高2020届高2017级高一数学暑假提高班讲义初升高数学衔接教材

初升高
衔接教材

数
学




1

目 录
第一部分 新教材初高中数学衔接概述
第1节 如何做好初高中衔接 ………… 1
第2节 现有初高中数学知识存在的“脱节” ……4
第二部分 初高中数学衔接分章节讲解
第一讲 数与式的运算……………………………7
第1节 绝对值
第2节 乘法公式
第3节二次根式
第4节分式
第5节分解因式
第二讲 一元二次方程……………………………7
第1节 根的判别式
第2节 根与系数的关系(韦达定理)
第三讲 二次函数……………………………7
第1节 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质

第2节 二次函数的三种表示方式

第3节 二次函数的简单应用
第4节 二次函数的最值问题
第四讲 方程与不等式……………………………7
第1节 二元二次方程组解法
第二节 一元二次不等式解法
第五讲 相似形……………………………7
第1节 平行线分线段成比例定理
第2节 相似形
第6讲 三角形……………………………7
第1节 三角形的“四心”
第2节 几种特殊的三角形
第7讲 圆……………………………7
第1节 直线与圆,圆与圆的位置关系
第2节 点的轨迹
附录:初、高中数学衔接紧密的知识点



2

第一部分 新教材初高中数学衔接概述
1.1为什么要做好高、初中数学的衔接
初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足 的信心、旺盛的求知欲,都有把高中
课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象 中那么简单易学,而是太
枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕 磕碰碰、跌跌
撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学 成
绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的
信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于
初、高中数 学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望
同学们认真吸取前人的经 验教训,搞好自己的数学学习。
一 高中数学与初中数学特点的变化,要求我们改变学习方式,以尽快适应学习
1 数学语言在抽象程度上 突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活
很远,似乎很“玄”。确实,初、高中的 数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、
通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触 及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以
后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多
老师为学生将各种题 建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步；因式分解先看什么,再
看什么。即使是思维非常灵活的平 面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思
维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的 、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式
上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了 高要求。当然,能力的发展是渐进
的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应 ,故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩 证型思
维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。课时 相对较
少,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。
这就要 求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内
在联系,使新知 识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进
行的,当知识信息量过大时 ,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板
块结构,实行“整体集装”。如表格化 ,使知识结构一目了然；类化,由一例到一类,由一类到
多类,由多类到统一；使几类问题同构于同一知 识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体
的知识结构网络。
二 不良的学习状态会加大数学学习的两极分化,因此要养成良好的学习习惯
1 学习习惯,因依赖心理而 滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提
高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列 ,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；
第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中 后,教师的教学方法变了,套用的
“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后, 还象初中那样,有很强
的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等 上课,课前
没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到“门道”。
2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时
3

并没有用功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,有的还是
重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功,只要
等 到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学
是大错特错的。 有多少同学就是因为高一、二不努力学习,临近高考了,发现自己缺漏了很多
知识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点难点,
突出 思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,
问题也有一大堆 ；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做作业,乱套题型,
对概念、法则、公式、定 理一知半解,机械模仿,死记硬背。还有些同学晚上加班加点,白天
无精打采,或是上课根本不听,自己 另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。
4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学,常轻视基础 知识、基本技能和基本方法
的学习与训练,经常是知道怎么做就算了,而不去认真演算书写,但对难题很 感兴趣,以显示
自己的“水平”,好高骛远,重“量”轻“质”,陷入题海。到正规作业或考试中不是演 算出
错就是中途“卡壳”。
5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比,知识的深 度、广度,能力要求都是
一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学 很多地方难
度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、,三角< br>公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还
是初中 教材都不讲的脱节内容,如不采取补救措施,查缺补漏,就必然会跟不上高中学习的要
求。
三 科学地进行高效学习,始终保持对数学的兴趣
1、充分发挥“老师”的作用。
高考的题目往 往具有很强的选拔性,竞争非常激烈。从课程本质上说,高中内容体系性
虽强,但是在编写时是通过“模 块”的形式把这些比较系统的内容分散开来编写的,如果没
有老师的引领,同学们在学习时会觉得内容繁 杂、无序,不容易形成知识结构和“思维链”,
无法形成对知识“一览众山小”的把握,并不利于对知识 的学习。而且,前面也说了,高中数
学蕴含着很多的数学思想与数学解题方法,这些抽象的思想与灵活方 法的运用,同学们仅凭
读课本是无法感知的,而老师上课时一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内 涵,分析
重、难点,突出思想方法,只有在老师的带领下同学们才能更好地认识高中数学,认清结构,< br>发现其中的奥秘,利用好老师的角色将对我们的学习起到事半功倍的效果。
2、抓住数学的灵魂———数学思想。
所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识,是对数学 知识和数学问题的进一步抽象
和概括,属于对数学规律性的认识范畴。数学思想是数学学习的关键,数学 思想指导着数学
问题的解决,并具体体现在解决问题的不同方法中。常用的数学思想有:方程思想、函数 思
想、转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
无论是初中数学还是高中数学,数学思想都是数学的灵魂,它们之间是可以衔接的。
例1:某 农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型机20台,乙型机30台。现将这50台联
合收割机派往 A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区。
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:

A地区
B地区
每台甲型收割机的租金
1800元
1600元
每台乙型收割机的租金
1600元
1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为
4

y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围；
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说
明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来；
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得 的租金最高,请你为该农机租赁公司提出一条
合理建议．
解:(1)若派往A地区的乙型联合 收割机为x台,则派往A地区的甲型联合收割机为(30
－x)台；派往B地区的乙型收割机为(30－ x)台,派往B地区的甲型收割机为(x－10)台。 ∴y
＝1600x＋1800(30－x)＋1 200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000。 x的取值范围
是:10≤x≤30(x是正整数)。
(2)由题意得200x＋74000≥79600,
解不等式得x≥28.由于10≤x≤30,∴x取28,29,30这三个值,
故有3种不同的分配方案。
①当x＝28时,即派往A地区甲型收割机2台,乙型收割机28 台；派往B地区甲型收割机
18台,乙型收割机2台。
②当x＝29时,即派往A地区甲型收 割机1台,乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机
19台,乙型收割机1台。
③当x＝30时,即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。
(3)由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的,所以,当x＝30时,y
取得最大值。如果要使该农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x＝30,
此时, y＝6000＋74000＝80000。
建议该农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区； 20台甲型收割机全部派往B
地区,可使该农机租赁公司获得的租金最高。
这里面透露出的就是函数的思想,而在高中,函数的思想是非常重要的数学思想。
例2:实 数k为何值时,方程kx
2
+2|x|+k=0有实数解？运用函数的思想就可以解决这个问< br>题。
3、夯实基础知识和基本技能,掌握适度的知识外延。
要学习好高中数学,必须 准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质,抓住这些
基本知识的要点和适用范围,是学好数学的 基础之一,否则一切都无从谈起,从目前的高考
来看,也很侧重对这些知识的考查,特别是一些简答题, 如对某些基本概念不能准确理解就
很难正确作答。
夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要 基础,但仅有这些还不够,要想在有限的时
间内准确快速地解答完考题,必须具备一定的知识外延,需要 在平时的听课和练习中注意加
强对一些重要结论的记忆,扩大自己的知识面,丰富自己的知识积累。
4、做题之后加强反思
同学们一定要明确,现在正做着的题,绝不会是考试的题目。在考试中 我们需要运用平
时做题目时的解题思路与方法。因此,要把自己做过的每道题加以反思,总结一下自己的 收
获。要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。日久天长,构建起一个内容与方法
的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要的一个环节。
5、主动复习,总结提高
进行章 节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结,做得细致,深刻,完整。高中
是自己给自己做总结, 老师不但不给做,而且是讲到哪,考到哪,不留复习时间,也不会明确
指出做总结的时间。那么,怎样进 行章节复习呢？
(1)把本章节的内容一分为二,一部分是基础知识,一部分是典型问题。要把对技能的要
5

求,列进这两部分的其中一部分中,不要遗漏。(2)把各种重要的,典型的 问题记录在册。
6、养成良好的解题习惯,提高自己的思维能力。
能力是在不同的数学学习 环境中得到培养的。在平日的学习中要注意开发不同的学习
场所,参与一切有益的学习实践活动,如数学 第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时
注意观察,比如:空间想象能力是通过实例净化思维,把空 间中的实体高度抽象在大脑中,并
在大脑中进行分析推理。其他能力的培养也都需要在学习、理解、训练 、应用中得到发展。
四、给“高一”新同学的建议
1、改掉“依赖”的习惯
许多 同学进入高中后,还像在初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌
握学习的主动权。表 现在不订计划,坐等上课,对老师课上要讲的内容不了解,上课忙于记笔
记,没听到“门道”,不会巩固 所学的知识。——主动性不好是同学中普遍存在的问题。高
中仅做听话的孩子是不够的,只知做作业也是 绝对不够的；高中老师讲的话也不少,但是谁
该干些什么,老师并不一一具体指明。因此,高中新生必须 提高学习的自主性。准备向将来
的大学生的学习方法过渡。
2、运算一定要过关
学 习数学离不开运算,初中老师往往一步一步在黑板上演算。到了高中,因时间有限,运
算量大,老师常把 计算过程留给同学们,这就要求同学们多动脑,勤动手,不仅要能笔算,而
且还要能口算,心算和估算, 对复杂运算,要有耐心,掌握算理,注重简便方法。许多学生由于
运算能力低,致使数学成绩难以提高, 但他们总归咎于“粗心”,思想上仍不重视。我们在高
一时就要重视对自己运算能力的培养。
3、题目贵“精”,不贵“多”
有的同学认为,要想学好数学,只要多做题,功到自然成。其 实不然。一般说做的题太少,
很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此,应该适当地多做题。但是,只顾 钻入题海,堆积题
目,在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目的在于检查你所学的知 识、
方法是否已掌握好。如果你掌握得不准,甚至有偏差,那么多做题的结果,反而巩固了你的缺
欠,因此,要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习。
高中数学学习是初中数学学 习的拓展和深化。为了帮助同学们顺利地从初中数学过渡
到高中数学的学习,老师将在后续课程中对高中 数学部分将要用到的一些初中数学知识进
行深化和补充,并在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的 帷幕。
五、对数学学习再强调的几点要求:
一要课前预习,预习要有个目标:把书本后面的 练习题可以独立完成；并思考与本节有关
的旧知识以及如何将新知识融合在里面；问自己几个问题:课本 的例题有什么特点和变化？
二是上课要认真听讲,课前准备好笔记本、笔、草稿本。
三先复习再独立完成作业。不懂就请教,问思路,不照搬过程。
四是准备一个笔记本作为问题 集,记录自己做错的典型问题和正确解法。经常反思,领悟
数学的思想方法。
相信你认真做到 以上几点,高中学习数学会很轻松,成绩大幅度提升,最中达到高考成功
的彼岸！

1.2.现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”
6

的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化
简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子 、分母有理化是高
中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低,学生 处于了解水平,但二次函数却是高中贯
穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断 单调区间、求
最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常
用 方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在
初中不 作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二
次函数、二次不等式与二次方 程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专
门的讲授。
6．图像的对称、平移变换,初 中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图
像的上、下；左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线 的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这
部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多 概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,
射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有 学习,而高中都要涉及。
另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。











第二部分 初高中数学衔接分章节讲解

第一讲 数与式的运算
7

第1节 绝对值

绝对值的代数意义:正数的 绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,
零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示在数轴上,数
a
和数
b
之间的距
离．
例1 解不等式:
x?1?x?3
＞4．
解法一:(零点分段法)




解法二:如图1．1－1,
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到 坐标为1的点A之间的
距离|PA|,即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2 的点B之间的距离|PB|,
即|PB|＝|x－3|．所以,不等式
x?1?x?3
＞4
的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2,可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点
D(坐标为4)的右侧．
x＜0,或x＞4．
练 习1
1．填空:
(1)若
x?5
,则x=_________；若
x??4
,则x=_________.
(2)如 果
a?b?5
,且
a??1
,则b＝________；若
1?c? 2
,则c＝________.

2．选择题:
下列叙述正确的是 ( )
(A)若
a?b
,则
a?b
(B)若
a?b
,则
a?b

(C)若
a?b
,则
a?b
(D)若
a?b
,则
a??b

3．化简:|x－5|－|2x
－
13|(x＞5)．
4.解下列不等式:(1)
x?2?1
(2)
x?1?x?3
＞4．
|x－3|
A
1
P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
B
3
D
4
x

第2节 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
8

(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
23
?ab?
2
b) ?
3
a?
；
b
(1)立方和公式
(a?b)(a

23
?ab?
2
b)?
3
a?
；
b
(2)立方差公式
(a?b)(a

(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算:
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
242
6
222
解法一:原式=
(x
2
?1)
?
?
(x?1)?x
?
?
=
(x?1)(x?x?1)
=
x?1
．
解法二:原式=
(x?1)(x
2
?x?1) (x?1)(x
2
?x?1)
=
(x
3
?1)(x
3
?1)
=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
,< br>ab?bc?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解:
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
【变式练习】1. 计算:
(1)
(x
2
?2x?)
2



(3)
(a?2)(a?2)(a?4a?16)



练 习2
1．填空:
42
1
3
(2)
( m?
1
5
1111
n)(m
2
?mn?n
2
)

225104
(4)
(x?2xy?y)(x?xy?y)

22222
1
21
2
11
a?b?(b?a)
( )；
9423
22
(2)
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3)
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
(1)
2．选择题:
1
mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于 ( )
2
111
2
(A)
m
(B)
m
2
(C)
m
2
(D)
m
2

4316
22
(2)不论
a
,
b
为何实数,
a?b?2a?4b?8
的值 ( )
(1)若
x
2
?
(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
1
的值．
3
x
111111
4 已知
a?b?c?0
,求
a(?)?b(?)?c(?)
的值．
bccaab
2
3 已知
x?3x?1?0
,求
x
3
?
第3节 二次根式
一般地,形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不 能够
开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
,
a
2
?b
2
等是无理式,而
9

2x
2
?
2
x?1
,
x
2
?2x y?y
2
,
a
2
等是有理式．
2
1．分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化．为了 进行分母(子)有理化,需
要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不 含
有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如
2
与
2
,
3a
与
a
,
3?6
与
3?6
,
23?32
与
23?32
,等等． 一般地,
ax
与
x< br>,
ax?by
与
ax?by
,
ax?b
与
a x?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母 中的根
号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中
的根号的 过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运
算中要运用 公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法,通常先写成分
式的形式 ,然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法
类似,应在化简的基础上去括号与 合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式:
(1)
12b
； (2)
a
2
b(a?0)
； (3)
4x
6
y(x?0)
．
解:


例2 计算:
3?(3?3)
．
解:



例3 试比较下列各组数的大小:
2
(1)
12?11
和
11?10
； (2)和
22－6
.
6?4
解: (1)∵
12?11?

11?
12?11(12?11)(12?11)1
,
??
1
12?1112?11
10
?
1
,
10
(1?110)(?1110)
?
11?101?1
又
12? 11?11?10
,∴
12?11
＜
11?10
．
10?
(2)∵
22－6?
11?
1
22－6(22－ 6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22, ∴6＋4＞6＋22,
10

2
＜
22－6
.
6?4
例4 化简:
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
∴
解:
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

?
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝
1
2004
?(3?2)

2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简:(1)
9?45
；
(2)
x
2
?
解
1
?2(0?x?1)
．
2
x
:(1)原式
?5

?4
?(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2．
1
1
(2)原式=
(x?)
2
?x?
,
x
x
1
1
∵
0?x?1
,∴
?1?x
,所以,原式＝
?x
．
x
x
3?23?2
例 6 已知
x?
,求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
3?23?2
解: ∵
x?y???(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
,
3?23?2
3?23?2
??1
,
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习3
1．填空:
(1)
1?3
＝__ ___；
1?3(2)若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
,则
x< br>的取值范围是_ _ ___；
(3)
424?654?396?2150?
__ ___；
(4)若
x?
x?1?x?1x?1?x?1
5
,则??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
2．选择题:
xx
成立的条件是 ( )
?
x?2
x?2
(A)
x?2
(B)
x?0
(C)
x?2
(D)
0?x?2

等式
11

a
2
?1?1?a
2
3．若
b?
,求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小:2－3 5－4(填“＞”,或“＜”)．
5 。 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)



(3)



6． 设
x?
3

2?3
(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)

11
?

ab
(4)
2
x
?x
3
?8x

2
2?32?3
33
,求
x?y
的值．
,y?
2?32?3




第4节 分式
1．分式的意义
形如
性质:
AAA
的式子,若B中含有字母,且
B?0
,则称为分式．当M≠0时,分式具有下列
BBB
AA?MAA?M< br>； ．
??
BB?MBB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
,这样,分子或分母中又含 有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若,求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
?
A?B?5,< br>ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4
???
解: ∵
?
, ∴
?

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
2A?4,
12

解得
A?2,B?3
．
111
??
(其中n是正整数)；
n(n?1)nn?1
111
(2)计算:；
???
1?22?39?10
1111
????
． (3)证明:对任意大于1的正整数n, 有
2?33?4n(n?1)2
证明:





c
例3 设
e?
,且e＞1,2 c
2
－5ac＋2a
2
＝0,求e的值．
a
解:


x
2
?3x?96xx?1
x
??
例4 化简:(1) (2)
22
1?x
x?279x?x6?2x
x?
1
x?
x
例2 (1)试证:
(1)解法一:原式
xxxxx(x?1)x?1???
2
??

2
1?x(1?x)?xx
x?x?x
xx
x?
2
x?x?
x?1
(x?1)(x?1)x?1< br>x?1
x
xxxx(x?1)x?1
解法二:原式=
???
2
?
(1?x)?xx(1?x)x
x?x?xx
x?x?
2
x?
1
x?1x?1
(x?)?x
x
=
x
2
?3x?96xx?116x?1
?????
(2)解:原式=
(x? 3)(x
2
?3x?9)x(9?x
2
)2(3?x)x?3(x?3)(x ?3)2(x?3)

2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)
2
3?x
???

2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进
行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

练 习4
1．填空题:
对任意的正整数n,
2．选择题:
13
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2

2x?y2x
?
,则＝ ( ) 若
x?y3
y
(A)１ (B)
5
4
(C)
4
5
(D)
6
5

3．正数
x,y
满足
x
2< br>?y
2
?2xy
,求
x?y
x?y
的值．
4．计算
1111
1?2
?
2?3
?
3?4
?.. .?
99?100
．

习 题
A 组
1．解不等式:
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
,求
x3
?y
3
?3xy
的值．
3．填空:
(1)
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
(2)若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
,则
a
的取值范围是________；
(3)
1111
1?2
?
2?3
?
3?4
?
4?5
?
1
5?6
?
________．

B 组
1．填空:
(1)
a?11
3a
2
?ab
2
,
b?
3
,则< br>3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____； x?xy?2y?0
,则
x
2
?3xy?y
2
(2)若
22
x
2
?y
2
?
__ __； < br>2．已知:
x?
11
y
2
,y?
3
,求x?y
?
y
x?y
的值．
C 组
1．选择题:
(1)若
?a?b?2ab??b??a
,则 (
(A)
a?b
(B)
a?b
(C)
a?b?0
(D)
b?a?0

(2)计算
a?
1
a
等于 (
(A)
?a
(B)
a
(C)
??a
(D)
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．
3．计算:
111
1?3
?
2?4
?
3?5
??
1
9?11
．
4．试证:对任意的正整数n,有1
1?2?3
?
1
2?3?4
??
1
n(n? 1)(n?2)
＜
1
4
．
14
)
)

答案.1．绝对值
1．(1)
?5
；
?4
(2)
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
.2．乘法公式
11
11
1．(1)
a?b
(2)
,
(3)
4ab?2ac?4bc

24
32
2．(1)D (2)A
3．二次根式
1． (1)
3?2
(2)
3?x?5
(3)
?86
(4)
5
．
2．C 3．1 4．＞
4．分式
1
99
1．
2
2．B 3．
2?1
4．
100
习题
A组
1．(1)
x??2
或
x?4
(2)－4＜x＜3 (3)x＜－3,或x＞3
2．1 3．(1)
2?3
(2)
?1?a?1
(3)
6?1

B组
1
35
1．(1) (2),或－
5
2．4．
72
C组
36
1
1．(1)C (2)C 2．
x
1
?,x
2
?2
3．
55
2
1111
?[?]
4．提示:
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)









第5节 分解因式 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,
另外还应了解求根法及 待定系数法．
1．十字相乘法
15

(1)
x?(p?q)x?pq
型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是1；②常数项是两个数之
积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵
x?(p?q)x?pq?x?px?qx?pq? x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)
,
∴
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
(2)一般二次三项式
ax
2
?bx?c
型的因式分解
2
由
a
1
a
2
x?(a
1
c
2?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
?(a< br>1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
我 们发现,二次项系数
a
分解成
a
1
a
2
,
2
22
2
常数项
c
分解成
c
1
c
2
,把
a
1
,a
2
,c
1
,c
2
写成
a
2
?
c
2
,这里按斜线交叉相乘,再相加, 就得到
a
1
c
1
a
1
c
2
?a< br>2
c
1
,如果它正好等于
ax
2
?bx?c
的一次项系数
b
,那么
ax
2
?bx?c
就可以分解成(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
,其中
a
1
,c
1
位于上一行,
a
2,c
2
位于下一行．这种借助画十字交叉线分解
系数,从而将二次三项式分解因式 的方法,叫做十字相乘法．
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝 试,才能确定一个
二次三项式能否用十字相乘法分解．
例1 分解因式:
(1)x
2
－3x＋2； (2)x
2
＋4x－12；
(3)x
2
?(a?b)xy?aby
2
； (4)
xy?1?x?y
．
解:(1)如图1．2－1,将二次项x
2分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成－
1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积 的和为－3x,就是x
2
－3x＋2中的
一次项,所以,有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1
－1 －2
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．2－1中
的两个x用1来表示(如图1．2－2所示)．
(2)由图1．2－3,得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
(3)由图1．2－4,得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

(4)
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
16
x
y
－1
1
图1．2－5

＝(x－1) (y+1) (如图1．2－5所示)．
例2 (十字相乘法)把下列各式因式分解:
(1)
12x
2
?5x?2

2
；(2)
5x?6xy?8y

3?2
4 1

22
解:(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)


22
?
(2)
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)

1 2y
5?4y

?
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数 不是1时较困难,具体分解时,为
提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减 法”凑”,看是否符合一
次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号．
2．提取公因式法与分组分解法
例3 分解因式:
(1)
x
3
?9?3x
2
?3x
； (2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解: (1)
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
(2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
,则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例4 把下列关于x的二次多项式分解因式:
(1)
x
2
?2x?1
； (2)
x
2
?4xy?4y
2
．
解: (1)令
x
2
?2x?1
=0,则解得
x
1
??1?2
,< br>x
2
??1?2
,
???
∴
x
2?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1? 2)
?
=
(x?1?2)(x?1?2)
．
(2)令
x
2
?4xy?4y
2
=0,则解得
x
1
?(?2? 22)y
,
x
1
?(?2?22)y
,
∴x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1 ?2)y]
．
例5
(拆项法)分解因式
x
3
?3x
2
?4

17

练 习5
1．选择题:
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 ( )
(A)
2x?5y
(B)
x?3y
(C)
x?3y
(D)
x?5y

2．分解因式:
(1)x
2
＋6x＋8； (2)8a
3
－b
3
；
(3)x
2
－2x－1； (4)
4(x?y?1)?y(y?2x)
．




习题2
1．分解因式:
(1)
a
3
?1
； (2)
4x
4
?13x
2
?9
；
(3)
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； (4)
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解:
(1)
x
2
?5x?3
； (2)
x?22x?3
；
(3)
3x?4xy?y
； (4)
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
,
b
,
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
,试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式:x
2
＋x－(a
2
－a)．

22
22
22
2
222







答案2分解因式
1． B
2．(1)(x＋2)(x＋4) (2)
(2a?b)(4a
2
?2ab?b
2
)

(3)
(x?1?2)(x?1?2)
(4)
(2?y)(2x?y?2)
．
习题1．2
18

1．(1)
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?
(2)
?
2x?3
??
2x?3
? ?
x?1
??
x?1
?

(3)
?
b?c
??
b?c?2a
?
(4)
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

?
5?13
??
5?13
?
2．(1)
????
?< br>x?
??
x?
?
； (2)
x?2?5x?2?5
；
22
????
?
2?7
??
2?7
?
( 3)
3
?
?
x?
3
y
??
??
x ?
3
y
?
?
????
????
；
(4 )
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
．
3．等边三角形
4．
(x?a?1)(x?a)


























第2讲 一元二次方程

第1节 根的判别式

19
我们知道,对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠ 0),用配方法可以将其变形为

b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2
2a4a
因为a≠0,所以,4a
2
＞0．于是
(1) 当b
2
－4ac＞0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
＝；
2a
x
1
＝x
2
＝－
(2)当b
2
－4ac＝0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
b
；
2a
(3)当b
2
－4ac＜0时,方程①的右端是 一个负数,而方程①的左边
(x?
b
2
)
一定大于或等
2a
于零,因此,原方程没有实数根．
由此可知,一元二次方程ax
2
＋bx＋ c＝0(a≠0)的根的情况可以由b
2
－4ac来判定,我们把
b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ ”来表示．
综上所述,对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0),有
（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
＝；
2a
(2)当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
(3)当Δ＜0时,方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的
实数根．
(1)x
2
－3x＋3＝0； (2)x
2
－ax－1＝0；
(3) x
2
－ax＋(a－1)＝0； (4)x
2
－2x＋a＝0．
解:(1)∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0,∴方程没有实数根．
(2 )该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0,所以方 程一定有两个不等的实数
根
a?a
2
?4a?a
2
?4
,
x
2
?
．
x
1
?
22
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
,
所以,
①当a＝2时,Δ＝0,所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时,Δ＞0, 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1,x
2
＝a
－
1．
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a),
所以
①当Δ＞0,即4(1
－
a) ＞0,即a＜1时,方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
,
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0,即a＝1时,方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0,即a＞1时,方程没有实数根．
说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化,于是,在解题
20

过程中,需要对a的取 值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高
中数学中一个非常重要的方法,在 今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

第2节 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根
2

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
,
x
2
?
,
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b?4ac)4acc
???
2
?．
x
1
x
2
?
2a2a4a
2
4aa


所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x
1
,x
2,那么x
1
＋x
2
＝
?
bc
,x
1< br>·x
2
＝．这一关
aa
系也被称为韦达定理．
特别地,对 于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0,若x
1
,x
2
是其两根,由韦达
定理可知
x
1
＋x
2
＝－p,x
1
·x
2
＝q, 即 p＝－(x
1
＋x
2
),q＝x
1
·x2
,
22
所以,方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0,由于x
1
,x
2
是一元二次方程
x
2
＋px＋q＝0的两根,所以,x
1
,x
2
也是一元二次方程x
2
－(x
1
＋x< br>2
)x＋x
1
·x
2
＝0．因此有
以两个数x
1
,x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值．
分析:由于 已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一
个根．但由于我们学习了 韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根
及方程的二次项系数和常数项,于是 可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求
出k的值．
解法一:∵2是方程的一个根,
∴5×2
2
＋k×2－6＝0,
∴k＝－7．
所以,方程就为5x
2
－7x－6＝0,解得x
1< br>＝2,x
2
＝－
所以,方程的另一个根为－
2
3
．
5
3
,k的值为－7．
5
63
,∴x
1
＝－．
55
解法二:设方程的另一个根为x
1
,则 2x
1
＝－
例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－< br>2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根,并且这两个实数根的
平方和比两个根的积 大21,求m的值．
分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方
21
3
k
)＋2＝－,得 k＝－7．
5
5
3
所以,方程的另一个根为－,k的值为－7．
5
由 (－

程,从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有 两个实数根,因此,其
根的判别式应大于零．
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,由韦达定理,得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2),x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21,
2
∴(x
1
＋x
2
)－3 x
1
·x
2
＝21,
2
即 [－2(m
－
2)]－3(m
2
＋4)＝21,
化简,得 m
2
－16m－17＝0,
解得 m＝－1,或m＝17．
当m＝－1时,方程为x
2
＋6x＋5＝0,Δ＞0,满足题意；
当m＝1 7时,方程为x
2
＋30x＋293＝0,Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ,不合题意,舍去．
综上,m＝17．
说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范围,
然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的 值,取满足条件的m的值即可．
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到 根的判别式Δ是否大
于或大于零．因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4,积为－12,求这两个数．
分析:我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二 元方程求解出这两个数．也可以利用韦达
定理转化出一元二次方程来求解．
解法一:设这两个数分别是x,y,
则 x＋y＝4, ①
xy＝－12． ②
由①,得 y＝4－x,
代入②,得
x(4－x)＝－12,
即 x
2
－4x－12＝0,
∴x
1
＝－2,x
2
＝6．
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?

y?6,y??2.
?
1
?
2
因此,这两个数是－2和6．
解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x
2
－4x－12＝0的两个根．
解这个方程,得 x
1
＝－2,x
2
＝6．
所以,这两个数是－2和6．
说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法
一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
(1)求| x
1
－x
2
|的值； ( 2)求
11
?
的值；(3)x
1
3
＋x
2
3
．(4)
(x
1
?5)(x
2
?5)
；
22
x
1
x
2

解:∵x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根,
∴
x
1
?x
2
??
53
,
x
1< br>x
2
??
．
22
(1)∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)
2
?4?(?)

＝
5
2
3
2
25
497
＋6＝, ∴| x
1
－x
2
|＝．
42
4
22

(2)

x?x
2
11
??
x1
2
x
2
2
x?x
2
2
2
1
2
1
2
(3)x
1
3
＋x
2
3< br>＝(x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x
1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
5325
(?)
2< br>?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37
224
．
????
3
2
9(x
1
x
2
)
2
9
(?)
24
2
＝(－
553215
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－．
2228
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求< br>这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
设x
1
和x< br>2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0),则
?b? b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
,
x
2
?
,
x
1
?
2a2a
?b?b
2
?4a c?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论:
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0),则 | x
1
－x
2
|＝
?
(其中Δ＝b
2
－
|a|
4ac)．
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论．
例6 若关于 x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的
取 值范围．
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,则 x
1
x
2
＝a－4＜0, ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
17
由①得 a＜4,由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．
例7 已知
x
1
,x2
是一元二次方程
4kx
2
?4kx?k?1?0
的两个实数根 ．
(1) 是否存在实数
k
,使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
请说明理由．
(2) 求使
3
成立？若存在,求出
k
的值；若不存在,
2
x
1
x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值．
x
2
x
1
解:(1) 假设存在实数
k
,使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)? ?
2
3
成立．∵ 一元二次方程
2
?
4k?0
?k ?0
,
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根,∴
?
2
?
??(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0
?
x
1
? x
2
?1
?
2
又
x
1
,x
2是一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根,∴
?
k?1

x
1
x
2
?
?
4k
?
23

∴
(2x
1
?x
2
)(x1
?2x
2
)?2(x
1
2
?x
2
2
)?5x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)
2
?9x
1
x
2
??
但
k?0
．
∴不存在实数
k
,使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
k?939
???k?
,
4k25
3
成立．
2
x
1
x
2
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
4k4
(2) ∵
??2??2??4??4??
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
k?1k?1
∴ 要使其值是整数,只需
k?1
能被4整除,故
k?1??1,?2,?4
,注意到
k?0
,要使
x
1x
2
??2
的值为整数的实数
k
的整数值为
?2,?3 ,?5
．
x
2
x
1
练 习
1．选择题:
(1)方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 ( )
(A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
(2)若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范
围是 ( )
22
11
(B)m＞－
44
11
(C)m＜,且m≠0 (D)m＞－,且m≠0
44
(A)m＜
2．填空:
(1)若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x
2
,则
11
?
＝ ．
x
1
x
2
(2)方程mx
2
＋x－2m＝0(m≠0)的根的情况是 ．
(3)以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
,当k取何值时, 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数
根？
4．已知方程x
2
－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
,求(x
1
－3)( x
2
－3)的值．
5．已知关于
x
的方程
x
2
?3x?m?0
的两个实数根的平方和等于11,求证:关于
x
的 方程
(k?3)x
2
?kmx?m
2
?6m?4?0
有实数 根．





6．若
x
1
, x
2
是关于
x
的方程
x?(2k?1)x?k?1?0
的两 个实数根,且
x
1
,x
2
都大于1．
22
24

(1) 求实数
k
的取值范围；(2) 若


x
1
1
?
,求
k
的值．
x
2
2

习题3
A 组
1．选择题:
(1)已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1,则它的另一个根是( )
(A)－3 (B)3 (C)－2 (D)2
(2)下列四个说法:
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2,两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2,两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0,两根之积为
?
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2,两根之积为0．
其中正确说法的个数是 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(3)关于x的一元二次方程a x
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0,则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C)－1 (D)0,或－1
2．填空:
(1)方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2,则k＝ ． < br>(2)方程2x
2
－x－4＝0的两根为α,β,则α
2
＋β
2
＝ ．
(3)已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2,则它的另一个根是
．
(4)方程2x
2
＋2x－1＝0的两根 为x
1
和x
2
,则| x
1
－x
2
|＝ ．

3．试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m
2
x
2< br>－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等
的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．


B 组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数,则k的值为
( )
(A)1,或－1 (B)1 (C)－1 (D)0
2．填空:
(1)若m,n是方程x
2
＋2005x－1＝0的两个实数根 ,则m
2
n＋mn
2
－mn的值等
于 ． < br>(2)如果a,b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根,那么代数式a
3＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
的值
是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根为x
1
和x
2
,如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
,求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0( a≠0)的两根为x
1
和x
2
．求:
(1)| x
1
－x
2
|和
7
；
3
(2)x
1
3
＋x
2
3
．
5 ．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
,x
2
满 足| x
1
－x
2
|＝2,求实数m的值．
25
x
1
?x
2
；
2

C 组
1．选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2－8x＋7＝0的两根,则这个直角
三角形的斜边长等于 ( )
(A)
3
(B)3 (C)6 (D)9
(3)如果关于x的方程x
2
－2(1－m )x＋m
2
＝0有两实数根α,β,则α＋β的取值范围为
( )
(A)α＋β≥
x
1
x
2
?
的值为 ( )
x
2
x
1
3
(A)6 (B)4 (C)3 (D)
2
(2)若x1
,x
2
是方程2x
2
－4x＋1＝0的两个根,则
1 1
(B)α＋β≤ (C)α＋β≥1 (D)α＋β≤1
2 2
c
(4)已知a,b,c是ΔABC的三边长,那么方程cx
2
＋(a＋b )x＋＝0的根的情况是
4
( )
(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根
2．填空:
若方程x
2
－8x＋m＝0的两根为x
1
,x
2
, 且3x
1
＋2x
2
＝18,则m＝ ．
3． 已知x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．
(1)是否存在实数k,使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
明理由；
3
成立？若存在 ,求出k的值；若不存在,说
2
x
1
x
2
?
－2的 值为整数的实数k的整数值；
x
2
x
1
x
(3)若k＝－ 2,
?
?
1
,试求
?
的值．
x
2
(2)求使
m
2
?0
． 4．已知关于x的方 程
x?(m?2)x?
4
2
(1)求证:无论m取什么实数时,这个方程总有 两个相异实数根；
(2)若这个方程的两个实数根x
1
,x
2
满足 |x
2
|＝|x
1
|＋2,求m的值及相应的x
1
,x2
．
5．若关于x的方程x
2
＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于 1,求实数a的取值范围．

一元二次方程答案
练习
1． (1)C (2)D
2． (1)－3 (2)有两个不相等的实数根 (3)x
2
＋2x－3＝0
3．k＜4,且k≠0
4．－1 提示:
(x
1
－3)( x
2
－3)＝x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9

习题3
A 组

1． (1)C (2)B 提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根的判别式Δ＜0,
26

2
．
3
(3)C 提示:当a＝0时,方程不是一元二次方程,不合题意．
17
2． (1)2 (2) (3)6 (3)
3

4
11
3．当m＞－,且 m≠0时,方程有两个不相等的实数根；当m＝－时,方程
44
1
有两个相等的实数根 ；当m＜－时,方程没有实数根．
4
4．设已知方程的两根分别是
x
1和x
2
,则所求的方程的两根分别是－x
1
和－x
2
, ∵x
1
所以方程没有实数根；对于④,其两根之和应为－
＋x
2
＝7 ,x
1
x
2
＝－1,∴(－x
1
)＋(－x
2)＝－7,(－x
1
)×(－x
2
)＝x
1
x
2
＝－1,∴所求的方程为y
2
＋7y－
1＝0．


B组
1．C 提示:由于k=1时,方程为x
2
＋2＝0,没有实数根,所以k＝－1．
2．(1)2006 提示:∵
m＋n＝－2005,mn＝－1,∴m
2
n＋mn
2
－mn＝mn(m＋n－1)＝－
1×(－2005－1)＝2006．
(2)－3 提示；∵a＋b＝－1,ab＝－1,∴a
3
＋a
2< br>b＋ab
2
＋b
3
＝a
2
(a＋b)＋
b< br>2
(a＋b)＝(a＋b)( a
2
＋b
2
)＝(a＋b)[( a＋b)
2
－2ab]＝(－1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－
3．
3．(1)∵Δ＝(－k)
2
－4×1×(－2)＝k
2
＋8＞0,∴方程 一定有两个不相等的实数
根．
(2)∵x
1
＋x
2
＝ k,x
1
x
2
＝－2,∴2k＞－2,即k＞－1．
3abc?b
3
b
b
2
?4ac
x
1
?x
2< br>33
4．(1)| x
1
－x
2
|＝,＝
?
；(2)x
1
＋x
2
＝．
a
3
22a
|a|
5．∵| x
1
－x
2
|＝
16?4m?24?m?2
,∴m＝3．把m＝3代入方程,Δ＞0,满足题意,
∴m＝3．

C组
1．(1)B (2)A
1
,∴α＋β＝2(1－m)≥1．
2
(4)B 提示:∵
a,b,c是ΔABC的三边长,∴
a＋b＞c,∴Δ＝(a＋b)
2
－c
2
＞0．
2．(1)12 提示:∵x
1
＋x
2
＝8 ,∴3x
1
＋2x
2
＝2(x
1
＋x
2
) ＋x
1
＝2×8＋x
1
＝18,∴x
1
＝2,∴x
2
＝6,∴m＝x
1
x
2
＝12．
3
3．(1)假设存在实数k,使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－成立．
2
(3)C 提示: 由Δ≥0,得m≤
∵一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0有两个实数根,
∴k≠0,且Δ＝16k
2
－16k(k+1)=－16k≥0,∴k＜0．
∵x
1
＋x
2
＝1,x
1
x
2
＝
∴ (2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝2 x
1
2
－5
1
x
2
＋2 x
2
2

＝2(x
1
＋x
2
)
2
－9 x
1
x
2
＝2－
k?1
,
4k
3
9(k?1)
＝－,
2
4k
27

即
9
9(k?1)
7
＝,解得k＝,与k ＜0相矛盾,所以,不存在实数k,使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
5
2
4k
3
成立．
2
x
1
x
2
x
1
2
?x
2
2(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
?
－2＝(2)∵
?2??2??4

x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
4k4k?4(k?1)4
＝,
?4???
k?1k?1k?1xx
∴要使
1
?
2
－2的值为整数,只须k＋1能整除4．而k 为整数,
x
2
x
1
∴k＋1只能取±1,±2,±4．又∵k＜0 ,∴k＋1＜1, ∴k＋1只能取－1,－2,－4,∴k＝－2,－3,
－5．
x
1
x
2
?
－2的值为整数的实数k的整数值为－2,－3和－5．
x
2
x
1
1
(3)当k＝－2时,x
1
＋x2
＝1,① x
1
x
2
＝, ②
8
xx
1
①
2
÷②,得
1
?< br>2
＋2＝8,即
?
??6
,∴
?
2
?6?
?1?0
,
x
2
x
1
?
∴能使
∴
?
?3?22
．
4．(1)Δ＝
2(m?1)?2?0
；
2
m
2
(2)∵x
1
x
2
＝－
≤0,∴x
1
≤0,x2
≥0,或x
1
≥0,x
2
≤0．
4
－2x －4＝0,∴
x
1
?1?5
,
x
2
?1?5
．
①若x
1
≤0,x
2
≥0,则x
2＝－x
1
＋2,∴x
1
＋x
2
＝2,∴m－2＝2,∴ m＝4．此时,方程为x
2
②若x
1
≥0,x
2
≤0,则－x
2
＝x
1
＋2,∴x
1
＋x
2＝－2,∴m－2＝－2,
∴m＝0．此时,方程为x
2
＋2＝0,∴x
1
＝0,x
2
＝－2．
5．设方程的两根为x
1
,x< br>2
,则x
1
＋x
2
＝－1,x
1
x
2
＝a,
由一根大于1、另一根小于1,得
(x
1
－1)( x
2
－1)＜0, 即 x
1
x
2
－(x
1
＋x
2
)+1＜0,
∴ a－(－1)＋1＜0,∴a＜－2．
此时,Δ＝1
2
－4×(－2) ＞0, ∴实数a的取值范围是a＜－2．




第3讲 二次函数

第1节 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质

28

问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题,我们可以先画出y＝2x
2
,y＝
1
2
x,y＝－2x< br>2
的图象,通过这些函
2
y
y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2x
2

y
y＝x
2

y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2

O
图2.2-1
x
－1
O
图2.2-2
x
数图象与函数y＝x
2
的图象之间 的关系,推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
22
先画出函数y＝x,y＝2x的图象．
先列表:
－－－
x … 0 1 2 3 …
3 2 1
x
2
… 9 4 1 0 1 4 9 …
211
…
8 2 0 2 8
2
x 8 8
从表中不难看出,要得到2x
2
的值,只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可 以了．
再描点、连线,就分别得到了函数y＝x
2
,y＝2x
2
的 图象(如图2－1所示),从图2－1我们可
以得到这两个函数图象之间的关系:函数y＝2x
2
的图象可以由函数y＝x
2
的图象各点的纵坐
标变为原来的两倍得到． < br>同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
数图象与函数y＝x
2
的图象之 间的关系．
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y＝ax
2
(a≠0)的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在
2< br>二次函数y＝ax(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的
大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们
可以作出函 数y＝2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象(如图2－2所示),从函数 的同学我们不难发现,
只要把函数y＝2x
2
的图象向左平移一个单位,再向上平移一 个单位,就可以得到函数y＝2(x＋
1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“ 形状相同,位置不同”的特点．
类似地,还可以通过画函数y＝－3x
2
,y＝－3 (x－1)
2
＋1的图象,研究它们图象之间的相互
关系．
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋ k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二
次函数图象的左右平移,而且“ h正左移,h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k
正上移,k负下移”．
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方法:
1
2
x,y＝－2x
2
的图象,并研究这两个函
2
29

所以,y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以 看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移
得到的,于是,二次函数y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质:
b
2
b
2bb
2
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2b
2
?4ac
)?

?a(x?
,
2a 4a
22
b4ac?b
2
,)
,对称轴(1)当a＞0时,函数y＝ ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
bbb
为直线x＝－ ；当x＜
?
时,y随着x的增大而减小；当x＞
?
时,y随着x的增大而2a2a2a
4ac?b
2
b
增大；当x＝
?
时,函数 取最小值y＝．
4a
2a
b4ac?b
2
2
,)
,对称轴(2)当a＜0时,函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
bbb
为直线x＝－；当x＜
?
时,y随着x的增大而增大；当x＞
?
时,y随着x的增大而
2a2a2a
4ac?b
2
b
减小 ；当x＝
?
时,函数取最大值y＝．
4a
2a
2
上述 二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此,
在今后解决二次函数 问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最
小 值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．
解:∵y＝－
3x
2
－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4,
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1,4)；
当x＝－1时,函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时,y随着x的增大而增大；当x＞－1时,y随着x的增大而减小；
采用描点法 画图,选顶点A(－1,4)),与x轴交于点B
(
23?323?3
,0)
和C
(?,0)
,与y
33
轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如 图2－5所示)．
说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关 键点,减少
了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精
确．

30

例2 某种产品的成本是120元件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量
y(件)之间关系如下表所示:
130 150 165
x 元
70 50 35
y件
若日销售量y是销售价x的一次函数,那 么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售
价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析:由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120),日销售量y又是销售价x的一次函
数 ,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系,
然后,再 由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解:由于y是x的一次函数,于是,设y＝kx＋(B)
将x＝130,y＝70；x＝150,y＝50代入方程,有
?
70?130k?b,

?
?
50?150k?b,
解得 k＝－1,b＝200．
∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z(元),则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600,
∴当x＝160时,z取最大值1600．
答:当售价为160元件时,每天的利润最大,为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函
数y＝x
2
的图像,求b,c的值．
b
2
b
2
2
解法一: y＝x＋bx＋c＝(x+)
?c?
,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单
4
2
bb
2
2
位,得到
y?(x??4)?c??2的图像,也就是函数y＝x
2
的图像,所以,
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8,c＝14．
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
解法二: 把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,
得到 函数y＝x
2
的图像,等价于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位, 再向右平移4个单
位,得到函数y＝x
2
＋bx＋c的图像．
由于把二次 函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y
＝(x－4 )
2
＋2的图像,即为y＝x
2
－8x＋14的图像,∴函数y＝x
2
－8x＋14与函数y＝x
2
＋bx＋c
表示同一个函数,∴b＝－8,c ＝14．
说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条 件进行正向的思维来解决
的,其运算量相对较大；而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化 成与之等价的问
题来解,具有计算量小的优点．今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰 当的方法
来解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
,－2≤x≤a,其中a ≥－2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最
大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a的取值进行讨论．
解:(1) 当a＝－2时,函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2,4),所以,函数的最大值和最小值都是4,此时x＝－2；
(2)当－2＜a＜0时,由图2．2－6①可知,当x＝－2 时,函数取最大值y＝4；当x＝a时,
31

函数取最小值y＝a
2
；
(3)当0≤a＜2时,由图2． 2－6②可知,当x＝－2时,函数取最大值y＝4；当x＝0时,函数
取最小值y＝0；
( 4)当a≥2时,由图2．2－6③可知,当x＝a时,函数取最大值y＝a
2
；当x＝0时, 函数取最
小值y＝0．

y
y
y
y

2
4

a
4




4

2
a


a
2




x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
－2
－2
a








③
②
①






图2.2－6


说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对a的所有可能情形进行讨论．此外,本例中所研
究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题
时 ,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
练 习
1．选择题:
(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( )
(A)y＝2x
2
(B)y＝2x
2
－4x＋2
(C)y＝2x
2
－1 (D)y＝2x
2
－4x
(2)函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
(1)二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1,－2),则m＝ ,n＝ ．
(2)已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m,当m＝ 时,函数图象的顶点在y轴上；当m
＝ 时,函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时,函数图象经过原点．
(3)函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标
为 ；当x＝ 时,函数取最 值y＝ ；当x 时,y随
着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小) 值及y随x的变化情况,并
画出其图象．
(1)y＝x
2
－2x－3； (2)y＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋ 3,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最
小值,并求当函数取最大(小)值时所对 应的自变量x的值:
(1)x≤－2；(2)x≤2；(3)－2≤x≤1；(4)0≤x≤3．


第2 节 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
1．一般式:y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式:y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0),其中顶点坐标是(－h,k)．
32

除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示．为 了研究另一种表示方式,我
们先来研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图 象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),
于是,不难发现,抛 物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程
①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关,由此可知,抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋
c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4a c存在下列关系:
(1)当Δ＞0时,抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴有两个交点；反过来,若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ＞ 0也成立．
(2)当Δ＝0时,抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一 个交点(抛物线的顶点)；反过来,
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴 有一个交点,则Δ＝0也成立．
(3)当Δ＜0时,抛物线y＝ax
2
＋bx＋c( a≠0)与x轴没有交点；反过来,若抛物线y＝ax
2
＋
bx＋c(a≠0)与x轴 没有交点,则Δ＜0也成立．
于是,若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴有两个交点A(x
1
,0),B(x
2
,0),则x
1
, x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根,所以
= a[x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论:
若抛物 线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x
1
,0),B(x2
,0)两点,则其函数关系式可以
表示为y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:
3．交点式:y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0),其中x
1
,x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、
交点式这三 种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在 直线y＝x＋1上,并且图象经过点(3,
－1),求二次函数的解析式．
分析:在解本例时 ,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二
次函数设成顶点式,再由函数图 象过定点来求解出系数a．
解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上,
所以,2＝x＋1,∴x＝1．
∴顶点坐标是(1,2)．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
,
∵二次函数的图像经过点(3,－1),
∴
?1?a(3?2)
2
?1
,解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
,即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后 设
出二次函数的顶点式,最终解决了问题．因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的
33
bc
,x
1
x
2
＝,
aa
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
), ＝x
1
x
2
．
aa
bc
所以,y＝ax
2
＋bx＋c＝a(
x
2
?x?
)
aa
x
1
＋x
2
＝
?

表达式．
分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上 就是二次函数的图象
与x轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一:∵二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0),
展开,得 y＝ax
2
＋2ax－3a,
?12a
2
?4a
2
??4a
, 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,
∴|－4a|＝2,即a＝
?
1
．
2
所以,二次函数的表 达式为y＝
1
2
313
x?x?
,或y＝－
x
2< br>?x?
．
2222
分析二:由于二次函数的图象过点(－3,0),(1, 0),所以,对称轴为直线x＝－1,又由顶点
到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或－2,于 是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式
来解,然后再利用图象过点(－3,0),或(1,0),就 可以求得函数的表达式．
解法二:∵二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2,
∴顶点的纵坐标为2,或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋ 2,或y＝a(x＋1)
2
－2,
由于函数图象过点(1,0),
∴0＝a(1＋1)
2
＋2,或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
,或a＝．
22
所以,所求的二次函数为y＝
－
11
(x＋1)
2
＋2,或y＝(x＋1)
2
－2．
22
说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1,－22),(0,－8),(2,8),求此二次函数的表达式．
解:设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1,－22),(0,－8),(2,8),可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2,b＝12,c＝－8．
所以,所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点
式、交点式来求二次函数的表达式？

练 习
1．选择题:
(1)函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无法确定
1
(2)函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 ( )
2
(A)(1,2) (B)(1,－2) (C)(－1,2) (D)(－1,－2)
2．填空:
34