高中数学新教材选修部分分析与建议

学之道在于“悟”，教之道在于“度”
模式化——数学的本质(观点之一)，模式化——建构数学对象，建构算法程序。

高中数学选修系列教材分析和教学建议
实行新课程标准，提高教学质量，教育理念是灵魂，教 材建设是关键，教师素质是根本，课
堂教学是核心，教学评价是导向，现代化技术是推进器。
祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生一双能用数学视角观察
世界的眼睛， 一个能用数学思维思考世界的头脑，一副为谋国家富强人民幸福的心肠．
——张孝达

M. Kline 在《西方文化中的数学》中指出，数学是一种精神 ，一种理性精神，正是这种精
神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类 自身存在提出的
问题，努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵 ．
数学的理性精神被看成西方文明的核心

数学教育方法的核心是学生的再创造. 教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论
来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而 是应该创造合适的条件，让学生在学
习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关 的数学知识.
——Freudenthal

选修系列1和2的内容
选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用
选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图
选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何
选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
选修2－3：计数原理、统计案例、概率

系列3由6个专题组成
选修3－1 ：数学史选讲；
选修3－2 ：信息安全与密码；
选修3－3 ：球面上的几何；
选修3－4 ：对称与群；
选修3－5 ：欧拉公式与闭曲面分类；
选修3－6 ：三等分角与数域扩充；

系列4由10个专题组成
* 选修4－1 ：几何证明选讲；
* 选修4－2 ：矩阵与变换；
选修4－3 ：数列与差分；
* 选修4－4 ：坐标系与参数方程；
* 选修4－5 ：不等式选讲；
选修4－6 ：初等数论初步；
选修4－7 ：优选法与试验设计初步；
选修4－8 ：统筹法与图论初步；
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选修4－9 ：风险与决策；
选修4－10：开关电路与布尔代数。

选修1、选修2的构成及其定位
高中数 学的选修系列1和系列2，是在必修课程的基础上，为不同发展方向的学生设置的
数学课程．必修课程是 为所有的学生在义务教育的基础上，获得较高的数学素养的而设置
的．对大多数学生来说，仍然有进一步 选修数学的必要．系列1和系列2，则是为这些学生
而设置的、供选择的数学课程．学生在高中数学必修 课程的基础上，再进一步提高数学修养
而设置的学习内容．对于大多数高中学生来说，它们依然是必要的 和基础性的课程．其中，
选修系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的，选修系列2是 为希望在理
工、经济等方面发展的学生设置的．

在选修系列1和系列2中，有些内 容是相同的，如常用逻辑用语、数系的扩充与复数的引入；
有些内容从标题来看是相同的，但是在内容的 要求上有所区别，如圆锥曲线与方程、导数及
其应用、统计案例、推理与证明；还有一些内容分别安排在 不同的系列中，如框图只在选修
系列1中才有，空间向量与立体几何、计数原理、概率只在选修系列2中 才有．这两个选修
系列的内容，同样是给学生的发展继续打基础，只是依据学生发展方向的不同，是为学 生打
好不同的基础而设置的．学生可以根据自己的发展志向，主动作出选择．

《标准》与《大纲》内容比较
与以往的高中数学课程相比，《标准》选定的必修内容以及选 修系列1和系列2的学习内容，
基本上覆盖了1997年制订、又于2002年修改审定的《大纲》的内 容，只是根据时代的要求，
增加了一些算法初步、推理与证明、框图这样的新内容． 在概率统计方面， 对于统计思想
及其应用和随机概念有所加强．与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧
重点方面有所调整．
例如，削弱了三角函数恒等变换化的证明；不等式中减少不等式证明的要 求，而侧重介绍现
实世界中的不等关系中优化的思想；立体几何中减少综合证明的内容，重在对于图形的 把握，
发展空间观念， 运用向量方法解决计算问题；微积分初步中不再系统地讲极限概念，只通
过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用。这样的调整，将使得学生把精力
更多地放在 理解数学的思想和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展
学生的数学思维能力，发 展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问
题的能力，为学生日后的进一步学习， 或在工作、生活中的应用，打下更好坚实的基础。

选修系列3和系列4的构成及其定位
随着时代的发展、社会的进步，人们逐渐认识到，数学无处不在，科学技术的发展需要数
学， 各行各业的生产需要数学，就是在日常生活中也离不开数学，现代社会越来越需要数学
素养比较高的人才 。学生在学习过程中，应当有更加开阔的视野。一个人只有有了比较高的
数学素养和比较开阔的视野，才 能比较自觉地、有意识地运用数学的眼光，去观察、分析周
围的世界，去主动地运用数学知识，处理和解 决所遇到的问题。因此，为了使高中学生依据
各自不同的兴趣和需要，了解更多、更广的数学知识，具有 更高的数学素养，《标准》设置
了选修系列3和系列4的学习内容．

选修系列3 和系列4的内容，有些看起来很深奥，以往只有上大学才能够学到，例如球面上
的几何、对称与群、矩阵 与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等．现在把
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它们引入高中数学课程，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的主要精
髓，把它 们的基本思想介绍给高中学生．
另外有些内容，例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标 系与参数方程、不等
式选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上，进一步加深对 已学知
识和相关知识的了解和认识．

还有一些内容，例如信息安全与密码、优选 法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与
决策、开关电路与布尔代数等，它们反映了数学与现实世 界的紧密联系与广泛应用，通过介
绍这些数学知识，可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识． 这些内容的教材编写
和教学，并不要求很严格的系统性，但是又不是像有些科普通俗介绍那样只是简单地 讲讲故
事，而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方法有一个初步的了解．

选 修系列3和选修系列4的设置和实施是一个动态发展的过程,在教学方式上应深入浅出，
不可过度的形式 化，不追求非常严格的系统性．系列3内容的评价适宜采用定量与定性相结
合的方式。
必修教材强调知识形成的过程，重视数学思想方法的渗透．如函数概念的形成过程等；选修
教材也强 调知识的形成过程，重视数学思想的渗透，更突出数学的文化价值的体现．如导数、
推理与证明、对称与 群等．

新教材几何内容知识链
必修2：立体几何初步、解析几何初步 必修4：平面向量 选修1：圆锥曲线与方程
选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何 选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉
公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充 选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与
参数方程

新课程对立体几何定位的调整
《普通高中数学课程标准》对立体几何的定位主要作了三个方面 的调整：强调把握图形能力
的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养．英 国著名数学家
M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是 数
学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，
两者在真正的数学研究中起着本质的作用．”

内容展开方式
《立体几何初步》的安排是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；
《空间向 量与立体几何》的安排是纵向的：直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判
定，空间角的计算．
本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与
直 线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所
成的角、平面与 平面所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于
应用向量解决立体几何问题的 思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概
念、判定和性质复述一遍．

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