?1)?16m?0
,即
m?
22
2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．
∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；
当a＝1时，原不等式的无实数解；
当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

C 组
1．由题意，得 －1和3是方程2x
2
＋bx－c＝0的两根，
bc
∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．
22
2
∴等式bx＋cx＋4≥0就为－4 x
2
＋6x＋4≥0，即2 x
2
－3x－2≤0，
1
∴－ ≤x≤2．
2
m
2
m
2
2
2．∵y＝－x ＋mx＋2＝－(x－ )＋2＋ ，
24
mm
2
∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；
24
m
当 ＜0，即m＜0时，k＝离开就
2

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长 度比的问题.
在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格 纸上，我们作平作直线
b
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A',B',C'
，不难
发现
A'B'AB2
?? .

B'C'BC3
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，
l
1< br>l
2
l
3
，有
AB
BC
DEABDE
.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，
?
EFACDF
我们一定要 注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
图3.1-1
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB
解
2,BC
l
1
l
2
l
3
,
3,DF4,
求
DE,EF
.
ABDE2
,

BCEF3
28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35

图3.1-2
例2 在
ABC
中，
D,E
为边
AB,AC
上的点，
DEBC
，
求证：
证明（1）
ADAEDE
??
.
ABACBC
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE
??.

ABACBC
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
?ADE
∽
ABC
，
?
lDEBC,

?
ADAE
?
.
ABAC
过
E
作
EFAB
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
因而
DE?BF.

AEBFDE
EFAB,???.

ACBCBC
ADAEDE
???.

ABACBC

图3.1-3
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于 三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例.

例3 已知
ABC
，
D
在< br>AC
上，
AD:DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到 ，如图3.1-4，设
EC
交
BD
于
F
，则
F为
EC
的中点，作
EGAC
交
BD
于
G
.
EGAC,EF?FC
，
?
EGF?CDF
，且
EG?DC
，
’
证：
AB
AC
BD
.
DC
BA
AE
BD
.

DC
证明 过C作CEAD，交BA延长线于E，
ADCE,
AD平分
BAC,
由ADCE
知
BAD
BADDAC,

ACE,

E,DAC
AC,

EACE,即AE
图3.1-5
AB
AC

BD
.
DC
例4的结论也称为角平分 线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习1
1．如图3 .1-6，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
A．
AD
DF
CE
DF
CEAD
B．
BCBE
ADAF
D.
BCDF
BC

AF
BE

CE
图3.1-6
C．


2．如图3.1-7，
DEBC,EFAB,AD5cm,DB3cm,FC2cm,
求
BF
.




3．如图，在
ABC
中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,
求BD的长.






图3.1-7
图3.1-8

4．如图，在
ABC
中，
BAC
的外角平分线
AD
交
BC
的延长线于点
D
， 求证：
AB
AC
BD
.
DC


图3.1-9

5．如图，在
ABC
的边AB、AC上分别取D、 E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：
DF
EF








AC
.
AB
图3.1-10
3.1．2．相似形
我们学过三角形相似的判定方法 ，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判
定两个直角三角形相似？
例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，
BACCDB
， 求证：
DACCBD
.
证明 在
OAB
与
ODC
中，
AOBDOC,OABODC,

OAB
∽
ODC
，
OAOBOAOD
，即.
O DOCOBOC
又
OAD
与
OBC
中，
AOD
OA D
∽
OBC
，
DACCBD
.
BOC
，
图3.1-11
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，
BAC为直角，
AD
求证：（1）
AB
（2）
AD
2
2
BC于D
.
BDBC
，
AC
2
CDCB
；
图3.1-12
BDCD

证明 （1）在
RtBAC
与
RtBDA
中，
BB
，
BDBC.

BAC
∽
BDA
，
同理可证得AC
2
BA
BD
BC
,即AB
2
BA
CDCB
.
（2）在
RtABD
与
RtCAD
中，
C90
o
CADBAD
，
RtABD
∽
RtCAD，
AD
BD
DC
,即AD
2
AD
BDDC.< br>
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.

例7 在
ABC
中，
AD
证明
BC于D,DEAB于E,DFAC于F
，求证：
AEABAFAC
.
ADBC
，
ADB
为直角三角形，又
DE
AEAB
.
AB
，
由射影定理，知
AD
2
同理可得
AD
2
AFAC< br>.
AFAC
.
图3.1-13
例8 如图3.1-14，在< br>ABC
中，
D
为边
BC
的中点，
E
为边AC
上的任意一点，
BE
交
AD
于点
O
.某< br>学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
AEAB
图3.1-14
（1） 当

AE
AC
AE
AC
AE
AC
1
2
1
3
1
4
1
11
1
12
1
13
时，有
AO
AD
AO
AD
AO
AD
2
3
2
4
2
5
2
21
2
2
2
2
.（如图3.1-14a）
（2） 当时，有
2
.（如图3.1-14b）
（3） 当时，有
3
.（如图3.1-14c）
在图3.1-14d中，当
AEAC
1
1n
时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示
AO
的一 般结论，并给
AD
出证明（其中n为正整数）.
解：依题意可以猜想：当
A E
AC
1
1n
时，有
AO
AD
2
2n成立.
证明 过点D作DFBE交AC于点F，
D是BC的中点，
由
F是EC的中点，
AE
AC
AOAD
1
1n
AE
AF
可知
AE
EC
.

1
，
n
AE
EF
2AE
,
nA F
2
2n
.
.
2
2n
想一想，图3.1-14d 中，若
AO
AD
1AE
，则
nAC
?

本 题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进

而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.

练习2
1．如图3.1-15，D是
ABC
的边AB上的一点，过D点作D EBC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则
S
ADE
:S
四边形BCD E
等于（ ）
图3.1-15
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21


2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是< br>3:2
，则梯形的上、
下底长分别是__________.
3．已知：ABC
的三边长分别是3，4，5，与其相似的
A'B'C'
的最大边长是15， 求
A'B'C'
的面积
S
A'B'C'
.


4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱
形？是正方形？



5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，
PCD
是等边三角形，
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，
ACP
∽
PDB
？
（2） 当
ACP
∽
PDB
时，求
APB
的度数.






习题3.1
A组
1． 如图3.1-18，
ABC
中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8



2． 如图3.1-19，BD、CE是
ABC
的中线，P、Q分别是BD、CE的中 点，则
PQ:BC
等
于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6

图3.1-16
图3.1-17
图3.1-18
图3.1-19

3． 如图3.1-20，
3，
S
BEF
ABCD
中，E是 AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：
CDF
4
，求
S
.



4． 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是C D的中点，
BE
交AE于G，求证：
AG




B组
2
图3.1-20
过F作FGAB
AC
交AC于F，
AFFC
.
图3.1-21
1． 如图3.1-22，已知
ABC
中，AE：EB=1 ：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则
的值为（ ）
A．
EF
FC
AF
FD
图3.1-22
13
B．1 C． D．2
22


2． 如图3.1-23，已知
ABC
周长为1，连结
ABC
三边的 中点构成第二个三角形，再连结
第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角 形周长为（ ）
图3.1-23
A．
111
1
B． C．
2002
D．
2003

2003222002



3． 如图3.1-24，已知M为
面积的比是（ ）
A．
CM交BD于点E，则图中 阴影部分的面积与
ABCD
的边AB的中点，
ABCD
图3.1-24
1
1
1
5
B． C． D．
36
412



4． 如图3.1-25，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD.
（1） 求证：OE=OF；
OE
的值；
BC
112
（3） 求证：.
ADBCEF
（2） 求

OE
AD
图3.1-25

C组
1． 如图3.1-26，
ABC
中，P是边AB上一点，连结CP.
（1） 要使
ACP
∽
ABC
，还要补充的一个条件是____________.
（2） 若
ACP
∽
ABC
，且
AP:PB2:1
，则
BC:PC
=_____.



2． 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且
BACBDCDAE
.
（1） 求证：
BEADCDAE
；的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并 证
明你的猜想.



3． 如图3.1-28，在
RtABC
中，AB=AC，
A
图3.1-26 90
o
，点D为BC上任一点，
DFAB
于F，
DEAC
于E，M为BC的中点，试判断
MEF
是什么形状的三角形，并
证明你的结论.


4． 分别为B、D，AD和BC相交于E，
EF

若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，
ABCD,AD、BC
相交，EFAB交BD于F，则：
（1）
图3.1-28
BD
于F，我们可以证明
1
AB
1
CD
1

EF
1
AB
1
CD
ABD
1
还成立吗？如 果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
EF
,S
BCD
（2） 请找出
S

3.1 相似形
练习1
1．D
2．设
BF?x,
和
S
EBD
之间的关系，并给出证明.
图3.1-29
DEADx51010
?,??,x?
，即
BF?
.
3
BCABx?283
ABBD535
??,?BD?cm.
3．
ACDC49
ABBDABBD
??
4．作
CFAB
交AD
于
F
，则，又
?AFC??FAE??FAC
得
A C?CF,
?
.
CFDCACDC
EGCEACCEDBDFAC
??,??
CEGCAB,??,
即5．作
EGAB
交
BC
于
G
，.
ABEGEGEFAB
ABAC

练习2
1．
C

2．12，18
115
2
??3?4?6,?S?()?6?54.

ABCA'B 'C'
25
1
4．（1）因为
EHBDFG,
所以
EFGH
是平行四边形；（2）当
AC?BD
时，
EFGH
为菱形；当
2
3．
S
AC?BD,AC?BD
时，
EFGH
为正方形 .
5．（1）当
CD?AC?BD
时，
ACP
习题3.1
A组
1．B 2.B 3.
S
CDF
2o
（2）
?APB?120
.
PDB
；
?9

22
4．
BF
为直角三角 形
ABC
斜边上的高，
BF?AF?FC
，又可证
AG?BF,?AG?AF?FC
.
B组
1．C 2.C 3.A
EOAEDEOFOEOEAEBE
???,EO?OF
.（2）
????1 .
（3）由（2）
BCABDCBCADBCABAB
1112
知
? ??.

ADBCOEEF
4．（1）
ADBC,?
C组
2
1.(1)
AC?AP?AB
或
?ACP??B
.(2)
BC:PC?3:2
.
BEAEBCABAD
?
；（2）.
AD EACB,???
CDAD
DEAEAC
3．连
AD
交
EF
于
O
，连
OM
，
ABC
为等腰直角三角形，且AE DF为矩形，
?OM
为
RtAMD
斜
11
边的中线，
OM?AD?EF,
?MEF
为直角三角形.又可证
BMF?AME
，得< br>MF?ME
，故
22
MEF
为等腰直角三角形.
2．（1）先证
AEBADC
，可得
4．（1）成立，

111EFEFFDBF111
??
，证略.
????1,???.
（2）
S
ABD
S
BCD
S
EBD
ABCDBD BDABCDEF

3.2 三角形
3．2．1 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1 图3.2-2
图3.2-3

如图3.2-1 ，在三角形
ABC
中，有三条边
AB,BC,CA
，三个角
A,B,C
，三个顶点
A,B,C
，
在三角形中，角平分线 、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于 一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每
条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为
ABC
三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且
DE
1
AB
，
2
GDE
∽
GAB
，且相似比为1：2，
AG2GD,BG2GE
.
2G'D,CG'2G'F.

图3.2-4
设AD、CF交于点
G'
，同理可得，
AG'
则
G
与
G'
重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
.


三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形
的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）



例2 已知
ABC
的三边长分别为
BC
的内心，且I在
图3.2-5 a,ACb,ABc
，I为
ABC
ABC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
，求
bca
证：
AEAF
.
2
证明 作
ABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在三边上的切点，
AE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
同理，BD=BF，CD=CE.
AEAF
，
图3.2-6
bcaAFBFAE
AFAE2AF2 AE
即
AE
CEBDCD

AF
bca
.
2
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分
BAC
，
AB
AC
BD
（角平分线性质定理）
DC
图3.2-7

O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
AB
AC
1
，即
ABAC
.
同理可得，AB=BC.
ABC
为等边三角形.

三角形的三条 高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内
部，直角三角形的 垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知
图3.2-8

ABC
中，
ADBC于D,BEAC于E，
AD与BE交于H点.
图3.2-9
求证
CHAB
.
证明 以CH为直径作圆，
ADBC,BEAC,HDCHEC90
o
,

D、E
在以CH为直径的圆上，
FCBDEH
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
BED
BCHBAD
，
又

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心 O为三角形的外心.
三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.


练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.

2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为
a、b、c
， 则三角形的内切圆的半径是___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为
a 、b、c
（其中
c
为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-
_______ ____. 并请说明理由.




3.2.2 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角
BAD
. < br>ADB90
o
，即
CH
ABD
与
CBF
有公 共角
B
，
CFB
AB
.

形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
例5 在
ABC
中，
AB?AC?3,BC?2.
求
（1）
AB C
的面积
S
ABC
及
AC
边上的高
BE
；
（2）
ABC
的内切圆的半径
r
；
（3）
ABC
的外接圆的半径
R
.
解 （1）如图，作
AD?BC
于
D
.
AB?AC,?D
为
BC
的中点，
图3.2-10
?AD?AB
2
?BD
2
?22,

1
? S
ABC
??2?22?22.
2
又
S
ABC
?< br>42
1
.
AC?BE,
解得
BE?
3
2< br>（2）如图，
I
为内心，则
I
到三边的距离均为
r
，
连
IA,IB,IC
，
图3.2-11
S
ABC?S
IAB
?S
IBC
?S
IAC
，
即
22?
111
AB?r?BC?r?CA?r
，
222
2
.
2
图3.2-12
解得
r?
（3）
ABC
是等腰三角形，
?
外心
O
在
AD
上，连
BO
，
则
RtOBD
中，
OD?AD?R,
OB?BD?OD,

222
?R
2
?(22?R)
2
?1
2
,
解得
R?

92
.

8
在直角三角形ABC中，
A
为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边B C的中点，
内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为
BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC

例6 如图，在
A BC
中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：
AP
证明：过A作
AD< br>2
2
bca
（其中
a,b,c
分别为三角形的三边
2
AB
2
BC
2
.
图3.2-13
AB
2
PBPC
.
BC
于D.

在
RtABD
中，
AD
2
在
RtAPD
中 ，
AP
2
AB
2
AD
2
DP
2
B D
2
.
DP
2
.
AB
2
(BDDP)(BDDP).

图3.2-14
A P
2
AB
2
BD
2
ABAC,ADBC,BDDC
.
BDDP
AP
2

CDDP
PBPC
.
PC
.
AB
2
正三角形三条边长相等，
三个角相等，且四 心（内心、
重心、垂心、外心）合一，该
点称为正三角形的中心.
例7 已知等 边三角形ABC
和点P，设点P到三边AB，AC，
BC的距离分别为
h
1< br>,h
2
,h
3
，三角形ABC的高为
h
，
“若点P在一边BC上，此时
h
3
图3.2-15
0
，可 得结论：
h
1
h
2
h
3
h
.”
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P在
ABC
内（如图b）， （2）点在
ABC
外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成
立？若成立，请给 予证明；若不成立，
h
1
,h
2
,h
3
与
h
之间有什么样的关系，请给
出你的猜想（不必证明）.
解 （1）当点P在
ABC
内时，
法一 如图，过P作
B'C'
分别 交
AB,AM,AC
于
B',M',C'
，
由题设知
AM '
而
AM'AM
故
PD
图3.2-16
PDPE
，
PF
，
PFAM
，即
h
1
h
2
h
3
h
.
PE
法二 如图，连结，
S
ABC
S
PAB
S
PAC
SPBC
，
图3.2-17
11
BCAMABPD
22
又
ABBCAC
，
1
ACPE
2
h
2
h
3
1
BCPF
，
2
h
.
h
2
h
3
h
不成立 ，猜想：
AMPDPEPF
，即
h
1
（2）当点P在
ABC
外如图位置时，
h
1
h
1
h
2
h
3
h
.

注意：当点P在
ABC
外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如
h< br>1
h
2
h
3
h
，
h
1
h< br>2
h
3
h
（如图3.2-18，想一想为什么？）等.
图3.2-18
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.


练习2
1． 直角三角形的三边长为3，4，
x
,则
x
________.

2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.

3． 满足下列条件的
ABC
，不是直角三角形的是（ ）
A．
b
2
a
2
c
2
B．
CAB

12:13:5
C．
A:B:C

3:4:5
D．
a:b:c
4． 已知直角三角形的周长为
3?3
，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.

5． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.


习题3.2
A组
1． 已知：在
ABC
中，AB=AC，
?BAC?120,AD
为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）
o
A．
AD?
32
1
AB
B．
AD?AB
C．
AD?BD
D．
AD?BD

22
2

2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8

3． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.

4． 已知：
a,b,c
是
ABC
的三条边，
a?7,b? 10
，那么
c
的取值范围是_________。

、a、8
，且
a
是整数，则
a
的值是_________。 5． 若三角形的三边长分别为
1


B组

1． 如图 3.2-19，等边
ABC
的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长
线上 一点，且BD=BE，则
CDE
的周长为（）

A．
6?43
B．
18?123

C．
6?23
D．
18?43


2． 如 图3.2-20，在
ABC
中，
?C??ABC?2?A
，BD是边AC上的 高，
求
?DBC
的度数。






o
图3.2-19
图3.2-20
图3.2-21
3． 如图3.2-21，
RtABC,?C?90,M
是AB的中点，AM=AN， MNAC，求证：MN=AC。


4． 如图3.2-22，在
ABC< br>中，AD平分
?BAC
，AB+BD=AC.求
?B:?C
的值。








5． 如图3 .2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且
EC
求证：
EFA




C组
1． 已知
k?1,b?2 k,a?c?2k,ac?k?1
，则以
a、b、c
为边的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定


2． 如图3.2-24，把
ABC
纸片沿DE折叠，当点A落在四边形B CDE内部时，则
?A
与
?1??2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试 着找一找这个规律，你发现的规
律是（）
A．
?A??1??2
B．
2?A??1??2

C．
3?A??1??2
D．
3?A?2(?1??2)

24
图3.2-22
1
BC
，
4
90
o
.
图3.2-23
图3.2-24

3． 如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：
C






4． 如图3.2-26，在等腰
Rt ABC
中
?C?90
，D是斜边AB上任一点，
AE?CD
于E，< br>BF?CD
交CD的延长线于F，
CH?AB
于H，交AE于G.求证：BD= CG.


3.2 三角形
练习1
1．证略 2.（1）
练习2
oo
1．5或
7
2.
20
或
80
3.C
90
o
.
图3.2-25
图3.2-26
o
2Sa?b?c
；（2）.
a?b?c2
22
4．设两 直角边长为
a,b
，斜边长为2，则
a?b?1?3
，且
a?b?4
，解得
ab?3
，
?S?
1
ab?23
.
2
5.可利用面积证.
习题3.2
A组
1．B 2. D 3.
120
4.
3?c?17
5.8
B组
1．A 2.
18

3．连
BM
，证
MAB?AMN
.
4．在AC上取点E，使AE=AB，则
o
o
ABD?AED
， < br>?B??AED
.又BD=DE=EC，
??C??EDC,??B:?C?2:1.< br>
5．可证
ADF
C组
1．C．不妨设
a?c
，可 得
a?k?1,c?k?1,a?b?c
，为直角三角形.
2．B
3．在
22222
FCE
，因而
?AFD
与
?CFE
互余 ，得
?EFA?90
o
.
AB上取E使BE=BC，则
BCD?B ED
，且AE=ED=DC，
?C??BED?2?A??A??B?180
o
??C,??C?90
o
.

4．先
证 明
ACE?CBF
，得CE=BF，再证
CGE?BDF
，得BD=CG.

3．3圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线
l
和圆心为
O
且半径为
r
的圆，怎样判断直线
l
和 圆
O
的位置关系？


图3.3-1
观察图3.3-1 ，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离
d
当圆心到直线的距离
dO
与直线
l
1
；
时，直线和圆相交，如圆
O
与 直线
l
3
.
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心 ，则AB为直径；若直线不经过圆心，
如图3.3-2，连结圆心
O
和弦
AB
的中点
M
的线段
OM
垂直于这条弦
AB
.且在RtOMA
中，
OA
为圆的
半径
r
，
OM为圆心到直线的距离
d
，
MA
为弦长
AB
的一半，根据 勾股定理，有
图3.3-2
r
时，直线和圆相离，如圆
直线和圆相切，如 圆
O
与直线
l
2
；当圆心到直线的距离
dr
时，< br>r
r
2
d
2

(
AB
2
)
.
2
当直线与圆相切时，如图3.3 -3，
PA,PB
为圆
O
的切线，可得
PA?PB
，
OA?PA.
，
且在
RtPOA
中，
PO?PA?OA
.
如图3.3-4，
PT
为圆
O
的切线，
PAB
为圆
O
的割线，我们可以证得
PAT
因而
PT?PA?PB
.


例1 如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D 是
AB
的中点，求弦BD的
长度。
解 连结OD，交AB于点E。
2
222
图3.3-3
PTB
，
图3.3-4
BD?AD,O
是圆心，
?OD?B,BE?AE?
1
AB?3cm.

2
在
RtBOE
中，OB=5cm,BE=3cm,
?OE?O B
2
?BE
2
?4cm.

OD?5cm,?DE?1cm.

在
RtBDE
中，BE=3cm ,DE=1cm,
?BD?10cm.

图3.3-5

例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和
26
，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.
解 设圆的半径为
r
，分两种情况（如图3.3-6）：
（1） 若
O
在两条平行线的外侧，
如图（1），AB=6，CD=
26
，
则由
OM
图3.3-6
ON3
，得
r
2
9r
2
243
，解得
r5
.
（2）若
O
在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=
26
，
则由
OMON3
，得
r
2
9r
2
243
，无解.
综合得，圆的半径为5.

设圆
O
1
与 圆
O
2
半径分别为
R,r(R?r)
，它们可能有哪几种位置关系？
图3.3-7


观察图3.3-7，两圆的圆心距为
O
1
O
2
，不难发现：当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相内切，如图（1）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外切，如图（2）；当
O
1
O
2
?R?r
时， 两圆相内含，如图（3）；当
R?r?O
1
O
2
?R?r
时 ，两圆相交，如图（4）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相 外切，如图（5）.
例3 设圆
O
1
与圆
O
2
的半径分别为3和2，
O
1
O
2
?4
，
A,B为两圆的交点，试
求两圆的公共弦
AB
的长度.
解 连
AB
交
O
1
O
2
于
C
， 则
O
1
O
2
?AB
，且
C
为
AB
的中点，
设
AC?x
，则
O
1
C?9?x, O
2
C?
2
4?x
2
,O
1
O
2
?9?x
2
?4?x
2
?4
，
图3.3-8

解得
x?



315315
。故弦
AB
的长为
2x?
.
84
练习 1
1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，A B所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，
求弦AC和BD的长。





2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，ABCD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求
梯形ABCD的面积。


o
图3.3-9
图3.3-10
3.如图3.3-10，⊙O的直径AB 和弦CD相交于点E，
AE?1cm,EB?5cm,?DEB?60,
求CD的长。


4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.



3．3．2 点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个 条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，
把长度为
r
的线段的 一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点
到定点的距离都等于
r
；同时，到定点的距离等于
r
的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点 的距离等
于定长
r
的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形 ，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）
图形是由符合条件的那些点组成的，就是说 ，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的
所有的点，就是说，符合条件的任何一点 都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的 每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距
离相等的点，都在这条线段的垂直平 分线上.所以有下面的轨迹：
（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

图3.3-11
例3 ⊙O过两个已知点
A
、
B
，圆心
O
的轨迹是什么？画出它的 图形.
分析 如图3.3-11，如果以点
O
为圆心的圆经过点
A
、
B
，那么
OAOB
；反过来，如果一
个点
O
到
A
、
B
两点距离相等，即
OAOB
，那么以
O为圆心，OA为半径的圆一定经过
A
、

B
两点.
这就是说，过
A
、
B
点的圆的圆心的轨 迹，就是到
A
、
B
两点距离相等的点的轨迹，即和线段
AB
两
个端点距离相等的点的轨迹.
答：经过
A
、
B
两点的圆 的圆心O的轨迹是线段
AB
的垂直平分线.

练习2
1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：
（1） 到定点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹；
（2） 到直线
l
的距离等于
2cm
的点的轨迹；
（3） 已知直线
ABCD
，到
AB
、
CD
的距离相等的点的轨迹.

2．画图说明，到直线
l
的距离等于定长
d
的点的轨迹.

习题3.3
A组
1． 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）
A．
3
B．
5
C．3 D．4
2

2． 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A．
43
B．
33
C．
23
D．
3


3． AB为⊙O的直径，弦
CD?AB
，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于
（ ）
A．
221
B．
46
C．
82
D．
26


4． 如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一 点，已知OB=10cm,OE=12cm，
?OEB?30
o
,
求AB。

B组
1． 如图3.3-13，已知在
RtABC
中，
?C?90,AC?5cm,BC?12cm,
以C
为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求A D。







2． 如图3.3 -14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓
形铁片，求弓形的弦AB的长。

o
图3.3-12
图3.3-13
图3.3-14

3． 如图3.3-15，
ABC
内接于⊙O，D为
BC
的中点，
AE?BC
于E。求证：
A D平分
?OAE
。





o
图3.3-15
4． 如图3.3-16，
?AOB?90
，C 、D是
AB
的三等分点，AB分别交OC、
OD于点E、F，求证：AE=BF=CD 。




图3.3-16
5． 已知线段
A B4cm
.画出到点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹，再画出到点< br>B
的距离等于
2cm
的点的
轨迹，指出到点
A
的距离 等于
3cm
，且到点
B
的距离等于
2cm
的点，这样的点有 几个？

3.3 圆
练习1
1．取AB中点M，连CM，MD，则< br>CM?AB,DM?AB
，且C
，
O
，
M
，
D共线，
OM?17
2
?15
2
?8,CM?25,DM?9,AC?534cm,BD?334cm
.
2．O到AB
，
CD的距离分 别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49
cm
.
3. 半径为3cm，OE=2cm.,OF=
3,CD?26cm
.
4.外公切线长为12，内公切线长为
43
.
练习2
1.(1) 以A为圆心，3cm为半径的圆；（2）与
l
平行，且与
l
距离为2cm的两 条平行线；（3）与AB平行，且
与AB,CD距离相等的一条直线.
2.两条平行直线，图略.
习题3.3
A组
1．B 2.A 3.B =8cm.
B组
1.作
CM?AD
于M，AB=13cm,
CM?
2
6010
,AD?133cm
.
1313
=120cm.
3.先证
?BAO??EAC
，再证
?OAD??DAE
.
4．先证明
?AEC??ACE?75,
再证AE=BF=AC=CD.
o

5．有2个，图略.

?
4a?5,a??2,
?

n?
?
1?a
2
,?2?a?1,

?
?2a?2,a?1.
?

练 习
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；

（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．

22
2.解关于x的不等式x＋2x＋1－a
≤0（a为常数）．

习题2．3
A 组
1．解下列方程组：


B 组
1．
m
取什么值时,方程组
?
y
2
?4x,

?
?
y?2x?m
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
2．解关于x的不等式x
2
－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．

C 组
1．已知关于x不等式2x
2
＋bx－c＞0的解为x＜－1，或 x＞3．试解关于x的不等式
bx
2
＋cx＋4≥0．
2．试求关于x的函数y＝－x
2
＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．