高中数学教材中函数对称性问题

浅谈高中数学教材中函数对称性问题
【摘要】 新课标苏教版高中数学教材上就函数 的性质着重讲解
了单调性、奇偶性、周期性，但在高考中不乏对函数对称性的考查，
尤其是抽象 函数的对称性判断。本文拟通过函数对称性的简单总结
来探讨函数与对称有关的性质。
【关键词】 高中数学 对称性 概念 常见函数 抽
象函数
【中图分类号】 g633.62 【文献标识码】
a 【文章编号】 1674-4772（2012）12-068-01
函数模块是高中数学的重点也是难点，函数的性 质是历年高考数
学试题的重点和热点。其中函数的对称性是函数的一个基本性质，
学生学习了函 数的定义、单调性和奇偶性之后，已经能由图像的直
观性理解数学的本质。学生需要通过函数对称性的学 习，提高综合
运用知识及方法技巧分析问题、解决问题的能力。下面将从两个方
面来讨论函数的 对称性。
一、对称性的概念
1. 函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直 线两
侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直
线称为该函数的对称轴。
2. 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得
的图像能与原函数图像完 全重合，则称该函数具备对称性中的中心
对称，该点称为该函数的对称中心。

二、常见函数的对称性
1. 常数函数：既是轴对称又中心对称，其中直线 上的所有点均
为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
2. 一次函数： 既是轴对称又中心对称，其中直线上的所有点均
为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 。
3. 二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-
■。
4. 反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对
称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
5. 指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
6. 对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
7. 幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对 称中心是原
点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数
不具备对称性。
8. 正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它
的对称中心，x=kπ+■是它的对称轴。
9. 正弦型函数：正弦型函数y=asin（ωx+φ）既是轴对称又是
中心对称，只需从 ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐
标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+■中 解出x，就是它的对
称轴。
10. 余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对
称轴，（kπ+■，0）是它的对称中心。

11. 正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（■，0）
是它的对 称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心
只是（kπ，0）。
12. 三次 函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中
心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题 而异。
上述是对对称性的一些总结，条目很多，学生去记忆是不可能的，
而是要理解。因此， 要通过一些具体的例题，引导学生去实践，去
用所学知识解决实际问题。这样，学生才能既理解了知识， 又学会
了解决实际问题的方法。
三、抽象函数的对称性
下面将给出抽象函数的几个具体性质，并配以具体的例题。
定理1.函数y=f（x）的图像关于点a（a，b）对称的充要条件是
f（x）+f（2a-x）=2b{f（a+x）+f（a-x）=2b}
例如：如果函数y =f（x）满足f（3+x）+f（4-x）=6，则该函数
的对称中心为（3.5，3）；如果函数y =f（x）满足f（-x）+f（x）
=0，则该函数的所有对称中心为（0，0）。
推论：函数y=f（x）的图像关于原点o对称的充要条件是f（-x）
+f（x）=0。 < br>定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f
（a+x）=f（a-x） 即f（x）=f（2a-x）。
推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）
=f（-x）。

定理3. ①若函数y=f（x）图像同时关于点a（a，c）和点b（b，
c ）（a≠b）中心对称，则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个
周期。
②若函数y =f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称，
则y=f（x）是周期函数，且2a-b是 其一个周期。
③若函数y=f（x）图像既关于点a（a，c）中心对称又关于直线
x=b轴 对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周
期。
我们发现奇函数、 偶函数分别是两个推论的特例。而在高考中我
们往往不是单纯地考对称性，而是结合函数的奇偶性、单调 性以及
周期性来作考察，后面在第三块中将做例题。
定理4. 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点a（a，b）
成中心对称。
定理5. ①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成
轴对称。
②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a轴对称。
③函数y=f（x）与x-a=f（a+y）的图像关于直线x-y=a成轴对
称。
推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成
轴对称。
上 述的这些结论需要老师花足够的时间与学生共同探讨，对相应
的结论给出结论，这样学生才能在高考中灵 活运用。

[ 参 考 文 献 ]
[1] 普通高中课程标准实验教科书.数学.江苏教育出版社.
[2] 中学数学月刊.苏州大学.江苏省数学学会.
[3] 5年高考3年模拟.数学.首都师范大学出版社.