高一数学 培优教材三角函数

高一年段数学培优教材第四讲 三角函数
一、基础知识：
1． 函数
y?sinx(x?R)
的对称轴方程为
x?k
?
?
?2
,k?Z
，对称中心坐标是
(k
?
,0),k?Z
；
y?cosx(x?R)
的对称轴方程为
x?k
?
,k?Z
，对称中心坐标是
(k
?
?
y?tanx(x?k
?
??
2
,0),k?Z

?
2
,k?Z)
的对称 中心坐标是
(k
?
,0),k?Z
，它不是轴对称图形.
2． 求三角函数最值的常用方法：
① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为
y?Asin(
?
x?
?
)?b
的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值.
② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.
③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如
y?
④ 利用函数的单调性求.
二、综合应用：
1． 已知函数
y?f(x)
是以5为最小正周期的奇函数 ，且
f(?3)?1
，则对锐角
?
，当
sin
?
?
2． 已知
a
2
?b
2
?2,
则
asin
?
?bcos
?
的最大值是___________
3． 函数< br>y?sin
2
x?2sinxcosx?3cos
2
x
取最小 值的
x
的集合为______________
1
3
asinx?b
）可利用正弦函数的有界性来求.
ccosx ?d
时，
f(162tan
?
)?
_______________ __
5
??
,?]
的最大值和最小值的和为______________.
63
5． 函数
y?sinxcosx?sinx?cosx,x?R
的最大 值为_____________
4． 函数
y?cos2x?3sinx,x?[?
6． 函数
y?
sinx
(0?x?
?
)
的最大值是_________________
2?cosx
7． 函数
f(x)?(acosx?bsinx)cosx
有 最大值2，最小值
?1
，求
y?asin(bx?
2
8． 已知函数
f(x)?2asinx?23asinxcosx?a?b
的定义域是
[0,
?
4
)
的最小正周期.
?
2
]
，值域是
[?5,1]
，求
a,b
的值.
9． 已知函数
f(x)?si n2x?acos2x
的图象关于直线
x??
?
8
对称，求
a
的值.
10．已知
f(x)?Asin
?
x?Bcos
?
x(A,B,
?
是常数，且
?
?0)
的最小正周期为2， 并且当
x?
表达式； （2）在区间
[


11．已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)(
?
?0,0?< br>?
?
?
)
是R上的偶函数，其图象关于点
M(
求?
,
?
的值.
12．已知定义在区间
[?
?
,
1
时，
f(x)
取最大值为2. （1）求
f(x)
3< br>2123
,]
上是否存在
f(x)
的图象的对称轴？若存在，求出其方 程；若不存在，说明理由.
44
3
?
?
,0)
对称，且在 区间
[0,]
上是单调函数，
42
2
3
?
]
上的函数
y?f(x)
的图象关于直线
x??
，
?0?,
?
?
22
?
6
对称，当
x?[?
?
6< br>,
2
3
?
]
时，函数
f(x)?Asi
?< br>nx(?
?
其图象如图所示.
A)?(
?
0?,
??
)
y

1
?
（1）求函数
y?f(x)
在
[?
?
,
2
3
?
]
的表达式；
?
π
x??
?
6

?
o
?
6

2
?
3
?

x

（2）求方程
f(x)?
三、强化训练：
2
2
的解.
2
1．有四个函数
①y?sinx②y?si nx③y?tan
xx
?cot④y?sinx
22
，其中周期为
?
，且在
(0,
?
2
)
上是增函数的函数个数是
（ ）
A.1B.2C.3
2
D.4

2．设函数
f (x)?2cosx?3sixn?2a
a
为实常数）在区间
[0,
（
D.?3

?
2
]
上的最小值是
?4
,则
a
的值是（ ）
A.4B.?6C.?4
3．
y?sin(2x?
?3
)cos(x?
B.
?
A.x?
?
4
x?< br>6
?
)?cos(2x?
?
3
)sin(x?
D.< br>?
6
)
的图像中一条对称轴方程是（ ）
3
?
2

2
C.x?
?
x?
4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x+2)，当x∈[3，4]时，f(x) = x－2，则（ ）
A．f (sin
1
2
) < f (cos
1
2
) B．f (sin
?
3
) > f (cos
?
3
) C．f (sin1) < f (cos1) D．f (sin
3
2
) > f (cos
3
2
)
5．将函数y=f(x)sinx的图象向右平移
?
4
个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数 y=1－2sin
2
x, 则f(x)是 （ ）
A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx
6．曲线
y?2sin(x?

?
4
)cos(x?
?
4
)
和直线
y?
1
2
在y轴右侧的交点按横坐 标从小到大依 次记为P
1
，P
2
，P
3
，…，则|P2
P
4
|等于
（ ） A．
?
B．2
?
C．3
?
D．4
?

fx?
?
x
?
?2cos
?
?
x?
?
?
?m
，恒有
（
7．设
f
?
)
?f
?
?x
?
成立，且
f(
)
??1
，则实数m的值为
36
?
A．
?1
B．
?3
C．－1或3 D．－3或1
8．使函数< br>f(x)?sin(2x?
?
)?3cos(2x?
?
)
是奇 函数，且在
[0,
1
2
?
4
]
上是减函数的
?
的一个值是_____________
2
2
，其最小正周期为π.（ Ⅰ）求实数a与ω的值.（Ⅱ）写
2
9．已知函数
f(x)?acos
?x?sin
?
x?cos
?
x?(
?
?0,a?0)< br>的最大值为
出曲线
y?f(x)
的对称轴方程及其对称中心的坐标.

参考答案：
例1：
f(8)?f(3)??f(?3)??1

例2： 2
例3：
f(x)?2sin(2x?)?2;
4
?
3
?
? ?
,k?Z
?

?
x|x?k
?
?
8??
例4：
f(x)?1?2sin
2
x?3sinx,M??1,N? ?4M?N??5

例5：1
例6：
3

3
例7：
a?1,b??22

例8：
f(x)??2asin(2x?
例9
：
a??1

例10：（1）
f(x)?2sin(
?
x?
?
6
)?2a?b,?
1
?
?sin(2x?)?1,
26
?
a ?2
?
a??2
或
??
b??5b?1
??
?
)
（2）
f(x)?2sin(
?
x?)
的对称方程为
66
k?Z?k?5
故存在.
?
?
x?
?6
?k
?
?
?
1211235965
?x?k?,k? Z
，由
?k????k?,
234341212
例11：03高考天津卷?
?
例12：（1）当
x?[?
强化练习：
?
2
2
，
?
?2，
?
=

23
?
2
?
?
]
时，
f(x)?sin(x?)
，当
x?
[?
?
,
?
]
时
f(x )??sinx

3
3
63
,
1 C 2 C 3 C 4 C 5 B 6. A 7. D
8.
?
?
2
?

3
1
2
?
a
2
(1?cos2
?
x)?
1
2
sin2
?
x?
1
2
2
9. （1）
y?acos
?
x?sin
?
x?cos
?
x?


?
1
2
(sin2
?
x?acos2
?
x )?
a?1
2


?
a?1
2
2
∵y的最小正周期T=π. ∴ω=1.
∴
y
man
?
sin(2
?
x?
?
)?
a?1
2
.
1
2
a
2
?1?
a ?1
2
?
2
2
， ∴a=1.
（2）由（Ⅰ）知a=1，ω=1，
∴
f(x)?
1
2
( sin2x?cos2x)?
2
2
sin(2x?
k
?
2< br>?
?
4
)
.
∴曲线y=f(x)的对称轴方程为
x ?
对称中心的坐标为
(
k
?
2
?
?
8(k?Z)
.
?
8
,0)(k?z)
.