2020年高中数学教学论文 新教材之见

从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅
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随着人类新 型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战，
促使其必须进行重大革命，以 适应高度发展起来的现任新型知识体系。直到19世纪末20
世纪初才发展起来的“向量数学”，以其在 物理学、空间物质结构中的广泛应用，而备受人
们所观注，进而很快形成了一套具有优良运算通法的数学 体系，现已被纳入中学数学基础教
程中，成为数学新教材改革的一大闪光点。
一、人类新知识体系，使得21世纪的基础教育课程结构更加现代化。
按照英国技术 预测专家詹姆斯·马丁的预测，人类的科学知识在10世纪是每50年增加
1倍，在20世纪中期是每1 0年增加1倍，而当前是每3—5年增加1倍。他的预测的精确
程度还有待考究，但据联合国教科文组织 的统计，截止1980年，当代人类知识体系中，人
类有史以来100多万年积累的知识占10%，而近 30年积累的占90%，而90年代后，人类知
识积累速度更加迅速。显然人类新知识体系显现出了前所 未有的高度膨胀的短周期效应，
这就使人类基础教育课程结构改革必须跟上时代发展的步伐。
现代电子办公一体化的形成，复印机、传真机、可视电话、移动通信、国际互联网
（I nternet）以及全球卫星定位系统可谓是真正进入了人们的日常生活。比如，网络时代的
产物：E -mail的接发、信息查询（Archie）、登录环球各信息网站（www）等等，这些都标
志着的 高度信息化社会的到来，大量有用的和无用的信息越来越多，传播越来越便捷，人们
获取和传播信息的方 式和能力显然与过去有了天地之别，这对现代中学基础教课程教材提供
了众多新的课题。
由于刚过去的20世纪，我国教育从中小学到大学基本了停留在18、19世纪的旧知识体
系上，不少陈 旧知识占去了学生相当多的学习时间，学习知识老化与迅速发展的科学技术极
不相称。更加让学子们不能 接受的事实是，现在所学的内容在今后5—6年毕业后，已经陈
旧甚至被淘汰。怎样解决这一系列矛盾呢 ？现代化的电子媒介技术为基础教育课程改革提供
了的新的广阔前景，这也许就是人们通常所认为的“教 学相长”吧，教育推动了科学技术的
进步，同样进步了的科学技术反过来又会推动教育向更高层面上发展 。
在现代教育技术支持下，教师一改过去“单一的传授教材知识”转变为“辅以现代媒体

技术的现代教材体系”。 目前，新的课程数学教学要求中，明确增加通过“研究性课题”使
学生学会提出问题，明确探究方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。
二、平面向量的引入，充分体现了高新教材改革的深度和广度。
受新知识体系的影响 ，作为最近一个世纪才兴起的“向量数学”这套数学体系，以其优
良的运算通性，将数学中的“数量”运 算与物理中的“矢量”运算有机地结合起来，充分数
学作为一门基础性学科的重要地位。
向量 作为一种新的量，它不同于数量，数量的代数运算在向量范围不一定能施行，因此
在实际教学中，应明确 数量和向量的区别，并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的
积、向量的数性积和矢性积等运算法 则。并在引入二维坐标系后，将向量与坐标紧紧联系起
来，增加了向量的渗透性和实用性，更体现了向量 运算的价值，下面简单附几例以亨读者。
例1 设△ABC是锐角三角形，在△ABC外分别作等腰R t△BCD、△ABE、△CAF，在这
三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角，又在四 边形BCFE外作等腰Rt△
EFG，∠EFG是直角，求证：（1）GA=
2
AD （2）∠GAD=135
0
（1994年上海市试题）
【简析】：以点A为原点建立直角坐标系（复平面），
记G相应的 复数为Z
G
，D相应复数为Z
D
，如图，
Z
G
=AG=AF+FG
=AF+EF
i

=AF+（EA+AF）
i

=AF（1+
i
）+BA
（-1+
i
）Z
D
=（-1+
i
）AD
=DA+AD
i

=DB+BA+（AC+CD）
i

=BA+DB+BD+AC
i

=BA+（AF+FC）
i

=BA+AF（1+
i
）
∴Z
G
=（-1+
i
）Z
D
即 GA=
2
AD ，∠GAD=135。
0
E
A
B
D
F
C
G
【评析】：此题将向量与复数二维坐标系完美地结 合起来，化繁为简，创造性使用向量完成
了证明，值得同学们借鉴。本题也可用传统平几证明方法证明， 这里不再赘述。
例2 如图，已知位于同一平面内的正三角形ABC，CDE和EHK（顶点依逆时针 方向排

列），并且AD=DK。证明：△BHD也是正三角形。
（1981年苏联试题）
【简析】：将△CAD绕C点逆时针旋转60，易知其
得到△CBE， ∴ │AD│=│BE│ 且AD、BE夹角
0
为60 又∵AD=DK
∴│DK│=│AD│=│BE│ 且DK、BE的夹
0
角也是60

0
再将△HBE绕H顺针旋转60，又因为
△EHK是正三角形，所以点E转到K，线段EB
与KD重合，即B转到D
0
于是│HB│=│HD│，∴HB、HD夹角为60
∴ △BHD是正三角形。
0
A
C
B
E
D
H
K
【评析】：此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明了正三角形的结论。实际题 中条件“”等
价于“在一直线上，”这个条件，读者可以利用初等平几知识进行证明，但均不如向量证法
简洁明了。
例3 在半径为15cm的均匀铁板上，挖去一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板 的中心相
距8cm，圆洞的半径是5cm，求挖去圆洞后所剩下的铁板的重心。
【简析】：如 图，以铁板中心O
1
为原点建立直角坐
标系，设挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为
O’（x,0）及圆洞中心O
2

如果在O’（x,0）处给一个支持点， 根据重
心原理，剩下的铁板应该处于力的平衡状态，即
其余各力的力矩和应为0 ，则
│F
1
│·│O’ O
1
│-│F
2
│·│O’ O
2
│=│0│
----------------------------- -------------
----------------(*)
2 2
这里，│F
1
│=π×15 │F
2
│=π×5
│O’ O
1
│= x │O’ O
2
│= 8+x
代入(*)得，x = -1
∴挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为O’（-1,0）
y
F
2

O
’

O
F
1

1
O

O
2

x
【评析】：这实质上是一道物理题的“变题”，利用“ 物体在平衡时，力矩和为0”来解题，
这里力矩就一个向量，正体现了数学作为一门“工具性学科”的基 础用途。
高中新教材在引入向量以后，使得平面几何和空间几何中许多定理、公式及一些相关问
题变得直观、浅显、易理解。教材还通过布置一定量的“实习作业”、“研究性课题”等实践
内容让学 生亲身体验数学活动的过程，提高他们的数学素养，以达到培养学生创新精神和应

用能力 的目的，这也是高中新教材改革之宗旨和目标。
三、深入进行教学与教材改革，可以为加速我国的教育现代化服务。
江总书记指出，八届全人 大四次会议审议批准了关于“九五”计划和2020年远景目标
纲要，明确地把实施科教兴国战略和可持 续发展战略确定为实现我国这一跨世纪发展宏图的
重要方针。也就是说在优先发展教育问题上，中央是下 决心的，态度是一贯的。作为一名普
通教育工作者，闻之则是振奋不已，誓志积极参与教育教学和配合教 材改革及研讨，深入解
剖教学深层次存在的难点和问题，充分利用身边有限的教育资源努力达到良好的育 人效果，
为了祖国早日实现“科教兴国”而执着不悔。