高中数学考前回归教材资料

高中数学考前回归教材资料
亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下100个问题，您是否有清醒的认识？
1． 集合中的元素具有无序性和互异性.如集合
?
a,2
?
隐含条件
a? 2
，
集合
?
x|(x?1)(x?a)?0
?
不能直接化 成
?
1,a
?
.
2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素 ，如:{
x|y?lgx
}与{
y|y?lgx
}及{
(x,y)| y?lgx
}三集合并不
表示同一集合；再如：“设A={直线}，B={圆}，问A∩B中元 素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”
与“A={(x, y)| x + 2y = 3},
B={(x, y)|x
2
+ y
2
= 2}, A∩B中元素有几个？”有无区别？
2
过关题：设集合
M?{x|y?x?3}，集合N＝
y|y?x?1,x?M
，则
M
??
N?
_ __
（答：
[1,??)
）
3 .进行集合的交、并、补运算时， 不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行
求解；若AB=
?，则说明集合A和集合B没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？
A?
?
或B?
?
；
nnn
对于含有
n
个元素的有限集合M，其子 集、真子集、和非空真子集的个数分别是
2
、
2?1
和
2?2
，你
知道吗？你会用补集法求解吗？
A是B的子集
?
A∪B=B
?
A∩B=A
?

A?B
，你可要注意
A?
?
的情况.
过关题：已知集合A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合为 .
答：
m?{0,1,?}

已知函数
f(x)?4x
2?2(p?2)x?2p
2
?p?1
在区间
[?1,1]
上至少 存在一个实数
c
，使
f(c)?0
，
求实数
p
的取 值范围.答：
(?3,)
）
4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时， 你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式
函数的对称中心吗？
过关题：已知函数
f(x)?
答：
{x|2?x?3}

5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？
6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题 和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！
复合命题的真值表你记住了吗？命题 的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条
件的概念记住了吗？如何判断？反证 法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果.
原命题:
p?q
;逆命题:
q?p
;否命题:
?p??q
；逆否命题:
?q??p
；互为逆否的两个命题是
等价的.
如：“
sin?
?sin
?
”是“
?
?
?
”的 条件.（答：充分非必要条件）
- 1 -
1
2
3
2
a?x
的对称中心是(3, -1)，则不等式f (x) > 0的解集是 .
x?a?1

< br>若
p?q
且
q?p
;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充 分条件）;
注意命题
p?q
的否定与它的否命题的区别:
命题
p?q
的否定是
p??q
；否命题是
?p??q

命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P或┐Q”
注意：如 “
a,b?Z
，若
a
和
b
都是偶数，则
a?b是偶数”的否命题是“若
a
和
b
不都是偶数，则
a?b
是奇数”；否定是“若
a
和
b
都是偶数，则
a?b
是奇数”
7.绝对值的几何意义是什么？不等式
|ax?b|?c
，
|ax?b|?c (c?0)
的解法掌握了吗？
过关题：| x | + | x – 1|| x | – | x – 1|答：
a?1
；
a?1
；
a??1

8.如何利用二次函数求最值？注意对
x
2
项的系数进行讨论了吗？
若
(a?2)x?2(a?2)x?1?0
恒成立，你对
a?2
=0的情况 进行讨论了吗？
若改为二次不等式
(a?2)x
2
?2(a?2)x?1? 0
恒成立，情况又怎么样呢？
9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？
（2）二次函数与 二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（3）方程有解问
题，你会求解吗？ 处理的方法有几种？
过关题：不等式a x
2
+ b x + 2 > 0的解集为
{x|?
答：
?14

过关题：方程2sin
2
x – sinx + a – 1 = 0有实数解，则a的取值范围是 .
答：
[?2,]

22
特别提醒：二次方程
ax?bx ?c?0
的两根即为不等式
ax?bx?c?0
(?0)
解集的端点值，也是 二次
2
11
?x?}
，则a + b = .
23< br>9
8
函数
y?ax?bx?c
的图象与
x
轴的交点的 横坐标.
对二次函数
y?ax
2
?bx?c
，你了解系数
a,b,c
对图象开口方向、在
y
轴上的截距、对称轴等的影响吗？
22< br>对函数
y?lg(x
2
?2ax?1)
若定义域为R，则
x? 2ax?1
的判别式小于零；若值域为R，则
x?2ax?1
的
2
判 别式大于或等于零，你了解其道理吗？
例如：y = lg(x
2
+ 1)的值域为 ，y = lg(x
2
– 1) 的值域为 ，你有点体会吗？
答：
[0,??);(??,??)

10求函数的单调 区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数
y?log
2
(x
2
?2 x?3)
的单调增区间？再如已知函数
y?log
a
(x
2
?2ax?1)
在区间
[2,3]
上单调减，你会求
a
的范围吗？ 答：
0?a?
2
3

4
若函数
y?x?2ax?2
的单调增区间为
?
2,??
?
，则
a
的范围是什么 ？ 答：
a?2

- 2 -

若函数
y ?x
2
?2ax?2
在
x?
?
2,??
?
上单调递增，则
a
的范围是什么？ 答：
a?2

两题结果为什么不一样呢？
11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定 和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函
数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）
如已 知
f(x)?5sinx?x
3
，
x?(?1,1)
，
f( 1?a)?f(1?a
2
)?0
，求
a
的范围. 答：
(1,2)

求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪” 和“或”；单调区间是区间不能用集合或
不等式表示.
12.判断函数的奇偶性时，注意到定 义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充
分条件）.
过关题：f (x) = a x
2
+ b x + 3 a + b是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则a= , b= .答：
;0

13.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）
函数的图象不可能关于
x
轴对称，（为什么？）如：y
2
= 4x是函数吗？
函数图象与
x
轴的垂线至多一个公共点，但与
y
轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；
函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；
图象关于
y
轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线
1
3
y?x
对称，你知道吗？
过关题：函数y = 2f (x – 1)的图象可以由函数y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？
已知函数y = f (x) (a≤x≤b)，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a≤x≤b} ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（ ）
A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 无数个
答：
A

14.由函数
y?f(x)图象怎么得到函数
y?f(?x)
的图象？ 答：以
y
轴为对称轴翻折
由函数
y?f(x)
图象怎么得到函数
y??f(x)
的图象？ 答：以
x
轴为对称轴翻折
由函数
y?f(x)
图象怎么得到函数
y??f(?x)
的图象？ 答：以
(0,0)
为对称中心翻折
由函数
y?f(x)
图象怎么得到函数
y?f(|x|)
的图象？ 答：去左翻右
过关题：
f (x) = log
2
x关于直线
y?x
的对称函数（反函数） .答：
y?2
x

15.函数
y?x?
k
(k?0 )
的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最
x
的 单调区间吗？（该函数在
(??,?
值的联系是什么？若
k
＜0呢？ 你知道 函数
b
]
a
或
[
bbb
,??)
上单调递 增；在
(0,]
或
[?,0)
上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
aaa
求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.
16.(1)切记 ：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质.
- 3 -

过关题：
y?log
1
?x?2x
的单调递 增区间是________(答：（1,2）).
2
?
2
?
已知函数f (x) = log
3
x + 2, x∈[1, 9]，则函数g (x) = [f (x)]
2
+ f (x
2
)的最大值为 . 答：13
求解中你注意到函数g (x)的定义域吗？
(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）
过关题12：已知
f(x)
是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
f(?
（ 答：0）
几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：
f(x)?kx(k?0)
---------------
f(x?y)?f(x)?f(y)
；
②幂函数型：
f(x)?x
2
--------------
f( xy)?f(x)f(y)
，
f()?
T
)?
__
2
x
y
f(x)
；
f(y)
f(x)
；
f(y)
③指数函数型：
f(x)?a
x
----------< br>f(x?y)?f(x)f(y)
，
f(x?y)?
④对数函数型：
f (x)?log
a
x
---
f(xy)?f(x)?f(y)
，
f()?f(x)?f(y)
；
⑤三角函数型：
f(x)?tanx
-----
f(x?y)?
x
y
f(x)?f(y)
.
1?f(x) f(y)
17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质 明确了吗？对
指数函数
y?a
x
，底数
a
与1的接近程度确 定了其图象与直线
y?1
接近程度；对数函数
y?log
a
x
呢？ 你
还记得对数恒等式（
a
知道：
log
a
N
?N
）和换底公式吗？
n
log
a
N?log
a
m
N
n
吗？
m
m
n
指数式、对数式：
a?a
，
a
n
m
?
m
n
0
，a?1
，
log
a
1?0
，
log
a
a?1
，
lg2?lg5?1
，
log
e
x?lnx
，
?
1
m
a
n
a
b
?N?log
a
N?b(a?0,a?1,N?0)
，
a
log
a
N< br>?N
.
如
()
1
2
log
2
8< br>的值为________(答：
1
)
64
18.你还记得什么叫终边 相同的角？若角
?
与
?
的终边相同，则
?
?
??2k
?
,(k?Z)

若角
?
与
?< br>的终边共线，则：
?
?
?
?k
?
,(k?Z)

若角
?
与
?
的终边关于
x
轴对称，则：
?
??
?
?2k
?
,(k?Z)

若角
?
与
?
的终边关于
y
轴对称，则：
?
?
?
?
?
?2k
?
,(k?Z)

若角
?
与
?
的终边关于原点对称，则：
?
?
??(2k?1)
?
,(k?Z)

若角
?
与?
的终边关于直线
y?x
对称，则：
?
?
- 4 -
?
2
?
?
?2k
?
,(k?Z)

各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
15?,7 5?
角的正弦、余弦、正切值还记得吗？
19.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草 图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及
其取得最值时的
x
值的 集合吗？（别忘了
k?Z
）
函数y =2sin(
?
??
– 2x)的单调递增区间是
[
??k
?
,
?k
?
](
k?Z
)
吗？你知道错误的原因吗 ？
63
6
k
?
,0)
，而不是点
(k
?
,0)(k?Z)
你可不能搞错了！
2
y?tanx
图象的对称中 心是点
(
你会用单位圆比较sinx与cosx的大小吗？当
x?(0,
?< br>2
)
时，x, sinx, tanx的大小关系如何？
过关题:函数
y?tanx
与函数
y?sinx
图象在x∈[-2π,2π]上的交点的个数有 个？ 答：
5

20．三角函数中，两角
?
、
?
的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？
a
?
cos?
?
?
22
b
a?b
?
22
确定，也 可由
tan
?
?
asinx?bcosx?a?bsin(x?
?< br>)
中
?
角是如何确定的？（可由
?
a
b
?< br>sin
?
?
?
a
2
?b
2
?
及
a,b
的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？
?
1?osc
?
nis
?
1?osc
?
重要公式：
sin2
?
?
1?cos2
?
；
cos
2
?
?
1?cos2
?
．；
n
;
at????
2
2
21?osc
?
1?osc
?
nis
?????
1?sin
?
?(cos?sin)
2
?cos?si n
2222
等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？
如：函数
f(x)?5sinxcosx?53cos
2
x
?
5
3( x?R)
的单调递增区间为___________（答：
2
[k
?
?
?
12
,k
?
?
5
?
](k?Z)）
12
巧变角：如
?
?(
?
?
?
) ?
?
?(
?
?
?
)?
?
，
2?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?< br>?
?
)
，
?
?
?
?2?
?
?
?
2
，
?
?
?
2
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
2
?
等），
如（1）已知
tan(
?
?
?)?
23
?
1
?
，
tan(
?
?)?
，那么
tan(
?
?)
的值是_____（答：）；
52 2
444
（2）已知
?
,
?
为锐角，
sin
?
?x,cos
?
?y
，
cos(
?
?
?
)??
3
，则
y
与
x
的函数关系为______
5
- 5 -

（答：
y??
343
1? x
2
?x(?x?1)
）
555
（3）若x =
?
是函数y = a sinx – b cosx的一条对称轴，则函数y = b sinx – a cosx的一条对称轴是
6
A.
?
?
?
B. C. D. π （ ）答：
B

632
21.会用五点法画
y?Asin(< br>?
x?
?
)
的草图吗？哪五点？会根据图象求参数A、
?、
?
的值吗？什么是振幅、初相、
相位、频率？ 答：
A,
?
,wx?
?
,
|
?
|

2
?
22.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是： “奇变偶不变，符号看象限”
函数
y?sin
?
?
5
?< br>?
?2x
?
的奇偶性是______（答：偶函数）
?
2< br>?
23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角 互化？（用：面
积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗 （一解、两解、无
解）？
24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？
（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；
（2）名的变换：见切化弦；
（3）次的变换：降幂公式；
22
（4）形的变换：通分、去根式、1的代换
1?sin
?
?cos
?
=
tan?sin?cos0
） 等，这些统称为1的代换.
?
4
?
2
25.在已知三角函数中求一 个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函
数值）（2）注意考虑 到函数的单调性吗？
过关题：
sin
?
cos
?
?
3
1
??
,且?
?
?，则cos
?
-sin?
的值为
.答：
?

842
2
过关题:
sin
?
=
?
510
,sin
?
?,且
?
,
?
为锐角,
则
?
?
?
= .答：
4
510
26.形如
y?Asin(
?
x?
?
)
+b，
y? Atan(
?
x?
?
)
的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还 记得多少？ 周
期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？
- 6 -

27、
y?Asin(
?
x?
?
)
+b与y=sinx变换关系:φ正左移负右移；b正上移负下移;
横坐标伸 缩到原来的
1
倍
?
y?sinx??????y?sin(x??)???? ?????y?sin(
?
x??)

左或右平移|?|
??
?y?sin(y?sinx?????????y?sin
?
x?????
?x??)

横坐标伸缩到原来的
1
倍
?
左或右平移||
标伸缩到原来的A倍下平移|b|
?
纵坐
????????y?Asin(< br>?
x??)?
上或
?????y?Asin(
?
x??)?b

28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？
过关题： 已知
sin
?
cos
?
?
11
1
，求sin
?
cos
?
的变化范围.答：
[?,]

22
2
提示：整体换元，令
sin
?
cos
?
= t，然后与
sin
?
cos
?
相加、相减，求交集.
29 .请记住
(sin
?
?cos
?
)
与
sin
?
cos
?
之间的关系.
过关题：求函数y = sin2x + sinx + cosx的值域.答：
[?,2?1]

30 常见角的范围 ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是
(0,
5
4
?
]
，
[0,]
，
[0,
?
]
；
22
?
②直线的倾斜角、与的夹角的取值范围依次是
[0,
?
)
，
[0,
?
2
]

31以下几个结论你记住了吗？
⑴ 如果函数
f(x)
的图象关于直线x?a
对称，那么函数
f(x)
满足关系式为 ，
且函数
f(x)
若为奇函数，则函数
f(x)
的周期为 .
答：
f(a?x)?f(a?x),4|a|

⑵ 如果函数
f (x)
满足关于点（a,b）中心对称，那么函数
f(x)
满足关系式为 ；
答：
f(a?x)?f(a?x)?2b

⑶ 如果函数
f(x )
的图象既关于直线
x?a
成轴对称，又关于点
(b,c)
成中心对 称，
那么
f(x)
是周期函数，周期是
T
=
4|a?b|
.
（4）
f(x?a)?f(b?x)
，则
f(x)
的图 象关于
x?
a?b
对称.
2
- 7 -

过关题：已知函数f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且满足g (x) = f (x – 1)，则f (2006) + f (2007) + f (2008)
= . 答：
0

32.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？
l?|
?
|r,S?
呢？
过关题: 已知扇形AOB的周长是6cm，该扇 形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2
cm
2
），
曲线
?

33.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？
⑴ 内角和定理：三角形三内角和为
?
,
sinA?sin(B?C)
,< br>cosA??cos(B?C)
,
sin?cos(
⑵ 正弦定理：
1
lr
若
?
是角度，公式又是什么形式
2

?
x?2cos
?
4
?
?
（
?
为参数,且
?
?
?
?
??
）的长度为 . 答：
3
3
?
y?2sin
?
A
2
B?C
)
2
abc
???2R
（R为三角形外接圆的半径）,
sinAsinBsinC
注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
b
2
?c
2
?a
2
(b?c)
2
?a
2
??1
等，常选用余弦定理鉴 ⑶ 余弦定理：
a?b?c?2bccosA
，< br>cosA?
2bc2bc
222
定三角形的类型.
⑷ 面积公式 ：
S?
11abc
ah
a
?absinC?
，内切圆半径r =
2S
?ABC

a?b?c
224R
（5）两边之和大 于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？
sinA?sinB?A? B
，你会证明吗？
（6）已知
a,b,A
时三角形解的个数的判定：





A
b
h
C
a
其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a②a=h时，一解（ 直角）；③h一钝角）；④a
?
b时，一解（一锐角）.
⑵A为直角或钝角时：①a
?
b时，无解；②a>b时，
一解（锐角）.
（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？
34．常见的三角换元法：
已知
x?y?a
，可设
x?acos< br>?
,y?asin
?
；
22
已知
x?y?1
，可设
x?rcos
?
,y?rsin
?
(
0?r?1< br>)；
222
x
2
y
2
已知
2
?< br>2
?1
，可设
x?acos
?
,y?bsin
?；
ab
35.重要不等式的指哪几个不等式？
- 8 -

22
a?b
若
a,b?0
，（1）
?
a?b
?ab?
2
（当且仅当
a?b
时取等号） ；
221
?
1
ab
（2）a、b、c
?
R，
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；（3）若
a?b?0,m?0
，
则
bb?m
?（糖水的浓度问题）.
aa?m
1111
?
，常用如下形式：
a?b?0?0??
，
abab
36.倒数法则还记得吗？（指
ab?0,a ?b?
11
a?b?0?0??
）用此求值域的注意点是什么？
ab
1
如求函数
y?
x
的值域，求函数
y?2
x?1
的值域呢？
2?1
1
(a?b)
37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法及放缩法）（
a?b??2|ab|
）
2
222
等号成立的条件是什么？基本变形：①
a?b?
；
(
a?b
2
)?
；
2
38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？
如：①函数
y?4x?
91
(x?)
的最小值 .（答：8）
2?4x2
xy
②若若
x?2y?1
，则
2 ?4
的最小值是______（答：
22
）；
③正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
11
?
的最小值为______（答：3?22
）；
xy
39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为 一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基
本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜 率型）
过关题：若正数a, b满足a b = a + b + 3, 则a + b 的取值范围是 .（答：
?
6,??
?
）
40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？
过关题：已知a > b > 0，且a b = 1，设
c?
2
,P?log
c
a,N?log< br>c
b,M?log
c
ab
，
a?b
则 A. P < M < N B. M < P < N C. N < P < M D. P < N < M ( )
答：
A

41不等式解 集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式），另外“序轴标根法”解不等式的注意
事项是什 么？
将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量
x
的最高次 数项的系
数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否 包含零点.
如:解不等式
(x?3)(x?1)(x?2)?0
.（答：
{ x|x?1或x??3
或
x??2}
）；
32
- 9 -

42.解分式不等式
f(x)
?a(a?0)
应注意什么问题？（ 在不能肯定分母正负的情况下，
g(x)
一般不能去分母而是移项通分）
43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”
ax
2
?x(a?R)
解不等式
ax?1
（综上，当a?0
时，原不等式的解集是
{x|
x?0}
；
当
a ?0
时，原不等式的解集是
{x|x?
当
a?0
时，原不等式的解集 是
{x|
1
或
x?0}
；
a
1
?x?0
}
）
a
过关题：解关于x

的不等式：
ax?1
?1
，（| a

|≠1）
x?1
； a=1,?； 0?a?1,{x|?1?x?0}
答：
a?1,{x|x?0或x??1}
44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义 分类讨论、平方转化或换元转化）
45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）
过关题：解关于x

的不等式：
log
1
(x
2
? x?2)?log
1
42
1
x?1?
. 答：
(2,3

)
2

46.会用不等式
||a|?| b||?|a?b|?|a|?|b|
证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？
47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）
过关题：对任意的a∈[-1, 1]，函数f (x) = x
2
+ (a – 4) x + 4 – 2a的值总大于0，则x的取值范围
是 .答：
(??,1)

过关题：当P(m, n)为圆x
2
+ (y – 1)
2
= 1上任意一点时，不等式m + n + c≥0恒成立，则c的取值范围
是 .答：
[2?1,??)

48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？
（等差数列中的重要性质：若，则；
(3,??)

等差数列的通项公式：
a
n
?kn?b
型 前
n
项和：
S
n
?An
2
?Bn
型
等比数列中的重要性质：若，则
时，；时，） 用等比数列求前
n
项和时一 定要注意公比
q
是否为1？（
过关题：求和：
S
n
?x?2 x?3x?
23
?nx
n
要注意什么？
- 10 -

49.等差数列、等比数列的重要性质：
a
n?1
?a
n? 1
?d(a为常数)
的数列有什么性质？若
{a
n
}
为等差 数列，
则
{a
2n?1
}{，ka
n
?b}
也是等 差数列，它们的公差是什么？
50.数列通项公式的常见求法：
观察法（通过观察数列前几 项与项数之间的关系归纳出第
n
项
a
n
与项数
n
之 间的关系）
n?1
?
S
1
公式法（利用等差、等比数列的通项公式 或利用
a
n
?
?
直接写出所求数列的通项公式）
n?2< br>S?S
?
nn?1
叠加法（适用于递推关系为
a
n?1
?a
n
?f(n)
型）
连乘法（适用于递推关系为
a
n?1
?f(n)
型）
a< br>n
构造新数列法（如递推关系
a
n?1
?pa
n
?q ;a
n?1
?pa
n
?b
n
(b
n
为等差 数列或等比数列)
型）
51.数列求和的常用方法：
公式法：⑴ 等差数列的求和公式（两种形式），⑵ 等比数列的求和公式
⑶
1?2??n?
n(n?1)
，
1?3?5?
2
?(2n?1)?n
2
，
?n
2
?
1
n(n?1)(2n?1)

6
1?3?5??(2n?1)?(n?1)
2
；
1
2
?2
2
?3
2
?
分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中 的“同类项”先合并在一起，再运用公式法
求和（如：通项中含
(-1)
因式，周期数 列等等）
倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联，
那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）
错位相减法：（“差比数列”的求和）
裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式， 且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相
消法求和，常用裂项形式有：
⑴
n
1111111
???(?)
⑵
n(n ?1)nn?1n(n?k)knn?k
1111111
11111
??(?)
??????

k
2
k
2
?12k?1k?1< br>kk?1(k?1)k
2
k(k?1)k?k1k
⑶
⑷
n11
1111
??
?[?]
⑸
n(n? 1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
?
n?1
?
!n!?
n?1
?
!
1
?2(n?n?1)
⑺
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)

n
⑹
2(n?1?n)?
m?1mmmmm?1
⑻
C
n
（理科）
?C
n
?C
n?1
?C< br>n
?C
n?1
?C
n
分组法求数列的和：如a
n
=2n+3
n
、错位相减法求和：如a
n
=(2n-1)2
n
、
- 11 -

裂项法求和：如求和：
1?
11
??
1?21?2? 3
?
1
1?2?3??n
?
（答：
2n
）、
n?1
012
倒序相加法求和：如①求证：
C
n
?3C
n
?5C
n
?
n
（理科）
?(2n?1)C
n
?(n?1)2
n
；
x
21117
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()
②已知f(x)?
，则＝___（答：）
2
2342
1?x
求数列{ a
n
}的最大、最小项的方法（函数思想）：
?
?0
?
① a
n+1
-a
n
=??
?
?0
如a
n
= -2n
2
+29n-3
?
?0
?
②
a
n?1
a
n
?< br>?1
9
n
(n?1)
?
?
?
?
?1
(a
n
>0) 如a
n
=
n
10
?
?1
?
n

2
n?156
③ a
n
=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a
n
=
n?1
?
S
1
求通项常法: （1）可利用公式:
a
n
?
?

n?2
S?S< br>?
nn?1
如：数列
{a
n
}
满足
（2）先 猜后证
（3）递推式为
a
n＋1
＝
a
n
＋f(n) (采用累加法)；
a
n＋1
＝
a
n
×f(n) (采用累积法)；
如已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n
?a
n?1
?
11
a
1
?
2
a
2
?
22
?
1
14,n?1
a?
a?2n?5
，求（答：）
a
n?1
n
n
n
n
2,n?2
2
?
1
n?1?n(n?2)
，则
a
n
=________（答：
a
n< br>?n?1?2?1
）
（4）构造法形如
a
n
?ka
n?1
?b
、
a
n
?ka
n?1
?b
n< br>（
k,b
为常数）的递推数列
如已知
a
1
?1,a
n
?3a
n?1
?2
，求
a
n
（答：a
n
?23
n?1
?1
）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下2个公式的合理运用
a
n
＝（a
n
－a
n-1
）+(a
n-1
－ a
n-2
)+??＋（a
2
－a
1
）＋a
1
；

a
n
＝
a
n
a
n－1< br>a
2
?
?
a
1
（
a
i
?0
）
a
n－1
a
n－2
a
1
a
n?1
的递推数列都可以用倒数法求通项.
ka
n?1
?b
（6）倒数法形如
a
n
?
如①已知
a< br>1
?1,a
n
?
1
a
n?1
，求
a
n
（答：
a
n
?
）；
3n?2
3an?1
?1
②已知数列满足
a
1
=1，
a
n? 1
?a
n
?a
n
a
n?1
，求
a
n
（答：
a
n
?
1
），
n
2
- 12 -

已知函数f (x) =
?4?
1
1
, 数列{a }的前n项和为S, 点P (a , )(n∈N*)在曲线y = f (x)上, 且a
1
=
?
nnnn
2
a
n?1
x
2n
4n?1?1
(n∈N*); 1, a
n
> 0.(1)求数列{a
n
}的通项公式; (2)求证: S
n
>
(3)若数列{b
n
}的前n项和为T
n
, 且满足
等差数列.
答：（1）
a
n
?
T
n
?1
a
n
2
?
T
n
a
n?1
2
?16n
2
?8n?3
, 试确定b
1
的值, 使得数列{b
n
} 是
1
122
（2）提示：
a
n
?
（3）
b
1
?1

??
4n?3
4n?324n?34n?3?4n ?1
由
a
n
?S
n
?S
n?1
，求数列通 项时注意到
n?2
了吗？一般情况是：
a
n
?
?
?
S
1
n?1
?
S
n
?S
n?1
n ?2

52.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？
①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法
②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a
?
α) 、a
?
α
③平面与平面:α∥β、α∩β=a
线线
?
线面
?
面面， 线⊥线
?
线⊥面
?
面⊥面.
ab
?
?
?
?
?
?

?
?
??
常用定理:①线面平行< br>b?
?
?
?a
?
;
?
?a
?
;
a?
?
?
?a
?

a?
?
?
a?
?
?
a?
?
?
??
?

?
??
a?
?
ab
??
??
②线线平行:
a?
?
?
?ab
;
?
?ab
;
?
?
?
?a
?
?ab
;
?
?cb
b??
?
ac
?
??
?
?
?
?b
?
?
?
?
?b
?
a
?

a??
,b?
?
?
a?
?
?
?

?
?
③面面平行:
a?b?O
?
?
?
?
?
;
?
?
?

?

?
?
?

?
;
a?
?
?

?
??
a
?
,b
?
?
?
④线线垂直:
a?
?< br>?
?
?a?b
;所成角90；
a?
?
0
b?
?
?
PO?
?
?
?
(三垂线);逆定理?
?
?a?PA
a?AO
?
?
⑤线面垂直:
a?b?Oa?
?
,b?
?
?
?
?
?
?
ab
?
?

?
?
??
;;;
?a?
?
?
?b?
?
?
?l?
?
?
?
?
?l?a?
?
??
a?
?
?
a?
?
?
l?a,l?b
?
a?
?
,a?l
?
??0

⑥面面垂直：二面角90;
a?
?
?
a
?
?
?
?
?
?
?
;
?
?
?
?
?

a?
?
?
a?
?
?53.异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解），范围是什么？
过关题：在正方体ABCD – A
1
B
1
C
1D
1
中，点P在线段A
1
C
1
上运动，异面直线BP与 AD
1
所成的角为θ，则
角θ的取值范围是 .
两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是：
( 0,
?
]
、
[0,]
、
22
?
- 13 -

[0,
?
]
.
(3)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？
“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）
求空间角①异面直线所成角
?
的求法：
（1）范围：
?
?(0,
?
2
]
；
（2）求法：平移以及补形法、向量法.
如（1）正四棱锥
P?ABCD
的 所有棱长相等，
E
是
PC
的中点，那么异面直线
BE
与PA
所成的角
的余弦值等于____（答：
3
）；
3
（2）在正方体AC
1
中，M是侧棱DD
1
的中点，O是底面ABCD的中心 ，P是棱A
1
B
1
上的一点，则
OP与AM所成的角的大小为___ _（答：90°）；
②直线和平面所成的角：（1）范围
[0,
?
2
]
；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：（3）求法：
作垂线找射影或求点线 距离 （向量法）；
如（理）（1）在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，已知AB=1，D在棱BB
1
上，BD=1，则AD与平面AA1
C
1
C
所成的角正弦为______（答：
6
）；
4
（2）正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AB、C
1
D
1
的中点，则棱 A
1
B
1
与截面A
1
ECF所成的角的
余弦值是 ______（答：
3
）；
3
如（1）正方形ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，二面角B-A
1
C -A的大小为________（答：
60
）；
（2）正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的为30°，则二 面角C
1
—BD
1
—B
1
的正弦为______（答：6
）；
3
（3）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B- PA-C的余弦值是______
（答：
1
）；
3
54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？
过关题：平面
?
、
?
、
?
两两互相垂直，直线l与平面
?
、?
所成的角分别为30
o
、45
o
，则直线l与平
面< br>?
所成的角为 .答：
30?

（2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模 型，你知道吗？你能灵活运
用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为 ；侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ；正四面体的内
切球半径r与外接球的半径R之比为 ，它们与正四面体的高h之间的关系分别
为 、 .
- 14 -

答：
311h3h
;;;r?;R?

33344
（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？
（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）
（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）
55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？
过关题：一个四面体的所有棱长都是
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .答：
3
?

56．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等 (侧棱与底面所成角相等)
?
顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂
直)
?
顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)
?
顶点 在底面射影为底面内心;正棱
锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S
侧
cosθ=S< br>底
;正三角形四心?内切外接圆半径?;
57.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征
⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与
a
同方向的单位向量，平行向量，相等向量 ，相反向量，以及一个向量在
另一向量上的投影（
a
在
b
方向上的投 影是
|a|cos
?
?
a?b
,
?
为向量
a
与
b
的夹角）一定要记住!
|b|
过关题：在直角坐标平面上，向量
OA?(4,1)
与
OB ?(2,?3)
在直线l上的射影长度相等，则l的斜率
为 . 答：
?
1

2
⑵
0
和0是有区别的了，< br>0
的模是0，它不是没有方向，而是方向不确定；
0
可以看成与任意向量平行，
但与任意向量都不垂直.
⑶ 若
a?0
，则
a?b?0
，但是由
a?b?0
，不能得到
a?0
或
b?0
，你知道 理由吗？
还有：
a?c
时，
a?b?c?b
成立，但是由
a?b?c?b
不能得到
a?c
，即消去律不成立.
58.向量中 的重要结论记住了吗？如：在三角形
ABC
中，点
D
为边
AB
的中点，则
CD?
1
(CA?CB)
；已
2
知直线
AB
外一点
O
，点
C
在直线
AB
上的充要条件为
OC?tOA?(1?t)OB
.（三点共线）
59你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？
60.向量运算的有关性质 你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，
两向量的夹角为锐角 等价于其数量积大于零吗？（不等价）
向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方 向相反的向量叫做相反向量.
a
的相反向量
是－
a
.)、共线向量、 相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
61、加、减法的平 行四边形与三角形法则:
AB?BC?AC
;
AB?AC?CB
;
a?b?a?b?a?b

62、向量数量积的性质：设两个非零向量
a，
b
，其夹角为
?
，则：①
a?b?a?b?0
；
- 15 -

②当
a
，
b
同向时，a
?
b
＝
ab
，特别地，
a?a?a?a,a?a；
当
a
与
b
反向时，
a
?
b
＝－
ab
；
当
?
为锐角时，
a
?
b
＞0，且
a、 b
不同向，
a?b?0
是
?
为锐角的充要条件；
当
?
为钝角时，
a
?
b
＜0，且
a、 b
不反向，
a?b?0
是
?
为钝角的充要条件；
③
|a?b|?|a||b|
.如已知
a?(
?
,2
?
)< br>，
b?(3
?
,2)
，如果
a
与
b
的夹角为锐角，则
?
的取值范围是
______（答：
?
??
?
?
??
2
2
2
4
1
或
??0
且
?
?
）；
3
3
a?b
a④向量b在
a
方向上的投影︱b︱cos
?
＝
⑤
e< br>1
和
e
2
是平面一组基底,则该平面任一向量
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
(
?
1
,
?
2
唯一)
特别：
OP
＝
?
1
OA?
?
2
OB
则
?
1
?< br>?
2
?1
是三点P、A、B共线的充要条件，向量基本定理是什么？
?????
O
为坐标原点，如（1）平面直角坐标系中，已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
其中
?< br>1
,
?
2
?R
且
?
1
?
?
2
?1
,则点
C
的轨迹是___（答：直线AB）
???
?
1
OA?
?
2
OB
,
??????（2）在
?ABC
中，①
PG?
1
(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心，特别地
PA?PB?PC?0?P
为
3
?ABC
的重心；②
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心；
③向量
?
(
AB
?AC
)(
?
?0)
所在直线过
?ABC
的内心(是?BAC
的角平分线所在直线)；
|AB||AC|
如：（1）若O是
△ABC
所在平面内一点，且满足
OB?OC?OB?OC?2OA
，则
AB C
的形状为____
（答：直角三角形）；
（2）若
D
为
?ABC
的边
BC
的中点，
?ABC
所在平面内有一点
P< br>，满足
PA?BP?CP?0
，设
则
?
的值为___（答：2 ）；
（3）若点
O
是
△ABC
的外心，且
OA?OB?C O?0
，则
△ABC
的内角
C
为__（答：
120
）；
63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直 线的距离公式、
两平行直线间的距离公式记住了吗？
直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？
如：直线x cos θ+ y – 1 = 0 (θ∈R)的倾斜角的范围是 . 答：
[0,倾斜角α∈
[0,
?
)
,α=90斜率不存在;斜率k=tanα=0
|AP|
?
?
，
|PD|
?
4
][
3
?
,
?
)

4
y
2
?y
1

x
2
?x
1
对不重合的两条直线

，
- 16 -
，有

l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,且l
1
, l
2
不重合
;


64.何为直线的方向向量？法向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
如：经过点(6 ,– 2)且方向向量为e = (3 ,– 2)的直线方程为 .
65.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到了所设直线是否有斜率
k
不存在的情况？
方程：
y?y
0
?k(x?x
0
)
只能表示过点
(x
0
,y
0
)
斜率存在的直线，而 方程：
x?x
0
?t(y?y
0
)
则能表示过
点< br>(x
0
,y
0
)
且斜率不为零的直线，具体在什么情况下选选 择哪种形式？你清楚吗？
直线方程:点斜式 y-y
1
=k(x-x
1
);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0
两点式:
xy
y?y
1
x?x
1
;截距式:
??1
(a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率 造成丢解,
?
ab
y
2
?y
1
x
2
?x
1
直线Ax+By+C=0的方向向量为
a
=(B,-A)
66.方程：
y?kx?b,x?my?a
中
k,b,m,a
的几何意义是啥 ？
67.截距是距离吗？“截距相等”意味什么？什么样的直线其方程有截距式？（斜率存在，斜率不 为零，且不
过原点）
直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距 相等
?
直线的斜率为
?1
或直线过原
点；直线两截距互为相反数?
直线的斜率为1或直线过原点；直线在两轴上的截距绝对值相等
?
直线的
斜率为
?1
或直线过原点.
平行线系、垂直线系、经过两直线交点的直线系方程你都知道吗？
过关题：过点(1, 2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为 .
答：
y?2x,x?y?3?0

68.（1）方程x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0表示圆的充要条件是什么？二元二次方程表示圆的 充要条件是什么？
（2）点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时怎么求切线的？当点在圆外时 ，切线长、切点弦
所在直线的方程，你记得求法吗？
如：过点(1, 2)总可以作两条直线与圆x
2
+ y
2
+k x + 2y + 5 = 0相切，则实数k的取值范围是 ，
在求解时，你注意到x
2
+ y
2
+k x + 2y + 5 = 0表示圆的充要条件吗？
过点P (2, 3)向圆 (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1引切线，则切点弦方程为 .
答：
(?14,?4)(4,??);x?2y?4?0

（3）直线和圆的位置关系利用 什么方法判定？（圆心到直线的距离与圆的半径的比较或用代数方法）直
线与圆锥曲线的位置关系怎样判 断？
(4)圆:标准方程(x－a)+(y－b)=r;一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D +E-4F>0)
参数方程:
?
2
2222222
?
x? a?rcos
?
;直径式方程(x-x
1
)(x-x
2
)+ (y-y
1
)(y-y
2
)=0
?
y?b?rsin?
2222222
(5)若(x
0
-a)+(y
0
-b )r),则 P(x
0
,y
0
)在圆(x-a)+(y-b)=r内(上、外)
(6)直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ>r?
相
离;d=r
?
相切;d?
相交.
- 17 -

(7)圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两 圆半径分别为r,R,则d>r+R
?
两圆相离;d
＝r+R
?
两圆 相外切;|R－r|?
两圆相交;d＝|R－r|
?
两圆相内切 ;d<|R－r|
?
两圆内含;d=0,同
心圆.
(8)把两圆x+y+D
1
x+E
1
y+C
1
=0与x+y+D
2
x+E
2
y+C
2
=0方程相减即得相交弦所在直线方程:
(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(C
1
-C
2
)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f
1
(x,y)=0与曲线f
2
(x,y)=0交点的曲线
系方程为: f
1
(x,y)+λf
2
(x,y)=0
(9)圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)
（10）过圆 x+y=r上点P(x
0
,y
0
)的切线为:x
0
x+y< br>0
y=r;过圆x+y=r外点P(x
0
,y
0
)作切线后切 点弦方
程:x
0
x+y
0
y=r;过圆外点作圆切线有两条.若只求 出一条,则另一条垂直ｘ轴.
与圆有关的结论：
⑴过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为： x
0
x+y
0
y=r
2
；
过圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
上的点M(x
0
,y< br>0
)的切线方程为：(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b) (y-b)=r
2
；
⑵以A(x
1
，y
2
)、B (x
2
,y
2
)为直径的圆的方程：(x－x
1
)(x－x
2
)+(y－y
1
)(y－y
2
)=0.
69.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，
如果涉及到其焦点（两相异定点），那么将优先选用圆锥曲线第一定义；
如果涉及到其焦点、 准线（一定点和不过该点的一定直线）或离心率，那么将优先选用圆锥曲线的第二
定义；
涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.
70. 利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？定点要不在定直线上呀！离心
率的大小与曲线的形状有何关系？（椭圆的圆扁程度，双曲线的张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？
答：对于椭圆，离心率越小椭圆越圆；对于双曲线，离心率越大，张口越大；


过关题：动点P到定点A (1, 2)和直线3x – 2y + 1 = 0的距离相等，则动点P的轨迹方程为
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 （ ）答：
A


71.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）
椭圆① 方程
②定义:
?
x?acos
?
x
2
y
2
(a>b>0);参数方程
??1
?
y?bsin
?
a< br>2
b
2
?
2
2222222
2222
2
|PF|
=e<1; |PF
1
|+|PF
2
|=2a>2c
d
相应
2
③e=
c
?1?
b
2
,a=b+c
222
a
a
④长轴长为2a，短轴长为2b⑤焦半径左PF
1
=a+ex,右PF
2
=a-ex;左焦点弦
AB?2a?e(x
A
?x
B)
,右焦点弦
AB?2a?e(x
A
?x
B
)

2
a
2
2b
2
⑥准线x=
?
、通径(最短 焦点弦),焦准距p=
b

c
a
c
- 18 -

⑦
S
?PFF
=
b
2
tan
?< br>,当P为短轴端点时∠PF
1
F
2
最大,近地a-c远地a+c; < br>12
2
x
2
y
2
双曲线①方程
2
?
2
?1
(a,b>0)
ab
②定义:
|PF|
= e>1;||PF
1
|-|PF
2
||=2a<2c
d
相 应
cb
2
③e=
?1?
2
a
a
,c=a+ b
222
④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐近线交点为中心
⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离
2
a
2
2b
2
⑥准线x=
?
、通径(最短焦点弦 ),焦准距p=
b

c
a
c
⑦
S
?PFF
12
b
2
=
tan
?
b
x
2< br>y
2
⑧渐近线
2
?
2
?0
或
y?? x
;焦点到渐近线距离为b;
a
ab
72.抛物线①方程y=2px
②定义:|PF|=d
准
③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F (
④焦半径
AF?x
A
?
pp
,0),准线x=-, 22
2
2
p
2
;焦点弦
AB
＝x
1< br>+x
2
+p;y
1
y
2
=－p,x
1
x
2
=
p
其中A(x
1
,y
1
)、B( x
2
,y
2
)
2
4
⑤通径2p,焦准距p;
73.直线与椭圆的位置关系的研究类似于直线和圆，
直线和双曲线有且只有一个交点是该直 线和此双曲线相切的什么条件？直线和抛物线只有一交点，能定该
直线和抛物线相切吗？
学了三次及三次以上的曲线的切线后，知道曲线的切线与该曲线的交点可能多于一个点，甚至有无穷多个
交点.
74.（1）用圆锥曲线方程与直线方程联立求解，在得到的方程中，你注意到△≥0这一条件 了吗？圆锥曲线
本身的范围你注意到了吗？
（2）过双曲线的一焦点作弦长等于定长的焦点弦的条数问题，你掌握方法了吗？
（3）过平面上一点 能作几条直线与已知双曲线有且只有一个交点，知道要据该点在双曲线内、上、外，
在外的时候又要分在 一条渐近线上，还是在渐近线外，还是在双曲线的中心等情况分别进行讨论吗？
y
2
?1
，过点P (1, 1)作直线l，使l与双曲线C有且只有一个公共点，这样的直如：已知双曲线C:
x?
4
2
- 19 -

线l有几条？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （ ）答：
D

（4）双曲线的渐近线的倾斜角
?
与双曲线的离心率e之间的关系，你还记得吗？
焦点在x轴上时，
e?
11
; 焦点在y轴上时，
e?
.
cos
?
sin
?
x
2
y
2
过关题：已知双曲线
2
?
2
?1
的离心率
e?[2,2]< br>，双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角
ab
平分线的角记为
?
，则
?
的取值范围是 ( ) 答：
C

A.
[
??
??
?
2
?
2
?
,]
B.
[,]
C.
[,]
D.
[,
?
]

623 2233
75.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路 ，等价求解，特
别是： 直线与圆锥曲线相交的条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程 时，务必“判别
式大于或等于0”尤其在应用韦达定理解题时，必须先有
??0
；
x
2
?1
过关题：双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0，且过点(2
3
, 2)的双曲线方程为 . 答：
y?
4
2
76.解析几何求解中，平面几何知识利用了吗？题目中是 否已经有了坐标系了？如果没有，怎么建直角坐标系
呢？
77.(1)你会用圆锥曲线的定义解题吗？
(2)要重视一些常见的寻求曲线方程的方法（ 待定系数法、定义法、直接法、动点转移法等），以及如何利
用曲线的方程讨论曲线的几何性质
x
2
y
2
??1
右支上的一点，F是该双曲线的右焦点，点M是线 段PF的中点，若过关题：点P是双曲线
45
|OM|=3，则点P到该双曲线右准线的距离为 ( ) 答：
A

A.
4320
B. C. D. 4
343
78.定义：⑴椭圆：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
；
⑵双曲线：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2 a?|F
1
F
2
|)
；⑶抛物线：略
结论 ⑴焦半径：①椭圆：
PF
； （左“+”右“-”）；②抛物
1
?a?ex< br>0
,PF
2
?a?ex
0
（e为离心率）
线：
PF?x
0
?

p
⑵弦长公式：
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1< br>?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

2
- 20 -

?1?
11
?y?y?(1? )?[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y2
]
；
21
22
kk
注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆：
|AB|?2a?e(x
1
?x
2
)
；②抛物线：
AB
＝x
1
+x
2
+p=
径（最短弦）：①椭圆、双曲线：
2b
；②抛物线：2p.
a
2
2p
；（Ⅱ）通
2
sin
?
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：
mx
2
?ny
2
?1
（
m,n
同时大于0且不相等时表示椭圆，
mn?0
时表示双曲线）；
⑸双曲线中的结论：
22
22
yy
xx
①双曲线
?
2
?1
（a>0,b>0）的渐近线：
2
?
2
? 0
；
2
abab
②共渐进线
y??
b
x
2
y
2
；
x
的双曲线标准方程为
2
?
2
?
?
(
?
为参数，
?
≠0）
a
ab
④双曲线为等轴双曲线
?
e?
（6）抛物线中的结论：
2?
渐近线为
y??x
?
渐近线互相垂直；
2
p
①抛物线y=2px(p>0)的焦点弦AB性质： x
1
x< br>2
=；y
1
y
2
=－p
2
；
4< br>2
②抛物线y
2
=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质：
③抛物线y
2
=2px(p>0)，对称轴上一定点
A(a,0)
，则：
当
0?a?p
时，顶点到点A距离最小，最小值为
a
；
当
a?p
时，抛物线上有关于
x
轴对称的两点到点A距离最小，最小值为
2ap?p
2
.
直线与圆锥曲线问题解法：（要求降低）
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.
注意以下问题：①联 立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1
，y
1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得< br>k
AB
?
79. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
- 21 -
y
1
?y
2
???
；③解决问题.
x
1
?x
2

（1） 给出直线的方向向量
u ?
?
1,k
?
或
u?
?
m,n
?
；
（2）给出
OA?OB
与
AB
相交,等于已知
OA?O B
过
AB
的中点;
??
?
（3）给出
PM?PN ?0
,等于已知
P
是
MN
的中点;
（4）给出
A P?AQ?
?
BP?BQ
,等于已知
A,B
与
PQ
的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
ABAC
；②存在实数
? ?
?
,使AB?
?
AC
；③若存在实数
?
,
?
,且
?
?
?
?1,使OC?
?
OA?
?
OB
,等于已知
A,B,C
三点共线.
（6） 给出
M A?MB?0
,等于已知
MA?MB
,即
?AMB
是直角,给出MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是钝角或π, 给出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是锐角或0,
??< br>?
MAMB
?
（7）给出
?
?
?
?
?MP
,等于已知
MP
是
?AMB
的平分线
?
M AMB
?
??
（8）在平行四边形
ABCD
中，给出
(AB ?AD)?(AB?AD)?0
，等于已知
ABCD
是菱形;
（9） 在平 行四边形
ABCD
中，给出
|AB?AD|?|AB?AD|
，等于已知ABCD
是矩形;
（10）在
?ABC
中，给出
OA?OB? OC
，等于已知
O
是
?ABC
的外心（三角形外接圆的圆心，
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（11） 在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC?0
，等于已知
O
是
?ABC
的重心（三 角形的重心是三角
形三条中线的交点）；
（12）在
?ABC
中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA
，等于已知
O
是
?ABC
的垂心（三角形的垂
心是三角形三条高的交点）；
（13）在
?ABC
中， 给出
OP?OA?
222
?
(
ABAC
?)
(?
?R
?
)
等于已知
AP
通过
?ABC
的内心；
|AB||AC|
（14）在
?ABC
中，给出
a?O A?b?OB?c?OC?0,
等于已知
O
是
?ABC
的内心（三角 形内切圆的圆
心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（15） 在
?A BC
中，给出
AD?
1
AB?AC
,等于已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的中线;
2
??
- 22 -

80.解应用题应注意的最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知 数，列出函数关系式，代入
初始条件，注明单位，写好答语）
81.导数的定义还记得吗？它 的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记
得吗？
82.利用导数求曲线的切线的步骤是什么？
一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程.
你看清了是求过曲线上某点的切线方程，还是在曲线上某点的切线方程了吗？
83利用导数求函数单调 区间时，你注意到了“定义域优先”了吗？由
f

(x)?0
解得的区间是单调 增区间；
利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！
“函数在某点取得极值”你会 灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函
数值的符号相异的.
84.函数
y?f(x)
在
R
上可导，若
x?(a,b),f
'
(x)?0(?0)
恒成立，则
y?f(x)
在
(a,b)上递增（递减）；反
之呢？
函数
y?f(x)
在
R
上 可导，若在
x?x
0
处取得极值，则
f
'
(x
0< br>)?0
.反之呢？
导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;
如：已知 函数
f(x)?x?3x
过点
P(2,?6)
作曲线
y?f(x)< br>的切线，求此切线的方程.
（答：
3x?y?0
或
24x?y?54?0
）.
⑵研 究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f(x)≥0得增区间;解不等式f(x)≤0得减 区间;

3
注意f(x)=0的点; 如：设
a?0
函数
f( x)?x?ax
在
[1,??)
上单调函数，则实数
a
的取值范围_ _____（答：

3
0?a?3
）；
⑶求极值、最值步骤:求导数 ;求
f
?
(x)?0
的根;检验
f
?
(x)
在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取
极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取 极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最
小值.
85.导数： ⑴导数定义：f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
?f
?< br>(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0)
；
?x
x?x
0
?x?0
n'n?1'
'
⑵常见函数的导数公式: ①
C
?0
；②
(x)?nx
；③
(sinx)?cosx
；
- 23 -

'
④
(cosx)
'
??sinx
；⑤
(a
x
)
'
?a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'
?e
x
；⑦
(log
a
x)?
1
；
x lna
'
⑧
(lnx)?
1
uu
?
v?uv
?
.⑶导数的四则运算法则：
(u?v)
?
?u
?
?v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?;

2
x
v
v
??
⑸导数的应用： ⑷
（理科）
复合函数的导数：
y
?
x
?y
u
?u
x
;
① 利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？
② 利用导数判断函数单调性：ⅰ
f
?
(x)?0?f(x)
是增函数；
ⅱ
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数；ⅲ
f
?
(x)?0?f(x)
为常数；
注：反之，成立吗？求单调区间，先求定义域.
③利用导数求极值：ⅰ求导数
f< br>?
(x)
；ⅱ求方程
f
?
(x)?0
的根；ⅲ列表得 极值.
④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值.
⑤利用导数处理恒成立问题，证明不等式，解决实际应用问题
如：（1）函数
y?2 x
3
?3x
2
?12x?5
在[0，3]上的最大值、最小值分别是 ___（答：5；
?15
）；
（2）已知函数
f(x)?x
3?bx
2
?cx?d
在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值_ _答：大，
?
32
方程
x?6x?9x?10?0
的实根的个数为_ _（答：1）
15
）（3）
2
特别提醒：（1）
x
0是极值点的充要条件是
x
0
点两侧导数异号，而不仅是
f?
?< br>x
0
?
＝0，
f?
?
x
0
?
＝0是
x
0
为
极值点的必要而不充分条件.（2）给出函数极大(小)值的 条件，一定要既考虑
f
?
(x
0
)?0
，又要考虑检验“左
正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
如：函数
f
?
x
?
?x?ax?bx?a在x?1
处有极小值10，则a+ b的值为____（答：－7）
322
86.三次多项式的图形和它的性质你了解吗？这对把 握考点“利用导数研究函数的单调性，极值，函数的最小
和最大”有极大的帮助.
87.会用导数研究高次方程的根的问题吗？
过关题：函数f (x) = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5与x轴交点的个数为 （ ）答：
B

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无法确定
过关题：方程x
3
– 3x + m = 0在[0, 2]上有解，则实数m的取值范围是 . 答：
[?2,2]

8 8随机事件、必然事件、互斥事件、对立事件的概念你清楚吗？在解题中，你能借助于具体的事件去体会吗？
- 24 -

过关题：如果A、B互斥，那么 （ ） 答：
B

A. A + B是必然事件 B.
A?B
必然事件 C.
A
与
B
一定不互斥 D.
A
与
B
一定互斥

解概率应用题的一般步骤：设事件，指出这些事件间关系，及这些事件的概率，解?，答；
（3）随机事件
A
的概率
0?P(A)?1
，
注意：必然 事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件；不可能事件的概率为0，但概率为
0的事件不一 定是不可能事件；
（4）等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=mn;如： 设10件产品 中有4件次品，6件正品，求下列事件
的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品 ；③从中有放回地任取3件至少有2件次
品；④从中依次取5件恰有2件次品.（答：①
、 ；
89.你了解两种简单的随机抽样的方法吗？分层抽样的适用条件是什么？
过关题：采用简单 随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体a第一次被抽到的
概率是 ；第一次未被抽到，第二次被抽到的概率是 ；前两次未被抽到，第三次被抽到的概率
是 ；在整个抽样过程中，被抽到的概率为 .
答：
;;;
1010
244
；②；③；④）
2121
15125
1111

6662
直方图、分层抽样、期望、方差等你都清楚吗？
a
1
,a
2
,a
3
,
方差
S
2
?
a
n
的期望
x?
a
1
?a
2
?
1
[(a
1
?x)
2
?(a
2
?x)
2
?< br>n
?a
n
n
；
?(a
n
?x)
2
]

n
样本标准差S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
? x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
=
1
(x?x)
2

?
i
n
n
i?1
那么
a?a
1
?b,a?a
2
?b,,a?a
n
? b
的期望和方差分别是多少呢？
你会用样本平均数（期望值）估计期望值吗？样本的方差和标准差是衡量什么的？
90. 你会通过频率分布直方图估计样本数据得众数、中位数、平均数吗？

- 25 -

91．（1）复数、共轭复数、虚数、纯虚数、复数的模的定义你清楚吗？复数相等、复数为 0、复数为实数、
复数为虚数、复数为纯虚数的充要条件你知道吗？
如：复数z=（m
2
– 2m – 3）+（m
2
– m – 6）I
（1）为实数，则m= ，（2）为纯虚数，则m= ，（3）为0，则m= ，（4）为虚
数，则m= .
答：
?2或3;?1;3;{m|m?R且m?3,m??2}

复数
2?3i
的实部是 ，虚部是 ，它的模是 ，它的共轭复数是 。
1?i
答：
?;?;
1
2< br>5
2
2615
;?+i

222
（2）几个重要的结论：
2
(1)z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?2(z
1
?z
2);(2)z?z?z?z
；⑶
(1?i)??2i
；⑷
222222< br>1?i1?i
?i;??i;

1?i1?i
⑸
i
性 质：T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2< br>??1,i
4n?3
??i
；
i
4n
?i
4 n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

92. 算法初步：了解算法含义、流程图，理解算法用语.
93．填空题要准确表示，解答题要认真做.匆忙 看题，审题不清，断章取义，写了一大片，结果好象在练字，此乃
考试时之大忌！
94 .解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
解答代数证明题，要善于与学过的函数模型作类比，找问题解决的突破口.
解解答题，要有这样的习惯，题目做好后再看一遍题，千万不能答非所问.
95 .用换元法 解题时，要注意换元前后的等价性；一般引入新变量都得指出新变量的取值范围;同时注意消
去的参数对 留下来的参数的范围有一定的影响.
96 .解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想 方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、
集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答 这类问题的通性通法．
97.推理与证明、
推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比 推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，
然后提出猜想的推理，我们 把它们称为合情推理.
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理，或者
有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳.
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.
- 26 -

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，
称为类比推理，简称类比.
注：类比推理是特殊到特殊的推理.
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理.
注：演绎推理是由一般到特殊的推理.
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊
情况；⑶结 论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断.
证明：直接证明
⑴综合法 < br>一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结
论成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法.
⑵分析法
一 般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个
明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法.分析法又叫逆推证法或执果索因法.
间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，
这种证明方法叫反证法.
科学考试

细心审题

规范答题
.
细心是成 功的基础，慎密是成功的阶
梯！要相信自己；别人能，我也能，祝同学们在高考中，取得理想的成绩，< br>谱写自己人生辉煌的一页
.

以上，我们为大家梳理了97个问题，最后一页 留给同学们根据自己的情况补充几个模糊的知识点，并且在
查阅书籍、咨询同学和老师后将知识点清晰化 。












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