钻研数学教材的几个视角

钻研数学教材的几个视角
吴立宝曹一鸣秦华

【专题名称】高中数学教与学
【专 题 号】G312
【复印期号】2013年07期
【原文出处】《中学数学教学参考》(西安)2013年4上.期第2～4，8页
【作者简介】吴立宝，内江师范学院数学与信息科学学院；曹一鸣、秦华，北京师范大学数学科学学院.

教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教和学生学的载体.研究者普遍认为 ，教师在日常教学中相当依赖教材，在很大程度上
依据所使用的教材而决定教什么、怎么教以及给学生布 置哪些习题等[1].正因如此，在过去20年里，教材在教师教和学生学数学中所扮
演的角色越来越引 起研究者的关注.但是教师在实际使用过程中，未真正认识领悟教材价值，流于表面，甚至出现脱离教材的现象， 过度
注重知识和技能，忽视隐藏的数学思想方法；过度注重事实性知识和概念性知识，忽视方法性知识和 价值性知识；过度重视结果，忽视
过程；过度注重对考试有用的例题、习题，忽视阅读材料等.《学记· 尚书》记载：“既知教之所由兴，又知教之所由废，然后，可以为人
师也.”为此需要教师进行多角度解 读，钻研教材的隐性价值，切实提高自身的教育教学水平，促进学生的发展.
一、数学的视角
教育是传递知识，这好像是天经地义的，毋庸在这个问题上吹毛求疵[2].数学专业知识是数 学教材的骨架，数学思想方法是数学教材的
灵魂，从数学学科视角挖掘教材是首要的，也是必需的.美国 著名学者布鲁纳说：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结
构.”[3]对数学而言， 就是务必使学生理解数学学科的基本结构.教师讲好数学，学生学好数学的前提是教师要理解数学，弄清楚教材中 数
学知识的基本结构、基本思想方法.教师虽不是数学家，但是讲授的是数学知识，需要从数学的角度、 从纯数学的视角来看教材，弄清楚
数学概念、命题的来龙去脉，弄清楚教材中哪些是数学事实性知识、原 理性知识、策略性知识，尤其是原理性知识与策略性知识.作为一
名数学教师，“要想给学生一杯水，自 己先要有一桶水”，正如前苏联教育家马卡连柯所认为“学生可以原谅教师严厉、刻板甚至吹毛求疵，
但 不能原谅他们不学无术”[4].教师要深入钻研数学教材，把其承载的数学知识提取出来，还原为学术形态，掌 握其精髓，把握其本质，
理解其内涵.试想一下，如果没有教师对教材数学知识的本质把握，哪有可能站 得高、看得远，高屋建瓴、游刃有余地处理教材内容？合
作学习也好，探究学习也罢，如果没有扎实的数 学知识做铺垫，如何有效开展？现在，一些教师的公开课、示范课引起了评课者（或专
家）的质疑，“你 们上的是数学课？”这在一定程度上说明现在部分教师对数学知识的忽视或者重视程度不够，重点不够突出.
从数学学科的视角来分析教材，弄清楚知识的来龙去脉，并非要求教师一定去学大量的纯数学知 识，教师可从纵向上了解中小学数学
中每个主要概念和定理的来龙去脉和直观意义，从史学的角度了解， 力争做到中小学数学与高等数学的对接，以切实把握蕴涵在其中的
数学思想方法和数学精神.唯有如此， 才能知道数学概念从何处来，到哪里去，把知识连成线、串成网、构成体.例如，用函数的思想处理
方程 、不等式的相关问题，方程、不等式本质上都是函数的特定状态，这样可使方程、不等式与函数紧密联系在一起； 再如，高中阶段
用初等代数的语言定义函数单调性，微积分中则是用导数刻画单调性，两者之间有什么关 系？目前数学教学中一味地去形式化是不可取
的，容易导致“捡了芝麻，丢了西瓜”的后果，毕竟形式化 是数学的基本特征之一.近两年的“国培计划”明确要求加大教师对于数学专业知
识、数学思想方法的理 解与领悟，作为教师必须掌握讲清概念的本领，只有讲清概念，才能讲清数学.
二、教的视角
教师对教材理解要体现教者本色，对教材内容按照教的视角进行重构.在《数学教与学研究手册 》中，Elizabeth Fennema和Megan Loef
Franke说道：“另一类与 内容并不完全分离的知识是应该如何在教学中表达数学.这牵涉取出复杂的教材内容，并将它转化成学生能理解的
表达形式，这种从数学到可理解的表达形式的转变正是区分数学教师与数学家的地方.”[5]“数学是 由一大群高度有关联的抽象概念所组成
的，如果教师不知道如何把这些抽象概念转换化为能使学习者把数 学与他已经知道的联系起来的方式，那么他们就不可能理解地学会这
一切.”[5]需注意，教师是“用 教材教”而不是“教教材”.
首先，教师要整体把握教材.浏览整套教材、整册教材，宏观了 解其编写体例与说明、要求及教材的基本特点，形成对教材的宏观认识.
清楚各个知识单元组块之间的安 排次序，明确单元之间的前后联系，进一步明确单元内每一个概念与命题的地位与作用.反过来，再把每
一个概念与命题放到整节课、整个单元、整章、整册书、整个学段进行通篇考虑：教材呈现的静态知识隐藏什么数 学思想方法？蕴涵什
么情感因素？是直线式还是螺旋式编排？知识衔接如何？关联度有多大？后续知识是 对前面知识的加深还是其应用？等等.
其次，教师要从细微之处入手.教师需要仔细推敲教材 中的每一个字、每一句话、每一幅图、每一道例题、每一个练习、每一个备注.

只有反复 推敲打磨，才能有效确定重难点，毕竟有的新知识可能在练习中出现.然后对教材中的主题图、概念、命题、例题 、习题进行教
学法的加工，使之符合自己的风格，按照教学逻辑来设计教学，根据自己班级的具体情境进 行更改，形成自己的特色.教材从内容呈现方
式来看，是由自然语言、符号语言、图表语言混合编排的， 这三种语言是如何转换的？三种语言承载的教材内容对培养学生担负何种职
能？这些需要教师从教的角度 思考，如例题中的插图是告诉学生一个情节、一些生活原型，是培养学生想象力的地方，切不可将插图变
成文字，要让学生自由地发挥、理解、想象.
三、学的视角
学生的学习是 建立在已有的知识技能、活动经验、生活背景等基础上的.奥苏贝尔认为，“影响学习最主要的因素是学生已知的 内容，弄
清了这一点之后，进行相应的教学.”[6]只有当学习的新内容与学生头脑中的原有的认知结 构相联系，才会产生有意义的学习，从而产生
新的认知结构，从学生学的视角来看待教材，务必要考虑学 生的现有认知水平以及潜在的认知水平，教师需要换位思考，“把自己放在学
生的位置上，他应当看到学 生的情况，应当努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或是指出一个步骤，而这正是学生自己
原本应想到的.”[7]教材虽然在编写时考虑了学生的身心发展，但此一时彼一时，随着时代发展，教材未必 能紧随改变.教师需考虑学生的
需要、学生的基础，从学生的认知逻辑来挖掘教材，使其服务于学生的学 习.“模拟”学生的学习过程，回顾以前自己学习时的困惑，站在
学生的角度观察，概念呈现是否从学生 的需要出发？出发点是否合适？是否符合自己班级学生实际？学生如何理解教材呈现的主题图（包
括插图 ）、备注、例题、习题？有没有困难？如果有，困难在什么地方？这些困难是如何产生的？如何引导学生解决？解 决路径是否唯
一？等等.1994年，Sfard在第18届数学教育心理学大会上提出，如果要洞察学 生的学习过程以及学习遇到的困难，历史无疑是一个极佳
的视角.不仅如此，他还说：“这种相似性在同 化或创造或学习新概念的特别关头是非常显著的，已经建构的知识要经受彻底的再组织，整
个认识论基础 也要重新建构.”此外还要依靠自己过去的教学经验，有效地但不露痕迹和自然地帮助学生，为此教师需要不止一 遍地问同样
的问题.
基于学生，为了学生，有效促进学生发展始终是教师钻研教材的 落脚点.钻研教材还需要具有发展性，具有一定的超前性，使教材内容
真正成为促进学生个体自由和谐发 展的载体、工具.教材内容是学生学会的，而不是教师教会的.教师唯有站在学生的角度思考教材、挖掘
教材，才能更好地理解教材，提高教师与学生课堂对话的深度与有效性，才能真正提高自己的教学效率.教材承载 的数学科学知识体系同
中小学生认知能力发展的现有水平是矛盾的，年龄越小，知识越少，矛盾越尖锐. 因此，钻研教材务必思考学生的心理发展水平，需要教
师充分考虑学生的认知发展起点，使得“跳一跳， 摘到桃子”.再者，教师面对的学生不同，其学习路径就不同，遇到的困难也就不同，需
要教师根据学生 群体的不同，采取灵活多样的处理方式.此外，还需要思考学生在学习相关知识过程中对态度、理想、情感和兴趣 的习得，
使其产生愉快的心理体验，这就是伴随学习或者附带学习.如对于学有余力的学生，增加例题、 习题等难度；对于学习困难的学生，例题、
习题等更侧重于基础性习题，多结合知识在学生日常生活中的 应用，以激发学生对知识的兴趣等.
四、考的视角（评价的视角）
教材是 中考、高考等各类考试试题的来源，“问渠哪得清如许，为有源头活水来.”对教材的例题或习题进行改编，获得 较为新颖的高考
数学试题，但是并不是完全出自于教材，而是基于教材，高于教材.那么教师为了更好地 提高学生的成绩与能力，也应该具备从命题者的
视角，从考的角度来挖掘教材，为考而教未必都是坏事. 2010年高考数学四川卷文、理科第19题，直接考查教材中最基本的两角和的余
弦公式的推导；20 12年高校自主招生考试试题“证明内角相等的圆内接五边形必为正五边形”就源自于人教版《数学（九年级上册 ）》第
24章“圆”第3节“正多边形和圆”的练习第2题“各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各 角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什
么；如果不是，举出反例.”这些来自于教材的试题得分比 较低，说明了教师对教材有所忽视.教师钻研教材不能脱离中考、高考，这是中
国目前教育必须面对的现 实问题，一定程度上可以避免师生共同陷入学生解题和教师讲题的“题海”中.有大学教授曾建议：“中学数学教 学
应该重视教材的利用与开发、重数学本质的揭示与思维过程的暴露、重知识的形成过程与知识间的逻辑 关系、重数学概念的理解与内化、
重数学思想方法的总结与提炼.”[8]譬如，在复习概率知识时，不 是简单对学过的知识重复，而是要帮助学生整体宏观建构概率知识网络，
从而更好地促进学生认知结构的 完善，这样记忆才能牢靠，提取才能快速，应用才能灵活.在梳理知识网络的过程中，一定要注重数学思
想方法的提炼，强化随机思想.随机思想是高中数学课程的核心思想之一，贯穿于高中数学课程始终，也是高中数 学的一条主要脉络[9].
五、生活的视角
英国教育家怀特海曾说：“教 育只有一种教材，那就是生活的一切方面.”[10]强调数学与现实生活的联系是我国第八次基础教育课程改革
的一个重要特征.中国的数学教师对数学的应用意识普遍重视不够[11].从学生的生活经验出发更好 地理解与掌握抽象的数学概念与知识，
把抽象出来的数学概念与知识应用于新的情境中.数学的应用越来 越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，有力地推动着社会生
产力的发展.教材里的主题图、例 题、习题的背景，都来自于社会生活的各个方面，既有个体的生活背景，又有社会群体的公共生活背景、
科学背景等，如中学教材中方程的引入、应用等都密切联系了学生生活的实际.要培养学生的数学应用意识，必须 密切与现实生活的联系，

在应用过程中培养.现实生活是数学知识的原型，可以有效锻炼 学生“举三反一”的数学归纳能力，掌握知识之后，训练学生“举一反三”的
数学应用能力，把学到的新 知识应用于新的情境之中.《普通高中数学课程标准（实验）》要求“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，
使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法”.“学校应该关心学生毕业离 校时世界将要发生的情况，要据此
来培养青少年，使他们善于适应做成人时将要遇到的情况.”[12] 当然凡事都有个度，这个需要处理好“生活化”的度13，不是“去数学化”，
不是以“生活化”取代“ 数学味”.
六、研究的视角
教师拥有研究者的视角，进行全方位研究，在 这里特指课后反思.如教师对方程的课后反思，通过自己的教学实践，从多个层面、多个
角度反思，以研 究者的角色查找自己钻研教材是否存在有待进一步改进的问题，教学存在的问题是什么，学生学习的困难在哪里， 为什
么会有这样的问题，解决的办法是否合适，哪些方法取得了好的教学效果，有没有更好的教学方法， 有没有更好的解题策略.通过一系列
这样的思考，找到自己在教学中存在的优点、缺点，通过不断地摸索 ，扬长避短，多次反复，逐渐形成自己独特的教学风格.通过回归自
我，凝神拷问，梳理归纳出一个较为 完整的钻研数学教材的方案，之后再实施，再反思，再修改.教育没有最好，只有更好，尽量超越自
己， 把“追求卓越”作为自己的奋斗目标和追求，正如摩根·尼斯（Mogens Niss）所说：“理想的数学教 师是一个美好的事物.这样的教师，
应是一位纯粹数学家、应用数学家，一位历史学家、社会学家、教育 社会学家，一位教育家、数学教育家、数学哲学家，一位心理学家、
政治家、有魅力的演讲家和领导者， 甚至是一位医生、神父、作家.”[14]这是每一位数学教师的最高境界.教师应多角度、多层次地研读教材，切实把握教材，更好地组织教材，更有效地提高教学质量，走出一条适合个人特色的钻研教材的道路.
“用教材教”而不是“教教材”，教师只有吃透教材的精神与实质，才能更加灵活地、更富有创 造性地使用教材资源，不断提高教材的“附
加值”.“钻入教材”是基础，“跳出教材”是拓展和深化， 前者重在理解，后者重在反思应用.无论设计怎样科学，怎样完美，怎样利于学生，
最终一定要落实到课 堂教学中，以课堂教学的实践来检验效果