高一数学(杨老师)教材解析1

P53例题1证明函数f（x）=-
x
在定义域上是减函数.
P53例题2证明函数f（x）=-
x
3
+1在（-∞，+∞）上是减函数.
1
x
P53例题3证明函数f（x）=x+在（0,1]是减函数.
P53 例题4已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（x）＜0（x＞0），试判断F（x）=
+∞）上的单调性并证明.
P54例题5作出函数f（x）=
x-6x+9+
P54 例题6设函数f（x）=
调性.
x+a
x+b
2
在（0，
f（x）
1
x+6x+9
的图象，并指出函数f（x）的单调区间.
2（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单
P54例题7已知函 数f（x）=8+2x-
x
2
，g（x）=f（2-
x
2
） ，g（x）=f（2-
x
2
），试求g（x）的单调区间.
P54例题8如 果函数f（x）=
x
2
+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），比 较f（1）f（2）f（4）的大
小.
P54例题9已知函数f（x）的定义域在（0，+∞ ）上的增函数，且f（
x
y
）=f（x）-f（y），f（2）=1，解
不等 式：f（x）-f（
1
x-3
）≤2.
P55例题10（1）已知f（x） =
x
2
-2（1-a）x+2在（-∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）已知f（x）=-
x
3
+ax在（0,1）上是增函数，求实数a的取值范围.
a
x
a
2
P55例题11已知函数f（x）=x-
+
在（1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.
P55例题12已知函数f（x）对任意x，y
?
R,总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x>0时,f(x)<0，f（1）=< br>-
(1) 求证:f(x)是R上的减函数;

(2) 求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
P56例题13已知A=[1，b](b>1),对于
f（x）=

1
2
（x-1）+1
,若
x?A
,
f（x）?A
,试求b的 值域.
2
2
3
.
2.1.4 函数的奇偶性

P61例题1判断下列函数的奇偶性.
(1)
f（x）=
(2)
f（x）=
(3 )
f（x）=
x-
1-
2+
x
2
2-x
;
x
2
+-1
;
x+a-x-a（a R）;

(4)
f(x)=x(
1
2-1
2
x
+
1
2
);

(5)
f(x)=
1-x
x+2-2
.

ì
?
x(1
-
x)x<0
P62例题2 (1)判断:函数
f(x)=
?
,的奇偶性.
í
?
?
?
x(1+x) x>0
ì
?
x< br>2
-2x+3x>0
?
?
(2)证明:
f(x)=
?
x=0
,是奇数.
í
0
?
?
?
-
x
2
-
2x
-
3x<0
?
?
P62例题 3函数
f(x),x?R
,若对于任意实数a,b都有
f(a+b)=f(a)+f( b).
求证:
f(x)
为奇函数.
P62例题4若
f(x)
是定义在R上的奇函数,当x<0时,
f(x)=x(1-x)
,求当
x?
式.
P62例题5设
f(x)
在R上是偶函数,在区间
(
- ,0
)
上递增,且有
f(2a
的取值范围.
P62例题6已知函数
f(x)
是偶函数,其定义域为(-1,1),且在[0,1]上为增函数,若
f(a -2)-f(4-a)<0
.
试求a的取值范围.
P63例题7函数
f(x )=
ax+b
1+x
2
2
2
0
时,函数
f (x)
的解析
+a+1)2
-2a+3)
,求a
是定义在(-1,1)上的奇函数，且
f(
1
2
)=
2
5< br>.
(1) 确定函数
f(x)
的解析式;
(2) 用定义证明
f(x)
在(-1,1)上是增函数;
(3) 解不等式:
f(t-1)+f(t)<0
.
P63例题8已知定义域为R的奇函数< br>f
(
x
)
,求证:若在区间[a,b](b>a>0)上
f< br>(
x
)
有最大值M,那么
f
(
x
)
在区
间[-b,-a]上必有最小值-M.

2．2．1一次函数的性质与图像
P71例题1在同一直角坐标内,画出下列直线:

y=3x ,y=3x
-
2,y=3x+2，y=-3x+2.
P71例题2画出函数
y
=2
x
+1
的图象,利用图象求:
(1) 方程
2
x
+1=0
的解;

(2) 不等式
2
x
+1 0
的解集;

(3) 当
y
?3
时,求x的取值范围;

(4) 当
-3＃
y

(5) 求图象与坐标轴的两个交点间的距离;

(6) 求图象与坐标轴围成的三角形的面积.

P72例题3已知函数
y
=(2
m
-1)
x
+1-3
m
,
m
为何值时,
(1) 这个函数为正比例函数;

(2) 这个函数为一次函数;

(3) 函数值y随x的增大而减小;

(4) 这个函数图象于直线
y
=
x
+1
的交点在x轴上.
m
P72例题4已知
y
=(
m
-1)
x
23
时,求x的取值范围;
-3
m
+3
+2
是一次函数,且y随x增大而增大,求m的值. < br>2
P72例题5对任意的
k
?
轾
1,1
,函数
f
(
x
)=
x
臌
围.
+(
k
-4)
x
-2
k
+4
的值恒大于零,求x的取值范
P73例 题6已知
f
(
x
)
为一次函数,且满足
4
f
(1-
x
)-2
f
(
x
-1)=3
x
+ 18
,求函数
f
(
x
)
在
轾
-1,1上
臌
的最大值,并比较
f
(2004)
和
f
( 2005)
的大小.
P73例题7一次时装表演会预算中票价为每张100元,容纳观众人数 不超过2000人,毛利率y(百元)关于观众
人数x(百人)之间的函数图象如图所示,当观众人数超 过1000人时,表演会组织者需向保险公司缴纳定额平
安保险费5000元(不列入成本费用).请解 答下列问题:

850
-----------------------------------------
y(百元)
-------------------------------
400
-------------------
350--------------
---
-------------------
O
-100
10
20
x（百人）

如图
(1)求当观众人 数不超过1000人时,毛利润y关于观众人数x的函数解析式和成本费用S(百元)关
于观众人数x的 函数解析式

(2)若要使这次表演会获得36000元的毛利润,那么需售出多少张门票?需付成本费多少元?

2.2.2二次函数的性质与图像 2.2.3待定系数法
P79例题1画出二 次函数
y
=
1
2
2
x
2
-6
x< br>+21
的图象.
P80例题2将函数
y
=-3
x
小值,并画出它的图象.
-6
x
+1
配方,确定其对称轴和顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最
P80例题3分别在下列范围内求函数
y
=
x
2
-2
x-3
的最大值或最小值.
(1)
0<
x
<2
; (2)
2＃
x
P81例题4已知函数
y
=
x
2
3

+
x
-1
.求
(1)
x
?
轾
1,2
的值域;
臌
(2)
x
?
轾
1,3
的值域;
臌
(3)
x
?
轾
a
,
a
臌
P81例题5设< br>f
(
x
)=
x
2
1
的值域;
-2
ax
+2
,当
x
?
é
1,+
?
)
时,
f
(
x
)?
a
恒成立,求a的 取值范围.
P82例题6二次函数
f
(
x
)
与
g
(
x
)
上的图象开口大小相同,开口方向也相同.已知函数
g
(
x
)
的解析式和
f
(
x
)
图象的顶点 ,写出函数
f
(
x
)
的解析式.
(1) 函数
g
(
x
)=
xf
(
x
)
的图象的顶点时(4,-7)
;
(2) 函数
g
(
x
)=-2(x
+1)
,
f
(
x
)
的图象的顶点时
(-3,2)
.
2
2

P82例题7定 义在
轾
-6,6
上的奇函数
f
(
x
)
,在
轾
0,3
上为一次函数,在
轾
3,6
上为二次函数,且x
?
轾
3,6
臌臌臌臌
时,
f
(
x< br>)?
f
(5)3
,
f
(6)=2
,求
f(
x
)
.
2
P82例题8以x为自变量的二次函数
y
=-
x
+(2
m
+2)
x
-(
m
2
+4
m
-3)
中,m是不小于0的整
数,它的图象与x轴交于点A 和点B,点A在原点左边,点B在原点右边.
(1) 求这个二次函数解析式;
(2) 一 次函数
y
=
kx
+
b
的图象经过点A,与这个二次函数的图 象交于点C,且
S
求一次函数的解析式.
P83例题9求函数
y
= -2
x
2
D
ABC
=10
,
+12
x-18
的定义域.
+
bx
+
c
的图象过电A(0,5 )，B（5,0）两点，它的对称轴为直线x=2，P83例题10已知函数
y
=
ax
2
求这个二次函数的解析式.
P83例题11已知一次函数的图象与x轴交于点A( 6,0),又于正比例函数图象交于点B,点B在第一象限且横
坐标为4，如果
D
AO B
(0为原点)的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的解析式.
P83例题12某租 贷公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金增
加50 元时,未租贷出的车将会增加一辆.租车的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需维护费
50元.
(1) 当每辆车的租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2) 当每辆车的月租金定为多少元时, 租贷公司的月收益最大?最大月收益是多少?
P84例题13如图 所示,有一条双向公路隧道,其横截面由抛物线和矩形ABCO的三边组成,隧道的最大高度为
4.9m ,AB=10m,BC=2.4m.现把隧道的横截面放在平直角坐标系中,若有一辆高为4m,宽2m的装有集 装箱的汽
车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰到隧道顶 部（抛物线部
分为隧道顶部，AO,BO为壁）?
图
----------------------------------
Y
- -
-1 O 1 2 3 x

2.3函数的应用（I）
P96例题1某种笔记本每本5元,买
x
(
x
?
{
1,2,3,4
}
)
本笔记本的钱数解析式记为y (元),试写出以x为自
变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图像.
P96例题 2商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价20元,茶杯每只定价5元,该商店现推出两种优惠办法:
(1) 买一只茶壶赠送一只茶杯;
(2) 按购买总价的92%付款.

-

某顾客现购买茶壶4只,茶杯若干只(不少于4只),若以购买 茶杯数，若以购买茶杯数x只，付款为y元，试
分析建立两种优惠办法中y于x之间的函数关系式，并指 出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优
惠办法？
P96例题3某家报刊销售点从报社 买进报纸的价格是每份0.35元卖出的价格是0.5元，卖不掉的报纸还可
以以每份0.08元的价格 退回报社.在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天可
以卖出250份 .设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使得每月所获得
的利润最大 ？并计算该报纸销售一个月最多可赚多少元？
P96例题4某商人购货，进价已按原价a扣去25%， 他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售仍
可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物 的件数x于按新价让利总额y之间的函数关系是_______.
P97例题5将进货单价为8元的商 品按10元一个销售时,每天可卖出100个,若这种商品的销售单价每涨1
元,日销售量应减少10个 ,为了获得最大利润,此商品的销售单价应为多少元?
P97例题6某公司生产一种电子仪器的固定成 本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知每月总
ì
?
1
2
?
400x-x （0＃x400），
收益满足函数:
R（x）=
?
其中x是仪器的月产量.
í
2
?
?
80000 （x>400),
?
?
(1) 将利润表示为月产量的函数f(x)

(2) 当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少元?

P 97例题7有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元),它们与投入资金x( 万
元)的关系,有以下公式:P=
x
5
,Q=
3
5
x
,今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙
两种商品的资金投入 分别应为多少?能获得最大的利润是多少?
P98例题9 某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入 ）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本
（即另增加投入）0.25万元。市场对此产品的 年需求量为500台。销售的收入函数为R（x）=5x-
元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数 量（单位：百台）。
（1） 把利润表示为年产量的函数；
（2） 年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3） 年产量是多少时，工厂才不亏本？
x
2
2
（万
2.4函数与方程
P108例题1求下列函数的零点：
（1） f（x）=4x-3:；
（2） f（x）=
x
2
-2x+3；
（3） f（x）=
x
4
-1.
例题2判断方程
x
2
-x-6=0的解是否存在。
例题3求证：方程5
x
2
-7x-1=0的根一个在区间（-1,0）上，另一个在区间（1,2）上.
P109例题4函数y=-2
x
2
+x+3的自变量x在什么区间范围内取值 时，函数值大于0，小于0，等于0？

例题5二次函数y=a< br>x
2
+bx+c中，a·c＜0，则函数的零点个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、0个 D、无法确定
例题6设f（x）=
x< br>2
+bx+c
（b，c为常数），方程f（x）=的两个实数根为
x
1
、x
2
，且满足
x
2
-x
1
＞1，设t＜
x
1
，比较f（t）与
x
1
的大小。
例题7求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数。
例题9求函数f（x）=
x-x-9x+1
的一个负零点（精确到0.01）。 例题10借助计算器或计算机用二分法求方程
2+3x=7
的近似解（误差不超过0.01 ）。
例题11求方程
x-x-3x+3=0
的无理根（精确到0.01）
532
x
32
本章总结
P119
例题1 求下列函数的定义域：
(1) y=
x?2
+
1
3?x

1
x
(2) y=
2x?3
-
1
2?x
+
例题2 函数
f(x)
的定义域为
?
?1,4
?
，求函数
f(x
2
)
的定义域。
例题3 已知函数
f( x
2
?2x?3)?4x
2
?3x?7
的定义域为
?
2,5
?
，求函数
f(x)
的定义域。
P120
例题4 已知函数
f(x)
的定义域为
?
0,1
?
，求函数
G(x)?f(x?a)?f(x?a)
的定义域。
?
?
1
?
?
?0
。
2
?
例题5 已知函数的定义域 为
R
，且对
m,n?R
，恒有
f(m?n)?f(m)?f(n)? 1
，且
f
?
?
1
2
当
x
＞
?
时，
f(x)
＞
0
，试判断函数
f(x)
的单 调性。
例题6 定义在
R
上的函数
y?f(x),f(0)?0
，当
x
＞
0
时，
f(x)
＞
1
，且对任意 的
a
、
b
?
R
，
有
f(a?b)?f(a)?f(b)
。
P121
例题7 函 数
y?f(x)(x?0)
是奇函数，且当
x?(0,??)
时是增函数，若
f(1)?0
，求不等式
?
?
1
?
?
f< br>?
x
?
x?
?
?
＜
0

2
?
??
?
的解集。

例题8 已知
2
≤
x
≤
5
，求代数式
? 3x
2
?6x?
3
2
的最值。
例题9 设方程
x
2
?(a
2
?a?1)x?4?0
在
?
1,4< br>?
上有解，求实数
a
的取值范围。
例题10 设不等式
2x ?1
＞
m(x
2
?1)
对满足
m
≤
2的一切实数
m
都成立，求
x
的取值范围。
P122
例题11 已知一元二次方程
7x
2
?(k?13)x?k?2?0
的两实数根
x
1
,x
2
满足0＜
x
1
＜1 ,1＜
x
2
＜2,求
k
的取值范围。
例题12
m
为何值时，方程
7x
2
?(m?13)x?m
2
?m?2 ?0
的一个根大于1，一个根小于1？
例题13 已知二次方程
2x
2?(a?4)x?3a
2
?7a?30?0
的两个实根
x
1,x
2
，且满足-2＜
x
1
＜1＜
x
2
，
解之，得-2＜
k
＜
4
3
。
例题14 设 集合
A?(x,y)x
2
?mx?y?2?0,B?
?
(x,y)y ?x?1,0?x?2
?
,A?B?
?，求实数
m
的
取值范 围。
??
第三章 基本初等函数（I）
3.1指数与指数函数
P131
例题1 求下列各式的值：
（1）
5
(?3)
5
；（2 ）
4
(?3)
2
；（3）
4
(
?
?4)< br>2
；（4）
(a?b)
2
。
例题2 求下列各式的值：
（1）
81?
5?
5?
2
5
10
4
2
（2）
23?1.5?12
；（3）
(25?
9
3；
5
3
7
3
6
3
125)?
4
（4）
5
；
a
a?
2
（
a
＞
0
）；
3
a
2
（5）
P132
。
5
例题3 计算下列各式：
?
3
??
1
??2
（1）
?
2
?
?2?
?
2
??
5
??
4
?
?
7
?
（2）
?
2
?
?
9
?
0.5
0?
1
2< br>?(0.01)
?
2
3
0.5
；
?0.1
?2
?
10
?
?
?
2
?
27
??
0
?3
?
4
3
0
?
37
48?0.75
；
1
（3）
?
0.064
9
?< br>?
1
3
?
7
?
3
?
?
?< br>?
?
?
?2
?
?
8
?
??
?
?16??0.01
2
；
（4）
a
2
3
a
?3
?
3
a
?7
3
a
13
；

3
??
（5）
?
?3
?
8
??
?
2
3
?
?
0.002
?
?
1
2
?10
?
5?2
?
?1
?
?
2?3
?
0
。
例题4 指出下列函数哪些是指数函数：
①
y?4
x
；②
y?x
4
；③
y??4
x
；④
y?
?
?4
?
；⑤
y?
?
x
；⑥
y?4x
2
；⑦
y? x
x
⑧
y?
?
2a?1
?
xx
?
a
＞
1
2
，且
a?1
?
。
P133
例题10 比较下列各题中的两个数的大小：
?
5
?
（1）
??
?
3
?
?
3
?
（2）
??
?
5
?
2.5
?
5
?
,
??
；
?
3
?
?
3
?
,
??
?
5
?
?
1
2
3
?
1
3
；
（3）
1.7
0.3
,0.9
3.1
。
P134
例题11求下列函数的定义域与值域：
（1）
y?10
（2）
y? ()
2
1
2x
x?1
?1
；
2
2x?x
；
.
a?1
的定义域.（其中a＞0，且a≠1）
1
?x?2x
2（3）
y?3
2x?x
2
例题12求函数
y?
x
例题13求函数
y?()
2
的单调区间.
2?x
例题14已知 f（x）=
(e?a)?(e
x
?a)(a?0)
.
?x
2
（1） 求f（x）表示成
u?
（2） 求f（x）的最小值.
P135
例题：16：函数y=
a
x?3
e?e
2
x
的函数.
+3（
a
＞0且a
?
1）恒过定点______.
例题：17：求函数y=4
x
+2
x?1
+1的值域。
例 题：19：设
a
＞0且
a
?
1，函数y=
a
2x< br>+2
a
x
-1在
?
?1,1
?
上的最大值是 14，求
a
的值。
例题：20：截止到1990年底，我国人口约13亿，如果今后 能将人口平均增长率控制在1﹪那么经过20年
后，我国人口多少亿？
例题：21：家用电器 （如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氟层，臭氧含量Q随时间t呈

指数型函数变化，满足关系式Q=Q
0
e
?0.0 025t
,其中Q
0
是臭氧的初始量，e为无理数(e=2.71828…)
P136
例题：1：化简下列各式：
（1）
5
a
3
5
.
3
2
b
a
3
（
a
＞0，
b
＞0）；
3
b
4
（2）
a
a
?1
?1
?b
?b
1
?1?1
；
1
??
2b
??
a
3
(a? 8b)
1
3
?
.
a
（3）÷
?
1?
1
?
2112
3
?
a
4b2ab? a
??
3
??
3333
例题：2：（1）已知
x
=
1
2
，
y?
2
3
，求
x?
x?< br>y
y
-
x?
x?
y
y
；
（2）已 知
a
、
b
是方程
x
2
-6
x
+4 =0的两根，且
a
＞
b
＞0，求
a?
a?
b
b
的值。
例题：3：已知
a
＞0，对于0≤
r
≤8，< br>r?
N
*
，式子（
a
）
8?r
?
?
?
能情形有几种？
P137
?1?
?
?
能化为 关于
a
的整数指数幂的可
4
?
a
?
例题：5：画出 函数
y
=2
|x?1|
图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质。 < br>例题：6：已知3
a
=4
b
=6
c
，试比较
a
、
b
、
c
的大小。
例题：7：比较 两个值的大小：
（1）16
18
与18
16
；
（2）
n?1
P138
例题：9：设函数
f(x)
=2< br>|x?1|?|x?1|
，求使
f(x)
≥2
2
的
x
的取值范围。
2?x
x?1
a
与
n
n
a
n?1
（
a
＞0且
a?1
，
n?
N且n
＞2）
例题：11：函数
f(x)
=的定义域为集合A，关于
x
的不等式2
2ax
＜
a
a?x
（
a?
R）的解集为B，求
使A
?
B=A的实数
a
的取值范围。
x
例题：12：已知函数
f(x)
=
a
（
a
＞0， 且
a?1
），根据图象判断
1
2
?
f(x
1)?
x?x
2
?
?f(x
2
)
与
f?
1
?
的大
2
??
?
小，并加以证明。
P139

例题：13：要使函数
y?1?2< br>x
?4
x
a
在
x?(??,1
?
?
上
y
＞0恒成立，求
a
的取值范围。
4
x
x
例题：14：设
f(x)?
4?2
试求：
?
1
??
2
??
3
??
1000
?
f
?
?f?f?...?f
???????
的值。
?< br>1001
??
1001
??
1001
??
1001< br>?
例题：15：已知
f(x)
为定义在（-1，1）上的奇函数，当
x ?
（0，1）时，
f(x)?
（1） 求
f(x)
在（-1，1）上的解析式；
（2） 判断
f(x)
在何区间上单调递减，并给予证明。
2
x
x
4?1

例题：16：某林区1999年木材蓄积量 200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄
积量的年平均递增率能达到5%。
（1） 若经过
x
年后，该林区的木材蓄积量为
y
万立方米，求y?f(x)
的表达式，并求此函数
的定义域；
（2） 作出函数
y? f(x)
的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300
万立方米？
P140
13. 判断函数
f(x)?a
x
?a
?x的单调性.（其中
a
＞0且
a
≠1）
14. 设
x< br>＞0，
y
＞0，
f(x)?
4?4
4?4
x
x?x
?x
?2
?2
.求证：
f(x?y)?
f(x)?< br>1?
f(y)
f(x)?f(y)
.
15. 求函数
y?4
?x
?2
?x
?1
，
x?
?
?3,2?
的最大值和最小值.
2
2?1
x
16. 设
a
是实数，
f(x)?a?(x?R)

（1）证明：不论
a
为何实数
f(x)
均为增函数；
（2）试确定
a
的值，使
f(?x)?f(x)?0
成立.