新教材高一数学必修一教案,集合的定义

《集合的含义与表示》教案
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）初 步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义 .
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.
2．过程 与方法
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语
言在描述客观现实和数学对象中的意义．
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元 素的确定性、互异性）．
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当 的形式表
示给定集合掌握集合表示的方法.
3．情感、态度与价值观
（1）了解集合的 含义，体会元素与集合的“属于”关系．
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力 ．初步培养学生实事求是、
扎实严谨的科学态度．
（二）教学重点、难点
重点是集合的 概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述
法正确地表示一些简单集合.< br>（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念 ，分析、
讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出
问题

学生回答（不能，应为7种），
一个 百货商店，第一批进货是帽子、皮
然后教师和学生共同分析原因：由
鞋、热水瓶、闹钟共计4个 品种，第二批设疑激趣，
于两次进货共同的品种有两种，故
进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯 、导入课题．
应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：
闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种

??这好像涉及了另一种新的运
的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？
算．??
复习
引入
引导学生回顾，初中代数中不
等式的解法一节中提到的有关知
识：
通过复
一般地，一个含有未知数的不
①初中代数中涉及“集合”的提法．习回顾，引
等式的所有解，组 成这个不等式的
②初中几何中涉及“集合”的提法． 出集合的
解的集合，简称为这个不等式的解
概念．
集．
几何中，圆的概念是用集合描
述的．
用心 爱心 专心
1

概念
形成
第一组实例（幻灯片一）：
（1）“小于l 0”的自然数0，1，2，通过实例，
3，??，9．引导学生
教师提问：①以上各例（构成< br> （2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数．经历并体
集合）有什么特点?请大 家讨论．
（3）所有直角三角形．会集合（描
学生讨论交流，得出集合概念
（4）到两 定点距离的和等于两定点述性）概念
的要点，然后教师肯定或补充．
间的距离的点．形成的过< br>②我们能否给出集合一个大体
（5）高一（1）班全体同学．程，引导学
描述???学生 思考后回答，然后教
（6）参与中国加入WTO谈判的中方生进一步
师总结．
成员．明 确集合
③上述六个例子中集合的元素
1．集合：及集合元
各是什么?
一般地， 把一些能够确定的不同的素的概念，
④请同学们自己举一些集合的
对象看成一个整体，就说这个整体是由会用自然
例子．
这些对象的全体构成的集合（或集）．语言描述
2．集合的元素（或成员）：集合．
即构成集合的每个对象（或成员），
概念
深化
第二组实例（幻灯片二）：
（1）参加亚特兰大奥运会的所有中 教师要求学生看第二组 实例，
国代表团的成员构成的集合．并提问：①你能指出各个集合的元
（2）方程x
2
= 1的解的全体构成的集素吗？②各个集合的元素与集合之
引入集合
合．间是什么 关系？③例（2）中数0，–2
语言描述
（3）平行四边形的全体构成的集是这个集合的元素吗 ?
集合．
合． 学生讨论交流，弄清元素与集
（4）平面上与一定点O的距离 等于r合之间是从属关系，即“属于”或
的点的全体构成的集合．“不属于”关系．
3．元素与集合的关系：
用心 爱心 专心
2

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
念
深化
集合通常用英语大写字母A、B、C?
表示，它们的元素通常用英语小写字母a、
b、c?表示 ．
如果a是集合A的元素，就说a属于A，
记作a∈A，读作“a属于A”．
如果a不 是集合A的元素，就说a不属于教师提问：“我们班中高个子
通过讨
A，记作a
?A，读作“a不属于A”．的同学”、“年轻人”、“接近数
论，使学生
4．集合的元素的 基本性质；0的数”能否分别组成一个集合，
明确集合
（1）确定性：集合的元素必须是确定为 什么？
元素所具
的．不能确定的对象不能构成集合．学生分组讨论、交流，并在教
有的 性质，
（2）互异性：集合的元素一定是互异师的引导下明确：
从而进一
的．相同的几 个对象归于同一个集合时只给定一个集合，任何一个对象
步准确理
能算作一个元素．是不是这个 集合的元素也就确定
解集合的
了．另外，集合的元素一定是互异
概念．
第三组实例（幻灯片三）：的．相同的对象归于同一个集合时

（1）由x
2
，3x + 1，2x
2
– x + 5三个式只能算作集合 的一个元素．
通过观
子构成的集合．
察实例，发
（2）平面上与一个定点O的 距离等于教师要求学生观察第三组实
现集合的
1的点的全体构成的集合．例，并提问：它们各有 元素多少个?
元素个数
（3）方程x
2
= – 1的全体实数解构成的 学生通过观察思考并回答问
具有不同
集合．题．
的类别，从
然后，依据元素个数的多少将
而使学生
5．空集：不含任何元素的集合，记作集合分类．
感受到有
让学生指出第三组实例中，哪?
．
限集、无限
6．集合的分类：按所含元素的个数分些是有限集？哪些是无限< br>集、空集存
为有限集和无限集．集？??
在的客观
7．常用的数集及其记号（幻灯片四）． 请同学们熟记上述符号及其
意义．
N：非负整数集（或自然数集）．意义．
N*或N
+
：正整数集（或自然数集去掉
0）．
Z：整数集．
Q：有 理数集．
R：实数集．


教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
列举法： 师生合作应用定义表示集合.
定义：把集合的元素一一列举出来，例1 解答：（1）设小于10的所
并用花括号“{}”括起来表示集合的方有自然数组成的集合为A，那么
法叫做列举法. A = {0，1，2，3，4，5，6，7，
例1 用列举法表示下列集合： 8，9}.
用心 爱心 专心
应用
举例


3

（1）小于10的所有自然数组成的集
合；
（2）方程x
2
= x的所有实数根组成
的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组成
的集合.
描述法：
定义：用集合所含元素的共同特征
表示集合的方法称为描述法. 具体方法
是：在花括 号内先写上表示这个集合元
素的一般符号及取值（或变化）范围，
再画一条竖线，在竖线后写出 这个集合
中元素所具有的共同特征.
例2 试分别用列举法和描述法表
示下列集合：
（1）方程x
2
–2 = 0的所有实数根组
成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组
成的集合.
由于元素完全相同的两个集合
相等，而与列举的顺序无关，因此
集合A可以有不同的列 举法. 例如：
A = {9，8，7，6，5，4，3，2，
1，0}.
（2）设方程x
2
= x 的所有实数
根组成的集合为B，那么B = {0，1}.
（3）设由1～20以内的所有质
数组成的集合为C，那么
C = {2，3，5，7，11，13，17，
19}.
例2 解答：（1）设方程x
2
– 2 =
0的实数根为 x，并且满足条件x
2
– 2
= 0，因此，用描述法表示为
A = {x∈R| x
2
–2 = 0}.
方程x
2
–2 = 0有两个实数根
2
，
?2
，因此，用列举法表示为
A = {
2
，
?2
}.
（2）设大于10小于20的整数为
x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20.
因此，用描述法表示为
B = {x∈Z | 10＜x＜20}.
大于10小于20的整数有11，12，
13，14，1 5，16，17，18，19，因
此，用列举法表示为
B = {11，12，13，14，15，16，
17，18，19}.

用心 爱心 专心
4

教学环节 教学内容
例3 已知由l，x，x
2
，三个实数构成
一个集合，求x应满足的条件．
解：根据集合元素的互异性，
师生互动 设计意图
应用
举例

?
x?1

?
2
得
?
x?1

学生分析求解，教师板书．

?
2
通过应

?
x?x
用，进一步

所以x∈R且x≠±1，x≠0．
幻灯片五（练习答案），理解集合的
课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．
反馈矫正． 有关概念、
例2 用∈、
?
填空．
性质．

①
?
Q；②
3
Z；


③
3
R；④0 N；
⑤0 N*；⑥0 Z．

例4 试选择适当的方法表示下列
集合：
生：独立完成；题：点评
（1）由方程x
2
– 9 = 0的所有实数根组
说明.
成的集合；
例4 解答：（1）{3，–3}；
（2）由小于8的所有素数组成的集
（2）{2，3，5，7}；
合；
（3）{(1，4)}；
（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6
（4）{x| x＜2}.
的图象的交点组成的集合；
（4）不等式4x – 5＜3的解集.

归纳
总结
引导学生学
①请同学们回顾总结，本节课学过的
会自己总结；
集合的概念等有关知识；
让学
②通过回顾本节课的探索学习过程，
师生共同总结——交流—生进一步（回
请同学们体会集合等有关知识是怎样形
—完善． 顾）体
成、发展和完善的．
会知识的形
③通过回顾学习过程比较列举法和
成、发展、完
描述法. 归纳适用题型.
善的过程．
巩固深化；预
习下一节内
容，培养自学
能力．
课后
作业
1.1 第一课时习案 由学生独立完成．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，?，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
用心 爱心 专心
5

【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1)
n–1
·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的 元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合
中的元素有有限个的情况.
（2）题 是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素
个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
9
（1）A = {x∈N |∈N}；
9?x
（2）B = {
9
∈N | x∈N }；
9?x
（3）C = { y = y = – x
2
+ 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x
2
+6，x∈N }；
（5）E = {x |
p
= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
q
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足 条件
是自然数；集合B中的元素是自然数
9
也
9?x
9
，它 必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素
9?x
是自然数y，它实际上是二次函数y = – x
2
+ 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些
点必须在二次函数y = – x
2
+ 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x
=
p
，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
q
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，
9
=1，3，9也是自然数.
9?x
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x
2
+ 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.
∴ C = {2，5，6}.
（4）点 {x，y}满足条件y = – x
2
+ 6，x∈N，y∈N，则有：
?
x?0,
?
x?1,
?
x?2,

???
y?6,y?5,y?2.
???
∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则
?
p?0,
?
p?1,
?
p?2,
?
p?3,?
p?4,

?????
?
q?5,
?
q?4 ,
?
q?3,
?
q?2,
?
q?1.
P
x 要满足条件x =，
q
13
2
∴E = {0，，，，4}.
4 2
3
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么用心 爱心 专心
6

条件，从而准确理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a
2
+ 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，
求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，
1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展开讨
论，便可求得a.
用心 爱心 专心
7