高中数学必修三：知识点教学教材

必修3：知识点
一：算法初步
1：算法的概念
（1）算法概念： 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，
而且能 够在有限步之内完成.
（2）算法的特点:
①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果。
③顺序性与正 确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，
前一步是后 一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，但是答案是唯一的。
⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决。
2： 程序框图
（1）程序框图基本概念：
①程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、 指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图
形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
②构成程序框的图形符号及其作用
程序框









名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少
的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任
何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等
分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

输入、输出框
处理框
判断框

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除 判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，
有几种不同的结果。



满足条件？


否

语句




5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。


1
满足条件？

是
语句1
否
语句2

3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
（1）顺序结构：
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，
按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在
执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。

A
B
（2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的
算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B 框之一，不可能同时执行。
（3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件， 反复执行某一处理步骤的情况，这就是
循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定 包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结
构可细分为两类：
①一类是当型循环结构，如 下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，
再判断条件P是否成立， 如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，
此时不再执行A框，离 开循环结构。
②另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P仍
然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框 ，离开循环结构。



否
P
p
A
是
是
P
A
否

当型循环结构 直到型循环结构
注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。
2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。
4：输入、输出语句和赋值语句
（1）输入语句
①输入语句的一般格式

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程 序在运行

2

时其值是可以变化的量；④输入语句要求输入的值只能 是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；⑤提示内容与
变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量 ，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
（2）输出语句
①输出语句的一般格式


②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；③ “提示内容”提示用户输入什么样的信息 ，表达式是指程序要
输出的数据；④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
（3）赋值语句
①赋值语句的一般格式


②赋值语句的作用是 将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是
不同的。赋 值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；④赋值语句左边只能
是 变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；⑤对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）。
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

5：条件语句
（1）条件语句的一般格式有两种：①IF—THEN—ELSE语句；②IF—THEN语句。

①IF—THEN—ELSE语句 IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。


IF 条件
否

THEN
满足条件
？

语句1
是


ELSE
语句2
语句1



图1 图2
分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行 的操作内容；“语句
2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算 机在执行时，首先对IF后的条件进行
判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符 合，则执行ELSE后面的语句2。
②IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。
是
满足条

IF 条件 THEN

语
否

语句
（图

END IF
（图3）

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，
条件不满足时，结 束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条
件 符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
6：循环语句

3

循环结构是由循环语句来实现的。对应 于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE
型）和直到型（UNTIL型 ）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句
①WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环

WHILE 条件

循环体
是

满足条件？
WEND




否
② 当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体 ；
然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合 为止。这
时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此， 当型循环有时也称
为“前测试型”循环。
（2）UNTIL语句
①UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是


DO
循环

循环体

否
满足条
LOOP UNTIL 条件

是

②直到 型循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，
不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
（2）在WHILE语句中，是当条件满足时执行 循环体；在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环。（例如：上课
时间睡觉，下课不睡觉）

7：辗转相除法与更相减损术
（1）辗转相除法。用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
①用较大的数m除以较小的数n 得到一个商
②若
③若
S
0
和一个余数
R
0
；
R
0
R
1
＝0，则n为m，n的最大公约数；若
＝0 ，则
R
0
≠0，则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R
1
；
R
1
为m，n 的最大公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R
2
； ……
依次计算直至
R
n
＝0，此时所得到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。

（2）更相减损术
①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
② 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得
的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
98和63：

4

98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7

8：秦九韶算法
（1）秦九韶算法概念：
f(x)=a
n
x< br>n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a
n -1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
n-1n-2

=( a
n
x+a
n-1
x+….+a
1
)x+a
0
n-2n-3

=(( a
n
x+a
n-1
x+….+a
2
)x+a
1
)x+a
0

=......
=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0

nn?1
首先计算最内层括号内依次多项式的值，
10(k)
求多项式的值时，即v< br>1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值 ，
即v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

n

?

1
v
n
=v
n-1
x+a
0
n10
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
(10)nn?110
9：进位制
（1）概念：进位制是一种记数方式，用有限的数 字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基
数，基数为n，即可称n进位制，简称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记
数。对于任何一个数，我们可以 用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也
可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
aa
L< br>aa
?a?k?a?k?
L
?a?k?a?k
a
n
a
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n
?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)
，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示 二进制数,34
(5)
表示5进制数.
(2)k进制转化为十进制公式：



二进制
110011
（2）
化为十进制
11 0011
（2）
?1?2
5
?1?2
4
?0?2
3
?0?2
2
?1?2
1
?1?2
0
=51
(3)十进制转化为k进制：除k取余法


5

注：k进制数之间的转化，首先转化成十进制，再转化为其他进制数。

二：统计
1：简单随机抽样
（1）总体和样本
①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．
④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ， 研究，我们称它为样本．其
中个体的个数称为样本容量．
（2）简单随机抽样。特点是：每个 样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间
无一定的关联性和排斥性 。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和
数目较少时，才采 用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：
①抽签法 ②随机数表法 ( ③计算机模拟法 ③使用统计软件直接抽取。)
（4）抽签法步骤:
抽签法：


编号


给总体中所有个体编号（号码可以从1到n）



制签


将1到n这n个号码写在形状、大小都相同的好签上



搅拌


将好签放在一个容器中，搅拌均匀



抽签


每次从容器中不放回地抽取一个好签，并记录其编号，连续抽取x次



取样


从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出



（5）随机数法（利用随机数表编号）：


编号


将总体中的每个个体编号




定初值


在随机数表中任选一个数作为开始的数


从选定的数开始按一定的方向（可以向右、向左、向上、向下）读数，得到的

选号


号码若不在编号中则跳过，若在编号中则取出，如果得到的号码前面已取出则
跳过，如此继续下去，直到取满为止


取样

6

把选定的号码所对应的n个个体作为样本



2：系统抽样
（1）系统抽样（等距抽样）：
系统抽样的步骤：
① 将总体的N个个体编号；
② 确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn是整数时，取k=Nn；
③ 在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号m(m≦k)
④ 按照一定的规则抽取个体，即：将m加上间隔k得到第二个个体编号（m+k),以此类推。

3：分层抽样
（1）分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征 或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后按比例在各个类型
或层次中采用简单随机抽样或系 用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
例如：高年级与低年级分开，男女分开...
（2）分层的比例问题：抽样比=
样本容量各层样本容量
?

个体容量各层个体容量

简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习

方法
类别
共同
特点
抽样特征相互联系适应范围
简 单随
机抽样
系统
抽样
抽样过
程中每
个个体
被抽取< br>的概率
相等
从总体中
逐个不放
回抽取
将总体分成
均衡 几部
分，按规则
关联抽取
将总体分
成几层，
按比例分
层抽取
用简单随
机抽样抽
取起始号
码
用简单随
机抽样或
系 统抽样
对各层抽
样
总体中
的个体
数较少
总体中
的个 体
数较多
总体由
差异明
显的几
部分组
成
分层
抽样


4：用样本的数字特征估计总体的数字特征

（1）知道具体数据情况下求以下数值的方法：
①样本均值：
x?
x
1
?x
2
???x
n

n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
2
②样本标准差：
s?s?
；方差：
s

n
③众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。
④中位数：在样本数据中，累计频率为0.5时所对应的样本数据值（只有一个）。


7

（2）观察频率分布直方图（不知道具体数据）时求以下数值的方法：
①样本众数：直方图中最高小长方形下端中点的横坐标的值。

②中位数：第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为1）；
第二步，确定中位数在哪个小长方形里（中位数平分面积，两边各0.5）；
第三步，设中位数为x，则利用中位数平分面积，左边面积和为0.5列方程；
第四步，解方程，求出x。

③平均数：第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为1）；
第二步，求出每个小长方形的底边中点的横坐标。
第三步，面积与横坐标对应相乘
第四步，把第三步的结果相加，最终算出的数值即为平均数。

5:用样本的频率分布估计总体分布
1：画出频率分布表与频率分布直方图
频 率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。
具体步骤如下：
第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差.
第二步：决定组距和组数：组距与组数的确定 没有固定标准，需要尝试、选择，力求有合适的组数，以能把数
据的规律较清楚地呈现为准.太多或太少 都不好，不利对数据规律的发现.组数应与样本的容量有关，
样本容量越大组数越多.一般来说，容量不 超过100的组数在5至12之间.组距应最好“取整”，它与
极差
有关.
组距注意：组数的“取舍”不依据四舍五入，而是当
极差
极差
不是整数时，组数=［］ +1.
组距
组距
②频率分布折线图 ：连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点，就得到频率分布折线图。
③总体密度曲线：总体密 度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比，它能给我们提供更加精细的信息。

例如：为 了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5～18岁的男生的体重情况，结果
如下（单位：kg）.
56.5
66.5
72
57.5
62
63.5
55
60
64
69
69.5
64
73.5
65.5
68.5
64.5
72
55.5
70.5
71.5
65
64.5
56
68
62.5
67.5
66.5
70
57
73
61.5
76
67
71
66
73
74
64.5
62.5
62
64.5
58.5
70
75
59.5
68
63
58
65
58
76
59.5
68.5
68
57
61.5
59
64.5
65.5
66
71
63.5
64
76
69.5
67
65.5
75.5
58.5
66.5
66
65
55.5
57.5
74
68
62.5
68.5
67.5
70
63.5
70
72.5
60
64.5
63.5
69.5
64
70.5
63
56
74.5
66.5
71.5
59
58
72
62
65
59.5
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的总体分布作出估计.
解：按照下列值的差
（1）求最大值与最小计.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，极差是76－55=21.
（2）确定组距与组数.如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数适合的 .于是组距为2，组数为
11.

8

（3）决定分点.根 据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个
数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是
［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.
（4）列频率分布表.（频率=频数÷样本总数）
分组 频数 频率 频率组距
［54.5，56.5） 2 0.02 0.01
［56.5，58.5） 6 0.06 0.03
［58.5，60.5） 10 0.10 0.05
［60.5，62.5） 10 0.10 0.05
［62.5，64.5） 14 0.14 0.07
［64.5，66.5） 16 0.16 0.08
［66.5，68.5） 13 0.13 0.065
［68.5，70.5） 11 0.11 0.055
［70.5，72.5） 8 0.08 0.04
［72.5，74.5） 7 0.07 0.035
［74.5，76.5） 3 0.03 0.015
合计 100 1.00 0.50
（5）绘制频率分布直方图.
频率分布直方如图2－2－3所示.

频率组距
54.5 56.558.560.562.564.566.568.570.57 2.574.576.5
体重
0.07
频率组距
0.06
频率组距< br>0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
54 .5 56.558.560.562.564.566.568.570.572.574.5
体重

连接频率直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.

2：茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁边生长出来的数。

例2：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下
甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；

9

乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51. < br>上述的数据可以用下图来表示，中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位 数.
甲 乙
0 8
5 1 3 6 4
4 5 1 2 3 5 8
7 6 9 1 6 1 3 3 8 9
8 5 4
0 5 1

图2－2－5
6：变量间的相关关系：变量1的变化对变量2的结果有影响，但不是“函数” ，只能确定是“正相关、负相关”，
则称“变量1与变量2具有相关关系”。
（1）回归直线 ：根据变量的数据作出散点图，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线
性相关 的关系，这条直线叫做回归直线方程。
设已经得到具有线性相关关系的一组数据：
x

x
1

。。。
。。。
x
n

y
n


y

y
1

所要求的回归直线方程为：
y?bx?a
，其中，a，b是待定的系数。
常考常用：已知b，求a，再求当x等于某数值时，y的取值。
解法：计算x的平均数和y的平均数；
由回归直线过的样本中心点
(x,y)< br>，将x的平均数和y的平均数对应代入回归方程，求出a；
当a、b确定后，回归方程就是 已知方程，只需将x的值代入方程，就可求出y；同理，将已知的y的值代入，也
可以求出x。

三：概 率
1：随机事件的概率及概率的意义
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 4）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数< br>??
n
A
为事件A出现的频数；称事件A出现的比例
f
n(A)?
n
A
为事件A出现的频率。（频率=频数÷样本总数）
n（5）当试验的次数越多时，频率就越接近一个稳定值，这个稳定值我们称之为“概率”，即频率可看成概率 的近似
值。
2：概率的基本性质

10

（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1
（2）事件的关系有：包含、并事件、交事件、相等事件
（3）若A∩B为不可能事件，即A∩B=
?
，那么称事件A与事件B互斥；
（4）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
所以:对立事件一定是互斥事件。
（5）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若某事件的结果有k种可能，则这k种可能的
概率之和为1.
若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。
（6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件 是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括
三种不同的情形：（1）事件A发生且事件 B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时
不发生，而对立事件是指事件 A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）
事件B发生事件 A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件
（1）基本事件：基本 事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，一次实验的所有可能的结果一一列
出，列出时做 到不重复、不遗漏即可得出所有的基本事件。（列出时可以画树状图，也可以按照一定规则和秩序一
一列 出。）
（2）基本事件的特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件外）都可以 表示成基本事件的
和。
4：古典概型：
（1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件：
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本 事件数，然后利用公式
p(A)?
A所包含的基本事件的个数

总的基本事件个数
5：几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与 构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概
率模型为几何概率模型；
（2） 几何概型的概率公式：
p(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果 （基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相
等．
注意： 概率为1的事件不一定为必然事件；概率为0的事件不一定为不可能事件。

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