初升高经典数学教材

初高中数学衔接教材


第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都 有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把
高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并 非想象中那么简单易学，
而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时， 又是磕磕碰
碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期” ，
数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学
好 数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的
根源还在于初、 高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、
总结。希望同学们认真吸取前 人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言 在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离
生活很远，似乎很“玄”。确实 ，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是
以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数 学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语
言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很
多老师为 学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，
再看什么。即使是思维 非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自
的思维套路。因此，初中学习中习惯 于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维
形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思 维能力提出了高要求。当然，能力的发展
是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新 生感到不适应，故而导致成
绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还 需初步形成辩
证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧 增加了。例如：高
一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本 概念37个，
基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第 一学
期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、
消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学
的难度。这 样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：

第一，要 做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，
使新知识顺利地同化 于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，
当知识信息量过大时，其记忆效果 不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结
构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构 一目了然；类化，由一例到一类，由一类到
多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四 ，要多做总结、归类，建立主
体的知识结构网络。


初中数学与高中数学衔接紧密的知识
点

1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
?
a(a?0)< br>?
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
a??
0(a?0)

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两 个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a?0)?x ??a
或
x?a

2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a?b?(a?b)(a?b)

⑵立方差公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑶立方和公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑷完全平方公式：
(a?b)?a?2ab?b
，
222
3322
3322
22
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc

⑸完全立方公式：
(a?b)?a?3ab?3ab?b

3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
33223

4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程
ax?b
解的讨论
①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
b
；
a
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解
③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次
不等式。
（4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：
ax?bx?c?0(a?0)

2
①方程有两个实数根
?

??b?4ac?0

2
?
??0
?
②方程有两根同号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?a
?

?
??0
?
③方程有两根异号
?< br>
?

c
x
1
x
2
?? 0
?
a
?
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??
2
1
2
2
2
bc
,x
1x
2
?

aa
2
?b
2
?4acx?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
,
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2< br>)?4x
1
x
2
??

aa
3322
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x1
2
?x
1
x
2
?x
2
)?(x1
?x
2
)
?
(x?x)?3x
1
x
2
?
12
??

8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的
数 轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量
y
,
x
间的 关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不等
于0）的形式，则称
y
是
x
的一次函数。②当
b
=0时， 称
y
是
x
的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量
x
与对应的因变量
y
的值分别作为点的横坐标与纵坐标 ，在直角坐
标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、 3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、
4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、3象限。
④当
k
?
0时 ，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0时，y
的值随
x
值的增大而减少。
（4）二次函数：
b
2
4ac?b
2
b
)?
①一般式：
y?ax?bx?c?a (x?
(
a?0
)，对称轴是
x??,

2a4a
2a
2

b4ac?b
2
（－,)
； 顶点是
2a4a
②顶点式：
y?a(x?m)?k
(
a?0
)，对称轴是< br>x??m,
顶点是
?
?m,k
?
；
2
③交 点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(
a?0
)，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0）是抛物线与x轴的
交点
（5）二次函数的性质
2
①函数
y?ax?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0
时， 在对称轴 （
x??
b
对称。
2a
bb
）左侧，
y
值随
x
值的增大而减少；在对称轴（
x??
）
2a2a< br>4ac?b
2
b
右侧；
y
的值随
x
值的增大 而增大。当
x??
时，
y
取得最小值
4a
2a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
bb< br>）左侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称轴（
x??
）
2a2a
4ac?b
2
b
右侧；
y
的值随x
值的增大而减少。当
x??
时，
y
取得最大值
4a
2a
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折 叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那
么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图 形上关于对称轴对称的两点
确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内 ，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互
相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这 个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的
每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标 系。水平的数轴叫做
x
轴或横轴，铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，
x< br>轴与
y
轴统称坐标轴，他们的公共原点
O
称为
直角坐标系的原 点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x
2
,y
2
)
是直 角坐标系内的两点，
?
x
1
??x
2
①若
M和
M'
关于
y
轴对称，则有
?
。
y?y?
12

②若
M
和
M'
关于
x< br>轴对称，则有
?
?
x
1
?x
2
。
?
y
1
??y
2
?
x
1
??x
2
。
y??y
?
12
③若
M
和
M'
关于原点对称，则有
?
?
x
1
?y
2
④若
M
和
M'
关于直线
y?x
对称，则有
?
。 y?x
?
12
⑤若
M
和
M'
关于直线
x?a
对称，则有
?
11 统计与概率：
（1）科学记数法：一个大于10 的数可以表示成
A?10
N
的形式，其中
A
大于等于1小于
10，
N
是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表 总体中的不同部分，扇形的
大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形 统计图中，每
部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。
（ 3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计
图：能清楚反映 事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百
分比。
（5）平均 数：对于
N
个数
x
1
,x
2
,L,x
N< br>，我们把
算术平均数，记为
x
。
（6）加权平均数：一组数据里各个 数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平
均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均 数。
（7）中位数与众数：①
N
个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据 （或最中间
两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这< br>个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，
因此 在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不
能充分利用所有数 据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别
的意义。
（8）调查 ：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对
象的全体称为总体，而组 成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行
调查，这种调查称为抽样调查，其中从 总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽
样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点 是调查范围小，节省时间，人力，物力
和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较 为准确的调查结果，抽样
?
x
1
?2a?x
2
?
x
2
?2a?x
1
或
?
。
?
y
1
?y
2
?
y
1
?y
2
1
(
x
1
?x
2
?L?x
N
)叫做这个
N
个 数的
N

时要主要样本的代表性和广泛性。
（9）频数与频率：①每个 对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值
为频率。②当收集的数据连续取值时，我 们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直
方图。
（10）数据的波动：①极差是指一 组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与
平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方 差的算术平方根。④一般来说，一组数据的
极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。
（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些
事情我们能 肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确
定的。②有很多事情我们 无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，
不确定事件发生的可能性是有大小的。
（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能
事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率
为1，记作
P
（必然事件）
?1
；不可能事件发生的概率为
0
，记作< br>P
（不可能事件）
?0
；
如果A为不确定事件，那么
0?P( A)?1

第一部分： 整式及方程
⑴平方差公式：
a?b?(a?b)(a?b)

⑵立方差公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑶立方和公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑷完全平方公式：
(a?b)?a?2ab?b
，
222
3322
3322
22
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc


杨辉三角
思考 （x+1）^n=A1x^n+A2^xn-1>........
求A1+A2+A3…….=



例1已知
a?b?c?4，
ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．

⑸完全立方公式：
(a?b)?a?3ab?3ab?b

33223
1
n(n+1)(2n+1)
6
n(n?1)
例2：1+2+3+…+n=，请看下面的计算：
2
6、1+2+3+…+n=
2222
∵（n+1）-n=3n+3n+1
∴n=1时，2-1=3×1+3×1+1
n=2时，3-2=3×2+3×2+1
n=3时，4-3=3×3+3×3+1
… …
n=n时,( n+1) -n=3n+3n+1
把以上的n个等式相加得：( n+1) -1=3（1+2+3+…+n）+3(1+2+3+…+n)+n
32222
332
332
332
332
332

所以，3（1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
）=( n+1)
3
-（n+1）-3
1
2
+2
2
+3
2
+… +n
2
=
n(n?1)
,即
2
1
n(n+1)(2n+1)
6
类比上述方法，求1
3
+2
3
+3
3
…+n
3
。
7、求
x
?4
+
x
?1
得值

例3 等推
x
?4
-
x
?1
的值
例4、
9?45
；

总思路：几次方就几个根
二次方程

2
例 方程2
x
＋2
x
－1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，则|
x
1
－
x
2
|

例 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．


5．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．


m
2
?0
． 4．已知关于
x
的方程
x ?(m?2)x?
4
2
（1）求证：无论
m
取什么实数时，这个方程 总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根
x
1
，
x< br>2
满足|
x
2
|＝|
x
1
|＋2，求
m
的值及相应的
x
1
，
x
2
．

32
5、解方程x-x-6x=0

5342
例 2x+x+x+c=（2x+ax+b）（x+1） 求c=________

262
例 x-3x+1=0的两根为a，b也为方程x- px+q=0的根，期中p、q为整数，则q为_____



函数图形：
]一次函数 反比例函数的图象与性质

各种图形变换：

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
的最值．
二次函数在自变量
x
取任意实数时的最值情况(当
a?0
时，函数在
x??
2
b
处取得最
2a
4ac?b
2
4ac?b
2
b
小值，无最大值；当
a?0
时，函数在
x??
处取得最大值，无 最小
4a4a
2a
值．
2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定
a
的符号，
a
＞0有最小值，
a
＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
3．求二次函数在某一范围内的最值．
如：
y?ax?bx?c
在
m?x?n
（其中
m?n
）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
x?x
0
；
第二步：讨论：
[1]若
a?0
时求最小值或
a?0
时求 最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于
m
即
x
0
?m
，即对称轴在
m?x?n
的左侧；
②对称轴
m?x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的内部；
③对称轴大于
n
即
x
0
?n
，即对称轴在m?x?n
的右侧。
[2] 若
a?0
时求最大值或
a?0
时求最小值，需分两种情况讨论：
2
m?n
，即对称轴在
m?x?n
的中点的左侧；
2m?n
②对称轴
x
0
?
，即对称轴在
m?x?n
的中点的右侧；
2
①对称轴
x
0
?
说明：求二次函数在 某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位
置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．
（1）
y?2x?3x?5
； （2）
y??x?3x?4
．
例2当
1?x?2
时，求函数
y??x?x?1
的最大值和最小值

例3当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．
例4当
t?x?t?1
时，求函数
y?
2
22
1
2
5
x?x?
的最小值(其中
t
为常数)．
22
分析：由于
x
所给的范围随着
t
的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围 的相对位
解：函数
y?
置．
1
2
5
x?x?
的对称轴为
x?1
．画出其草图．
22
?
1
2
?
2
t?3,t?0
?
综上所述：
y?
?
?3,0?t?1

?
15
?
t
2
?t?,t?1
2
?
2
【巩固练习】

1．抛物线
y?x?(m?4)x?2m?3
，当
m
= _____ 时，图象的顶点在
y
轴上；当
m
= _____
时，图象的顶点在
x
轴上；当
m
= _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为
l
米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
3．设
a?0
，当
?1?x?1
时，函数< br>y??x?ax?b?1
的最小值是
?4
，最大值是0，求
a,b的值．


4．已知函数
y?x?2ax?1
在
?1 ?x?2
上的最大值为4，求
a
的值．


5．求关于< br>x
的二次函数
y?x?2tx?1
在
?1?x?1
上的最大值 (
t
为常数)．


★ 专题七 不 等 式

【要点回顾】
1．一元二次不等式及其解法
2
2
2
2

[1]定义：形如 为关于
x
的一元二
次不等式．
[2]一元二次不等式
ax?bx? c?0(或?0)
与二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
及一元
二次 方程
ax
2
?bx?c?0
的关系(简称：三个二次)．
（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如
下：
(1) 将二次项系数先化为正数；
(2) 观测相应的二次函数图象．
①如果图 象与
x
轴有两个交点
(x
1
,0),(x
2
,0)
，此时对应的一元二次方程有两个不相等
的实数根
x
1
,x
2
(也可由根的判别式
??0
来判断) ．则
2
2

②如果图象与
x
轴只有一个交点
(?
数根
x
x?x
2
??

b
,0)
，此时对应的一元二次方程有两 个相等的实
2a
b
(也可由根的判别式
??0
来判断) ．则：
2a

③如果图象与
x
轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式
??0
来判断) ．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：
(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根
x
1
,x2
．那么“
?0
”型的
解为
x?x
1
或x?x
2
(俗称两根之外)；“
?0
”型的解为
x
1
?x ?x
2
(俗称两根之间)；
b
2
4ac?b
2
)?
(3) 否则，对二次三项式进行配 方，变成
ax?bx?c?a(x?
，结合
2a4a
2
完全平方式为 非负数的性质求解．
2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式 的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应
当注意分母不为零.
3．含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为
ax?b
的形式．
b
；
a
b
[2]当
a?0
时，不等式的解为：
x?
；
a
[3]当
a?0
时，不等式化为：
0?x?b
；
① 若
b?0
，则不等式的解是全体实数；② 若
b?0
，则不等式无解．
[1]当
a?0
时，不等式的解为：
x?

【例题选讲】

例1 解下列不等式：(1)
x
2
?x?6?0

例2 解下列不等式：(1)
x
2
?2x?8?0

(2)
(3) (2)
x
2
?4x?4?0

x
2
?x?2?0



例3 已知对于任意实 数
x
，
kx
2
?2x?k
恒为正数，求实数
k的取值范围．


例4 解下列不等式： (1)


例5 求关于
x
的不等式
m
2
x?2?2mx?m
的解．
【巩固练习】

1．解下列不等式：



2
(3)
?x?x?3x?1

2x?3
?0

x?1
(2)
1
?3

x?2
(1)
2x
2
?x?0
(2)
x
2
?3x?18?0

(4)
x(x?9)?3(x?3)


2．解下列不等式：


x?1
(1)
?0

x?1

2x
2
?x?1
2
3x?1
?0
(2)
?2
(3)
??1
(4)
2x?1
x
2x?1

3．解下列不等式：






4．解关于
x
的不等式
(m?2)x?1?m
．







5．已知关于
x
的不等式
mx
2
?x?m?0
的解是一切实数，求
m
的取值范围．






6．若不等式





7．
a
取何值时，代数式
(a?1)?2(a?2)?2
的值不小于0？




2
(1)
x
2
?2x?2x
2
?2
(2)
1
2
11
x?x??0

235
x?2x?3?1?
2
的解是
x?3
，求
k
的值．
kk

1已知函数
y?8? 2x?x
2
和
y?kx?k(k
为常数）则不论
k
为何值， 这两个函数的图像
（ ）
A．只有一个交点 B．只有二个交点 C．只有三个交点 D．只有四个交点
2、x-2x-3x-5=0有几个根



3、
32