高中数学竞赛标准教材(共18讲)

01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
第一章 集合与简易逻辑

一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集 ，用大写字母
来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x
在集合 A中，称
x
属于A，
记为
x?A
，否则称
x
不属于 A，记作
x?A
。例如，通常用N，Z，Q，B，Q
+
分别表示自
然 数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用
?
来
表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大 括号内并用逗号隔开表示集
合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内 表示集合的方法。
例如{有理数}，
{xx?0}
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
则 A叫做B的子集，记为
A?B
，例如
N?Z
。规定空集是任何集合的子集，如 果A是B
的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属
于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，
A?B?{xx?A且x?B}.

定义4 并集，
A?B?{xx?A或x?B}.

定义5 补集，若
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
称为A在I中的补集。
定义6 差集，
AB?{xx?A,且x?B}
。
定义7 集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
，集合 {xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
，R记作
(? ?,??).

定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
（2）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
；
（3）
C
1< br>A?C
1
B?C
1
(A?B);
（4）
C
1
A?C
1
B?C
1
(A?B).

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若
x?A?(B? C)
，则
x?A
，且
x?B
或
x?C
，所以
x?(A?B)
或
x?(A?C)
，
即
x?(A?B)?(A?C )
；反之，
x?(A?B)?(A?C)
，则
x?(A?B)
或x?(A?C)
，
即
x?A
且
x?B
或
x?C
，即
x?A
且
x?(B?C)
，即
x?A?(B?C).< br>
（3）若
x
?
C
1
A
?
C
1
B
，则
x
?
C
1
A
或
x?C
1
B
，所以
x?A
或
x?B
，所以
x?( A?B)
，
又
x?I
，所以
x?C
1
(A?B)< br>，即
C
1
A?C
1
B?C
1
(A?B)，反之也有
C
1
(A?B)?C
1
A?C
1
B .

定理2 加法原理：做一件事有
n
类办法，第一类办法中有
m
1
种不同的方法，第二类办法
中有
m
2
种不同的方法，…， 第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事一共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分
n
个步骤，第一步有
m
1
种不同的方法，第二步有
m
2
种不同
的方法，…，第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事一共有
N?m
1
?m< br>2
???m
n
种不
同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设
M?{aa?x?y,x,y?Z}
，求证：
（1）
2k?1?M,(k?Z)
；
（2）
4k?2?M,(k?Z)
；
（3）若
p?M,q?M
，则
pq?M.

1 6

22

01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
[证明]（ 1）因为
k,k?1?Z
，且
2k?1?k
2
?(k?1)
2
，所以
2k?1?M.

（2）假设
4k?2?M(k?Z)，则存在
x,y?Z
，使
4k?2?x
2
?y
2
，由于
x?y
和
x?y
有相同的奇偶性，所以
x
2
?y
2
?(x?y)(x?y)
是奇数或4的倍数，不可能等于
4k?2< br>，
假设不成立，所以
4k?2?M.

（3）设
p?x
2
?y
2
,q?a
2
?b
2
,x,y,a,b? Z
，则
pq?(x
2
?y
2
)(a
2
?b
2
)

?a
2
a
2
?y
2
b
2
?x
2
b
2
?y
2
a
2< br>?(xa?yb)
2
?(xb?ya)
2
?M

（因为
xa?ya?Z,xb?ya?Z
）。
2．利用子集的定义证明集合 相等，先证
A?B
，再证
B?A
，则A=B。
例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足
A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?B
，求集合M（用A，B表示）。
【解 】先证
(A?B)?M
，若
x?(A?B)
，因为
A?M?A?B< br>，所以
x?A?M,x?M
，
所以
(A?B)?M
； 再证
M?(A?B)
，若
x?M
，则
x?A?B?M?A?B.
1）若
x?A
，则
x?A?M?A?B
；2）若
x?B，则
x?B?M?A?B
。所以
M?(A?B).

综上，
M?A?B.

3．分类讨论思想的应用。
222
例3
A?{xx?3x?2?0},B?{xx?ax?a?1?0},C ?{xx?mx?2?0}
，若
A?B?A,A?C?C
，求
a,m.

2
【解】依题设，
A?{1,2}
，再由
x?ax?a?1?0
解得
x?a?1
或
x?1
，
因为
A?B?A，所以
B?A
，所以
a?1?A
，所以
a?1?1
或2 ，所以
a?2
或3。
因为
A?C?C
，所以
C?A
，若
C??
，则
??m?8?0
，即
?22?m?22
，
若
C??
，则
1?C
或
2?C
，解得
m? 3.

综上所述，
a?2
或
a?3
；
m?3
或
?22?m?22
。
4．计数原理的应用。
例4 集合A，B，C 是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若
A?B?I
，
求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个 不相交的子集；AB，BA，
A?B,I
中的每个元素恰属于其
中一个子集，10个元 素共有3
10
种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合
对有3
10
个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步， 第一步，1
或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由
乘法原理，子集共有
2
5．配对方法。
10
2
?1024
个，非空真子集有1022个。
例5 给定集合
I?{1,2,3,?,n}
的
k
个子集：
A
1
, A
2
,
?
,A
k
，满足任何两个子集的交集非
空， 并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求
k
的值。
【解】将I的子 集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得
2
这
k
个子集中，因此，< br>k?2
n?1
n?1
对，每一对不能同在
；其次，每一对中必有一个在 这
k
个子集中出现，否则，若
n?1
有一对子集未出现，设为C
1< br>A与A，并设
A?A
1
??
，则
A
1
?C< br>1
A
，从而可以在
k
个子
集中再添加
C
1< br>A
，与已知矛盾，所以
k?2
6．竞赛常用方法与例问题。
。综上，
k?2
n?1
。
定理4 容斥原理；用
A
表示集合A的元素个数，则
A?B?A?B?A?B,
需要
xy此结论可以
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C，
2 6

01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
推广到
n
个集合的情况，即
?

?
A
i? 1
n
i
?
?
A
i
?
?
A
i
?
A
j
?
i?1i?j
n
1?i?j?k?n< br>?
A
i
?
A
j
?
A
k
?< br>?
?(?1)
n?1
?
A
i?1
n
i
.

定义8 集合的划分：若
A
1
?A
2
?? ?A
n
?I
，且
A
i
?A
j
??(1?i ,j?n,i?j)
，则
这些子集的全集叫I的一个
n
-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将mn?1
个元素放入
n(n?1)
个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
m? 1
个元素，也必有一个抽屉放有不多于
m
个元素；将无穷多个元素放入
n个抽屉必有一个抽
屉放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记
I?{1,2, 3,?,100},A?{x1?x?100,且x能被2整除（记为2x）}
，
B?{x1? x?100,3x},C?{x1?x?100,5x}
，由容斥原理，
?
100??
100
?
A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?C?A?A?B?C?
?
?
?
?
??
?
2
??
3
?
?
100
??
100
??
100
??
100
??
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?74
，所以不能被2，3，5整除的数有
???????
5
??
6
??
10
??
15
??< br>30
?
I?A?B?C?26
个。
例7 S是集合{1，2，…， 2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最
多含有多少个元素？
【解 】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有
一个属于S，将这 11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有
这11个数中至少6个，则必有 两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。
又因为2004=182×11+2，所以 S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当
恰有
S?912
，且S 满足题目条件，
S?{rr?11k?t,t?1,2,4,7,10,r?2004,k?N}
时，
所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数
n(n?2)
，使 得存在实数
a
1
,a
2
,
?
,a
n
满足：
n(n?1)
}.

2
【解】 当
n?2时，
a
1
?0,a
2
?1
；当
n?3
时，
a
1
?0,a
2
?1,a
3
?3
；当
n?4
时，
{a
i
?a
j
}1?i?j?n}? {1,2,
?
,
a
1
?0,a
2
?2,a
3
?5,a
4
?1
。下证当
n?5
时，不存在
a< br>1
,a
2
,
?
,a
n
满足条件。
n(n?1)
.
令
0?a
1
?a
2
?? ?a
n
，则
a
n
?
2
所以必存在某两个下标
i?j
，使得
a
i
?a
j
?a
n
?1< br>，所以
a
n
?1?a
n?1
?a
1
?an?1
或
a
n
?1?a
n
?a
2
，即
a
2
?1
，所以
a
n
?
（ⅰ）若
a
n
?
n(n?1)n(n?1)
,a
n?1
?a
n
?1
或
a
n
?
，
a
2
?1。
22
n(n?1)
,a
n?1
?a
n
?1
，考虑
a
n
?2
，有
a
n
?2?a
n?2
或
a
n
?2?a
n
?a
2
，2
即
a
2
?2
，设
a
n?2
?an
?2
，则
a
n?1
?a
n?2
?a
n
?a
n?1
，导致矛盾，故只有
a
2
?2.
< br>考虑
a
n
?3
，有
a
n
?3?a
n ?2
或
a
n
?3?a
n
?a
3
，即
a
3
?3
，设
a
n
?3?a
n?2
，则
设
a
3
?3
，则
a
n
?a
n?1
?1?a
3
?a
2
，又推出矛盾，
a
n?1?a
n?2
?2?a
2
?a
0
，推出矛盾，
3 6

01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
所以
a
n?2
?a
2
,n?4
故当
n?5
时，不存在满 足条件的实数。
（ⅱ）若
a
n
?
n(n?1)
,a
2
?1
，考虑
a
n
?2
，有
a
n
?2?a
n?1
或
a
n
?2?a
n
?a
3
，即
2
这时
a
3
?a
2
?a
2
?a
1
，推出矛盾，故
a
n?1
?a
n
? 2
。考虑
a
n
?3
，有
a
n
?3?an?2
a
3
?2
，
或
a
n
?3?a< br>n
?
a
3
，即
a
3
=3，于是
a< br>3
?a
2
?a
n
?a
n?1
，矛盾。因此< br>a
n?2
?a
n
?3
，所以
a
n?1
?a
n?2
?1?a
2
?a
1
，这又矛盾，所以只有a
n?2
?a
2
，所以
n?4
。故当
n?5< br>时，不
存在满足条件的实数。
例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7 ，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个
数组成五个元素的集合
A
i，
i?1,2,
?
,20,A
i
?
A
j
?2,1?i?j?20.
求
n
的最小值。
【解】
n
min
?16.

设B中每个数在所有
A
i中最多重复出现
k
次，则必有
k?4
。若不然，数
m
出 现
k
次
（
k?4
），则
3k?12.
在
m
出现的所有
A
i
中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是
1， 就有集合{1，
a
1
,a
2
,m,b
1
}
{1,a
3
,a
4
,m,b
2
},{1,a
5,a
6
,m,b
3
}
，其中
a
i
?A ,1?i?6
，
为满足题意的集合。
a
i
必各不相同，但只能是2， 3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
k?4.

20个
A
i< br>中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以
n?16
。当
n?16
时，如下
20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成
n
个 互不相交的三元集合
{x,y,z}
，其中
x?y?3z
，
求满足条 件的最小正整数
n.

【解】 设其中第
i
个三元集为
{x
i
,y,z
i
},i
?
1,2,
?
,n,
则1+2+…+
3n?
?
4z
i?1
n
i
,

n
3n(3n?1)
所以当
n
为偶数时，有
8 3n
，所以
n?8
，当
n
为奇数时，有
83n?1
，
?4
?
z
i
。
2
i?1
所以
n ?5
，当
n?5
时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}， {9，12，7}，{10，
14，8}满足条件，所以
n
的最小值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合
{1,x,x?x}
，则实数
x
的取值范围是___________。
2
2．若集合
A?{xax?2x ?1?0,a?R,x?R}
中只有一个元素，则
a
=___________。
2
3．集合
B?{1,2,3}
的非空真子集有___________个。
2
4．已知集合
M?{xx?3x?2?0},N?{xax?1?0}
，若
N?M
，则由满足条件的实
数
a
组成的集合P=_________ __。
5．已知
A?{xx?2},B?{xx?a}
，且
A?B
，则常数
a
的取值范围是___________。
6．若非空集合S满足
S?{1,2,3,4,5}
，且若
a?S
，则
6?a?S
，那么符 合要求的集合S
有___________个。
7．集合
X?{2n?1n?Z}与 Y?{4k?1k?Z}
之间的关系是___________。
8．若集合
A?{ x,xy,xy?1}
，其中
x?Z
，
y?Z
且
y?0，若
0?A
，则A中元素之和
是___________。
4 6

01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
2
9．集合P?{xx?x?6?0},M?{xmx?1?0}
，且
M?P
，则满足条件的
m
值构成
的集合为___________。
?2
10．集合A?{xy?2x?1,x?R},B?{yy??x?9,x?R}
，则
A?B?
___________。
11．已知S是由实数构成的集合，且满足1） 若
a?S
，则
1?S;2
）
S中至少含有多少个元素？说明理由。
12．已知
A?{(x,y)y?ax},B?{(x,y)y?x?a},C?A?B
，又C为单元素集合，求
实数
a
的取值范围。
四、高考水平训练题 1．已知集合
A?{x,xy,x?y},B?{0,x,y}
，且A=B，则
x ?
___________，
1
?S
。如果
S??
，
1?a
y?
___________。

2．
I?{1,2,3 ,4,5,6,7,8,9},A?I,B?I,A?B?{2},(C
1
A)?(C
1
B)?{1,9},

(C
1
A)?B?{4,6,8}
，则
A?(C
1
B)?
___________。
2
3． 已知集合
A?{x10?3x?x?0},B?{xm?1?x?2m?1}
，当
A? B??
时，实
数
m
的取值范围是___________。
??< br>1
??
?1
?
,则a?
___________。 4．若实 数
a
为常数，且
a?A?
?
x
2
?
?ax?x?1
?
?
22
5．集合
M?{m,m?1,?3},N ?{m?3,2m?1,m?1}
，若
M?N?{?3}
，则
m?
_ __________。
6．集合
A?{aa?5x?3,x?N
?
},B ?{bb?7y?2,y?N
?
}
，则
A?B
中的最小元素
是___________。
2222
7．集合
A?{x?y,x?y,xy},B ?{x?y,x?y,0}
，且A=B，则
x?y?
___________。
8．已知集合
A?{x
___________。
9．设集合
x? 1
?0},B?{xpx?4?0}
，且
B?A
，则
p
的取 值范围是
2?x
A?{(x,y)y
2
?x?1?0},B?{(x,y)4 x
2
?2x?2y?5?0},
C?{(x,y)y?kx?b}
，
问：是否存在
k,b?N
，使得
(A?B)?C??
，并证明你的结论。 < br>10．集合A和B各含有12个元素，
A?B
含有4个元素，试求同时满足下列条件的集 合C
的个数：1）
C?A?B
且C中含有3个元素；2）
C?A??
。
222
11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，
C
r
?{(x,y)x?y?r}
，若
对任何
r?0
，都有
C< br>r
?
A
?
C
r
?
B
，则必有
A?B
，证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
m
2
x?1
1．已知集合
A?{xx?0},B?{zz?,x?2},B??,且B?A
，则实 数
m
的取值
mx?1
范围是___________。
2．集合< br>A?{1,2,3,?,2n,2n?1}
的子集B满足：对任意的
x,y?B,x?y ?B
，则集合B
中元素个数的最大值是___________。
2
3．已 知集合
P?{a,aq,aq},Q?{a,a?d,a?2d}
，其中
a?0
，且
a?R
，若P=Q，则
5 6

01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
实数
q?
___________。
4．已知集合
A?{(x,y )x?y?a,a?0},B?{(x,y)xy?1?x?y}
，若
A?B
是平面< br>上正八边形的顶点所构成的集合，则
a?
___________。
5．集合
M?{uu?12m?8n?4l,m,l,n?Z}
，集合
N?{uu?20p?1 6q?12r,p,q,r?Z}
，则集合M与N的关系是___________。
6．设 集合
M?{1,2,3,?,1995}
，集合A满足：
A?M
，且当
x?A
时，
15x?A
，则A
中元素最多有___________个。
7．非空集合
A?{x2a?1?x?3a?5},B?{x3?x?22}
，≤则使
A?A?B
成立的所
有
a
的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集
A?B?C?{1,2,?,n}
, 则满足条件的有序三
元组（A，B，C）个数是___________。
22
9． 已知集合
A?{(x,y)ax?y?1},B?{(x,y)x?ay?1},C?{(x,y)x? y?1}
，问：
当
a
取何值时，
(A?B)?C
为恰有2个 元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结
论如何？
10．求集合B和C，使得
B?C?{1,2,?,10}
，并且C的元素乘积等于B的元素和。
11．S是Q的子集 且满足：若
r?Q
，则
r?S,?r?S,r?0
恰有一个成立，并且若a?S,b?S
，则
ab?S,a?b?S
，试确定集合S。
12．集 合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元
素至多 出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题
1．
S
1
,S
2
,S
3
是三个非空整数集，已知对于1 ，2，3的任意一个排列
i,j,k
，如果
x?S
i
，
y? S
j
，则
x?y?S
i
。求证：
S
1
,S
2
,S
3
中必有两个相等。
2．求证：集合{1，2，…，198 9}可以划分为117个互不相交的子集
A
i
(i?1,2,?,117)
， 使
得（1）每个
A
i
恰有17个元素；（2）每个
A
i中各元素之和相同。
3．某人写了
n
封信，同时写了
n
个信封 ，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情
况有多少种？
4．设
a
1
,a
2
,?,a
20
是20个两两不同的整数，且整合
{a
i
?a
j
1?i?j?20}
中有201个不
同的元素，求 集合
{a
i
?a
j
1?i?j?20}
中不同元素个数的最 小可能值。
5．设S是由
2n
个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公 共朋友的个数为偶
数。
6．对于整数
n?4
，求出最小的整数
f( n)
，使得对于任何正整数
m
，集合
{m,m?1,?,m?n?1}
的任一个
f(n)
元子集中，均有至少3个两两互质的元素。
7．设集合S={1 ，2，…，50}，求最小自然数
k
，使S的任意一个
s
元子集中都存在两个 不
同的数a和b，满足
(a?b)ab
。
8．集合
X?{1,2, ?,6k},k?N
?
，试作出X的三元子集族&，满足：
（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；
（2）
&?6k(&表示&的元素个数
）
。
2
，
2
，
?
，m
}
，求最小的正整数
m
，使得对A的任 意一个14-分划9．设集合
A?{1
A
1
,A
2
,?,A
14
，一定存在某个集合
A
i
(1?i?14)
，在
A
i
中有两个元素a和b满足
4
b?a?b
。
3

6 6