初高中数学衔接教材

2018初高中数学衔接教材

目录

第一章 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系

2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定

3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程（选学）

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值 是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对
值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离
|PA|，即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－< br>3|．
|x－3|
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标
为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
， 则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
A
1
B
D
3 4
x

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2
m
（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
416
3
22
（2）不论< br>a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方
的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
x
2< br>?2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
2
x?1
，
2
1．分母（子）有理化

把分 母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需
要引入有理化因式的概 念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
我们就说这两个代数式互为有理化 因式，例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等等 ． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?b y
，
ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的 方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；
而分子有理化则是分母和分子都 乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可 参照多项式乘法进行，运算中要运
用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次 根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通
过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减 法类似，应在化简的基础上去括
号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3?1
1
33?1
3
解法二：
3?(3?3)
＝ ＝ ＝＝＝．
2
3?1
3(3?1)(3?1)(3?1)
3?3
例3 试比较下列各组数的大小：
2
（1）
12?11
和
11?10
； （2）和
22－6
.
6?4
解法一：
3?(3?3)
＝
3

＝
解： （1）∵
12?11?

11?10?
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
1
12?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．

22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2
∴＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
（2）∵
22－6?
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

?
＝
(3?2)?(3?2)?(3?2)
＝?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝
1
2004
?(3?2)
＝
3?2
．
20042004
2004
?(3?2)

例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
x
2
解：（1）原式
?5?45?4

?(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
．
1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?
，
x
x
11∵
0?x?1
，∴
?1?x
，所以，原式＝
?x
．
xx
3?23?2
例 6 已知
x?
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
3?23?2
解： ∵
x?y???(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?23?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?32
（2）若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x
，则
x
的 取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

等式
a
2
?1?1?a
23．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．


1.1.４．分式

1．分式的意义
形 如
AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分 式具有下列性质：
BBB
AA?MAA?M
； ．
??
BB?MBB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的 分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?
解得
A?2,B?3
．
2A?4,
?
111
??
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：
；
??< br>L
?
1?22?39?10
1111
??
L
??．
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1) 2
11(n?1)?n1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
1111111119


?(1?)?(?)?L?(?)?1?
＝．
??
L
?
1?22?39?1
111
11111111
??
L
?
（3 ）证明：∵
＝
(?)?(?)?
L
?(?
，
)
＝
?
2?33?4n(n?1)
2334nn?12n?1
1
又n≥2，且n是正整数，∴ 一定为正数，
n＋1
1
111
??
L
?
∴
＜
2
．
2?33?4n(n?1)
c
例3 设
e?
，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值． < br>a
2
解：在2c－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
1
∴e＝
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习

1．填空题：对任意的正整数n，
2．选择题：
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2
2x?y2
x
?
，则＝ （ ） 若
x?y3
y
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
5
（D）
6
5

3．正数
x,y
满足
x
2< br>?y
2
?2xy
，求
x?y
x?y
的值．
4．计算
11
1?2
?
2?3
?
1
3?4
?...?
1
99?100
．

习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x3
?y
3
?3xy
的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）
1
1?2
?
1
2 ?3
?
111
3?4
?
4?5
?
5?6
?
________．

B 组
1．填空：
（1）
a?
11
3a
2
?ab
2
，
b?
3
，则
3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
（2）若
x
2
?xy?2y
2
?0
， 则
x
2
?3xy?y
2
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?
11
y
2
,y?
3
，求
x?y
?
y
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

（2）计算
a?
1
a
等于 （
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．
3．计算：
1
1?3
?
1
2?4
?
1
3?5
?
L
?
1
9?11
．
4．试证：对任意的正整数n，有
11
1?2?3
?
2?3?4
?< br>L
?
1
n(n?1)(n?2)
＜
1
4
．
1.2因式分解
）


）