江苏省高中新教材数学教学详细要求 苏教版

江苏省高中新教材数学教学详细要求
说 明
为使教师能准确把握《普通高 中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》），有效地开展教学
活动，实现《标准》提出的目标要求 ，科学地评价学生的数学学习水平，避免出现各种偏差，减轻
学生学习负担，确保高中数学课程改革顺利 进行，根据我省高中数学教学实际，特制定《江苏省普
通高中数学课程标准教学要求》（以下简称《要求 》）。
《要求》分模块（或专题）编写。每个模块（或专题）设有“课程目标”、“学习要求”、“教 学
建议”栏目。“课程目标”主要是对模块（或专题）的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的总要求；“学习要求”主要是对学习内容的具体要求；“教学建议”主要体现如何实现课
程目标、教学中的注意点、有关内容范围与水平的限制等方面的参考建议。
《要求》中使用了一些行为动词，以界定相关内容的教学与学习要求。
目标领域 水 平
了解识别 了解，识别
刻画，理解，归纳，抽象，比较，判定，会求，
会画，能，运用
掌握，证明，应用，灵活运用，解决问题
经历，观察，体验、操作，模仿，尝试
分析，发现，研究，探索，解决
感受，认识，体会
领悟、获得，形成，内化、发展
行为动词
知识与技能 理解独立操作
掌握应用迁移
经历模仿
过程与方法
发现探索
反应认同
领悟内化
情感、态度与
价值观
高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基 础上，进一步提高作为未来公
民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。
1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、
结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通

过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3．提高数学地 提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能
力，发展独立获取数学知识 的能力。
4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判
断。
5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6．具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思
维 习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主
义世界观 。

必 修 系 列
数学1
【课程目标】
本模块的内容包括：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数及幂函数）。
通 过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语
言进行交流的 能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性。
通过函数概念与基本初等函 数I的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学
模型；使学生感受运用函数概念建立模 型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，
初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中 的简单问题；培养学生的理性思维能力、辨证思维能
力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能 力、数学建模能力以及数学交流的能力。
【学习要求】
1．集合
（1）集合的含义与表示
了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
能选 择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语
言的意义和作用 。
（2）集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（不要求 证明集合的相等关系、包含
关系）。
了解全集与空集的含义。
（3）集合间的基本运算
理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集。
理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集。
会用Venn图表示集合的关系及运算。
2．函数概念与基本初等函数（Ⅰ）
（1）函数的概念和图象
理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则） ，会求一些简单函数的定
义域和值域；了解映射的概念。
理解函数的三种表示方法（图象法、 列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的

函数。
了解简单的分 段函数；能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，
会画函数的图象（不要求 根据函数值求自变量的范围）。
理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解 函数最大（小）值的概
念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义。
会运用函数图象理解和研究函数的性质。
（对复合函数的一般概念和性质不作要求）。
（2）指数函数
理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算。
理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。
了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题。
（3）对数函数 < br>理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用
对数 。
了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的
图象。
了解指数函数y=a
x
与对数函数y=log
a
x互为反函数（a > 0，a≠1）（不要求一般地讨论反函数
的定义，不要求求已知函数的反函数）。
（4）幂函数
1
1
了解幂函数的概念；结合函数y＝x
，
y＝x
2
，y＝x
3
，
y?,y?x
2

的图象，了解幂函数的图象
x
变化情况。
（5）函数与方程
了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系。
了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如
x
3
?ax?b? 0,a
x
?bx?c?0,lgx?bx?c?0
的方程的近似解。
（6）函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。

【教学建议】
1．关于集合的教学，应注意以下问题：
（1）集合 是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列
举丰富的实例，使学生 理解集合的含义。
（2）学习集合语言最好的方法是使用。在教学中要创设使学生运用集合语言进行表 达和交流
的情境和机会，使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，能进 行
三种语言之间的相互转换，并掌握集合语言。
（3）对集合的相等关系、包含关系不要求证 明，只要求能判断两个简单集合的相等关系、包
含关系。
（4）本章学习要求中：
“实例”指：实际生活的例子、已经学过的整数集、一元一次不等式的解集等方面的例子。
“简单集合”指：教科书中出现的同类型的集合。
“给定集合”指：全集、子集的元素均为整 数或字母（由列举法给出）；或全集为实数集，子集为
一元一次不等式的解集（由描述法给出）。
2．关于函数与基本的初等函数（Ⅰ）的教学，应注意以下问题：
（1）要从实际背景和定义 两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入应通过具体实
例，让学生体会非空数集之间的一种特 殊的对应关系（即函数）。函数概念需要多次接触，反复体会，
螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握 ，灵活应用。
（2）在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数 性质
时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：
y?ax?b,y?ax
2?bx?c,y?
cx?d
,y?ax?b,y?a
x
,y?loga
(mx?n),y?sinx,y?cosx
。
ax?b
求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：
y?ax?b,y?ax2
?bx?c,y?a
x
,y?sinx,y?cosx
。
（ 3）简单（情境）的分段函数指：在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函
数的分段函数 。例如：出租车收费、邮资、个人所得税等问题。

（4）教学中，要结合
y? x,y?x,y?x,y?
23
1
等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和
x
性质，并能判断一些简单函数的奇偶性（对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论）。
（5） 在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理数指数幂及
其运算性质，以及 实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，
可以让学生利用计算器（ 机）进行实际操作，感受“逼近”的过程。
（6）反函数的教学中，只要求通过比较同底的指数函数和 对数函数，说明指数函数y＝a
x
和对
数函数y＝log
a
x互为反函数（a > 0，a≠1）。不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知
函数的反函数。
（7）函 数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数
学模型，体验指数函 数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在解决实际问题中的作用。
1
1
（8 ）幂函数的教学中，只要求了解幂函数的概念，并结合函数y＝x，y＝x
2
，y＝x
3
，
y?,y?x
2

x
的图象，了解它们的单调性和奇偶性。
（9）函数的最值问题，这里仅限于会求一 次函数、二次函数、简单的分段函数，或易知单调
性的简单函数在某区间上的最大（小）值。
（10）方程实根分布问题，仅限于掌握：①利用一元二次方程根的判别式判别根的个数；②借
助图象了 解：若f(x)＝ax
2
+bx+c，且f(p)f(q)＜0（p＜q），则方程f(x)＝ 0必有一根x
0
∈( p，q)。
（11）用二分法求方程的近似解，关键是结合具 体例子感受过程与方法。本方法限于用计算器
求三类方程：
x?ax?b?0,a?bx?c? 0,lgx?bx?c?0
的近似解。
（12）应注意鼓励学生运用信息技术学习、探索和解 决问题。例如，利用计算器（机）画出指
数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究 函数的性质，求方程的近似解等。
（13）在本章教学中，应引导学生阅读有关资料，了解对数的发现 历史，了解函数概念的形成、
发展及应用。
3x

数学2
【课程目标】
本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步。
通过立体几 何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识
和探索几何图形及其性 质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语
言表述有关平行、垂直的性质 与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体
积的计算方法；培养和发展学生的空 间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以
及几何直观能力；使学生感受、体验从整体 到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到
细等认识事物的一般科学方法。
通过平 面解析几何初步的教学，使学生经历在平面直角坐标系中建立直线和圆的方程的过程，
学会运用代数方法 研究它们的几何性质及其相互位置关系；了解空间直角坐标系；体会数形结合的
思想，初步形成用代数方 法解决几何问题的能力；培养学生运动变化、相互联系、相互转化的辩证
唯物主义观点。
【学习要求】
1．立体几何初步
（1）空间几何体
直观了解柱、锥、台 、球及其简单组合体的结构特征；能运用这些结构特征描述现实生活中简
单物体的结构。
能画 出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的
三视图所表示的 立体模型；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的
模型，会用斜二测法画 出它们的直观图。
了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们 所表示的
立体模型之间的内在联系。
会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征 的基础上，直观图的尺寸、线条等不
作严格要求）。
（2）点、线、面之间的位置关系 理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解
如下可 以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

◆公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
了解 空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解
如下的4条关于 空间中线面平行、垂直的判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理（这4条定理的证明，这里不作要求）。
理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能用图形语言和符号语言表述这些性质定理，并能加以证明。
能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。
了解异面直线 所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念；了解点到平面的距
离、平行于平面的直线到 平面的距离、两个平行平面间的距离的概念（上述角与距离的计算不作要
求）。
（3）柱、锥、台、球的表面积和体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（ 不要求记忆公式），会求直棱柱、正棱
锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。
2．平面解析几何初步

（1）直线与方程
了解确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）。
理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌 握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范
围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根 据直线的倾斜角求出直线的斜率。
能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
掌握直线方程的几 种形式（点斜式、斜截式、两点式及一般式）的特点与适用范围；能根据问
题的具体条件选择恰当的形式 求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系。
了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐 标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组
的方法求两直线的交点坐标。
掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）。 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准
方程与 一般方程之间的关系，会进行互化。
能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能 根据圆的方程判断圆与圆的
位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）。
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）用代数方法处理几何问题的思想
体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合
的思想方法 在研究数学问题中的应用。
（4）空间直角坐标系
了解空间直角坐标系；会用空间直角坐标系刻画点的位置。
了解空间中两点间的距离公式，并会简单应用。
【教学建议】
1．关于立体几何初步的教学，应注意以下问题：
（1）立体几何初步的教学重点是帮助学生 逐步形成空间想像能力。教学中应通过丰富的实物
模型进行演示，有条件的可以使用计算机演示柱、锥、 台、球的生成过程，以帮助学生认识空间几
何体的结构特征，逐步形成空间观念。
（2）教学 中，要注意以常见的空间几何体为载体，进行识图与画图的训练，使学生了解三视

图与直 观图的画法，初步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。这里，常见的空间几何体指：
长方体、三棱 锥、四棱台、圆柱、球等。
（3）点、线、面的位置关系是立体几何初步中的重点内容，教学中应以长 方体模型中的点、
线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间 的位置关系；
通过对空间图形的观察、实验、操作和思辩，使学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判 定方法，
并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
（4）在教学中，要求对有关线面平行、 垂直关系的性质定理进行证明，使学生体会证明的过
程和方法；而线面平行、垂直关系的判定定理只要求 直观感知、操作确认，教学中不要提高要求。
教材中的例题、习题中的结论（包括三垂线定理）等不作为 推理的依据。
（5）关于空间中的“角”与“距离”，只要求了解异面直线所成的角、直线与平面所成 的角、
二面角及其平面角和点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的
概念。对于这些角与距离的度量问题，只要在长方体模型中进行说明即可，具体计算不作要求。
（6）应注意引导学生结合实际模型，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言，能做到准
确地使用 数学语言表述几何对象的位置关系。例如，教材中的公理、推论和定理，都是用自然语言
叙述的，教学中 ，要帮助学生学会用图形语言和符号语言来描述。
（7）教学中，要注意联系平面图形的知识，利用类 比、联想等方法，辨别平面图形和立体图
形的异同，理解两者的内在联系，并逐渐地让学生感悟到，将空 间问题转化为平面问题是处理立几
问题的重要思想。
2．关于平面解析几何初步的教学，应注意以下问题：
（1）教学中，应帮助学生经历如下的 过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何
要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题， 处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终
解决几何问题。通过上述过程，让学生感受用解析法研究 问题的一般程序，帮助学生不断地体会数
形结合思想。例如，求两条直线的交点，判断直线与圆、圆与圆 的位置关系等。
（2）直线的斜率与倾斜角是平面解析几何初步中的两个重要概念，要让学生正确地理 解这两
个概念，知道它们之间的联系与区别。由于学生尚未学习任意角的三角函数，教学时要尽可能地通
过计算器（机），让学生观察并体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律，以加深对这两个概念的认识与理解。

（3）在探求直线方程的过程中，要使学生了解直线与方程的对 应关系：直线上点的坐标都满
足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上。满足了这两点才可以说这个方 程是直线的方程，这条
直线是这个方程的直线。教学时让学生意识到这一点即可，而不必展开。
（4）直线方程的教学，要使学生认识到各种形式都有其适用条件与局限性，必须学会根据具
体条件灵 活地加以选择，并注意全面考虑问题。例如，运用点斜式时，要注意斜率不存在时的情形，
防止以偏概全 。
（5）根据方程研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，是平面解析几何初步的重要
内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想，不要复杂化，要防止追求变
形的 技巧和加大运算量来增加问题的难度。
（6）在空间直角坐标系的教学中，只要使学生学会运用空间直 角坐标系刻画点的位置、了解
空间中两点间的距离公式及其简单应用。值得强调的是，要将类比的思想贯 穿于教学过程的始终，
通过与平面直角坐标系的类比，使学生在掌握知识的同时，也拓展了思维空间。
（7）教学中，要注意体现数学的应用价值。使学生了解到利用平面解析几何的知识和方法能
解 决日常生活与生产实际中的一些具体问题。例如，市场经济中的平衡价格，桥梁、隧道设计中的
计算，光 线的入射和反射等。

数学3
【课程目标】
本模块的内容包括：算法初步、统计、概率。
通过算法初步的教学，使学生在义务教育阶段初 步感受算法思想的基础上，体验流程图在解决
问题中的作用，了解设计流程图表达解决问题的过程；体会 算法的基本思想以及算法的重要性和有
效性，初步形成算法思维；发展学生有条理地思考与表达的能力， 提高逻辑思维能力，培养理性精
神和实践能力；通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会我国古代数学 对世界数学发展的贡献。
通过统计的教学，使学生了解抽样的操作步骤、统计分析的基本流程、变量的 相关性分析、线
性回归的基本方法；使学生了解用样本估计总体及其特征的思想，较为系统地经历数据收 集与处理
的全过程，了解统计思维与确定性思维的差异；体验统计的作用和理解统计的基本思想，感受实 际
生活对统计知识的需要，体会统计知识与现实世界的联系。
通过概率的教学，使学生在具体 情景中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，了解概
率的某些基本性质和简单的概率模型，会计 算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，
能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件 发生的概率；培养学生的理性思维能力和辩证思
维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观。
【学习要求】
1．算法初步
（1）算法的含义、流程图
了解算法的含义，能用自然语言描述算法。
理解设计流程图表达解决问题的过程，了解算法和 程序语言的区别；理解流程图的三种基本逻
辑结构，会用流程图表示算法。
（2）基本算法语句
理解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句 、条件语句、循环语
句。
能用自然语言、流程图和伪代码表述算法，会用“While循环” 和“For循环”语句或GoTo语
句实施循环（注意：优先使用While和For语句，尽量少用G oTo语句）。
2．统计
（1）抽样方法
通过实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性。

了解简单随机抽样的方法，会用抽签法与随机数表法从总体中抽取样本。
了解系统抽样方法，会用系统抽样方法从总体中抽取样本。
了解分层抽样方法，会用分层抽样方法从总体中抽取样本。
了解各种抽样方法的适用范围，能 区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，会选择适当的方
法进行抽样。
了解可以通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）总体分布的估计
通过实例了解分布的意义和作用。
会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图，体会它们各自的特点；会用样
本的频率分布估计总体分布。
（3）总体特征数的估计 < br>会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、
标准 差）的方法。
理解样本数据平均数的意义和作用；会计算样本数据平均数；能用样本数据平均数估计总 体平
均数。
理解样本数据标准差的意义和作用；会计算样本标准差；能用样本标准差估计总体标准差。
初 步体会样本频率分布和数字特征的随机性；了解样本信息与总体信息存在一定的差异；理解
随机抽样的基 本方法和样本估计总体的思想，能解决一些简单的实际问题；了解统计思维与确定性
思维的差异；会对数 据处理过程进行初步评价。
（4）变量的相关性
能通过收集现实问题中两个有关联变量的数 据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相
关关系。
了解线性回归的方法；了解用最小 二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给
出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 （不要求记忆系数公式）。
3．概率
（1）随机事件及其概率
了解随机事件的统 计规律性和随机事件概率的意义；了解概率的统计定义以及频率与概率的区
别。
（2）古典概型

理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计 算一些随机事件所含的基本事件
数及事件发生的概率。
（3）几何概型
了解随机数 的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点
和意义；了解测度的简 单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概
型的概率计算问题。
（4）互斥事件及其发生的概率
了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互 斥事件、是否是对立事件；了解
两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用 相关公式进行简单概率计
算。
【教学建议】
1．关于算法初步的教学，应注意以下问题：
（1）教学中，应使学生了解算法的基本思想： 探求解决问题的一般性方法，并将解决问题的
步骤用具体化、程序化的语言加以表述；应使学生了解算法 的基本特点：有限性（一个算法在执行
有限个步骤后必须结束）和确定性（算法中的每个步骤必须是明确 定义的、可行的）。算法的其他特
性（如有效性、可行性等）这里不必介绍，在后续内容中逐步领会即可 。
（2）教学中，应使学生明白：为了直观地表达算法，往往需要将解决问题的过程用流程图来
表示；为了便于在计算机上实现算法，还需要将自然语言或流程图转化为伪代码或程序语言。教学
中能 用“Read”和“Print”分别描述数据的输入和输出，会用“If．．．Then．．．Else”描述 选择结构，
用“While．．．End While”或“For．．．End For”描述循环结 构。教学重点应放在问题的算法分析上，
体现算法的程序化思想，对编程上机不作要求。
（3 ）教学中，应使学生理解和区分两种循环结构，了解当型循环和直到型循环是可以互相转
化的。会选择其 中的一种循环结构设计算法步骤，并能画出其流程图。对同一个问题，如果分别用
当型循环和直到型循环 来处理的话，那么两者判断的条件恰好相反。
（4）算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具体问 题的过程中学习一些常用的方法。能
用三种基本结构设计简单的算法流程图。
（5）“算法案 例”中涉及的知识较多，教师在教学之前要适当补充相关的知识，如：整除、同
余、最大公约数等概念的 含义及符号表述。可根据学校与学生具体情况，选择部分内容教学或指导
学生阅读。
（6）算 法的思想方法应渗透到高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法思

想解 决相关问题。
2．关于统计的教学，应注意以下问题：
（1）要让学生通过具体操作，或对 已有经验的回顾，感受抽样方法的合理性：既保证抽样的
随机性，又保证样本的代表性。要引导学生体会 统计的作用和基本思想，使学生体会统计思维与确
定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断 是有可能犯错误的。
（2）应引导学生根据实际问题的需求自主探索，通过比较选择不同的方法合理地 选取样本（这
里的方法指：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样）。要使学生了解三种抽样方法的差别和 不同的适
用范围，会从样本数据中提取需要的数字特征。教师应该讲清楚这些数字特征的作用和意义，不 应
把统计处理成数字运算和画图表，不必引导学生去探究这些概念的确切定义，不应追求严格的形式化定义。
（3）教学中应注意知识体系的前后贯通。抽样的操作步骤、统计分析的基本流程都体现 了算
法思想；线性回归方程与函数一章中的数据拟合相呼应。
（4）统计教学必须通过案例来 进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为
系统的数据处理全过程，在此过程中学习一 些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际
问题、理解统计的思想，而不是死记硬背概念和公 式。
3．关于概率的教学，应注意以下问题：
（1）概率教学的核心问题是让学生了解随机 现象与概率的意义。教师应在学生已有知识的基
础上，通过日常生活中的大量实例，深化对随机现象的认 识。鼓励学生动手试验，正确理解随机事
件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中会 遇到的一些错误认识（如“中奖率
为
1
的彩票，买1 000张一定中奖” ）。 < br>1000
（2）教学中应该让学生了解随机试验的三个特征：在不变的条件下是可能重复实现的； 各次
试验的结果不一定相同，每次试验前不能预先知道是哪一个结果会发生；所有可能的试验结果都是< br>预先明确的。
（3）应通过实例使学生理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结 果出现的等
可能性，让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。由于没有计数原理的支撑，在利用等 可能
事件的概率公式计算概率时，要避免用排列组合的知识与方法进行计算的题目，把计数的方法局限< br>于枚举法。教学中不要把重点放在“如何计数”上。

（4）从古典概型到几何概 型，是从有限到无限的延伸，等可能的情况不仅适用于有限个事件
的情形，也能拓展到无限个事件的情形 。几何概型的教学应抓住其直观性较强的特点，通过实例说
明几何概型的特征是实验结果的无限性和每一 个实验结果出现的等可能性。概率、古典概型、几何
概型的定义都是描述性的，教师不必过分地去揣摩、 探究定义的用语，而应理解其实质。目前只需
要知道测度的简单含义，即：线的测度就是其长度，平面图 形的测度就是其面积，立体图形的测度
就是其体积。
（5）教材中出现两个事件的“和事件” 的记号“A+B”，但没有明确“和事件”的意义。因此，
教学中需要控制难度，仅仅限于在“两个互斥 事件有一个发生”的问题中用A+B来表示，不考虑A、B
不互斥时的A+B的概率计算问题。
（6）教学中，可以结合集合知识，使学生进一步认识互斥事件与对立事件：表示互斥事件与
对立事件 的集合的交集都是空集，但是两个对立事件集合的并集是全集，而两个互斥事件集合的并
集不一定是全集 。
（7）教师可利用信息技术辅助教学，鼓励学生尽可能运用计算器（机）来处理数据，进行模
拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。例如，可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的实
验等 。
（8）教学中，应使学生感受数学与现实世界的重要联系，崇尚数学的理性精神，逐步形成辨
证的思维品质；养成准确、清晰、有条理地表述问题的习惯，提高学生的数学表达和交流的能力；
进一 步拓宽学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。
（9）指导学生阅读有关资料， 了解人类认识随机现象的过程。结合概率的教学，进行偶然性
和必然性对立统一观点的教育。

数学4
【课程目标】
本模块的内容包括：三角函数、平面向量、三角恒等变换。
通过三角函数的教学，使学生逐步 理解三角函数的概念及基本性质；认识三角函数与实际生活
的紧密联系；体会三角函数在解决具有周期变 化规律问题中的作用。
通过平面向量的教学，使学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算 的意义；能用
向量语言和方法表述并解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力 。
通过三角恒等变换的教学，使学生能运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发
导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换；发展学生的推理能力和运
算能 力。
【学习要求】
1．三角函数
（1）任意角、弧度
理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义；了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化。
（2）任意角的三角函数
理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线 段的概念，会利用单位圆
中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切。
理解同角三角函数 的基本关系式：sin
2
α＋cos
2
α＝1，
三角函数式的化简、 求值及恒等式证明。
理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2kπ＋α（k∈Z），－α，π±α，sin
?
＝ tan α，并会运用它们进行简单的
cos
?
π
±α），能运用这些诱导公
2
式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们 进行简单的三角函数式的化简、求值及恒
等式证明。
（3）三角函数的图象和性质
了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）的周期为
T?
2?
?
。
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的 图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，
正切函数在（－
ππ
， ）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。
22
了解三角函数 y＝ Asin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出
y＝Asin（ω x+φ）的简图，能由正弦曲线 y＝sinx通过平移、伸缩变换得到y＝Asin（ωx+φ）的图象。 < /p>

会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 。
2．平面向量
（1）向量的概念及表示
了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义。
（2）向量的线性运算
掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。
了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）向量的坐标表示
了解平面向量的基本定理及其意义。
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平 面向量的加、减与数乘运算；理解用
坐标表示的平面向量共线的条件（对线段定比分点坐标公式不作要求 ）。
（4）向量的数量积
理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
掌握数量积 的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余
弦，会用数量积判断两 个非零向量是否垂直。
（5）向量的应用
了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具。
3．三角恒等变换
（1）两角和与差的三角函数
了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程。
能从两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体
会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函 数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化
简、求值及恒等式证明。
（2）二倍角的三角函数
能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思 想的应用，掌握二倍角公
式（正弦、余弦、正切），能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒 等式证明。
（3）几个三角恒等式
能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换， 推导出积化和差、和差化积公式及半
角公式（不要求记忆和应用）。

【教学建议】
1．关于三角函数的教学，应注意以下问题：
（1） 要根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通
过单摆、弹簧振子 、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期
现象的广泛存在，认识周 期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型。
（2）借助单位圆，帮助学生直观地认 识任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公
式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和 基本性质。引导学生自主地探索三角函数的有关
性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。
（3）弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位，可在
后续课程的 学习中逐步理解这一概念，在此不作深究。
（4）能借助计算器（机）画出y=Asin（ωx+φ） 的图象，会用五点法画出y=Asin（ωx+φ）的图
象。根据y=sin x的性质讨论y=Asi n（ωx+φ）的性质要求不宜太高，掌握教材中的例题、习题即可。
能由函数y=Asin（ωx+φ ）的图象观察并计算得参数A，ω的值，对确定φ的值不作要求
。

2．关于平面向量的教学，应注意以下问题：
（1）向量概念的教学应从物理背景和几何背景 入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，
几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于 学生理解向量概念和运用向量解决实际
问题都是十分重要的。
（2）引导学生运用向量解决一 些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运
动所做的功，利用向量解决平面内两条直线 平行与垂直的位置关系等问题。对于用向量解决较为复
杂的平面几何问题不作要求。
（3）向 量的非正交分解、向量投影的概念只要求了解，不必展开。线段定比分点坐标公式及
应用不作要求。
3．三角恒等变换的教学，应注意以下问题：
（1）教学中，注意展示数学发现的过程，可以 引导学生利用平面向量的数量积推导出两角差
的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、 正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切
公式。
（2）鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生 推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作
为三角恒等变换的基本训练。

（ 3）能利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角的
三角函数公式 ，进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。其中，简单的三角函数式的化
简、求值及恒等式证 明指三角函数变形的次数一般不超过三次，整个解题过程中三角函数公式的使
用一般不超过5个。
4．其他建议
在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器（机）探索和解决问题。例如，求三 角函数值，解
决测量问题，分析y＝Asin（ωx＋φ）参数变化对函数的影响等。在三角函数、平面 向量和三角恒等
变换相应的内容中，可以插入数学探究或数学建模活动。

数学5
【课程目标】
本模块的内容包括：解三角形、数列、不等式。
通过解三角形的教学，使学生发现并掌握三角 形中的边长与角度之间的数量关系，并能运用它
们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；使学生认 识数学与现实世界和实际生活的联系，培
养和发展学生的数学应用意识。
通过数列的教学，使 学生认识等差数列和等比数列这两种数列模型，掌握它们的一些基本数量
关系，感受这两种数列模型的广 泛应用，并能利用它们解决一些实际问题。通过揭示数列与函数的
关系，加深对函数的认识。
通过不等式的教学，使学生感受到在现实世界中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对
于刻画不等 关系的意义和价值；掌握解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题；
使学生初步体会数 学在解决优化问题中的作用，认识数学的应用价值，从而培养学生解决简单实际
问题的能力，发展学生的 数学应用意识。
【学习要求】
1．解三角形
（1）正弦定理
掌握正弦定理，能用正弦定理解三角形。
（2）余弦定理
掌握余弦定理，能用余弦定理解三角形。
（3）正弦定理、余弦定理的应用
能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
2．数列
（1）数列
了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公 式），了解数列是一种特殊的函
数。
理解数列的通项公式的意义。
（2）等差数列
理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单
问 题。

能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 了解等差数
列与一次函数的关系。
（3）等比数列
理解等比数列的概念；掌握等比 数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单
问题。
能在具体的问题情境中， 发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数
列与指数函数的关系。
3．不等式
（1）不等关系
了解现实世界和日常生活中的一些不等关系。
（2）一元二次不等式
能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函 数、方程的联系；掌握
一元二次不等式的解法。
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表
示 二元一次不等式组。
能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（一般的最优 整数解问题
不作要求）。
a?b
（a≥0，b≥0）
2
a?b
掌握基本不等式
ab
≤（a≥0，b≥0）；能用基本不 等式证明简单不等式（指只用一次
2
（4）基本不等式
ab
≤
基本 不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等
式即可解 决的问题）。
【教学建议】
1．关于解三角形的教学，应注意以下问题：
（1） 正弦定理和余弦定理主要用于处理三角形中的一些度量问题（长度、角度、面积等）。教
学中，要重视正 弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量
问题的一种方法，不在 恒等变形上进行过于繁琐的训练。

（2）教学形式可以灵活多样。例如，可以设计一些 研究性、开放性题材，让学生自行探索解
决，也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的问题去探 究，写出研究或实验报告。
2．关于数列的教学，应注意以下问题：
（1）教学中，应通过 日常生活中的实例，引入数列的概念和几种表示方法。通过列表、图象、
通项公式表示数列，使学生了解 数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的基本数学模型。
（2）理解数列的通项公式的意义有 以下三层意思：通项公式是数列的项与序号间的对应关系；
会由通项公式写出数列的前几项；会根据简单 数列的前几项写出数列的一个通项公式。
（3）教学中，要引导学生自主探索等差数列、等比数列的通 项公式与前n项和的公式。引导
学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难 度和复杂程度，避免繁琐
的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。
（4）等差 数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的
等差关系或等比关系。 这样做，既突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。通过具体实例
（如教育贷款、购房贷款、分 期付款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模
型的作用，培养学生从实际问题中 抽象出数列模型、并运用数列模型解决问题的能力。关于教育储
蓄问题，可引导学生开展研究性学习活动 。
3．关于不等式的教学，应注意以下问题：
（1）不等式是作为描述、刻画现实世界中不 等关系的一种数学模型介绍给学生的，教学中要
淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其 应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯
理论探讨。
（2）求解一元二次不等式，首先可求出 相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式
的解；也可以运用代数的方法求解。教学中，应注意 融入算法的思想，让学生设计求解一元二次不
等式的流程图，可以更加清晰地认识不等式求解过程。 < br>（3）不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具。刻画区域是
解决 线性规划问题的一个基本步骤，教学中应注意从实际背景中抽象出二元一次不等式组。
（4）线性规划 是优化模型之一。教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一
些简单的线性规划问题，不 必引入过多名词。简单的线性规划问题指约束条件不超过四个（x≥0也
看作一个约束条件）的线性目标 函数的最大（小）值问题。实际问题中经常会涉及最优整数解问题，
教学中可向学生作一些介绍，但在训 练和考查中不作要求。
（5）引导学生阅读有关资料，了解解三角形、数列、不等式等内容的历史发展 与有关方面的

应用，提高学生的学习兴趣和数学文化修养。

选 修 系 列 1
数学1—1
【课程目标】
本模块的内容包括：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
通过常用逻辑用语的教 学，使学生学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容；体会逻辑用
语在表述和论证中的作用，形成自 觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意
识，发展学生利用数学语言准确贴切地描 述问题、规范简洁地阐述论证过程的能力，从而能够更好
地进行交流。
通过圆锥曲线与方程的 教学，使学生了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几
何性质；感受圆锥曲线在刻画现实 世界和解决实际问题中的作用，进一步体会解析几何的基本思想；
了解平面解析几何产生和发展的过程及 其对数学发展和社会发展的推动作用；培养学生的运动变化
和相互联系的辩证唯物主义观点。
通过导数及其应用的教学，使学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解
导数的含义 ，体会导数的思想及其内涵；掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质及其在实际中
的作用；感受导数 在解决数学问题和实际问题中的作用以及变量数学的思想方法，提高学生运用导
数的知识和函数的思想分 析、解决数学问题与实际问题的能力；体会微积分的产生对人类文化发展
的意义和价值，培养学生的创新 意识和创新精神。
【学习要求】
1．常见逻辑用语
（1）命题及其关系
了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系。
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；会判断必要条件、充分条件与充要条件。
（2）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；能用“或”“且”“非 ”表述相关的数学内容（对真
值表不作要求）。
（3）全称量词与存在量词
理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容。
理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．圆锥曲线与方程

（1）圆锥曲线
了解圆锥曲线的实际背景；经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程。
掌握椭圆的定义和几何图形；了解双曲线、抛物线的定义和几何图形。
（2）椭圆
掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方
程和几何性 质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。
（3）双曲线
了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质。
（4）抛物线
了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质。
（5）圆锥曲线的共同性质
了解圆锥曲线的共同性质；了解圆锥曲线的简单应用。
3．导数及其应用
（1）导数的概念
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义； 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其
内涵。
通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数 y=c，y=x，y=x
2
，y=
1
3
'
的导数，知道
?
x
?
=3x
2
。
x
了解基本初等函 数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导
数的四则运算法则求简单函 数的导数。
（3）导数在研究函数中的应用
了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函
数的单调区间。
了解函数的极大（小）值、最大 （小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大
（小）值，以及在指定区间上不超过三次的 多项式函数的最大（小）值。
（4）导数在实际生活中的应用
能用导数方法求解有关利润最 大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问
题中的作用。

【教学建议】
1．关于常用逻辑用语的教学，应注意以下问题：
（ 1）这里所说的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否
命题”只要求 作一般性的了解，不研究含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题与逆否
命题。重点 关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（2）应通过具体实例，使学生了 解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，学会用它们正确地
表述相关的数学内容，要避免抽象的讨论。 教学中，对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求，不
要出现“简单命题”、“复合命题”等名词。 < br>（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。在教学中，应通过对具
体实 例的探究，加强学生对于含有一个量词的命题的否定的理解，。
（4）注意引导学生在使用常用逻辑用 语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻
辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准 确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽
象解释，不要求使用真值表。
2．关于圆锥曲线的教学，应注意以下问题：
（1）突出解析几何的基本思想方法：通过建立 平面直角坐标系，把“曲线”转化为“方程”；
通过“方程”的研究，又获得“曲线”的性质。
（2）圆锥曲线的概念教学中，应使学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型
的过程， 通过直观获得它们的定义，不必对探索、推理过程作过多的研究。
椭圆、双曲线、抛物线的教学，应将 重点放在如何建立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的
几何性质上。例如，对于求椭圆、双曲线和抛物 线的标准方程的一类问题，只要通过一些简单的例
题，让学生学会正确地选择方程的类型，并能运用待定 系数法等方法求出方程中有关参数的值，从
而规范地写出方程就可以了，要避免繁杂的计算，防止追求变 形的技巧和提高运算量来增加问题的
难度。
（3）为了培养学生的学习兴趣与探究精神，在教 学过程中，要引导学生进行类比猜想。教学
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质时，可以指导学生根据 方程形式和图形特征等进行类比猜想，
培养学生的直觉思维与合情推理的能力。例如在研究了椭圆之后， 可以根据双曲线与椭圆的定义之

间的关系，引导学生对双曲线的标准方程进行类比猜想； 在研究了抛物线之后，再引导学生由抛物
线的定义进行类比猜想：椭圆和双曲线是否也可以用这种形式进 行定义？进而通过对特殊情形的研
究引发从特殊到一般的归纳猜想。
椭圆、双曲线和抛物线都 是圆锥曲线，教学中要注意探索和研究它们的共同特征。例如，这三
种圆锥曲线的标准方程（二次）、定 义（平面截圆锥面所得）、统一定义、性质（焦点、准线、对称
性、离心率）等有相似之处，研究方法也 基本相同。从而帮助学生了解它们之间的内在联系。
（4）圆锥曲线在现实世界、社会生活中有着广泛 的应用，教学过程中应通过丰富的实例（例
如，行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等），使学 生了解圆锥曲线的背景与应用，感受圆
锥曲线的应用价值，增强数学应用意识，提高数学建模能力。 < br>（5）教学中，要注意充分运用信息技术进行数学探究和数学发现。例如，平面截圆锥面、圆
锥曲 线性质（范围、对称性、离心率、渐近线等）变化过程可用计算机展示。
3．关于导数及其应用的教学，应注意以下问题：
（1）导数概念是微积分的核心概念之一， 它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。教学中，
可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加 速度等反映导数应用的实例，引导学生经历
由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数 。通过感受导数在研究函数和解决实
际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助 学生直观理解导数的背景、思
想和作用。
（2）在导数的概念建立之后，要认真引导学生运用 定义推导几个常见初等函数的导数公式，
要注意形式化训练中的规范要求，从而加深对导数概念的认识和 理解，并从中领悟求导数这一算法
的基本思想。这里的常见初等函数指：
y?c
，y?x
，
y?x
，
y?
2
1
。
x< br>（3）教学中，要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。教学
中要 注意严格控制难度，避免过量的形式化的运算练习。
（4）教师应引导学生在解决具体问题的过程中， 结合实例和函数的图象，借助几何直观，将
研究函数的导数方法与初等方法作比较，让学生体会导数方法 在研究函数性质中的一般性和有效性。
（5）重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导 数的工具作用。要注意运用学
生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意 识，促进学生全面认识
数学的科学价值、应用价值。
（6）引导学生阅读有关资料，了解微积 分创立的时代背景和有关人物；让学生体会微积分的
建立在人类文化发展中的意义和价值。

数学1-2
【课程目标】
本模块的内容包括：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。
通过统计案例 的教学，使学生巩固必修课程的统计基础知识，了解解决特殊问题的统计过程及
一些常用的统计方法；能 够使用常用的统计方法解决一些特殊的统计问题；进一步体会运用统计方
法解决实际问题的基本思想，认 识统计方法在决策中的作用。
通过推理与证明的教学，使学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情 推理、演绎推理以及
二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接 证明的方法（如
分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中 的作用，养
成言之有理、论证有据的习惯。
通过数系的扩充与复数的引入的教学，使学生了解 数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学
习复数的一些基本知识；体会人类理性思维在数系扩充中的作 用。
通过框图的教学，使学生学会用“流程图”、“结构图”等刻画、解决问题，体会框图是表示一< br>个系统各部分和各环节之间关系的图示；体验用框图表示解决问题过程的优越性。发展学生的抽象
概括能力、逻辑思维能力、表达和交流能力。
【学习要求】
1．统计案例
了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
了解线性回归的基本思想、方法及初步应用（对用配方法导出回归系数公式不作要求）。
2．推理与证明
（1）合情推理与演绎推理
能用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。
掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
了解合情推理和演绎推理的联系和区别。
（2）直接证明与间接证明
了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点。
3．数系的扩充与复数的引入
（1）数系的扩充
了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。

（2）复数的四则运算
理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。
（3）复数的几何意义
了解复数的几何意义；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
4．框图
（1）流程图
了解程序框图。
了解工序流程图（即统筹图）。
能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用。
（2）结构图
了解结构图；能用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息；了解结构图在揭示事物
联系中的 作用。
【教学建议】
1．关于统计案例的教学，应注意以下问题：
（1）在统计 案例的教学中，应鼓励学生经历较为系统的数据处理的全过程，培养他们对数据
的直观感觉，认识统计方 法的特点（如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等），体会统计方法
应用的广泛性。应尽量给学生 提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一些案例，
引导学生亲自实践。统计案例的教学 重点是使学生感受统计分析的思想，了解统计学对社会生活和
科学研究的重要性。只要求学生了解两种统 计方法（独立性检验和回归分析）的基本思想及其初步
应用，对于其理论依据不作要求，避免学生单纯记 忆和机械套用公式进行计算。
（2）在2×2列联表独立性检验的教学中，教师应指导学生关心如何选 用一个量，用它的大小
来说明独立性是否成立，从直观上关注其方法的合理性，至于最后选取的量及其大 小的界定超出了
高中的范围，可以只告诉其结果，使之能够操作即可。
（3）线性回归分析是 在《数学3》（必修）的基础上，进一步认识线性回归的方法及其可靠性。
教学中要引导学生通过实例， 从感性到理性逐层深入地探求对线性相关程度进行检验的统计量（相
关系数），从而建立线性回归分析的 基本算法步骤。对为什么相关系数r可以估计相关的程度只要求
从直观上加以感受，不必介绍理论依据。
（4）教学中，应鼓励学生使用计算器（机）等信息技术手段来处理数据，有条件的学校还可
运 用一些常见的统计软件解决实际问题。可以安排以抽样方法为主要内容的实习作业，培养学生解

< br>决实际问题的能力。
2．关于推理与证明的教学，应注意以下问题：
（1）教学中应 通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理
确认所得结论的正确性，或 者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理
与演绎推理，而不追求对概念的抽 象表述。
（2）这部分中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实
例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。 （3）教材中安排一些合情推理欣赏的案例，是供学生阅读欣赏使用的，不宜过多让学生进行
这方面 的训练。
（4）引导学生阅读有关资料，了解公理化思想和计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3．关于数系扩充与复数的教学，应注意以下问题：
在复数概念与运算的教学中，应注意避免 繁琐的计算与技巧的训练。对于感兴趣的学生，可以
安排一些引申的内容，如求x
3
＝ 1的根、介绍代数学基本定理等，但不作普遍要求。
4．关于框图的教学，应注意以下问题：
框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与
步骤、实 际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解
流程图和结构图 的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。

选 修 系 列 2
数学2—1
【课程目标】
本模块的内容包括：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。
通过常用逻 辑用语的教学，使学生学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容；体会逻辑用
语在表述和论证中的作 用，形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意
识，发展学生利用数学语言准 确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证过程的能力，从而能够更好
地进行交流。
通过圆锥曲 线与方程的教学，使学生了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几
何性质，了解曲线与方 程的对应关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（例如
直线与圆锥曲线的位置关系） 和实际问题；感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，
进一步体会解析几何的基本思想； 了解平面解析几何产生和发展的过程及其对数学发展和社会发展
的推动作用；培养学生的运动变化和相互 联系的辩证唯物主义观点。
通过空间向量与立体几何的教学，使学生学会运用空间向量处理立体几何中 有关直线、平面位
置关系与度量的问题；体会向量方法在研究几何图形中的作用，培养和发展学生的推理 论证能力、
逻辑思维能力、运用向量语言进行表达和交流的能力、空间想像能力和几何直观能力；让学生 在经
历向量及其运算由平面向空间推广和运用向量方法解决空间几何问题的过程中，感悟运算、推理在< br>探索和发现中的作用，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，提高数学素养。
【学习要求】
1．常见逻辑用语
（1）命题及其关系
了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系。
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；会判断必要条件、充分条件与充要条件。
（2）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；能用“或”“且”“非 ”表述相关的数学内容（对真
值表不作要求）。
（3）全称量词与存在量词
理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容。
理解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2．圆锥曲线与方程
（1）圆锥曲线
了解圆锥曲线的实际背景；经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程。
掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形；了解双曲线的定义和几何图形。
（2）椭圆
掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方
程和几何性 质处理一些简单的实际问题。
（3）双曲线
了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程 ；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题；
了解双曲线的简单几何性质。
（4）抛物线
掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准
方 程和几何性质处理一些简单的实际问题。
（5）圆锥曲线的统一定义
了解圆锥曲线的统一定义；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。
（6）曲线与方程
了解曲线与方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲 线的方程；掌握求
直线与圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合的思想方法。
3．空间中的向量与立体几何
（1）空间向量及其运算
了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
了解空 间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间
向量的基本定理及 其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
理解空间向量的夹角的概念； 掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的
数量积的几何意义；掌握空间向量的数量 积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。
能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。
能用向量方法证明有关线、面位置关 系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一

些简单的空间线面的平行和垂直 关系。
能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作< br>用。
【教学建议】
1．关于常用逻辑用语的教学，应注意以下问题：
（1 ）这里所说的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否
命题”只要求作 一般性了解，不研究含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题与逆否命
题。重点关注 四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（2）应通过具体的实例，使学生了解 逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，学会用它们正确
地表述相关的数学内容，要避免抽象的讨论。教 学中，对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求，
不要出现“简单命题”、“复合命题”等名词。 （3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义，在教学中，应通过对具
体实例 的探究，加强学生对含有一个量词的命题的否定的理解。
（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过 程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻
辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、 简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽
象解释，对真值表不作要求。
2．关于圆锥曲线的教学，应注意以下问题：
（1）突出解析几何的基本思想方法：通过建立 平面直角坐标系，把“曲线”转化为“方程”；
通过“方程”的研究，又获得“曲线”的性质。
（2）在圆锥曲线的概念教学中，应使学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模
型的过程 ，通过直观获得它们的定义，不必对探索、推理过程作过多的研究。
椭圆、双曲线、抛物线的教学，应 将重点放在如何建立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的
几何性质上。例如，对于求椭圆、双曲线和抛 物线的标准方程的一类问题，只要通过一些简单的例
题让学生学会正确地选择方程的类型，并能运用待定 系数法等方法求出方程中有关参数的值，从而
规范地写出方程就可以了，要避免繁杂的计算，防止追求变 形的技巧和提高运算量来增加问题的难
度。

（3）为了培养学生的学习兴趣与 探究精神，在教学过程中，要引导学生进行类比猜想。教学
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质时，可 以指导学生根据方程形式和图形特征等进行类比猜想，
培养学生的直觉思维与合情推理的能力。例如在研 究了椭圆之后，可以根据双曲线与椭圆的定义之
间的关系，引导学生对双曲线的标准方程进行类比猜想； 在研究了抛物线之后，再引导学生由抛物
线的定义进行类比猜想：椭圆和双曲线是否也可以用这种形式进 行定义？进而通过对特殊情形的研
究引发从特殊到一般的归纳猜想。
椭圆、双曲线和抛物线都 是圆锥曲线，教学中要注意探索和研究它们的共同特征。例如，这三
种圆锥曲线的标准方程（二次）、定 义（平面截圆锥面所得）、统一定义、性质（焦点、准线、对称
性、离心率）等有相似之处，研究方法也 基本相同，从而帮助学生了解它们之间的内在联系。
（4）圆锥曲线在现实世界、社会生活中有着广泛 的应用，教学过程中应通过丰富的实例（例
如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等），使学生 了解圆锥曲线的背景与应用，感受圆锥
曲线的应用价值，增强数学应用意识，提高数学建模能力。 （5）曲线与方程的教学应以已学过的曲线（直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线）为主，使学
生体会 曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导他
们了解圆锥曲 线的离心率与统一方程的有关知识。
（6）教学中要注意充分运用信息技术进行数学探究和数学发现。 例如，平面截圆锥面、圆锥
曲线性质（范围、对称性、离心率、渐近线等）的变化过程可用计算机来展示 。
3．关于空间中的向量与立体几何的教学，应注意以下问题：
（1）在空间向量及其运算 的教学中，要注意引导学生学会运用类比、归纳等方法，经历向量
及其运算由平面向空间推广的过程，体 验数学在结构上的和谐性，弄清楚空间向量与平面向量的区
别与联系。
（2）空间向量的线性 运算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的充要条件
等，与平面向量是基本一致的。教 学中，应引导学生类比猜想、自主探索，得出相应的性质和法则，
使学生学会学习。
（3）利 用空间向量解决立体几何问题主要包括：证明一些定理（如空间位置关系的一些判定
定理）和度量计算。 教学中，应注意让学生体会向量的思想方法，不要过于追求解题技巧性。关于
三垂线定理，只要求会用向 量法证明该定理，而不要求将定理作为推理的依据。关于度量计算，只
要求用向量法解决线线、线面、面 面的夹角的计算，而不要求学生去解决有关距离的计算等问题。

数学2-2

【课程目标】

本模块的内容包括：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。
通过导数及其应 用的教学，使学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解
导数的概念，体会导数的思 想及其内涵；掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用；初
步了解定积分的概念，为以后进一 步学习微积分打下基础。使学生感受导数在解决数学问题和实际
问题中的作用以及变量数学的思想方法， 提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问
题与实际问题的能力；体会微积分的产生对人类 文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创
新精神。
通过推理与证明的教学，使学生通 过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及
二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点 ，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如
分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法 （如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活
中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
通过数系的扩充与复数的引入的教学，使学生了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学
习复数的 一些基本知识；体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
【学习要求】
1．导数及其应用
（1）导数的概念
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c，y=x，y=x2
，y=x
3
，
y?
1

,
y=< br>x
的导数。
x
了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用 导数公式表中的导数公式和
导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b））的导数。
（3）导数在研究函数中的应用
了解函数的单调性与导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函
数的单调区间。
了解函数的极大（ 小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大
（小）值，以及在指定区间上 不超过三次的多项式函数的最大（小）值。

（4）导数在实际生活中的应用
能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；体会导数在解决实际问
题中的作用 。
（5）定积分
了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分。
直观了解微积分基本定理的含义。
2．推理与证明
（1）合情推理与演绎推理
能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用。
掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
了解合情推理和演绎推理的联系和区别。
（2）直接证明与间接证明
了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点。
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3．数系的扩充与复数的引入
（1）数系的扩充
了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。
（2）复数的四则运算
理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。
（3）复数的几何意义
了解复数几何意义；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
【教学建议】
1．关于导数及其应用的教学，应注意以下问题：
（1）导数概念是 微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。教学中，
可以通过研究增长率、膨胀率 、效率、密度、速度、加速度等反映导数应用的实例，引导学生经历
由平均变化率到瞬时变化率的过程， 知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实
际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵 。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思
想和作用。

（2）在导 数的概念建立之后，要认真引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式，
要注意形式化训练中的 规范要求，从而加深对导数概念的认识和理解，并从中领悟求导数这一算法
2
的基本思想。这里 的常见初等函数指：
y?c
，
y?x
，
y?x
，
y ?x
，
y?
3
1
，
y?x
。
x
（3）教学中，要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值，注意
严格控制难 度，避免过量的形式化的运算练习。（4）教师应引导学生在解决具体问题的过程中，结
合实例及函数的 图象，借助几何直观，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，让学生体会导数
方法在研究函数性质中 的一般性和有效性。
（5）重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用。要 注意运用学
生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意识，促进学生全面 认识
数学的科学价值、应用价值。
（6）引导学生阅读有关资料，了解微积分创立的时代背景 和有关人物，让学生体会微积分的
建立在人类文化发展中的意义和价值。
2．关于推理与证明的教学，应注意以下问题：
（1）教学中应通过实例，引导学生运用合情 推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理
确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教 学的重点在于通过具体实例理解合情推理
与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。
（2）这 部分中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实
例，引导学生认识各 种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。
（3）教材中安排一些合 情推理欣赏的案例，是供学生阅读欣赏使用的，不宜过多让学生进行
这方面的训练。
（4）教 师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对于用数学归纳法证明的问题要控
制难度，仅限于“（ 1）验证P(n
0
)成立；（2）假设P(k)成立，推出P(k+1) 也成立。”的类型。
（5）引导学生阅读有关资料，了解公理化思想和计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3．关于数系的扩充与复数的引入的教学，应注意以下问题：
在复数概念与运算的教学中，应 注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安
排一些引申的内容，如求x
3＝1的根、介绍代数学基本定理等，但不作普遍要求。

数学2-3
【课程目标】
本模块的内容包括：计数原理、概率、统计案例。
通过计数原理的教学，使学生掌握两个基本 计数原理、排列、组合、二项式定理及应用，会解
决简单的计数问题；体验计数与现实生活的联系，充分 体会两个基本计数原理在解决实际问题时的
工具作用。
通过概率的教学，使学生在必修课程的 概率知识的基础上，了解某些离散型随机变量的分布列
及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机 变量思想描述和分析某些随机现象的方法；能用
所学知识解决一些简单的实际问题；进一步体会概率模型 的作用及运用概率思考问题的特点，初步
形成用随机观念观察、分析问题的意识。
通过统计案 例的教学，使学生巩固必修课程的统计基础知识，了解解决特殊问题的统计过程及
一些常用的统计方法； 能够使用常用的统计方法解决一些特殊的统计问题；进一步体会运用统计方
法解决实际问题的基本思想， 认识统计方法在决策中的作用。
【学习要求】
1．计数原理
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们解决一些简单的应用问题。
（2）排列与组合
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些
简 单的应用问题。
（3）二项式定理
掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
2．概率
了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的 重要性；
会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
了解条件概率和两个事件相互独立的概 念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解
决一些简单的实际问题。
了解取有限值 的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期
望值、方差。

（正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义不作要求）。
3．统计案例 了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。了解假设检验的基本思
想， 掌握用χ
2
统计量进行独立性检验的操作方法。
了解线性回归的基本思想、方法及初步应用（对用配方法导出回归系数公式不作要求）。
【教学建议】
1．关于计数原理的教学，应注意以下问题：
（1）教学中，应通过 实例，引导学生总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解排
列、组合的概念。
（2 ）教学中，引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，应避
免繁琐的、技巧 性过高的计数问题。
（3）在二项式定理的教学中，可以介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，以丰富 学生对数学文
化价值的认识。
2．关于概率的教学，应注意以下问题：
（1）研究 一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布
列正是描述了离散型随 机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，
要求通过实例引入这两个概 率模型，不追求形式化的描述。教学中，应通过实例使学生分清二项分
布与超几何分布，理解其本质意义 。
（2）教学中，应通过实例，使学生理解条件概率的意义、了解两个事件相互独立的含义；引
导学生发现条件概率的计算公式、相互独立的两个事件同时发生的概率的计算公式，并说明两者之
间的 关系。
（3）概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，因此要通过日常生活中的大< br>量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性。鼓励学生尽可
能运用计算器（机）来处理数据，进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。例如，利用
计算器 产生随机数来模拟掷硬币的试验等。
3．关于统计案例的教学，应注意以下问题：
（1）教 学中，应鼓励学生经历较为系统的数据处理的全过程，培养他们对数据的直观感觉，
认识统计方法的特点 （如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等），体会统计方法应用的广泛性。
应尽量给学生提供一定 的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一些案例，引导学生亲自实

践。统计案例 的教学重点是使学生感受统计分析的思想，了解统计学对社会生活和科学研究的重要
性。只要求学生了解 两种统计方法（独立性检验和回归分析）的基本思想及其初步应用，对于其理
论依据不作要求，避免学生 单纯记忆和机械套用公式进行计算。
（2）在2×2列联表独立性检验的教学中，教师应指导学生关心 如何选用一个量，用它的大小
来说明独立性是否成立，从直观上关注其方法的合理性，至于最后选取的量 及其大小的界定超出了
高中的范围，可以只告诉其结果，使之能够操作即可。
（3）线性回归 分析是在《必修3》的基础上，进一步认识线性回归的方法及其可靠性。教学中
要引导学生通过实例，从 感性到理性逐层深入地探求对线性相关程度进行检验的统计量（相关系数），
从而建立线性回归分析的基 本算法步骤。对为什么相关系数r可以估计相关的程度只要求从直观上
加以感受，不必介绍理论依据。
（4）教学中，应鼓励学生使用计算器（机）等信息技术手段来处理数据，有条件的学校还可
运 用一些常见的统计软件解决实际问题。可以安排以抽样方法为主要内容的 实习作业，培养学生
解决实际问题的能力。

选 修 系 列 3
选修3-1 数学史选讲
【课程目标】
本专题的内容包括：早期算术与几何 、古希腊数学、中国古代数学瑰宝、平面解析几何的产生、
微积分的产生、欧拉与高斯、千古谜题、康托 的集合论等。
通过本专题的学习，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初 步了
解数学产生与发展的过程；使学生体会数学对人类文明发展的作用，体会数学的科学价值、应用价< br>值、文化价值；提高学生学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍
的探索精神。
【学习要求】
1．早期算术与几何——计数与测量
了解纸草书中 记录的数学（古代埃及），了解泥板书中记录的数学（两河流域），知道《周髀算
经》、勾股定理（赵爽 的图）、了解十进位值制的发展历程。逐步形成对计数制和早期几何形成历史
的比较完整的认识。
2．古希腊的数学
了解毕达哥拉斯多边形数、从勾股定理到勾股数、不可设公度问题；了解欧 几里得与《几何原
本》、演绎逻辑系统、第五公设问题、尺规作图以及公理化思想对近代科学的深远影响 ；初步了解阿
基米德的工作：求积法；了解初等几何公理体系的历史发展过程。
3．中国古代数学瑰宝
了解《九章算术》中的数学（方程术、加减消元法、正负数），了解大 衍求一术（孙子定理），
了解一些中国古代著名数学家的情况，了解中华民族丰富灿烂的古代数学成就。
4．平面解析几何的产生——数与形的结合
初步感知函数与曲线的内在联系，初步体会笛卡儿 方法论的意义，感受解析几何的发明在数学
史中的重要性。
5．微积分的产生——划时代的成就
了解微积分思想方法的发展轨迹，了解微积分在数学中的 地位，了解微积分的发明对于科学发
展的伟大意义。
6．近代数学两巨星——欧拉与高斯 < br>初步了解欧拉的数学直觉，了解高斯时代的数学特点（数学严密化）。了解欧拉与高斯的某些
研究 成果和历程，感受数学家的坚强意志和追求真理的精神。

7．千古谜题——伽罗瓦的解答
了解青年数学家阿贝尔和伽罗瓦的经历，了解 几何作图的三大难题，初步了解近世代数的产生
过程。
8．康托的集合论——对无限的思考
初步了解无限集合与势，了解罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）。了解集合理论的诞
生 过程。
9．随机思想的发展
初步了解概率论的溯源，了解近代统计学的缘起。
10．算法思想的历程
了解算法的历史背景，了解计算机科学中的算法；经历按开方术的思路 编写程序并在计算机上
实现开方的过程。
11．中国现代数学的发展
了解现代中国 数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的一些事迹；初步了解中国现代数学研
究和发展的一些情况。
【教学建议】
1．本专题由若干个选题组成，内容应反映数学发展的不同时代的特点，要讲史 实，通过史实
介绍数学的思想方法，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹，不必追求数学发展历史的系 统性和
完整性。选题的个数以不少于6个为宜。
2．教学内容的安排可以采取多种形式，应通 过学生生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内
容，既可以由古到今追寻数学发展的历史，也可以从现实 的、学生熟悉的数学问题出发追根溯源，
回眸数学发展的重要事件和人物。内容的选择要符合学生的接受 水平，教学内容应突出所蕴涵的思
想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。 3．教学方式应灵活多样，可采取讲故事、组织科普报告会、查阅资料等方式进行。呈现方式
可使用 图片、幻灯、录像课件等，图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣。教师要鼓励学生对数学
发展的历史轨 迹、感兴趣的历史事件与人物进一步作出探索，撰写一些数学小论文，并组织学生交
流讨论。

选修 3-2 信息安全与密码
【课程目标】
本专题的内容包括：初等数论中的一些基本概念（整除、同余、模m的完全同余 系和简化剩余
系、欧拉定理和费马小定理、威尔逊定理、欧拉函数、模
p
的原根存在性 等）；信息安全与密码的
一些概念；数论在现代信息安全中重要应用的案例．
通过本专题的教 学，使学生了解初等数论的一些基础知识，了解代数和数论在现代信息理论、
信息安全中某些重要应用， 拓展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值、应用价值的认识，
提高对数学的鉴赏力，增强学习数 学的兴趣．
【学习要求】
1．初等数论的有关知识
（1）了解整除和同余的概 念，了解模m的完全同余系和简化剩余系的概念，了解欧拉定理和
费马小定理，了解大数分解问题． < br>（2）了解欧拉函数的定义和计算公式，了解威尔逊定理及在素数判别中的应用，了解原根与
指数 、模
p
的原根存在性，了解离散对数问题．
2．数论在信息安全中的应用
（1）了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、密钥）和通讯安全中的基本问题（如保密、
数字签名 、密钥管理、分配和共享）．
（2）了解古典密码的一个例子：流密码（利用模m同余方式）． （3）理解公钥体制（单项函数概念），以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方
案） ．
（4）理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗-赫尔曼（Diffie- Hellman）方案．
（5）理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔（El Gamal）算法．
（6）了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用．
【教学建议】 < br>1．本专题的教学应力求深入浅出．教师应注意介绍相关内容（如通信技术的发展等）的历史
与背 景，帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制解决这些问题，体会大数
分解和离散 对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用．
2．欧拉定理和费马小定理的推导或证明可以根据学生的情况处理，可以不作要求。
3．在条 件允许的情况下，教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考，编制程序、上机
实验．

(1) 用辗转相除计算最大公约数；
(2) 解同余方程 ax≡b (modm)；
(3) 判断大整数是否为素数（用Wilson定理）；
(4) 大数分解．
4．提倡多样化的学习方式，可以是教师讲授，也可以是在教师指导下学生的自主探索和合 作
交流，还应鼓励学生独立阅读、写专题总结报告等．让学生切身体会“做数学”是学好数学的有效途径、独立思考是“做数学”的基础．
5．本专题教学结束后，可鼓励有兴趣的学生完成一个学习 总结报告．教师要注意从以下几个
方面做好指导：（1）知识的总结．对信息安全有关内容的理解和认识 ，体会数学（数论和代数学）
在信息安全中的作用．（2）拓展．通过查阅课外资料，对某些内容和应用 进行进一步探讨和思考．

选修3-3 球面上的几何
【课程目标】
本专题的内容包括：球面的简单性质、球面上的直线、球面三角形的面积与极三 角形、球面三
角公式、球面几何与平面几何的关系。
通过本专题使学生了解一个新的数学模型 ──球面几何，初步了解球面几何的基本知识及其在
实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几 何的差异和联系，使学生感受自然界中存在着
丰富多彩的数学模型；通过类比使学生体会这个专题所涉及 到的重要的思想方法；培养学生的空间
想像和几何直观能力。
【学习要求】
1．了 解球面几何知识在实际问题中的丰富应用（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几
何知识的必要性 。
2．了解球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3．通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
4．了解球面上的一些基本图形 ：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面
三角形、球面三角形的极对称三角形（简 称球极三角形）。
5．通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面 上，由此理
解球面三角形的全等定理s.s.s，s.a.s，a.s.a。
6．理解单位球 面三角形的面积公式（S=A+B+C-
?
），由此体会球面三角形内角和大于180°。
7．了解球面三角形全等的a.a.a定理。
8．利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9．利用向量的 叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（cosc=cosacosb+sinasinb
cosC ）和球面上的勾股定理（即当C=
弦定理（
?
时的球面余弦定理），能从球面的余弦定 理推导出球面的正
2
sinAsinBsinC
）。
??
sina sinbsinc
10．体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平 面三角公
式。
【教学建议】
1．本专题的重点是培养学生的空间想像能力和几何直观能力，教学中，要注意突出这个重点。
2．教学中应使学生切实地感受利用球面几何知识可以解决（或解释）生活或生产中的一些实际
问题。 在介绍球面几何时，让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，
促使学生思 考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。例如，在球面上有直线吗？如果有，
会是什么样的呢 ？和平面上直线的性质相同吗？平面几何中的结论，在球面几何中哪些成立？哪些
不成立？这种与平面几 何类比的思想，以及在平面几何中的“公理”思想（从一些基本的事实出发，

利用演绎推证构成一个体系），这些研究球面几何的基本思路，教学中应给予高度重视。
3．介绍球面几何与欧拉公式，主要是为了开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几何模型，
帮助学生掌握现代数学思想方法。欧拉公式的教学要控制难度，证明题不作要求，只要了解多面体
的顶 点数、棱数、面数之间的关系就可以了。
4．因为球面几何涉及到大量的空间图形的对称性（变换）， 使用信息技术可以帮助学生较好地
形成空间想象能力，所以在条件允许的学校在教学中可以充分利用（C AI）多媒体技术。
5．本专题教学结束后，可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。教师要注意 从以下几个方
面做好指导：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，说明球面几何与平面几 何中哪些
公式（定理）是相同的，哪些公式有本质差异；说明为什么相对于半径来说很小的一小片球面可 以
作为一个平面来对待。（2）通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步思考几何与现< br>实空间的关系。（3）学习球面几何的感受、体会。

选修3- 4 对称与群
【课程目标】
本专题的内容包括：轴对称、旋转对称、平移对称、对称与群及对称的应用。
通过本专题的教 学，使学生认识到对称是自然界中一种十分重要的性质，了解变换群的概念，
学习群的表达方法，会求一 些比较简单的几何图形的对称群，进一步体会群在研究事物对称性质和
研究其他数学对象中的重要作用， 感受和体验由具体到抽象、特殊到一般等数学思想方法的应用。
【学习要求】
1．通过丰富的对称图形，感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。
2．通过分析图 形的不同对称性和刚体运动，了解刚体运动的基本性质，寻求刻画不同图形对
称性的思想，逐步形成图形 对称变换的概念。
3．结合简单的具体图形，找出其所有对称变换，逐步形成对称变换合成的概念，理 解对称变
换合成的封闭性。
4．结合具体的图形实例，通过操作，认识对称变换满足结合律， 理解恒等变换的概念，逆变
换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。
5．通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念，了解一种群的表示方法─
─乘法表 法。
6．能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。
7.从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法──直积。了解群论在
现实生 活中的重要应用，如晶体分类定理。
8．考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的 求解过程，了解代数方程根的
对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实 ，感受群论在现代数学
中的重大作用。
【教学建议】
1. 由于对称变换、变换的 合成（乘法）运算等概念是比较抽象的概念，因此教学时应从具体的
实例和恰当的情境引入，而不能从抽 象的定义出发。
2. 对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个 运算系统来
研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具 体的
群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性中的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和性< br>质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对称群，在操作实
践过程中感受群的含义。
3. 晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果，在本单元不 能详细证明晶体分类
定理和方程的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究 方法和特点，
因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。
4．本专题教学结束后，可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。教师要注意从以下几个方

面做好指导：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对对称的数学描述和 群的概念的
认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨对称在自然 界中的
广泛性和群对刻画对称的作用。（3）学习本专题的感受、体会。

选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类
【课程目标】
本专题的内容 包括：几种几何变换及其特性、拓扑变换、简单多面体的欧拉定理与欧拉示性数、
曲面的三角剖分及其欧 拉示性数、闭曲面分类和拓扑思想应用赏析。
通过本专题的教学，使学生在已经学习过的平移、旋转、 相似、位似、全等、对称、压缩、伸
长等几何变换的基础上，了解几何变换不变量的概念以及拓扑变换的 思想方法，体验多面体欧拉公
式的探究与发现的过程，明确欧拉公式和欧拉示性数是重要的拓扑不变量， 掌握曲面的三角剖分的
方法，并能利用它们对曲线、曲面进行分类；使学生能够生动地感受初等几何与现 代数学分支──
拓扑学之间的密切关系，体会不同的几何学的特点是：在不同的几何变换下研究几何对象 的不变量
问题，这一观点是现代几何学的重要纲领；培养学生空间想象和抽象思维的能力、类比和推广等 逻
辑推理的能力以及探究、发现和创新的能力，使学生进一步地感受到数学的无比威力与无穷魅力。
【学习要求】
1．几种几何变换及其特性
掌握平移、旋转、相似、位似、全等、对 称、压缩、伸长等几何变换的概念、方法和基本特征，
理解几何变换不变量的意义，并能使用它们对平面 图形进行分类。
2．拓扑变换
了解拓扑变换的直观意义，知道一些拓扑不变量，并能用它们 对一些曲线、闭曲面进行分类，
了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
3．简单多面体的欧拉定理与欧拉示性数
理解简单多面体的欧拉定理，掌握欧拉公式的拓扑证 明方法，会用欧拉公式解决一些相关的问
题（例如探索正多面体的个数等），了解多面体的欧拉示性数， 学会探索非欧拉多面形的面数、棱数、
顶点数的关系。
4．曲面的三角剖分及其欧拉示性数
理解单形、多面体、复形与剖分以及曲面三角剖分的概念，掌握曲面三角剖分的方法，了解曲
面 的欧拉示性数的意义，会求一些曲面的欧拉示性数。
5．闭曲面分类
了解曲面的可定向性与不可定向性的概念，理解闭曲面分类基本定理。
6．拓扑思想应用赏析
了解拓扑思想的一些应用（例如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定
点 问题、四色问题等），进一步体会数学的无穷威力和无比魅力。
【教学建议】
1．由于本专 题的内容比较抽象，因此，在教学中，教师应注意首先引导学生通过复习已经学过
的几种常见的几何变换 ，帮助学生分析在这些变换下不变的几何性质，由此体会变换与变换不变量
的思想。

2．多面体的欧拉定理是一个具体直观的几何定理，无论定理的内容还是定理的证明，学生都 易
于理解和接受，因此，教学时要把重点放在引导学生探索发现欧拉公式及其证明的过程上，帮助学生体会数学家的创造性工作，培养学生科学发现的精神和探究创新的能力。
多面体的欧拉定理本质 上是一个拓扑学定理，它与许多初等几何的定理之间都存在着密切的联
系。例如，我们可以把欧拉定理看 成三角形内角和定理的推广。
三角形内角和定理：任何三角形的内角和都是平角
?
。
多面体内角和定理：任一简单（单连通）多面体各个面的平面角的和等于
2
?
E?F
?
?
?2
?
V?2
?
?
。
由此可得
V?F?E?2
，这就是欧拉定理。
从这些初等几何定理之间的关系，学生能够对定理获得更深刻的理解。
3．拓扑变换是一个抽 象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，例如把拓扑变换
理解为橡皮变换，不要引导学生 追求拓扑变换的形式化定义。
4．三角剖分对于计算曲面的欧拉特征是一个易于理解的直观方法，也是 研究几何图形的拓扑性
质的重要思想方法。教学中，要注意引导学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法 研究其性质的过
程，例如计算球面、环面甚至是克莱因瓶的欧拉特征，使学生通过操作和实践学习来掌握 三角剖分
的思想方法。
5．闭曲面分类定理是一个抽象的定理，教学过程中应该尽可能地引导 学生从对直观的几何图形
的观察入手，逐渐地将直观的几何性质归纳上升为比较抽象的拓扑学概念。要认 识到在这里，学生
需要掌握的主要内容不是闭曲面分类定理证明的详细步骤，而是研究闭曲面分类所采用 的拓扑学方
法。
6．在介绍拓扑学的应用时，应注重对拓扑学的思想方法的挖掘与渗透，不追 求形式化的、严格
化的叙述。
7．要充分发挥现代教育技术在学习、探索和解决问题的作用， 调动和激发学生学习数学的积极
性，提高教学的效果。
8．本专题教学结束后，可鼓励有兴趣 的学生完成一个学习总结报告。教师要从以下几个方面做
好指导：（1）知识的总结。对本专题知识结构 和学习内容的理解，以及对数学变换思想的认识；（2）
拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独 立思考，进一步理解变换的不变量和曲面分类的思
想；（3）学习本专题的感受和体会。

选修3-6 三等分角与数域扩充
【课程目标】
本专题的内容包括：尺规作图的规则与三等分角问题的背景、可构作的数与数域、尺规可构作
的 条件、古希腊三大几何作图问题的解决、尺规构作正多边形的问题。
通过本专题的教学，使学生了解尺 规作图的规则和可构作的条件；使学生了解解决三等分角这
类问题的基本思想方法，并能用此方法解决倍 方问题和化圆为方问题；使学生了解尺规不可构作正
七边形和可构作正十七边形的基本思路；通过本专题 的讨论，使学生体会和理解其中蕴涵的数学思
想方法，提高分析和解决数学问题的能力。
【学习要求】
1、尺规作图的规则与三等分角问题的背景
理解尺规作图的基本构作。
了解不限尺规的三等分角的两种不同作法。
2、可构作的数与数域
了解可构作的概念；理解解决三等分角问题的代数化的基本思路。
会用尺规构作由给定线段a，b组成的长为a+b, a－b, ab,
理解有理数是可构作的。
会用尺规构作给定线段a，长为
a
的线段。
了解数域、扩域的概念，会给出一些数域、扩域的具体实例。
会证明：设F是一数域，k∈F且
k?
F，E＝｛a+b
k
, a, b∈F｝，则E也是一个数域，且F
是E的子域。
3、尺规可构作的条件
了解尺规可构作的充要条件。
会判别整系数多项式是否有有理根。
了解三次多项式的根可构作的必要条件。
4、古希腊三大几何作图问题的解决
学会把三等分角问题代数化。
会证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。
会讨论倍方问题。
了解化圆为方问题的讨论方法。
5、尺规构作正多边形问题
了解复数乘法的棣莫弗公式。
a
的线段。
b

会用代数方法讨论尺规不可构作正七边形；了解尺规可构作正十七边形的代数讨论方法。
【教学建议】
1、本专题在思想方法和证明的论述方面的要求都比较高。要求学生学会把握解 决问题的整体
思路，还要求学生在证明时，层次分明，条理清楚。培养学生表达和论述的能力。
2、教学中，要求学生会用尺规构作长形如a+b
k
(a, b, k为有理数)的线段。
3、尺规可构作的充要条件和三次多项式的根可构作的必要条件，只要求知道其 结论，并会简
单应用。
4、尺规构作三等分角问题，仅要求了解其思想方法，会证明尺规不可 构作三等分60
0
角，对
于任意角的尺规构作三等分问题不作要求。
5、尺规构作正多边形问题可供有兴趣的学生研究讨论。
6、通过本专题的学习，让学生认识 到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方
法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用。
7、本专题教学结束后，可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内
容 ：（1）知识的总结。解决三等分角问题的基本思路，清楚地表述证明的过程。体会和理解其中蕴
涵的数 学思想方法。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步体会几何
问题代数化 的方法和处理几何作图问题的思想。（3）学习本专题的感受、体会。

选 修 系 列 4
选修 4-1 几何证明选讲
【课程目标】
本专题的内容包括：相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识、圆锥截线。
通过本专题的 教学，使学生能证明一些反映圆与直线关系的重要定理，有助于培养学生的逻辑
推理能力；使学生不仅理 解逻辑演绎的程序，而且体验大量的观察、探索、发现的创造性过程；通
过对圆锥曲线性质的进一步探索 ，使学生提高空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解
决问题的能力。
【学习要求】
1．相似三角形的进一步认识
了解平行线等分线段定理和平行截割定 理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角
三角形射影定理。
教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：
◆平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例。
◆三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比。
◆经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰。
◆梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
◆若一条直线截三角形的两边（或其延 长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三
边平行。
◆斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
2．圆的进一步认识
理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论。
掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理。
教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：
◆从圆外一点引圆的两条切线长相等。
◆若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆。特别的，对定
线段张角 为直角的点共圆。
3．圆锥截线（本节内容不作要求，可以选择部分内容教学）
了解平行投影的含义；了解平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。
了解平面截圆锥面的定理（简称圆锥截线定理）。
【教学建议】
1.本专题的部分 内容，学生在初中已经初步了解其内容，并且在学习中侧重于观察、实验和操
作，而本专题不仅是初中所 学知识的深化，而且侧重于逻辑推理与抽象思维。教学中应使学生逐步

适应这一思维层次的提升。
2.本专题的教学，应按照从简到繁、从具体到抽 象、从实验到论证的过程进行，要使学生在学
习具体的平面几何内容中体会数学的思想方法，从而进一步 培养创新思维的意识和能力。
3．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角 形（或全等三角形）的
使用不宜超过2次，添置的辅助线不超过3条。
4.圆锥截线定理的证 明，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几
何直观能力在解决问题中的作用 ，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。对这部分内
容可以选择开设相关讲座或指导学生阅 读。

选修 4-2 矩阵与变换
【课程目标】
本专题的 内容包括：二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、
逆变换与逆矩阵、矩 阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用。
通过本专题的教学，使学生了解矩阵是研究图形（向量）变 换的基本工具，许多数学模型都可
以用矩阵来表示；使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的 特征向量等概念，并以变换
和映射的观点理解解线性方程组的意义；初步体会矩阵应用的广泛性，进一步 体会代数与几何结合
的数形结合思想。
【学习要求】
1．二阶矩阵与平面向量
了解矩阵的有关概念；掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法。
2．几种常见的平面变换
理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ
1
α+λ
2
β)＝ λ
1
Aα+λ
2
Aβ。
理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压 变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；
了解单位矩阵。
3．矩阵的复合与矩阵的乘法
掌握二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）。
4．逆变换与逆矩阵
理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。
理解逆矩阵的唯一性和 (AB)
-1
＝B
-1
A
-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。
会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。
了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵。
了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义。
会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组。
理解二元线性方程组解的存在性、唯一性。
5．特征值与特征向量
掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义。
会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题。
了解三阶或高阶矩阵。
了解矩阵的简单应用。
【教学建议】
1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而 不讨论一般m×n阶矩阵以及（a
ij
）形式的表示。
2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵

来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩 阵、解线性方程组。
3．要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。 4．要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程
组或 用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来
理解其合理 性。
5．在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广< br>知识（如三阶矩阵或高阶矩阵），这些知识不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于
学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习。
6．这部分内容的教学应让学生 认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广
泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们 对问题的思考与解决。
7．矩阵的简单应用，在教学中主要把握以下两方面情况：
（1）运用的矩阵为：m×1矩阵或1×n矩阵（m，n≤4）或n×n方阵（n=2，3）。
（2）问题类型为：简单的网络图中的一级路、二级路矩阵问题；简单的二阶逆矩阵应用问题；
简单的 特征向量应用问题。

选修4-4 坐标系与参数方程

【课程目标】
本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。
通过本 专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，
了解曲线的多种 表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的
应用价值；培养学生探 究数学问题的能力和应用意识。
【学习要求】
1．坐标系
了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。
了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。
2．曲线的极坐标方程
了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方 程的互化；了解简单图
形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。
3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）
了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。
4．参数方程
了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
【教学建议】
1．坐标系的教学应着重 让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，
在不同坐标系中，这些数所体现的 几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的
形式。因此，选择适当的坐标系可以使表 示图形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中，可
以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标 系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通
过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处 2．教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要
求， 通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐
标方 程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。
3．求曲线 的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在
极点的圆）；求曲线 的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。
4．应通过对具体物理现象的分析 (如抛物运动的轨迹)引入参数方程，使学生了解参数的作用。
应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三 角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。

5．可以组织学生 成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例，了解平摆线和圆
的渐开线的参数方程。可以 应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使
学生感受这些曲线的美。

选修4-5 不等式选讲
【课程目标】
本专题的内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不
等式、利用 不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量 的不等量关系和等量关系，不等关系和
相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着 重要的作用；使学生了解不等式
及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提 高学生的逻辑思维能力和
分析问题解决问题的能力。
【学习要求】
1．不等式的基本性质
掌握不等式的基本性质。
2．含有绝对值的不等式
理解绝对值的几何意义；会解绝对值不等式：∣ax＋b∣≤c

、∣ax＋b∣≥c

；了解绝对值不
等式∣x－c∣＋∣x－b∣≥a 的解法。
理解绝对值不等式∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣。
3．不等式的证明
了 解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法；能用比较法、综合
法、分析法证 明简单的不等式。
4．几个著名的不等式
理解二元柯西不等式的几种不同形式：
（1）柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|。
（2）（a
2
+ b
2
）(c
2
+d
2
)≥(ac+bd)
2
。
（3）
(x
1
?x
2
)?(y
1
? y
2
)?(x
2
?x
3
)?(y
2
?y< br>3
)
≥
(x
1
?x
3
)?(y
1< br>?y
3
)
。
（通常称作平面三角不等式）。
掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式。
5．利用不等式求最大（小）值
会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
6．数学归纳法与不等式
了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。
会用数学归纳法证 明贝努利不等式：(1＋x)
n
＞1＋nx（x＞-1，n为正整数）。
【教学建议】
1．在本专题教学中，教师应引导学生了解重要不等式的数学意义和背景，例如 本专题给出的不
等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实 质。
2．代数恒等变换以及放缩法是证明不等式的常用方法，在利用这些方法证明不等式时，常常使

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用一些技巧。对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧 是极为重要的。但是，对大多数
学生来说，往往很难掌握这些技巧，对他们更为重要的是理解这些不等式 的背景和它们所体现的数
学思想。所以，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一 些技巧不做更多的
要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。
3．数学 归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种
思想方法。在利用 数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。教师不要选择过于技
巧化的问题或习题，以免 冲淡了对数学归纳法思想的理解。
4．在教学解绝对值不等式时，要控制难度：含未知数的绝对值不超 过两个；绝对值内的关于未
知数的函数主要限于一次函数。
5．不等式证明的教学，主要使学 生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、
数学归纳法只要求了解。
6． 不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问
题主要是用平 均不等式、柯西不等式求解。
7．下列内容可指导学生阅读：n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式。