李永乐高中数学必修四-高中数学竞赛生选拔试题
2018年浙江省初高中数学衔接教材
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
;
(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
;
(2)立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
;
(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
;
(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
;
(5)两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
.
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
33223
2233
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有:十字相乘
法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)x
2
-3x+2;
(2)x
2
+4x-12;
(3)
x?(a?b)xy?aby
; (4)
xy?1?x?y
.
解:(1)如图1.1-1,将二次项x
2
分解成图中的两个x的积,再将常
数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上
的两个数乘积的和为-3x,就是x
2-3x+2中的一次项,所以,有
x
2
-3x+2=(x-1)(x-2).
x
x
-1
-2
1
1
-1
-2
1
1
图1.1-3
-2
6
x
x
-ay
-by
22
图1.1-1
图1.1-2
图1.1-4
说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中的两个x
用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)由图1.1-3,得
x
2
+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由图1.1-4,得
x
2
?(a?b)xy?aby
2
=
(
x?ay)(x?by)
(4)
xy?1?x?y
=xy+(x-y)-1
=(x-1) (y+1) (如图1.1-5所示).
x
y
图1.1-5
-1
1
习 题 一
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)
x?5x?6?
__________________________________________________
。
(2)
x?5x?6?
__________________________
________________________。
(3)
x?5x?6?
__
________________________________________________。
(4)
x?5x?6?
____________________________
______________________。
(5)
x?
?
a?1<
br>?
x?a?
__________________________________
________________。
2
2
2
2
2
(6)
x?11x?18?
_________________________________
_________________。
(7)
6x?7x?2?
________
__________________________________________。
(8
)
4m?12m?9?
________________________________
__________________。
(9)
5?7x?6x?
_______
___________________________________________。
(
10)
12x?xy?6y?
_____________________________
_____________________。
2、
x?4x?
?
?
x?3
??
x?
?
2
22
2
2
2
2
3、若x?ax?b?
?
x?2
??
x?4
?
则
a?
,
b?
。
2
二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的)
1、在多项式(1)
x?7x?6
(2)
x?4x?3
(3)
x?6x?8
(4)x?7x?10
(5)
x?15x?44
中,有相同因式的是( )
A、只有(1)(2)
C、只有(3)(5)
B、只有(3)(4)
D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)
2
2222
2、分解因式
a?8ab?33b
得( )
A、
?
a?11
??
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、
?
a?11b
??
a?3b
?
3、
?
a?b
?
?8
?
a?b
?
?20
分解
因式得( )
2
22
A、
?
a?b?10
??
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
C、
?
a?b?2
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
4、若多项式
x?3x?a
可分解为
?x?5
??
x?b
?
,则
a
、
b
的值
是( )
2
A、
a?10
,
b?2
B、
a?10
,
b??2
C、
a??10
,
b??2
D、
a??10
,
b?2
5、若
x
2
?mx?10?
?
x?a
??
x?b
?
其中
a
、
b
为整数,则
m
的值为
( )
A、
3
或
9
B、
?3
C、
?9
D、
?3
或
?9
三、把下列各式分解因式
1、
6
?
2p?q
?
?
11
?
q?2p
?
?3
2、
a?5ab?6ab
2
322
2
3、
2y?4y?6
4、
b?2b?8
42
第二讲 一元二次方程
若一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?
,
x
2
?
,
2a2a
则有
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
x
1
?x
2
?????
;
2a2a2aa
2
?b?b
2
?4ac?
b?b
2
?4acb
2
?(b?4ac)4acc
x
1
x
2
????
2
?
.
2
2a2a4a4aa
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax
2
+bx+
c=0(a≠0)的两根分别是x
1
,x
2
,那么x
1
+x
2
=
?
bc
,x
1
·x
2
=.这
一关系也被称为韦达定理.
aa
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x
2<
br>+px+q=0,若x
1
,x
2
是其两根,由韦达定理可知
x
1
+x
2
=-p,x
1
·x
2
=q,
即 p=-(x
1
+x
2
),q=
x
1
·x
2
,
所以,方程x
2
+px+q=0可化为 x
2
-(x
1+x
2
)x+x
1
·x
2
=0,由于x
1,x
2
是一元二次方程x
2
+px+q=0的两根,所以,x
1
,
x
2
也是一元二次方程x
2
-(x
1
+
x
2
)x+x
1
·x
2
=0.因此有
以两个数x
1
,x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x
2
-(x
1
+x
2
)x+x
1
·x
2
=0.
例1
已知方程
5x
2
?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一个根.但由于
我们学习了韦达
定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常
数项,于是可以利用两根之积求出方
程的另一个根,再由两根之和求出k的值.
解法一:∵2是方程的一个根,
∴5×2
2
+k×2-6=0,
∴k=-7.
所以,方程就为5x
2
-7x-6=0,解得x
1<
br>=2,x
2
=-
3
.
5
所以,方程的另一个根为-
3
,k的值为-7.
5
63
,∴x
1
=-.
55
解法二:设方程的另一个根为x
1
,则
2x
1
=-
由 (-
3k
)+2=-,得 k=-7.
5
5
3
,k的值为-7.
5
所以,方程的另一个根为-
例2 已知关于x的方程x
2<
br>+2(m
-
2)x+m
2
+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的
平方和比两个根的积大21,求m
的值.
分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和
比两个根的积大21得到关于m的方程,从而解得m的值.但在解题
中需要特别注意的是,由于所给的方
程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,由韦达定理,得
x
1
+x
2
=-2(m
-
2),x
1
·x
2
=m
2
+4.
∵x
1
2
+
x
2
2
-x
1
·x
2
=21,
∴(x
1
+x
2
)
2
-3
x
1
·x
2
=21,
即
[-2(m
-
2)]
2
-3(m
2
+4)=21,
化简,得 m
2
-16m-17=0,
解得
m=-1,或m=17.
当m=-1时,方程为x
2
+6x+5=0,Δ>0,满足题意;
当m=1
7时,方程为x
2
+30x+293=0,Δ=30
2
-4×1×293<0
,不合题意,舍去.
综上,m=17.
说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满
足方程有两个实数根所对应的m的范围,然后再由“两个实数根的平方
和比两个根的积大21”求出m的
值,取满足条件的m的值即可.
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到
根的判别式Δ是否大于或大于零.因为,韦达定理
成立的前提是一元二次方程有实数根.
例3
已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
分析:我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二
元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求
解.
解法一:设这两个数分别是x,y,
则 x+y=4, ①
xy=-12. ②
由①,得 y=4-x,
代入②,得
x(4-x)=-12,
即
x
2
-4x-12=0,
∴x
1
=-2,x
2
=6.
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?
y?6,y??2.
?
1
?
2
因此,这两个数是-2和6.
解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程
x
2
-4x-12=0
的两个根.
解这个方程,得
x
1
=-2,x
2
=6.
所以,这两个数是-2和6.
说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷.
习 题 二
A
组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x
2
+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是(
)
(A)-3 (B)3 (C)-2
(D)2
(2)下列四个说法:
①方程x
2
+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x
2
-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3
x
2
-7=0的两根之和为0,两根之积为
?
7
;
3
④方程3 x
2
+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 (
)
(A)1个
(B)2个 (C)3个 (D)4个
(3)关于x的一元二次方程a
x
2
-5x+a
2
+a=0的一个根是0,则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C)-1
(D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx
2
+4x-1=0的两根之和为-2,则k= . <
br>(2)方程2x
2
-x-4=0的两根为α,β,则α
2
+β
2
= .
(3)已知关于x的方程x
2
-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是
.
(4)方程2x
2
+2x-1=0的两根
为x
1
和x
2
,则| x
1
-x
2
|=
.
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m
2
x
2<
br>-(2m+1) x+1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有
实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x
2
-7x-1=0各根的相反数.
B 组
1.选择题:
若关于x的方程x
2
+(k
2
-1)
x+k+1=0的两根互为相反数,则
( )
(A)1,或-1
(B)1 (C)-1 (D)0
2.填空:
(1)若m
,n是方程x
2
+2005x-1=0的两个实数根,则m
2
n+mn
2
-mn的值等于 .
(2)如果a,b是方程x
2
+x-1=0的两个实数根,那么代数式a
3
+a
2
b+ab
2<
br>+b
3
的值是 .
3.已知关于x的方程x
2
-kx-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x
1
和x
2
,如果2(x
1
+x
2
)>x
1
x2
,求实数k的取值范围.
k的值为
C 组
1.选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于
( )
(A)
3
(B)3 (C)6
(D)9
(2)若x
1
,x
2
是方程2x
2
-4
x+1=0的两个根,则
x
1
x
2
?
的值为
( )
x
2
x
1
3
2
(A)6 (B)4 (C)3 (D)<
br>(3)如果关于x的方程x
2
-2(1-m)x+m
2
=0有两实数根
α,β,则α+β的取值范围为
( )
(A)α+β≥
11
(B)α+β≤ (C)α+β≥1
(D)α+β≤1
22
c
=0的根的情况是
4
(4
)已知a,b,c是ΔABC的三边长,那么方程cx
2
+(a+b)x+
(
)
(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根
2.填空:
若方程x
2
-8x+m=0的两根为x
1
,x
2
,
且3x
1
+2x
2
=18,则m= .
3. 已知x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
-4kx+k+1=0
的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x
1
-x
2
)(
x
1
-2
x
2
)=-
3
成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
2
(2)求使
x
1
x
2
?
-2的值为整数的实数k
的整数值;
x
2
x
1
x
1
,试求
?
的值.
x
2
(3)若k=-2,
?
?
第三讲 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
三角形的
三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1.
已知
D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点,
求证
AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1.
证明 连结DE,设AD、BE交于点G,
1
E=AB
E分别为BC、AE的中点,则DEAB,且
D
Q
D、
2
VGDE
∽
VGAB
,且相似比为1:2,
,
AG=2GD,BG=2GE
.
设AD、CF交于点
G'
,同理可
得,
AG'=2G'D,CG'=2G'F.
则
G
与
G'
重合,
AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成
2:1
.
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心.
三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.
例2
已知
VABC
的三边长分别为
BC=a,AC=b,AB=c
,I为
VABC
的内心,且I在
VABC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
,求证:
AE=AF=
b+c-a
.
2
三边上的切点, 证明 作
VABC
的内切圆,则
D、E、F<
br>分别为内切圆在
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线,
同理,BD=BF
,CD=CE.
AE=AF
,
b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-
CD
=AF+AE=2AF=2AE
即
AE=AF=
b+c-a
.
2
例3
若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.
已知
O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明
如图,连AO并延长交BC于D.
Q
O为三角形的内心,故AD平分
?BAC
,
ABBD
=
(角平分线性质定理)
ACDC
D为BC的中点,即BD=DC.
Q
O为三角形的重心,
AB
=1
,即
AB=AC
.
AC
同理可得,AB=BC.
VABC
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三
角形的垂心
为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是三角形ABC的外接圆,圆心
O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶
点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.
习 题 三
1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.
2. (1) 若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为
a、b、c
,
则三角形的内切圆的半径是___________;
(2)若直角三角形的三边长分别为
a
、b、c
(其中
c
为斜边长),则三角形的内切圆的半径是___________.
并请说明理由.
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