暑假高中一年级数学教材 人教版 通用

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高

一

数

学



**教育教材编写组



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编者寄语
在这里首先要感谢参与教材编写 的广大一线老师，正是他们的呕心沥血与
兢兢业业，编竣后的教材才得以保证呈现出的全部都是精华。特 别值得一提的
是，在我们的编写教师团队中，有获得省级优秀教师殊荣的张老师，也有获得
国家 级优秀教师头衔的陈老师。等等这些名教师的加入，为教材的编写贡献良
多，他们有着多年的教学经验和 丰富的课堂知识储备。这就保证了教材内容的
针对性和学生的可接受性，使得这些教材更具权威和可操作 性，也更具实际的
教学意义。当然，还有其他一线老师。本系列教材中也融合了他们的智慧结晶，
他们也作出了很大的贡献，在教材的整体结构、章节设置和总体布局方面献策
献力。
其次， 在教材的编写过程中我们也参考了包括华师大出版社和人民教育出
版社等的教材编写中的宝贵经验，以便 我们的教材更贴近学生的学习，在这里
一并感谢。还有一些有益网站的宝贵资料，也给了我们很大的启发 。
最后，在本系列的教材投入使用期间或之后，望广大学子和家长能多提出
宝贵意见，以便我 们可以更好地改进，取得更大的进步，更好地服务于广大学
子。

**教育系列教材全体编者教师






目录
第一章 集合与函数概念 ...... .................................................. ................ 5
§1.1 集合 .................. .................................................. ....................... 5

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§1.1.1 集合的含义与表示（1） ................................................ 5
§1.1.1 集合的含义与表示（2） ................................................ 9
§1.1.2 集合间的基本关系 ............................. ........................... 12
§1.1.3 集合的基本运算（1） .................................................. 16
§1.1.3 集合的基本运算（2） .................................................. 20
§1.1 集合（练习） .............................. ..................................... 23
§1.2 函数及其表示 ........................................... .............................. 26
§1.2.1 函数的概念（1） ......................................... ................. 26
§1.2.1 函数的概念（2） ........ .................................................. 30
§1.2.2 函数的表示法（1） ......................... ............................. 33
§1.2.2 函数的表示法（2） ........................................ .............. 36
§1.3 函数的基本性质 .............. .................................................. ..... 40
§1.3.1 单调性与最大（小）值（1） ...................................... 40
§1.3.1 单调性与最大（小）值（2） ...................................... 43
§1.3.2 奇偶性 .................................. .......................................... 47
§1.3 函数的基本性质（练习） ............................................... 50
第一章 集合与函数的概念（复习） .............................................. 53
第二章 基本初等函数（I） ............................... ................................. 57
§2.1 指数函数 ............................................. .................................... 57
§2.1.1 指数与指数幂的运算（1） .......................................... 57
§2.1.1 指数与指数幂的运算（2） .......................................... 61
§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习） .................................... 65
§2.1.2 指数函数及其性质（1） .............................................. 68

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§2.1.2 指数函数及其性质（2） .............................................. 73
§2.2 对数函数 ................................... .............................................. 76
§2.2.1 对数与对数运算（1） .................................................. 76
§2.2.1 对数与对数运算（2） .................................................. 80
§2.2.1 对数与对数运算（3） .................................................. 84
§2.2.2 对数函数及其性质（1） .............................................. 87
§2.2.2 对数函数及其性质（2） .............................................. 91
§2.2 对数函数（练习） ............................... ............................ 95
§2.3 幂函数 .... .................................................. ............................... 98
第二章 基本初等函数Ⅰ（复习） ................................................ 102
第三章 函数的应用 ............................... ............................................. 105
§3.1 函数与方程 .................................. ......................................... 105
§3.1.1 方程的根与函数的零点 .............................................. 105
§3.1.2 用二分法求方程的近似解 ............................................ 110
§3.1 函数与方程（练习） ............................... ........................ 113
§3.2 函数模型及其应用 .. .................................................. ........... 116
§3.2.1 几类不同增长的函数模型(1) ....................................... 116
§3.2.1 几类不同增长的函数模型(2) ....................................... 120
§3.2.2 函数模型的应用实例（1） ........................................ 124
§3.2.2 函数模型的应用实例（2） ........................................ 127
第三章 函数的应用（复习） ................................ ........................ 132
必修一模块总复习 ........ .................................................. ...................... 135


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第一章 集合与函数概念
§1.1 集合
§1.1.1 集合的含义与表示（1）

学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题，
感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
一、课前准备
讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试
问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

引入：在这里，集合是我们 常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一
而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别 的对象，为此，我们将学习一个新的概念——
集合，即是一些研究对象的总体.
集合是近代数 学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，
它还渗透到自然科学的许多领域 ，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参
阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要 的条件.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：考察几组对象：
① 1～20以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形； ④
x
2
,
3x?2
,
5y
3
?x
,
x
2
?y
2
；
⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程
x
2
?3x?0
的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.
试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？

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新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（el ement）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.

试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？

探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？

新知2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特
征. < br>确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，
两种情况必 有一种且只有一种成立.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性：集合中的元素没有顺序.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .

试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
① 不等式
x?3?0
的解； ② 3的倍数；
③ 方程
x
2
?2x?1?0
的解； ④ a，b，c，x，y，z；
⑤ 最小的整数； ⑥ 周长为10 cm的三角形；
⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄；
⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.

探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？

新知3：集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a
?
A.

试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B，
－1 B.

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探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？

新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；
正整数集：所有正整数的集合，记作N
*
或N
+
；
整数集：全体整数的集合，记作Z；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
实数集：全体实数的集合，记作R.

试试4：填∈或
?
：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，
?3
Q，
3?2
R.
探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的 语言表示等例子，都是用自
然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？

新知5：列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.

试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.

※ 典型例题
例1 用列举法表示下列集合：
① 15以内质数的集合；
② 方程
x(x
2
?1)?0
的所有实数根组成的集合；
③ 一次函数
y?x
与
y?2x?1
的图象的交点组成的集合.


变式：用列举法表示“一次函数
y?x
的图象与二次函数
y?x< br>2
的图象的交点”组成的集合.

三、总结提升
※ 学习小结
①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.

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学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合
{1,2,3,4,5}
和
{5,4,3,2,1}
表示同一个集合
D．
1,0.5,,,,
136< br>224
1
这六个数能组成一个集合
4
2. 给出下列关系：
①
1
?R
；②
2
2?Q
；③
?3?N
?
；④
?3?Q.

其中正确的个数为（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 直线
y?2x?1
与y轴的交点所组成的集合为（ ）.
A.
{0,1}
B.
{(0,1)}

C.
{?,0}
D.
{(?,0)}

4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳 A； 广州 A. （填∈或
?
）
5. “方程
x
2
?3x?0的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.
课后作业
1. 用列举法表示下列集合：
（1）由小于10的所有质数组成的集合；
（2）10的所有正约数组成的集合；
（3）方程
x
2
?10x?0
的所有实数根组成的集合.

2. 设x∈R，集合
A?{3,x,x
2
?2x}
.
（1）求元素x所应满足的条件；
（2）若
?2?A
，求实数x.

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1
2
1
2

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§1.1.1 集合的含义与表示（2）

学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题，
感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
一、课前准备
复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .
集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有 、 .

复习2：集合
A?{x
2
?2x?1}
的元素是 ，若1∈A，则x= .

复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2, 1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？

二、新课导学
※ 学习探究
思考：
① 你能用自然语言描述集合
{2,4,6,8}
吗？
② 你能用列举法表示不等式
x?1?3
的解集吗？
探究：比较如下表示法
① {方程
x
2
?1?0
的根}；②
{?1,1}
；③
{x?R|x
2
?1?0}
.



新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形 式为
{x?A|P}
，
其中x代表元素，P是确定条件.
试试：方程
x
2
?3?0
的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .

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※ 典型例题
例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程
x(x
2
?1)?0
的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.


练习：用描述法表示下列集合.
（1）方程
x
3
?4x?0
的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合.

小结：
用描述法表示集合时，如果从上下 文关系来看，
x?R
、
x?Z
明确时可省略，例如
{x|x?2k?1,k?Z}
,
{x|x?0}
.

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）抛物线
y?x
2
?1
上的所有点组成的集合；
（2）方程组
?
?
3x?2y?2
解集.
2x?3y?27
?
变式：以下三个集合有什么区别.
（1）
{(x,y)|y?x
2
?1}
；
（2）
{y|y?x
2
?1}
；
（3）
{x|y?x
2
?1}
.
反思与小结：
① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如
{(x,y)|y?x
2?1}
与
{y|y?x
2
?1}
不同.
② 只要不引 起误解，集合的代表元素也可省略，例如
{x|x?1}
，
{x|x?3k,k?Z}
.
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写 {全体整数}.
下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
④ 列举法与描述法各有优点，应 该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合
中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 .
※ 动手试试
练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.

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练2. 已知集合
A?{x |?3?x?3,x?Z}
，集合
B?{(x,y)|y?x
2
?1,x?A }
. 试用列举法分别表
示集合A、B.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；
2. 会用适当的方法表示集合；

※ 知识拓展
1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：
（1）所有直角三角形的集合可以表示为：
{x| x是直角三角形}
，也可以写成：{直角三角形}；
（2）集合
{(x,y)|y? x
2
?1}
与集合
{y|y?x
2
?1}
是同一个 集合吗？

2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设
A?{x?N|1?x?6}
，则下列正确的是（ ）.
A.
6?A
B.
0?A
C.
3?A
D.
3.5?A

2. 下列说法正确的是（ ）.
A.不等式
2x?5?3
的解集表示为
{x?4}

B.所有偶数的集合表示为
{x|x?2k}

C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D. 方程
x
2
?4?0
实数根的集合表示为
{(?2,2)}

3. 一次函数
y?x?3
与
y??2x
的图象的交点组成的集合是（ ）.
A.
{1,?2}
B.
{x?1,y??2}
C.
{(?2,1)}
D.
{(x,y)|
?
?
y?x?3
}

y??2x
?
4. 用列举法表示集合
A?{x?Z|5?x?10}
为 .

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5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，
B?{x|x
2
?6x?5?0}
，用∈或
?
填空：
4 A，4 B，5 A，5 B.

课后作业
1. （1）设集合
A?{(x,y)|x?y?6,x?N,y?N}
，试用列举法表示集合A.
（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数} ，求属于A且属于B的元素所
组成的集合.


2. 若集合
A? {?1,3}
，集合
B?{x|x
2
?ax?b?0}
，且
A?B
，求实数a、b.


§1.1.2 集合间的基本关系

学习目标
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.

学习过程
一、课前准备
复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.


复习2：用适当的符号填空.
（1） 0 N；
2
Q； -1.5 R.
（2）设集合
A?{x|(x?1)
2
(x?3)? 0}
，
B?{b}
，则1 A；b B；
{1,3}
A.
思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

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二、新课导学
※ 学习探究
探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
A?{3,6,9}与
B?{x|x?3k,k?N
*
且k?333}
；
C?{东升高中学生}
与
D?{东升高中高一学生}
；
E?{x|x(x?1)(x?2)?0}
与
F?{0,1,2}
.


新知：子集、相等、真子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个 元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称
集合A是集合B的子集（subset），记 作：
A?B(或B?A)
，读作：A包含于（is contained in）
B，或B包含(contains)A.
当集合A不包含于集合B时，记作
A?B
.
② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn
图表示两个集合间的“包含”关系为：

A?B(或B?A)
.



③ 集合相等：若
A?B且B?A
，则
A? B
中的元素是一样的，因此
A?B
.

④ 真子集：若集合
A?B
，存在元素
x?B且x?A
，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset），记作：A

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
?
. 并规定：空集是任
何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
试试：用适当的符号填空.
（1）
{a,b}

{a,bc,
，
}
a

{a,bc,
；
}

?0}
?
R； （2）
?

{x|x
2
?3
，

B
A
B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.
（3）N
{0,1
，
}
Q N；
2
?x?0
.
}
（4）
{0}

{x|x

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反思：思考下列问题.
（1）符号“
a?A
”与“
{a}?A
”有什么区别？试举例说明.


（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用 符号
表示结论.


（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？
① 若
a?b,且b?a,则a?b
；
② 若
a?b,且b?c,则a?c
.


※ 典型例题
例1 写出集合
{a,b,c}
的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.


变式：写出集合
{0,1,2}
的所有真子集组成的集合.


例2 判断下列集合间的关系：
（1）
A?{x|x?3?2}
与
B?{x|2x?5?0}
；

（2）设集合A={0,1}，集合
B?{x|x?A}
，则A与B的关系如何？

变式：若集合
A?{x|x?a}
，
B?{x|2x?5?0}< br>，且满足
A?B
，求实数
a
的取值范围.

※ 动手试试
练1. 已知集合
A?{x|x
2
?3x?2?0}
，B ＝{1,2}，
C?{x|x?8,x?N}
，用适当符号填空：
A B，A C，{2} C，2 C.
练2. 已知集合
A?{x| a?x?5}
，
B?{x|x?2}
，且满足
A?B
，则实数
a
的取值范围
为 .

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三、总结提升
※ 学习小结
1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.
2. 两个集 合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特
别要注意区别“属于” 与“包含”两种关系及其表示方法.

※ 知识拓展
如果一个集合含有n个元 素，那么它的子集有
2
n
个，真子集有
2
n
?1
个 .
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列结论正确的是（ ）.
A.
?
A B.
??{0}
C.
{1,2}?Z
D.
{0}?{0,1}

2. 设A?
?
xx?1
?
,B?
?
xx?a
?
，且
A?B
，则实数a的取值范围为（ ）.
A.
a?1
B.
a?1
C.
a?1
D.
a?1

3. 若
{1,2}?{x|x
2
?bx?c?0}
，则（ ）.
A.
b??3,c?2
B.
b?3,c??2
C.
b??2,c?3
D.
b?2,c??3

4. 满足
{a,b}?A?{a,b,c,d}
的集合A有 个.
5. 设集合A?{四边形},B?平行四边形{}C,?矩形{
，
D?{正方形}
，则它们之 间的关系
是 ，并用Venn图表示.
课后作业
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的
集合，B表示质量 合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些
成立？
A?B,B?A,A?C,C?A

试用Venn图表示这三个集合的关系.


2. 已知
A?{x|x
2
?px?q?0}
，
B?{x|x
2
?3x?2?0}
且
A?B
，求实数p、 q所满足的条件.

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§1.1.3 集合的基本运算（1）

学习目标
1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习过程
一、课前准备
复习1：用适当符号填空.
0 {0}； 0
?
；
?
{x|x
2
＋1＝0,x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；
{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.

复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且x
?
A}= .
思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

二、新课导学
※ 学习探究
探究：设集合
A?{4,5,6,8}
，
B?{3,5,7,8}
.
（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；


（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？


新知：交集、并集.
① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作 A、B的交集
（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：
AB?{x|x?A,且x?B}.


Venn图如右表示.
A

B
16

***暑期培训专用教材
② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），
记作：
AB
，读作：A并B，用描述法表示是：
AB?{x|x?A,或x?B}
.

Venn图如右表示.
A

试试：
（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ；
（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ；
（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.







反思：
（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？


（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？


（3）A∩A＝ ；A∪A＝ .
A∩
?
＝ ；A∪
?
＝ .

※ 典型例题
例1 设
A?{x|?1?x?8}
，
B?{x|x?4或x??5}
，求A∩B、A∪B.


17
B
B A
A(B) A
B
A B
A
B

***暑期培训专用教材
变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，
B?{x|x?4或x??5}
，则A∩B= ；
A∪B= .

小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
例2 设
A?{(x,y)|4 x?y?6}
，
B?{(x,y)|3x?2y?7}
，求A∩B.


变式：
（1）若
A?{(x,y)|4x?y?6}
，
B?{(x,y)|4x?y?3}
，则
AB?
； < br>（2）若
A?{(x,y)|4x?y?6}
，
B?{(x,y)|8x?2y ?12}
，则
AB?
.

反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？


※ 动手试试
练1. 设集合
A?{x|?2?x?3},B?{x|1?x?2}
.求A∩B、A∪B.


练2. 学校里开运动会，设A={
x
|
x
是参加跳高的 同学}，B={
x
|
x
是参加跳远的同学}，
C={
x|
x
是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，< br>请你用集合的运算说明这项规定，并解释
AB
与
BC
的含义.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；
2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.
※ 知识拓展
，
A（BC）
，，
A（BC）?（AB）（AC） ?（AB）（AC）（AB）C?A（BC）
，
A（AB）（AB）C?A（BC）?A，A（ AB）?A
.
你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？


18

***暑期培训专用教材
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设A?
?
x?Zx?5
?
,B?
?
x?Zx?1
?
,
那么
AB
等于（ ）.
A．
{1,2,3,4,5}

C．
{2,3,4}

B．
{2,3,4,5}

D．
?
x1?x?5
?

2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（ ）.
A. x=3, y=－1
C.｛3，－1｝
B. (3，－1)
D.｛(3，－1)｝
3. 设
A?
?
0,1,2,3,4,5< br>?
,B?{1,3,6,9},C?{3,7,8}
，则
(AB)C
等 于（ ）.
A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,}
C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}
4. 设
A?{x|x?a }
，
B?{x|0?x?3}
，若
AB??
，求实数a的取值范围是 .
5. 设
A?
?
xx
2
?2x?3?0
?,B?
?
xx
2
?5x?6?0
?
，则
AB< br>= .

课后作业
1. 设平面内直线
l
1
上点的集合为
L
1
，直线
l
2
上点 的集合为
L
2
，试分别说明下面三种情况
时直线
l
1
与直线
l
2
的位置关系？
（1）
L
1
L
2
?{点P}
；
（2）
L
1
L
2
??
；
（3）
L
1
L
2
?L
1
?L
2
.



2. 若关于x的方程3x
2
+px－7=0的解集为A，方程 3x
2
－7x+q=0的解集为B，且
A∩B={
?
}，求
AB
.



19
1
3

***暑期培训专用教材
§1.1.3 集合的基本运算（2）
学习目标
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

学习过程
一、课前准备
复习1：集合相关概念及运算.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记
作 .
若集合
A?B
，存在元素
x?B且x?A
，则称集合A是集合B的 ，记作 .
若
A?B且B?A
，则 .
② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：
AB?
；
AB?
.
复习2：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？


二、新课导学
※ 学习探究
探究：设U={全班同学}、A={全班参 加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同
学}，则U、A、B有何关系？
新知：全集、补集.
① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么 就称这个集合
为全集（Universe），通常记作U.
② 补集：已知集合U, 集合 A
?
U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A
相对于U的补集（compl ementary set），记作：
C
U
A
，读作：“A在U中补集”，即
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
.
补集的Venn图表示如右：


说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.

20

***暑期培训专用教材
试试：
（1）U={2, 3,4}，A={4,3}，B=
?
，则
C
U
A
= ，
C
U
B
= ；
（2）设U＝{x|x<8，且 x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
C
U
A
＝ ；
（3）设集合
A?{x|3?x?8}
，则
?
R
A= ；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
U
A
＝ .

反思：
（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？
（2）Q的补集如何表示？意为什么？


※ 典型例题
例1 设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求
C
U< br>A
、
C
U
B
.


例2 设U =R，A＝{x|－1C
U
A
、
C
U
B
.

变式：分别求
CU
(AB)
、
(C
U
A)(C
U
B)
.


※ 动手试试
练1. 已知全集I={小于10的正整数}，其子 集A、B满足
(C
I
A)(
，
C
I
B)?{1,9 }
(C
I
A)B?{4,6,8}
，
AB?{2}
. 求集合A、B.


练2. 分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.

（1） ； （2） ；

21

***暑期培训专用教材

反思：
结合Venn图分析，如何得到性质：

（3） ； （4） .
（1）
A(C
U
A)?
，
A(C
U
A)?
；
（2）
C
U
(C
U
A)?
.

三、总结提升
※ 学习小结
1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.
2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图.

※ 知识拓展
试结合Venn图分析，探索如下等式是否成立？
（1）
C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)
；
（2）
C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B).
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设全集U=R，集合
A?{x|x
2
?1}< br>，则
C
U
A
=（ ）
A. 1 B. －1，1 C.
{1}
D.
{?1,1}

2. 已 知集合U=
{x|x?0}
，
C
U
A?{x|0?x?2}
，那么集合
A?
（ ）.
A.
{x|x?0或x?2}
B.
{x|x?0或x?2}
C.
{x|x?2}
D.
{x|x?2}

3. 设全集
I?
?
0,?1,?2,?3,?4
?
,集合
M?< br>?
0,?1,?2
?
,
N?
?
0,?3,?4
?
，则
?
?
I
M
?
N?
（ ）.
A．｛０｝ B．
?
?3,?4
?
C．
?
?1,?2
?
D．
?

4. 已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则
C
U
A
= .
5. 定义A—B={x|x∈A，且x
?
B}，若M={1,2,3,4,5} ，N={2,4,8}，则N—M= .

22

***暑期培训专用教材
课后作业
1. 已知全集I=
{2,3,a
2
?2a?3}
，若
A?{b,2}
，
C< br>I
A?{5}
，求实数
a,b
.


2. 已知全集U=R，集合A=
?
xx
2
?px?2?0
?
，< br>B?
?
xx
2
?5x?q?0
?
,
若(C
U
A)B?
?
2
?
，试
用列举法表示集合 A


§1.1 集合（练习）
学习目标
1. 掌握集 合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，
掌握集合的有关术语和符号；
2. 能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

学习过程
一、课前准备
复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？
AB?
；
AB?
；
C
U
A?
.

复习2：交、并、补有如下性质.
A∩A＝ ；A∩
?
＝ ； A∪A＝ ；A∪
?
＝ ；
A(C
U
A)?
；
A(C
U
A)?
；
C
U
(C
U
A)?
.
你还能写出一些吗？

二、新课导学
※ 典型例题
例1 设U =R，
A?{x|?5?x?5}
，
B?{x|0?x?7}
.求A∩B、A ∪B、C
U
A 、C
U
B、
(C
U
A)∩(CU
B)、(C
U
A)∪(C
U
B)、C
U
(A ∪B)、C
U
(A∩B).



23

***暑期培训专用教材
小结：
（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；
（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？
例2已知全集
U?{1,2,3,4,5 }
，若
AB?U
，
AB?
?
，
A(C
U< br>B)?{1,2}
，求集合A、B.


小结：
列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法.

例3 若
A?
?
xx
2
?4x?3?0
?
,B?
?
xx
2
?ax?a?1?0
?
，
C?
?
xx
2
?mx?1?0
?
且AB?A,AC?C
，
求实数a、m的值或取值范围．


变式：设
A?{x|x
2
?8x?15?0}
，
B?{x|ax?1?0}
，若B
?
A，求实数a组成的集合、.

※ 动手试试
练1. 设
A?{x|x
2
?ax?6? 0}
，
B?{x|x
2
?x?c?0}
，且A∩B＝{2}，求A∪ B.


练2. 已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0} ，当A
?
B时，求实数m的取值范围。


练3. 设A＝｛x｜ x
2
－ax＋a
2
－19＝0｝，B＝｛x｜x
2
－5x＋ 6＝0｝，C＝｛x｜x
2
＋2x－8
＝0｝．
（1）若A＝B，求a的值；
（2）若
?
A∩B，A∩C＝
?
，求a的值．

三、总结提升
※ 学习小结
1. 集合的交、并、补运算.
2. Venn图示、数轴分析.

24

***暑期培训专用教材
※ 知识拓展
集合中元素的个数的研究：
有限集合A中元素的个数记为
n(A)
，
则
n(AB)?n(A)?n(B)?n(AB)
.
你能结合Venn图分析这个结论吗？
能再研究出
n(ABC)
吗？

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果集合A={x|ax
2
＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（ ）.
A．0 B．0 或1
C．1 D．不能确定
2. 集合A={x|x=2n，n∈Z}，B={y|y=4k，k∈Z}，则A与B的关系为（ ）.
?
A．A
?
B B．A
?
B
?
C．A=B D．A
?
B
3. 设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7}
，集合
A?{1,3,5}
，集合B?{3,5}
，则（ ）.
A．
U?AB
B．
U?(C
U
A)B

C．
U?A(C
U
B)
D．
U?(C
U
A)(C
U
B)

?
4. 满足条件{1,2,3}
?
?
M
?
{1,2,3,4,5,6}的集 合M的个数是 .
5. 设集合
M?{y|y?3?x
2
}，
N?{y|y?2x
2
?1}
，则
M

课后作业
1. 设全集
U?{x|x?5,且x?N*}
，集合
A?{ x|x
2
?5x?q?0}
，
B?{x|x
2
?px?12 ?0}
，且
(C
U
A)
N?
.
B?{1,2,3,4,5}
，求实数p、q的值.


2. 已知集合A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|x
2
-ax+3a- 5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.

25

***暑期培训专用教材
§1.2 函数及其表示
§1.2.1 函数的概念（1）
学习目标
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依 赖关系的重要数学模型，在此
基础上学习集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中 的作用；
2. 了解构成函数的要素；
3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
学习过程
一、课前准备
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？


复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个
确定的 值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方
法有：解析法、列表法、图象法.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮 弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）
与时间t（秒）的变化 规律是
h?130t?5t
2
.
B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少 ，因而出现臭氧层空洞问题，
图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一
个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.
年份
恩格尔系数%
1991
53.8
1992
52.9
1993
50.1
1994
49.9
1995
49.9
…
…
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

26

***暑期培训专用教材
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于 数集A中的每一个x，按照某种对
应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：
f
:
A?B
.

新知：函数定义.
设A
、
B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯 一确定的数
f(x)
和它对应，那么称
f
:
A?B
为从集合 A到集合B的一个函
数（function），记作：
y?f(x),x?A
.
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函
数值，函数值的集合
{f(x)|x?A}
叫值域（range）.

试试：
（1）已知
f(x)?x
2
?2x?3
，求
f(0)
、
f(1)
、
f(2)
、
f(?1)
的 值.

（2）函数
y?x
2
?2x?3,x?{?1,0,1,2}
值域是 .

反思：
（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素
是 、 、 .
（2）常见函数的定义域与值域.
函数
一次函数
二次函数
反比例函数

探究任务二：区间及写法
新知：设a、b是两个实数，且a{x|a?x?b}?[a,b]
叫闭区间；
{x|a?x?b}?(a,b)
叫开区间；
{x|a?x?b}?[a,b)，
{x|a?x?b}?(a,b]
都叫半开半闭区间.
解析式
y?ax?b(a?0)

定义域



值域



y?ax
2
?bx?c
，其中
a?0

y?
k
(k?0)

x
实数集R区间
(??,?? )
表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.

27

***暑期培训专用教材
试试：用区间表示.
（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、
{x|x≤b}= 、{x|x（2）
{x|x?0或x?1}
= .
（3）函数y＝
x
的定义域 ，
值域是 . （观察法）
※ 典型例题
例1已知函数
f(x)?x?1
.
（1）求
f(3)
的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求
f(a
2
?1)
的值.


变式：已知函数
f(x)?
（1）求
f(3)
的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求
f(a
2
?1)
的值.


※ 动手试试
练1. 已知函数
f(x)?3x
2
?5x?2
，求f(3)
、
f(?2)
、
f(a?1)
的值.


练2. 求函数
f(x)?


三、总结提升
※ 学习小结
①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示.
※ 知识拓展

28
1
x?1
.
1
的定义域.
4x?3

***暑期培训专用教材
求函数定义域的规则：
① 分式：
y?
f(x)
，则
g(x)?0
；
g(x)
② 偶次根式：
y?
2n
f(x)(n?N
*)
，则
f(x)?0
；
③ 零次幂式：
y?[f(x)]
0
，则
f(x)?0
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知函数
g(t)?2t
2
?1
，则
g(1)?
（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数
f(x)?1?2x
的定义域是（ ）.
A.
[,??)
B.
(,??)

C.
(??,]
D.
(??,)

3. 已知函数
f(x)?2x?3
，若
f(a)?1
，则a=（ ）.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 函数
y?x
2
,x?{?2,?1,0,1,2}
的值域是 .
5. 函数
y??
的定义域是 ，值域是 .（用区
间表示）

课后作业
1. 求函数
y?


2. 已知
y?f(t)?t?2
，
t(x)?x
2
?2x?3
.
（1）求
t(0)
的值；
（2）求
f(t)
的定义域；
（3）试用x表示y.

29
1
2
1
21
2
1
2
2
x
1
的定义域与值域.
x?1

***暑期培训专用教材
§1.2.1 函数的概念（2）

学习目标
1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.

学习过程
一、课前准备
3x
2
复习1：函数的三要素是 、 、 .函数
y?
与y＝3x是不是同一
x
个函数？为何？


复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax
2
＋bx＋c、y＝的定义域与值域 ，其中
k?0
，
a?0
.


二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：函数相同的判别
x
3
讨论：函数y=x 、y=(
x
)、y=
2
、y=
4
x
4
、y =
x
2
有何关系？
x
2
k
x


试试：判断下列函数
f(x)
与
g(x)
是否表示同一个函数，说明 理由？
①
f(x)
=
(x?1)
0
；
g(x)
= 1. ②
f(x)
= x；
g(x)
=
③
f(x)
= x
2
；
g(x)
=
(x?1)
2
. ④
f(x)
= | x | ；
g(x)
=

小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等 当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值
的字母无关.


30
x
2
.
x
2
.

***暑期培训专用教材
※ 典型例题
例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）
f(x)?
x?3
x
2
?2；（2）
f(x)?2x?9
；（3）
f(x)?x?1?
1
x ?2
.


试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1 ）
f(x)?
x?2
x?3
??3x?4
；（2）
f(x) ?9?x?
1
x?4
.

小结：
（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；
（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
例2求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y＝x
2
－3x＋4； （2）
f(x)?x
2
?2 x?4
；（3）y＝
?5
x?3
；
变式：求函数
y?
ax?b
cx?d
(ac?0)
的值域.


小结：
求函数值域的常用方法有：
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

※ 动手试试
练1. 若
f(x?1)?2x
2
?1
，求
f(x)
.


练2. 一次函数
f(x)
满足
f[f(x)]?1?2x
，求
f(x)
.
31
4）
f(x)?
x?2
x?3
.






（

***暑期培训专用教材
三、总结提升
※ 学习小结
1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.

※ 知识拓展
对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，通过中间变量u，y可以表示 成x的函数，那么称它为
函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函 数，记作
y?f(g(x))
. 例如
y?x
2
?1
由y?u
与
u?x
2
?1
复合.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数
f(x)?1?x?x?3?1
的定义域是（ ）.
A.
[?3,1]
B.
(?3,1)
C. R D.
?

2. 函数
y?
2x?1
的值域是（ ）. < br>3x?2
1
3
1
3
2
3
2
3
1
2
1
2
A.
(??,?)(?,??)
B.
(??,)(,??)
C.
(??,?)(?,??)
D. R
3. 下列各组函数
f(x)与g(x)
的图象相同的是（ ）
A.
f(x)?x,g(x)?(x)
2
B.
f(x)?x
2
,g(x)?(x?1)
2

C.
f(x)?1,g(x)?x
0
D.
f(x)?|x|,g(x)?
?
4. 函数f(x) =
x?1
+
?
x
(x?0)

(x?0)
?x
?
1
的定义域用区间表示是 .
2?x
5. 若
f(x?1)?x
2
?1
，则
f(x)
= .

课后作业
1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写
出定义域.



32

***暑期培训专用教材
2. 已知二次函数f(x)=ax
2
+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f (x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x
有等根，求f(x)的解析式.


§1.2.2 函数的表示法（1）

学习目标
1. 明确函数的 三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优
点，在实际情境中，会根据不同 的需要选择恰当的方法表示函数；
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

学习过程
一、课前准备
复习1：
（1）函数的三要素是 、 、 .
（2）已知函数
f(x)?
为 .
（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.

复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：函数的三种表示方法
讨论：结合 具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表
示法及优缺点.

小结：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.

33
11
，则 ，
f(0)?
f()
= ，
f(x)
的定义域
x
2
?1x

***暑期培训专用教材
※ 典型例题
例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种 表
示法表示函数
y?f(x)
.
变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.


反思：
例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？


例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元.
每封x克（0数的图象.


变式： 某水果批发店，100 kg内单价1元／kg，500 kg内、100 kg及以上0.8元／kg，
500 kg及以上0.6元／kg，试写出批发x千克应付的钱数y（元）的函数解析式.


试试：画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.


小结：
分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 在生活实例有
哪些分段函数的实例？

※ 动手试试
练1. 已知
f(x)?
?

练2. 如图，把截面半径为10
长为
x
，面积为
y
，把
y
表示成
x
的
?
2x?3,x?(??,0)
?
2x?1,x?[0,??)
2
，求
f(0)
、
f[f(?1)]
的值.

cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边
函数.
34

***暑期培训专用教材
三、总结提升
※ 学习小结
1. 函数的三种表示方法及优点；
2. 分段函数概念；
3. 函数图象可以是一些点或线段.

※ 知识拓展
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明
三者（图象）之间的关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如下图可作为函数
y?f(x)
的图象的是（ ）.

A. B. C. D.
2. 函数
y?|x?1|
的图象是（ ）.

A. B. C. D.
?
x?2, (x≤?1)
?
3. 设
f(x)?
?
x
2
, (?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则x=（ ）
?
2x, (x≥2)
?
A. 1 B.
?3
C.
3
D.
2
3

2
?
?
x＋2(x
?
2)
4. 设函数f（x）＝
?
，则
f(?1)
＝ .
?
?
2x(x＜2)
5. 已知二次函数
f(x)
满足f(2?x)?f(2?x)
，且图象在
y
轴上的截距为0，最小值为－1，则函数
f(x)
的解析式为 .


35

***暑期培训专用教材
课后作业
1. 动点 P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为
自变量x，写出P点与 A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.


2. 根据下列条件分别求出函数
f(x)
的解析式.
（1）
f(x?)?x
2
?


§1.2.2 函数的表示法（2）

学习目标
1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
3. 能解决简单函数应用问题.

学习过程
一、课前准备
复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P和它对应；
② 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的
和它对应；
③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗？


讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？


二、新课导学

36
1
x
11
； （2）
f(x)?2f()?3x
.
x
2
x

***暑期培训专用教材
※ 学习探究
探究任务：映射概念
探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
①
A?{1,4,9}
,
B?{?3,?2,?1,1,2,3}
，对应法则：开平方；
②
A?{ ?3,?2,?1,1,2,3}
，
B?{1,4,9}
，对应法则：平方；
③
A?{30?,45?,60?}
,
B?{1,


新知：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于
集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
．记作“
f:A ?B
”
f:A?B
为从集合A到集合B的一个映射（mapping）
关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.

试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？


反思：
① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立 在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意
两个非空集合”，按照某种法 则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.

※ 典型例题
例1 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R；
（2）A={三角形}，B={圆}；
（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，
B?{(x,y)|x?R,y?R}
；
231
,,}
, 对应法则：求正弦.
222
（4） A={高一学生}，B= {高一班级}.


变式：如果是从B到A呢？

37

***暑期培训专用教材
试试：下列对应是否是集合A到集合B的映射
（1）
A?
?
1,2 ,3,4
?
,B?
?
2,4,6,8
?
，对应法则是“乘以 2”；
（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3）
A?< br>?
x|x?0
?
,B?
R，对应法则是“求倒数”.


※ 动手试试
练1. 下列对应是否是集合A到集合B的映射？
（1 ）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则
f:x?2x?1
；
（2）
A?N
*
,B?{0,1}
，对应法则
f:x ?x
除以2得的余数；
（3）
A?N
，
B?{0,1,2}
，
f:x?x
被3除所得的余数；
（4）设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}f:x?
；
（5）< br>A?{x|x?2,x?N},B?N
，
f:x?
小于x的最大质数.


练2. 已知集合
A?
?
a,b
?
, B?
?
?1,0,1
?
,
从集合A到集合B的映射，试问能构造出多 少映射？


三、总结提升
※ 学习小结
1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必
要有对 应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

※ 知识拓展
在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米／小时）的平方与车身长s（米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现
假定 车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式（其中
s为常数）.


38
111
234
1
x

***暑期培训专用教材
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在映射
f:A?B
中，
A?B?{(x,y) |x,y?R}
，且
f:(x,y)?(x?y,x?y)
，则与A中的元
素
(?1,2)
对应的B中的元素为（ ）.
A.
(?3,1)
B.
(1,3)
C.
(?1,?3)
D.
(3,1)

2.下列对应
f:A?B
：
①
A?R,B?
?
x?Rx?0
?
,f:x?x;

②
A?N,B?N
*
,f:x?x?1;

③
A?
?
x?Rx?0
?
,B?R,f:x?x
2
.

不是从集合A到B映射的有（ ）.
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③
?
0(x?0)
?
3. 已知
f(x)?< br>?
?
(x?0)
，则
f{f[f(?1)]}
=（ ）
?
x?1(x?0)
?
A. 0 B.
?
C.
1?
?
D.无法求
4. 若
f()?
1
x
x
， 则
f(
x)
= .
1?x
5. 已知f(x)=x
2
?1，g(x)=
x?1
则f[g(x)] = .
课后作业
1. 若函数
y?f(x)
的定义域为[?1，1]，求 函数
y?f(x?)f(x?)
的定义域.


2. 中山移动公 司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4
元；“神州行”不缴月租 ，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方
式费用分别为
y
1
,y
2
（元）.
（1）写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

39
1
4
1
4

***暑期培训专用教材
§1.3 函数的基本性质
§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）
学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.




探讨下列变化规律：
① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？


复习2：画出函数
f(x)?x?2
、
f(x)?x
2
的图象.


小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：单调性相关概念
思考：根据
f(x)?x?2< br>、
f(x)?x
2
(x?0)
的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎 样变化？
当x
1
>x
2
时，f(x
1
)与f(x< br>2
)的大小关系怎样？


40

***暑期培训专用教材
问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
< br>新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自
变量 x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f( x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increa sing function）.

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.


新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有 （严
格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：
① 图象如何表示单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
③ 函数
f(x)?x
2
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.


※ 典型例题
例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1）
f(x)??3x?2
； （2）
f(x)?
.


变式：指出
y?kx?b
、
y?
k
(k?0)< br>的单调性.
x
1
x
例2 物理学中的玻意耳定律
p?
（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体
积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义 证明.

41
k
V

***暑期培训专用教材
小结：
① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；
② 证明函数单调性的步骤：
第一步：设x
1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2
；
第二步：计算f(x
1
)－f(x
2
)至最简；
第三步：判断差的符号；
第四步：下结论.

※ 动手试试
练 1.求证
f(x)?x?
的(0,1)上是减函数，在
[1,??)
是增函数 .


练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）
f(x)?|x|
； （2）
f(x)?x
3
.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展
函数
f(x)?x?
a
(a?0)
的增区间有
[a,??)
、
(??,?a]
，减区间有< br>(0,a]
、
[?a,0)
.
x
1
x
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数
f(x)?x
2
?2x
的单调增区间是（ ）
A.
(??,1]
B.
[1,??)
C. R D.不存在

42

***暑期培训专用教材
2. 如果函数
f(x)?kx?b
在R上单调递减，则（ ）
A.
k?0
B.
k?0
C.
b?0
D.
b?0

3. 在区间
(??,0)
上为增函数的是（ ）
A．
y??2x
B．
y?

C．
y?|x|
D．
y??x
2

4. 函数
y??x
3
?1
的单调性是 .
5. 函数
f(x)?|x?2|
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
课后作业
1. 讨论
f(x)?


2. 讨论
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的单调性并证明.


§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

学习目标
1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备
复习1：指出函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的单调区间及单 调性，并进行证明.


复习2：函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的最小值为 ，
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的
最大值为 .

复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.


43
2
x
1
的单调性并证明.
x?a

***暑期培训专用教材

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数
f(x)??2x?3

f(x)??2x?3
,
x?[?1,2]

f(x)?x
2
?2x?1

f(x)?x
2
?2x?1
,
最
高点




最低点




x?[?2,2]

讨论体现了函数值的什么特征？


新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.

试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．


反思：
一些什么方法可以求最大（小）值？
※ 典型例题
例1一枚炮弹 发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是
h?130t?5t
2
，
那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？


变式：经过多少秒后炮弹落地？



44

***暑期培训专用教材
试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？


小结：
数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.

例2求
y?


变式：求
y?


小结：
先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.

试试：函数
y?(x?1)
2
?2,x?[0,1]
的最小值为 ，最大值为 . 如果是
x?[?2,1]
呢？

※ 动手试试
练1. 用多种方法求函数
y?2x?x?1
最小值.

变式：求
y?x?1?x
的值域.


房住
3?x
,x?[3,6]
的最大值和最小值.
x?2
3
在区间[3，6]上的最大值和最小值.
x?2
价（元） 房率（%）
16
0
14
0
12
0

55
65
75
45

练2. 一个星级
理得到一些定价和
0
10
***暑期培训专用教材
旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经
85
住房率的数据如右：
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？





三、总结提升
※ 学习小结
1. 函数最大（小）值定义；.
2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

※ 知识拓展
求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行
研究. 例如求
f(x)??x
2
?ax
在区间
[m,n]
上的值域 ，则先求得对称轴
x?
m?
am?nm?na
a
、
???n
、
?n
等四种情况,由图象观察得解.
2222
2
aa
，再分
?m
、
2
2
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数
f(x)?2x?x
2
的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数
y?|x?1|?2
的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3. 函数
y?x?x?2
的最小值是（ ）.
A. 0 B. 2 C. 4 D.
2

4. 已知函数
f(x)
的图象关 于y轴对称，且在区间
(??,0)
上，当
x??1
时，
f(x)< br>有最小值
3，则在区间
(0,??)
上，当
x?
时，
f(x)
有最 值为 .
5. 函数
y??x
2
?1,x?[?1,2]
的最大值为 ，最小值为 .

46

***暑期培训专用教材

课后作业
1. 作出函数
y?x
2
?2x?3
的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与 最小
值．
（1）
?1?x?0
； （2）
0?x?3
；（3）
x?(??,??)
.


2. 如图，把截面半径为10 cm
为
x
，面积为
y
，试将
y< br>表示成
x
的
锯才能使得截面面积最大？


§1.3.2 奇偶性

学习目标
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备
复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）
f(x)?x
2
?1
； （2）
f(x)?


复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x
2
、f(x)＝x
3
、f(x)＝x
4
，分别比较f(x)与f(－x ).


二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：奇函数、偶函数的概念
思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：

47
的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长

函数，并画出函 数的大致图象，并判断怎样
1
x

***暑期培训专用教材
（ 1）
f(x)?x
、
f(x)?
、
f(x)?x
3
；
（2）
f(x)?x
2
、
f(x)?|x|
.
观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

< br>新知：一般地，对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f(?x)?f (x)
，那么函数
f(x)
叫偶函数（even function）.

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.


反思：
① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

试试：已知函数
右边的图象.




※ 典型例题
例1 判别下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?
3
x
4
； （2）
f(x)?
4
x
3
；
（3）
f(x)??3x
4
?5x
2
； （4）
f(x)?
3
x?


小结：判别方法，先看定义域 是否关于原点对称，再计算
f(?x)
，并与
f(x)
进行比较.

试试：判别下列函数的奇偶性：

48
1
x
f(x) ?
1
在y轴左边的图象如图所示，画出它
2
x
1
.
3
x

***暑期培训专用教材
（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；
（3）f(x)＝


例2 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是 减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出
证明.


变式 ：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.


小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

※ 动手试试
练习：若
f(x)?ax
3
?bx?5
，且
f(?7)?17
，求
f(7)
.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；
2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.

※ 知识拓展
定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点
对称区 间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

49
1
x
x
； （4）f(x)＝x
2
, x∈[-2,3].
2
1?x

***暑期培训专用教材
1. 对于定义域是R的任意奇函数
f(x)
有（ ）.
A．
f(x)?f(?x)?0
B．
f(x)?f(?x)?0

C．
f(x)f(?x)?0
D．
f(0)?0

2. 已知
f(x)
是定义
(??,? ?)
上的奇函数，且
f(x)
在
?
0,??
?
上是 减函数. 下列关系式中正
确的是（ ）
A.
f(5)?f(?5)
B.
f(4)?f(3)

C.
f(?2)?f(2)
D.
f(?8)?f(8)

3. 下列说法错误的是（ ）.
A.
f(x)?x?
是奇函数
B.
f(x)?|x?2|
是偶函数
C.
f(x)?0,x?[?6,6]
既是奇函数，又是偶函数
x
3
? x
2
D.
f(x)?
既不是奇函数，又不是偶函数
x?1
1
x
4. 函数
f(x)?|x?2|?|x?2|
的奇偶性是 .
5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，
且最 值为 .

课后作业
1. 已 知
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，且
f(x)?g(x)?


2. 设
f(x)
在R上是奇函数，当x>0时，
f(x)?x(1?x)
， 试问：当
x
<0时，
f(x)
的表达
式是什么？


§1.3 函数的基本性质（练习）

学习目标
1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；
2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；

50
1
，求
f(x)
、
g(x)
.
x?1

***暑期培训专用教材
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备
复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？


复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？


二、新课导学
※ 典型例题
例1 作出函数y＝x
2
－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.


小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.
变式：y＝|x
2
－2x－3| 的图象如何作？


反思：
如何由
f(x)
的图象，得到
f(|x|)
、|f(x)|
的图象？


例2已知
f(x)
是奇函 数，在
(0,??)
是增函数，判断
f(x)
在
(??,0)
上的单调性，并进行证
明.


反思：
奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调
性 ）


51

***暑期培训专用教材
例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市 场调查后发现规律为降价x元后可多销
售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当 降价多少元时，销售金额最大？
最大是多少？


小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题
※ 动手试试
练1. 判断函数y=


练2. 判别下列函数的奇偶性：
2< br>?
?
?x?x(x?0)
（1）y＝
1?x
＋
1?x
；（2）y＝
?
2
.
?
?
x?x(x?0)
x?2
单调性，并证明.
x?1

练3. 求函数
f(x)?x?


三、总结提升
※ 学习小结
1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法.
2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法.
3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调法.

※ 知识拓展
形如
f(|x|)
与
|f(x)|
的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由 对称变换得
到图象.
f(|x|)
的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象 ，并把y轴右侧的图象对
折到左侧.
|f(x)|
的图象，先作
f(x)< br>的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

52
1
(x?0)
的值域.
x

***暑期培训专用教材
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数
y?x
2
?bx?c
(x?(? ?,1))
是单调函数时，
b
的取值范围 （ ）.
A．
b??2
B．
b??2

C ．
b??2
D．
b??2

2. 下列函数中，在区间
(0,2)
上为增函数的是（ ）.
A．
y??x?1
B．
y?x

D．
y?

2
x
C．
y?x
2
?4x?5

ax
2
?b
3. 已知函数y=为奇函数，则（ ）.
x?c
A.
a?0
B.
b?0

C.
c?0
D.
a?0

4. 函数y＝x＋
2x?1
的值域为 .
5.
f(x)?x
2
?4x
在
[0,3]
上的最大值为 ，最小值为 .

课后作业
1. 已知
f(x)
是定义在
(?1,1)
上的减函数，且
f(2?a)?f(a?3)?0
. 求实数a的取值范围.


2. 已知函数
f(x)?1?x
2
.
（1）讨论
f(x)
的奇偶性，并证明；
（2）讨论
f(x)
的单调性，并证明.


第一章 集合与函数的概念（复习）

学习目标
1. 理解集合有关概念和性质，掌握 集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观
性研究问题，如数轴分析、Venn图；
2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和
奇偶性 的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.

53

***暑期培训专用教材

学习过程
一、课前准备
复习1：集合部分.
① 概念：一组对象的全体形成一个集合
② 特征：确定性、互异性、无序性
③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
④ 关系：∈、
?
、
?
、、=
⑤ 运算：A∩B、A∪B、
C
U
A

⑥ 性质：A
?
A；
?
?
A，….
⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.
复习2：函数部分.
① 三要素：定义域、值域、对应法则；
② 单调性：
f(x)
定义域内某区间D，x
1
,x
2
?D
，

x
1
?x
2
时，
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f(x)
的D上递增；
x
1
?x
2
时，
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f(x)
的D上递减 .
③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.
④ 奇偶性：对
f(x)
定义域内任意x，
f(?x)??f(x)

?
奇函数；
f(?x)?f(x)

?
偶函数.
特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.

二、新课导学
※ 典型例题
例1设集合
A?{x|x
2
?ax?a
2
?19 ?0}
，
B?{x|x
2
?5x?6?0}
，
C?{x| x
2
?2x?8?0}
.
（1）若
AB
=
AB
，求a的值；
（2）若
?< br>AB
，且
AC
=
?
，求a的值；
（3）若
AB
=
AC
?
?
，求a的值.


54

***暑期培训专用教材

例2 已知函 数
f(x)
是偶函数，且
x?0
时，
f(x)?
1?x.
1?x
（1）求
f(5)
的值； （2）求
f(x)?0
时
x
的值；
（3）当
x
>0时，求
f(x)
的解析式．


1?x
2
例3 设函数
f(x)?
．
1?x
2
（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；
（3）求证：
f()??f(x)
；
（4）求证：
f(x)
在
[1,??)
上递增.


※ 动手试试
练1. 判断下列函数的奇偶性：
2x
2
?2x
（1）
f(x)?
； （2）
f(x)?x
3
?2x
；
x?1
1
x（3）
f(x)?a
（
x?
R）； （4）
f(x)?
?


?
x(1?x)
x?0,

?
x(1?x)
x?0.
练2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别 围成一个正方形和一个圆，要使正方形与
圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？


三、总结提升
※ 学习小结
1. 集合的三种运算：交、并、补；
2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；
3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；
4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.


55

***暑期培训专用教材
※ 知识拓展
要作函数
y?f(x?a)
的图象，只需将函数
y?f(x)
的图象 向左
(a?0)
或向右
(a?0)
平移
|a|
个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.
要作函数
y?f(x)?h
的图象，只需将函数
y?f(x)
的图象向上
(h?0)
或向下
(h?0)
平移
|h|
个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若
A?
?
x|x
2
?0
?
，则下列结论中正确的是 （ ）.
A.
A?0
B. 0A
C.
A??
D.
?
A
2. 函数
y?x|x|?px
，
x?R
是（ ）.
A．偶函数 B．奇函数
C．不具有奇偶函数

D．与
p
有关
3. 在区间
(??,0)
上为增函数的是（ ）.
A．
y?1
B．
y?
x
?2

1?x
C．
y??x
2
?2x?1
D．
y?1?x
2

4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育 爱好者43人，还有4人既不爱好体
育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
5. 函数
f(x)
在R上为奇函数，且
x?0
时，
f(x)?x?1
，则当
x?0
，
f(x)?
.
课后作业
1. 数集A满足条件：若
a?A,a?1
，则
1
?A
.
1?a
（1）若2
?A
，则在A中还有两个元素是什么；
（2）若A为单元集，求出A和
a
.


2. 已知
f(x)
是定义在R上的函数，设

56

***暑期培训专用教材
g(x)?
f(x)?f(?x)f(x) ?f(?x)
，
h(x)?
.
22
（1）试判断
g(x)与h(x)
的奇偶性；
（2）试判断
g(x),h(x)与f(x)
的关系；
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？


第二章 基本初等函数（I）
§2.1 指数函数
§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）

学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；
2. 了解根式的概念及表示方法；
3. 理解根式的运算性质.

学习过程
一、课前准备
复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .

复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于
a
，那么这个数叫 做
a
的 ，
记作 ；
如果一个数的立方等于
a
，那么这个数叫做
a
的 ，记作 .

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为
a
万，则
x
年后人 口数为
多少万？


57

***暑期培训专用教材

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？


计算：若报纸长50c m，宽34cm，厚0.01mm，进行对折
x
次后，求对折后的面积与厚度？


问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年
GDP
（ 国内生产总值）年
平均增长率达7.3℅， 则
x
年后
GDP
为2000年的多少倍？


问 题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡
t
年后体内
t
1
5730
碳14的含量
P
与死亡时碳14关系为
P? ()
. 探究该式意义？
2


小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自
然科学.

探究任务二：根式的概念及运算
考察：
(?2)
2
?4
，那么
?2
就叫4的

；
3
3
?27
，那么3就叫27的 ；
( ?3)
4
?81
，那么
?3
就叫做
81
的 .
依此类推，若
x
n
?a
,，那么
x
叫做
a
的 .

新知：一般地，若
x
n
? a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根 (
n
th root )，其中
n?1
,
n??
?
.
简记：
n
a
. 例如：
2
3
?8
，则
3
8?2
.

反思：
当
n
为奇数时,
n
次方根情况如何？
例如：
3
27?3
，
3
?27??3
, 记：
x?
n
a
.

58

***暑期培训专用教材

当
n
为偶数时，正数的
n
次方根情况？
例如：
81
的4次方根就是

，记：
?
n
a
.

强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即
n
0?0
.

试试：
b
4
?a
，则
a
的4次方根为 ；
b
3
?a
，则
a
的3次方根为 .

新知：像
n
a
的式子就叫做根式（radical），这里
n
叫做根指数（radical exponent），
a
叫做被开方数（radicand）.

试试：计 算
(
2
3)
2
、
3
4
3
、
n
(?2)
n
.


反思：
从特殊到一般，
(
n
a)
n
、
n
a
n
的意义及结 果？


结论：
(
n
a)
n
?a
. 当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?

※ 典型例题
例1求下类各式的值：
（1）
3
(?a)
3
； （2）
4
(?7)
4
；
（3）
6
(3?
?
)
6
； （4）
2
(a?b)
2
（
a?b
）.


变式：计算或化简下列各式.
（1）
5
?32
； （2）
3
a
6
.

59
?
a(a?0)
.
?a(a?0)
?

***暑期培训专用教材

推广：
a
mp
?
n
a
m
（
a
?
0）.

※ 动手试试
练1. 化简
5?26?7?43?6?42
.


练2. 化简
23?
3
1.5?
6
12
.


三、总结提升
※ 学习小结
1.
n
次方根，根式的概念；
2. 根式运算性质.

※ 知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质：若
a?0
，则
a
n
?0
.
2. 正整数指数幂满足不等性质：
① 若
a?1
，则
a
n
?1
；
② 若
0?a?1
，则
0?a
n
?1
. 其中
n?
N*.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.
4
(?3)
4
的值是（ ）.
A. 3 B. －3 C.
?
3 D. 81
2. 625的4次方根是（ ）.
A. 5 B. －5 C. ±5 D. 25
3. 化简
(
2
?b)
2
是（ ）.
np

60

***暑期培训专用教材
A.
?b
B.
b
C.
?b
D.
4. 化简
6
(a?b)
6
= .
5. 计算：
(
3
?5)
3
= ；
2
3
4
.

课后作业
1. 计算：（1）
5
a
10
； （2）
3
7
9
.


2. 计算
a
3
?a
?4
和
a
3?(?8)
，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？


a
n
a
n
3. 对比
(ab)?ab
与
()?
n
，你能把后者归入前者吗？
bb
nnn
1
b


§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）

学习目标
1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化；
3. 掌握有理数指数幂的运算.

学习过程
一、课前准备
复习1：一般地，若
x
n
? a
，则
x
叫做
a
的 ，其中
n?1
,
n??
?
. 简记为： .
像
n
a
的式子就叫做 ，具有如下运算性质：
(
n
a)
n
= ；
n
a
n
= ；
np
a
mp
= .


复习2：整数指数幂的运算性质.

61

***暑期培训专用教材
（1）
a
m
a
n
?
；（2）
(a
m
)
n
?
；
（3）
(ab)
n
?
.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：分数指数幂
引例：a>0时，
a?(a)?a?a
，
5
10
5
252
10
5
则类似可得
3
a
12
?
；


新知：规定分数指数幂如下
a?
n
a
m
(a?0,m,n ?N
*
,n?1)
；
m
n
3
a?(a)?a
，类似可得
a?
.
2
3
2
3
3
2
3
a
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
.

试试：
（1）将下列根式写成分数指数幂形式：
2
3
5
= ；
3
5
4
= ；


?
a
m
=
(a?0,m?N)
.
（2）求值：
8
；
5
；
6
；
a
.


反思：
① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .
② 分数指数幂有什么运算性质？

小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数
指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

62
2
3
2
5
?
4
3
?
5
2

***暑期培训专用教材
指数幂的运算性质： （
a?0,b?0,r,s?Q
）
a
r
?a
r?s
；
(a
r
)
s
?a
rs
；
(ab)
r
?a
r
a
s
．
a
r
·

※ 典型例题
25
?
2
3
?3
例1 求值：
27
；
16
；
()
；
()
3
.
49
5
2
3
?
4
3


变式：化为根式.


例2 用分数指数幂的形式表示下列各式
(b?0)
：
（1）
b
2
b
； （2）
b
3
5
b
3
； （3）
3
b
4
b
.


例3 计算（式中字母均正）：
（1）
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
； （2）
(mn)
.


小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.
例4 计算：
（1）
a
3
a
3
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8
16
a
?
4

(a?0)
；
1
2
（2）
(2mn)?(?mn
?3
)
6

(m,n?N
?
)
；
2
3
5
10
（3）
(
4
16?
3
32)?
4
64
.


小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂， 对含
有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.

反思：
①
3
2
的结果？

63

***暑期培训专用教材

结论：无理指数幂.（结合教材P
53
利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

② 无理数指数幂
a
?
(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？

※ 动手试试
?
练1. 把
?
x
?
?
1
3
3< br>?
x
?
化成分数指数幂.
?
?
?2
?
8
5


练2. 计算：（1）
33
3
44
8a
3
4
)
.
27
； （2）
(
125b
3
6


三、总结提升
※ 学习小结
①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.

※ 知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为：
m?m
0
e
?
?
t
，其中t表示经过的时间，
m
0
表示初始质量，
衰减后的 质量为m，
?
为正的常数.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若
a?0
，且
m,n
为整数，则下列各式中正确的是（ ）.
A.
a?a?a
B.
a
m
?a
n
?a
mn

mn
m
n
C.
?
a
m
?
?a
m?n
D.
1?a
n
?a
0?n

n
2. 化简
25
的结果是（ ）.
A. 5 B. 15 C. 25 D. 125

64
3
2

***暑期培训专用教材
?2
?
?
的结果是（ ）. 3. 计算
?
?
??
?2
?
1
2
??
A．
2
B．
?2
Ｃ．
4. 化简
27
= .
5. 若
10?2,10?4
，则
10
mn
22
D．
?

22
?
2
3
3m?n
2
= .

课后作业
1. 化简下列各式：
a
2
36
3
2
（1）
()
； （2）
b
49
b
3
a
a
.
b
3


2. 计算：
3


§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）

学习目标
1. 掌握n次方根的求解；
2. 会用分数指数幂表示根式；
3. 掌握根式与分数指数幂的运算.

学习过程
一、课前准备
复习1：什么叫做根式? 运算性质？
像
n
a
的式子就叫做 ，具有性质：
(
n
a)
n
= ；
n
a
n
= ；
np
?
b
?
3
.
?
?
1?2
?
??
3
42
3
a
a?2ab?4a
??
3
a
4
?8
3
ab
a
mp
= .

复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？

65

***暑期培训专用教材
mm
①
a
n
?
；
a
?
n
?
.
其中
a?0,m,n?N
*
,n?1

②
a
r
a
s
?
；
(a
r
)
s
?
；
(ab)
s
?
.

复习3：填空.
① n为 时，
n
x
n
?|x|?
?
?
...........
(x?0)
?
(x?0)
.
② 求下列各式的值：

3
2
6
= ；
4
16
= ；
6
81
= ；
6
(?2)
2
= ；
15
?32
= ；

4
x
8
= ；
6
a
2
b
4
= .

二、新课导学
※ 典型例题
1
例1 已知
a
2
?a
?
1
2
=3，求下列各式的值：
33
（1）
a?a
?1
； （2）
a
2
?a
?2
； （3）
a
2
?a
?
2
11
．
a
2
?a
?
2
补充：立方和差公式
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
ab?b
2
)
.


小结：① 平方法；② 乘法公式；
③ 根式的基本性质
np
a
mp
?
n
a
m
（a≥0）等.
注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，

11
变式：已知
a2
?a
?
2
?3
，求：
113
（1）
a
2
?a
?
2
； （2）
a
2
?a
?
3
2
.


66
6
(?8)
2
?
3
?8
.

***暑期培训专用教材
例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升， 然后用水填满，再倒出升，又用水填满，
这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？


变式：n次后？


小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论；
② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.
※ 动手试试
练1. 化简：
(x?y)?(x?y)
.


练2. 已知x+x
-1
=3，求下列各式的值.
（1）
x?x
； （2）
x?x
.


练3. 已知
f(x)?
?
x
,x
1
?x
2
?0
，试求
f(x
1
)?f(x
2
)
的 值.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 根式与分数指数幂的运算；
2. 乘法公式的运用.

※ 知识拓展
1. 立方和差公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a2
?ab?b
2
)
；
1
2
?
12
3
2
?
3
2
1
2
1
21
4
1
4
1
3
1
3
a
3?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
.
2. 完全立方公式：
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
；

67

***暑期培训专用教材
(a?b)
3
?a
3?3a
2
b?3ab
2
?b
3
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.
9
的值为（ ）.
A.
3
B.
33
C. 3 D. 729
2.
a
3
a
5
3
2
a
4
(a>0)的值是（ ）.
1
5
A. 1 B. a C.
a

D.
a

17
10
3. 下列各式中成立的是（ ）.
1
n
77
7
A．
()?nm
B．
12
(?3)
4
?
3
?3

m
3
4
C．
x?y?(x?y)
D．
4
33
3
9?
3
3

25
?
3
4. 化简
()
2
= .
4
5
1
1
66
5. 化简
(ab)(?3ab)?(ab)
= .
3
1
2
1
2
2
3
1
3

课后作业
1. 已知
x?a
?3
?b
?2
, 求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.


2. 探究：
n
a
n
?(
n
a)
n
?2a
时, 实数
a
和整数
n
所应满足的条件.


§2.1.2 指数函数及其性质（1）

学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
2. 理解指数函数的概念和意义；
3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.

68

***暑期培训专用教材

学习过程
一、课前准备
复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？
（1）
a
0
?
；
（2）
a
?n
?
；
（3）
a?
；
a
其中
a?0,m,n?N
*
,n?1



复习2：有理指数幂的运算性质.
（1）
a
m
a
n
?
；（2）
(a
m
)
n
?
；
（3）
(ab)
n
?
.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念
实例：
A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4 个
分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关
系 式是什么？
B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以< br>时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？


新 知：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（expon ential function），其中x是
自变量，函数的定义域为R.

反思：为什么规定
a
＞0且
a
≠1呢？否则会出现什么情况呢？

69
m
n
?
m
n
?
.

***暑期培训专用教材


试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？

探究任务二：指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

回顾：
研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：

y?()
x
，
y?2
x



讨论：
（1）函数
y? 2
x
与
y?()
x
的图象有什么关系？如何由
y?2
x
的图象画出
y?()
x
的图象？


（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后
呢？


新知：根据图象归纳指数函数的性质.


图
象


(1)定义域：R

a>1 01
3
1
2
1
2
1
2
性
(2)值域：（0，+∞）

70

***暑期培训专用教材
质(3)过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)在 R上是
增函数

※ 典型例题
例1函数
f( x)?a
x
（
a?0,且a?1
）的图象过点
(2,
?)
，求
f(0)
,
f(?1)
,
f(1)
的值 .


小结：①确定指数函数重要要素是 ；
② 待定系数法.

例2比较下列各组中两个值的大小：
（1）
2
0.6
,2
0.5
； （2）
0.9
?2
,0.9
?1.5
；
（3）
2.1
0.5
,0.5
2.1
； （4）
?


小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.

※ 动手试试
练1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（1）
()
m
?()
n
； （2）
1.1
m
?1.1
n
.


练2. 比较大小：
（1）
a?0.8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2
0.8
；
（2）
1
0
,0.4
?2 .5
,
2
?0.2
,
2.5
1.6
.


三、总结提升
※ 学习小结
①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.

71
2?3
(4)在R上是
减函数
与1
.
2
3
2
3

***暑期培训专用教材

※ 知识拓展
因为
y?a
x
(a?0，且a?1)
的定义域是R， 所以
y?a
f(x)
(a?0，且a?1)
的定义域与
f(x)
的
定义域相同. 而
y?
?
(a
x
)(a?0，且a?1)
的定义域，由
y?
?
(t)
的定义域确定.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数
y?(a
2
?3a?3)a
x
是指数函数，则
a
的值为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值
2. 函数f(x)=
a
x?2
?1
(a>0,a≠1)的图象恒过定点（ ）.
A.
(0,1)
B.
(0,2)

C.
(2,1)
D.
(2,2)

3. 指数函数①
f(x)?m
x
，②
g(x)?n
x
满足不等式
0?m?n?1
，则它们的图象是（

24
4. 比较大小：
(?2.5)
3

(?2.
5
5
.
)
5. 函数
y?(
1
9
)
x
?1
的定义域为 .

课后作业
1. 求函数y=
1
x
的定义域.
5
1?x
?1


2. 探究：在[m，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？



72
. ）

***暑期培训专用教材
§2.1.2 指数函数及其性质（2）

学习目标
1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；
3. 培养数学应用意识.

学习过程
一、课前准备
复习1：指数函数的形式是 ，
其图象与性质如下


图
象

a>1




(1)定义域：

0性
(2)值域：
质
(3)过定点：
(4) 单调性：

复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：
111
y?2
x
,
y?()
x
,
y?5
x
,
y?()< br>x
,
y?10
x
,
y?()
x
.
2510



思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？


二、新课导学
※ 典型例题
例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界

73

***暑期培训专用教材
人口．因此，中国的人口问题是公认 的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达
到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制 人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基
本国策．
（1）按照上述材料中的1%的增长率 ，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年
的多少倍？
（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？


小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.
试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后
的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？


小结：指数函数增长模型.
设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如
y?ka
x

(k?R,a?0,且a?1)
的函数称为指数型函数.

例2 求下列函数的定义域、值域：
（1）
y?2?1
; （2）
y?3
x
5x?1
; （3）
y?0.4
1
x?1
.


变式：单调性如何？


小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.

试试：求函数
y?2
?x
?
的定义域和值域，并讨论其单调性.


※ 动手试试
练1. 求指数函数
y?2
x

2
1
2
?1
的定义域和值域，并讨论其单调性.
74

***暑期培训专用教材


练2. 已知下列不等式，比较
m,n
的大小.
（1）
3
m
?3
n
； （2）
0.6
m
?0.6
n
；
（3）
a
m
?a
n
(a?1)
；（4）
a
m
?a
n
(0?a?1)
.


练3. 一片树林中现有木材30000 m
3
，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m
3
，
写出x
，
y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m
3< br>.


三、总结提升
※ 学习小结
1. 指数函数应用模型
y?ka
x
(k?R,a?0且a?1)
；
2. 定义域与值域；
2. 单调性应用（比大小）.

※ 知识拓展
形如< br>y?a
f(x)
(a?0，且a?1)
的函数值域的研究，先求得
f( x)
的值域，再根据
a
t
的单调性，
列出简单的指数不等式，得出所 求值域，注意不能忽视
y?a
f(x)
?0
. 而形如
x
y ?
?
(a)(a?，且0a?
的函数值域的研究，易知
1)
a
x
?0
，再结合函数
?
(t)
进行研究. 在求值域
的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果函数y=a
x
(a>0,a≠1)的图象与函数y=b
x
(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有
（ ）.
A. a>b B. aC. ab=1 D. a与b无确定关系
2. 函数f(x)=3
－
x
－1的定义域、值域分别是（ ）.

75

***暑期培训专用教材
A. R， R B. R，
(0,??)

C. R，
(?1,??)
D.以上都不对
3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.
A. y=a
x
的图象与y=a
－
x
的图象关于y轴对称
B. 函数f(x)=a
1
－
x
(a>1)在R上递减
C. 若a
2
>a
2?1

，则a>1
D. 若
2
x
>1，则
x?1

4. 比较下列各组数的大小：
3
?
2
?
1
2
()

（0.4）
2
；
5
（
3
0.76
?0.75
.
）

（3）
3
5. 在同一坐标系下，
a、b、c、d、1之间从小到

课后作业
1. 已知函数f(x)=a－


函数y=a
x
, y=b
x
, y=c
x
, y=d
x
的图象如右图，则
大的顺序是 .
2
(a∈R)，求证：对任何
a?R
， f(x)为增函数.
x
2?1
2
x
?1
2. 求函数
y?
x
的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
2?1


§2.2 对数函数
§2.2.1 对数与对数运算（1）

学习目标
1. 理解对数的概念；
2. 能够说明对数与指数的关系；
3. 掌握对数式与指数式的相互转化.

学习过程
一、课前准备
复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.

76

***暑期培训专用教材
（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？

复习2：假设2002年我国国民生产总 值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多
少年国民生产 是2002年的2倍？ （只列式）


二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：对数的概念
问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，
那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？


讨论：（1）问题具有怎样的共性？
（2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由
1.01
x
?m
，求x.


新知：一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.
记作
x?log
a
N
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.


新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数
log
10
N
简记为lgN 在科学 技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对
数叫自然对数，并把自然对数
log
e
N
简记作lnN

试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.


反思：

77

***暑期培训专用教材
（1）指数与对数间的关系？

a?0,a?1
时，
a
x
?N
?
.
（2）负数与零是否有对数？为什么？
（3）
log
a
1?
，
log
a
a?
.

※ 典型例题
例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）
5
3
?125
；（2）
2
?7
?
1
；（3）
3
a
?27
；
128
2
（4）
10
?2
?0.01
； （5）
log
1
32??5
；
（6）lg0.001=
?3
； （7）ln100=4.606.


变式：
log
1
32??
lg0.001=？
2


小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体.
例2求下列各式中x的值：
（1）
log
64
x?
； （2）
log
x
8??6
；
（3）
lgx?4
； （4）
lne
3
?x
.


小结：应用指对互化求x.

※ 动手试试
练1. 求下列各式的值.
（1）
log
5
25
； （2）
log
2


练2. 探究
log
a
a
n
??

a
logN
??

a
2
3
1

； （3）
lg
10000.
16

78

***暑期培训专用教材


三、总结提升
※ 学习小结
①对数概念；②lgN与lnN；③指对互化；④如何求对数值

※ 知识拓展
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔
（Napie r，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，
这导致天文学成为当时的热门学科. 可 是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花
费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此 浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮
尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研 究大数字的计算技术，终于独
立发明了对数.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若
log
2
x?3
，则
x?
（ ）.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2.
log
(n?1?n)
(n?1?n)
= （ ）.
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
3. 对数式
log
a?2
(5?a)?b
中，实数a的取值范围是（ ）.
A．
(??,5)
B．(2,5)
C．
(2,??)
D．
(2,3)(3,5)

4. 计算：
log
2?1
(3?22)?
.
5. 若
log
x
(2?1)??1
，则x=________ ，若
log
2
8?y
，则y=___________.

课后作业
1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.

79

***暑期培训专用教材
（1）
3
5
?243
； （2）
2
?5
?
1
32
； （3）
4
a
?30

（4）
(
1
2
)
m
?1.03
； （5）
log
1
16??4
；
2
（6）
log
2
128?7
； （7）
log
3
27?a
.


2. 计算：
（1）
log
9
27
； （2）
log
3
243
； （3）
log
4
3
81
；
（3）
log
(2?3)
(2?3)
； （4）
log
3
5
4
625
.


§2.2.1 对数与对数运算（2）

学习目标
1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

学习过程
一、课前准备
复习1：
（1）对数定义：如果
a
x
?N
(a?0,a? 1)
，那么数 x叫做 ，记
作 .
（2）指数式与对数式的互化：
a
x
?N
?
.

复习2：幂的运算性质.
（1）
a
m
a
n
?
；（2）
(a
m
)
n
?
；
（3）
(ab)
n
?
.

复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：
（1）设
log
a2?m
，
log
a
3?n
，求
a
m?n
；

80

***暑期培训专用教材
（2）设
log
a
M?m
，
log
a
N?n
，试利用
m
、
n
表示
log
a
(M
·
N)
．


二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：对数运算性质及推导
问题：由
a
p
a
q
?a
p?q
，如何探讨
log
a
MN
和
log< br>a
M
、
log
a
N
之间的关系？


问题：设
log
a
M?p
,
log
a
N?q
，
由对数的定义可得：M=
a
p
，N=
a
q

∴MN=
a
p
a
q
=
a
p?q
，
∴
log
a
MN=p+q，即得
log
a
MN=< br>log
a
M +
log
a
N
根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 ，则
（1）
log
a
(MN)?log
a
M?l og
a
N
；
（2）
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
；
N
（3）
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.


反思：
自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过 假设，将对
数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数< br>式）

※ 典型例题
例1用
log
a
x
,
log
a
y
,
log
a
z
表示下列各式：
x
3
y
xy
（1）
log
a
2
； （2）
log
a
5
.
z
z



81

***暑期培训专用教材
例2计算：
（1）
log
5
25
； （2）
log
0.4
1
；
（3）
log
2
(4
8
?2
5
)
； （4）lg
9
100
.


探究：根据对数的定义推导换底公式
log
a
b?


试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？
※ 动手试试
练1. 设
lg2?a
,
lg3?b
，试用
a< br>、
b
表示
log
5
12
.


变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、lg12. lg
3
的值.


练2. 运用换底公式推导下列结论.
（1）
log
a
b
n
?
m
log
cb
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
c
a
1
n< br>（2）
log
a
b?
.
log
a
b
；
log
b
a
m


练3. 计算：（1）
lg14?2lg?lg7?lg18
；（2）


三、总结提升
※ 学习小结
①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.

※ 知识拓展
① 对数的换底公式
log
a
N?
log
b
N
；
log
b
a
82
7
3
lg243
.
lg9

***暑期培训专用教材
② 对数的倒数公式
log
a
b?
n
1
.
log
b
a
③ 对数恒等式：
log
a
N
n
?log
a
N
，
log
a
m
N
n
?
n
log
a
N
，
log
a
blog
b
clog
c
a?1
.
m
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列等式成立的是（ ）
A．
log
2
(3?5)?log
2
3?log
2
5

B．
log
2
(?10 )
2
?2log
2
(?10)

C．
log
2
(3?5)?log
2
3log
2
5

D．< br>log
2
(?5)
3
??log
2
5
3
2. 如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（ ）.
A．x=a+3b－c B．
x?
3ab

5c
ab
3
C．
x?
5
D．x=a+b
3
－c
3

c
3. 若
2lg
?
y?2x
?
?lgx?lgy
，那么（ ）.
A．
y?x
B．
y?2x

C．
y?3x
D．
y?4x

4. 计算：（1）
log
9
3?log
9
27?
；
（2）
log
2
?log
1
2?
.
2

1
2
5. 计算：
lg

315
?lg?
.
523
课后作业
1. 计算：
（1）
lg27?lg8?3lg10
；
lg1.2
83

***暑期培训专用教材
（2）
lg
2
2?lg2?lg5?lg5
.


2. 设
a
、
b
、
c
为正数，且
3
a
?4
b
?6
c
，求证：
1
c
?
11
a
?
2b
.


§2.2.1 对数与对数运算（3）

学习目标
1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；
2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.

学习过程
一、课前准备
复习1：对数的运算性质及换底公式.
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 ，则
（1）
log
a
(MN)?
；
（2）
log
M
a
N
?
；
（3）
log
n
a
M?
.

换底公式
log
a
b?
.

复习2：已知
log
2
3 = a，
log
3
7 = b，用 a，b 表示
log
42
56.


复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1. 25℅，问哪
一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）


二、新课导学

84

***暑期培训专用教材
※ 典型例题
例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度 ，就是使用测
震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是 我
们常说的里氏震级M，其计算公式为：
M?lgA?lgA
0
，其中A是被 测地震的最大振幅，
A
0
是
“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修 正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20，
此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最 大振幅是5级地震最大振幅的
多少倍？（精确到1）


小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.

例2当生物死亡后，它机体内原 有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰
减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与
生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间
的关系，指出是 我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用 函数的观点
来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？


反思：
① P和t之间的对应关系是一一对应；
② P关于t的指数函数
P?(
5730
)
x
，则t关于P的函数为 .
※ 动手试试
练1. 计算：
（1）
5
1?log


85
0.2
3
1
2
； （2）
log
4
3?log
9
2?log
1
4
32
.
2

***暑期培训专用教材

练2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在2007年的基
础上翻两番？


三、总结提升
※ 学习小结
1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→求解→验证）；
2. 用数学结果解释现象.

※ 知识拓展
在给定区间内，若函数
f(x)< br>的图象向上凸出，则函数
f(x)
在该区间上为凸函数，结合图
象易得到
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
；
)?
22
在给定区间内，若函数
f(x)
的 图象向下凹进，则函数
f(x)
在该区间上为凹函数，结合图
象易得到
f(< br>x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
.
)?
22
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.
5
log
5
(?a)
2
（a≠0）化简得结果是（ ）.
B．a
2
C．｜a｜ D．a
1
2
A．－a
2. 若 log
7
［log
3
（log
2
x）］ ＝0，则
x
=（ ）.
A. 3 B.
23
C.
22
D.
32

3. 已知
3
a
?5
b
?m
，且
??2
，则m 之值为（ ）.
A．15 B．
15
C．±
15
D．225
4. 若3
a
＝2，则log
3
8－2log
3
6用a表示为 .
5. 已知
lg2?0.3010
，
lg1.0718?0.0301
，则
lg2.5?


1
a
1
b
；
2?

1
10
．
86

***暑期培训专用教材

课后作业
1. 化简：
（1）
lg5
2
?lg8?lg5lg20?(lg2)
2
；
（2）
?
log
2
5+log
4
0.2
?
?
log
5
2+log
25
0.5
?
.


2. 若
lg
?
x?y
?
?lg
?
x?2y
?
?lg2?lgx?lgy
，求


§2.2.2 对数函数及其性质（1）

学习目标
1. 通过具 体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概
念，体会对数函数是一类重要 的函数模型；
2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与
特殊点；
3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性
质，培 养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.

学习过程
一、课前准备
复习1：画出
y?2
x
、
y? ()
x
的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.


复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳
14的残余 量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）

二、新课导学
※ 学习探究

87
2
3
x
的值．
y
1
2

***暑期培训专用教材
探究任务一：对数函数的概念
问题：根据上题，用计算器可以完成下表：
碳14的
含量P
生物死
亡年数t

讨论：t与P的关系？
（对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系
t?log
5730
0
.5

.3
0
.1

0
.01

00
.001

1
2< br>P
，生物死亡年数t都有唯一
的值与之对应，从而t是P的函数）

新知：一般地，当a＞0且a≠1时，函数
y?log
a
x
叫做对数函数(l ogarithmic function)，自
变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）.
反思：
对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
(5x)

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制
(a?0
，且
a?1)
．

探究任务二：对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法
吗？


研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.
y?log
2
x
；
y?log
0.5
x
.


反思：
（1）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

88

图
象

a>1




(1)定义域：
***暑期培训专用教材
0
性
(2)值域：
质
(3)过定点：
(4)单调性：

（2）图象具有怎样的分布规律？

※ 典型例题
例1求下列函数的定义域：
（1）
y?log
a
x2
；（2）
y?log
a
(3?x)
；


变式：求函数
y?log
2
(3?x)
的定义域.


例2比较大小：
（1）
ln3.4,ln8.5
； （2）
log
0.3
2.8,log
0.3
2.7
；
（3）
log
a
5.1,log
a
5.9
.


小结：利用单调性比大小；注意格式规范.

※ 动手试试
练1. 求下列函数的定义域.
（1）
y?log
0.2
(?x?6)
； （2）
y?
3
log
2
x?1
.



89

***暑期培训专用教材
练2. 比较下列各题中两个数值的大小.
（1）
log
2
3和log
2
3.5
； （2）
log
0.3
4和log
0.2
0.7
；
（3）
log
0.7
1.6和log
0.7
1.8
； （4）
log
2
3和log
3
2
．


三、总结提升
※ 学习小结
1. 对数函数的概念、图象和性质；
2. 求定义域；
3. 利用单调性比大小.
※ 知识拓展
对数函数凹凸性：函数f(x)?log
a
x,(a?0,a?1)
，
x
1
, x
2
是任意两个正实数.
当
a?1
时，
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
?f(
12
)
；
22
当
0?a?1
时，
f(x
1
)?f(x
2< br>)x?x
?f(
12
)
.
22
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 当a>1时，在同一坐标系中，函数
y?a
?x
与
y?log
ax
的图象是（ ）.

2. 函数
y?2?log
2
x(x≥1)
的值域为（ ）.
A.
(2,??)
B.
(??,2)

C.
?
2,??
?
D.
?
3,??
?

3. 不等式的
log
4
x?
解集是（ ）.
A.
(2,??)
B.
(0,2)

B.
(,??)
D.
(0,)


90
1
2
1
2
1
2