高中数学教案——三角函数教材分析

第四章 三角函数教材分析
三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是 几何中的相似形和
圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几
何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又
是学习中学后继内容和高等 数学的基础
本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)：
4.1角的概念的推广 约2课时
4.2弧度制 约2课时
4.3任意角的三角函数 约2课时
4.4同角三角函数的基本关系式 约2课时
4.5正弦、余弦的诱导公式 约3课时
4.6两角和与差的正弦、余弦、正切 约7课时
4.7二倍角的正弦、余弦、正切 约3课时
4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质 约4课时
4.9函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约3课时
4.10正切函数的图象和性质 约2课时
4.11已知三角函数值求角 约2课时
小结与复习 约4课时
一、 内容与要求
(一)本章主要内容是任意角的概念 、弧度制、任意角的三角函数、同角三角
函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三 角函数，以及
三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等
(二)章头引言安排了一个实 际问题——求半圆内接矩形的最大面积．这个问
题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会 得到三角函数式，学
生尚未学过求它的最大值
第一大节是“任意角的三角函数”教科书首先 推广了角的概念，介绍了弧
度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然 后导
出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的
各小节中，都 安排了许多实例以及知识的应用
第二大节是“两角和与差的三角函数”教科书先引入平面内两点间距 离公
式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角
公式，然 后顺次推出(尽量用启发式)其他公式，同时安排了这些公式的简单应用
和实际应用，包括解决引言中的 实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和
差公式让学生有所了解
三人行，必有我师 < /p>

第三大节是“三角函数的图象和性质”教科书先利用正弦线画出函数
，
y ?sinx
，x∈[0,
2
?
]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三 角函数值”
把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，
把正弦 曲线向左平行移动
?
个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的
2
形状 和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的
画法，简要地介绍了利用正切线 画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后
讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsin x、arccosx、arctanx等记号，
以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案
(三)本章的教学要求是：
1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换
算
2． 使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割
的定义；掌握同角三角函数的基本 关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式
3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握 二倍角的正
弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推
理能力
4．使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等
式证明（包括引出积 化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）
5． 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函 数、余弦函数、正切函
数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的
性质；会用“五点法” 画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、
?
、φ
的物理意义
6．使 学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx
表示
二、 考点要求
1．理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算
2．掌握 任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系
式与诱导公式，了解周期函数和最小正 周期的意义，会求
y?Asin(
?
x?
?
)
的
周 期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上
述三角公式化简三角函数式， 求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等
式
3．了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正
三人行，必有我师

弦、余弦函数和函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图，并能解决正弦、曲线有关的实
际问题
4．能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式

5．了解三角函数的积化和差与和差化积公式
6．能正确地运用上述公式简化三角函数式、求 某些角的三角函数值证明
较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题
7．掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形
三、考点分析
三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几
何知识的密切联系， 它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双
基的重要内容之一
本章分两部分，第 一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，
计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识 理解的准确性、熟练性和灵
活性上
试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查
复习时应把握好以下几点：
1．理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起 来，二是
就可把三角函数看成以实数为自变量的函数
2．要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角
的概念
3 ．在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题
设中角的范围，并对不同的象限 分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式
的化简、求值时，应注意公式中符号的选取
4． 单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的
数值来代替三角函数值，比由三角 函数定义所规定的比值所得出三角函数值优
越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的 工具
5．要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而
可求得某些复 合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形
时需特别注意保持定义域的不变性 6．函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一
函数的两个函数值才能由 它的单调性来比较大小
7．对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象
三人行，必有我师

8．对于sin
?
?cos
?
，
sin
?
?cos?
，
sin
?
?cos
?
等表达式，要
会进行 熟练的变形，并利用
sin
?
?cos
?
?1
等三角公式进 行化简
334466
22
本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个 ，高考中在选
择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直
接求 某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、
大值和讨论其他性质；以及少量 的化简，证明题考查的题量一般为3—4个，
分值在12—22分，都是容易题和中等题，重点考查内容 是两角和与差的正弦、
余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式
考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此
复习时要注意以下几点：
1．熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个
三角恒等变形的常用 方法和简单技巧
1?tg
?
ctg
?
，
1?sin
?
?cos
?
， ①常值代换，特别是“1”的代换，如：
22
1 ?csc
2
?
?ctg
2
?
，
1?sec
2
?
?tg
2
?
等等
②项的分拆与角的配凑
③降次与升次
④万能代换
另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以 把公式中的
角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围
和力度
2．要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为
积的形式，反之亦然 ，对于形如
asin
?
?bcos
?
的式子，要引入辅助角
?
并化
成
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
的形式，这里辅助角
?
所在的象限由
a,b
的符号决定，
?
角的值由
tg
?
?
b
确定对这种思 想，务必强化训练，加深认识
a
3．归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧
①三角函数化简时，在题设的要 求下，首先应合理利用有关公式，还要尽
量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名 等其他思想还
有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、
特殊 角三角函数与特殊值互化等
②三角函数的求值问题，主要有两种类型一关是给角求值问题；另一类< br>是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊
角的三角函数式、已 知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方
三人行，必有我师

向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题
4．关于三角函数式的 简单证明三角恒等证明分不附加条件和附加条件两
种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变 换，化繁为简，不过这
里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定
①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，
也可使用数学归纳法
②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条
件，也就是要仔细地寻 找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方
法是代入法和消元法
三角恒等证明中 要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和
变量代换的方法证明的关键是：发现差异——观 察等式两边角、函数、运算间
的差异；寻找联系——选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联 系，
创造性地应用基本公式
而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证
?
?
?
，先证明
?
,
?
的同名三角函数值相等， 即
f(
?
)?f(
?
)
，再证明
?
,?
在三角函数
y?f(x)
的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出
?
?
?

5．在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、 正弦定
理、余弦定理是常用的工具注意三角形面积公式
S?
11
ah
，
S?absinC
的
22
妙用和三角形内角和
A?B?C?
?
的制约关系的作用
6．求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式 法、
变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转
化为代数函数 的最值
四、三角函数中应注意的问题
(一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同 角三角函数间的关系式、
诱导公式及其运用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性< br>质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒
等式的证明，周期函 数的概念，函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与正弦曲 线的关
系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特
征及其差角 公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质
由于课时较紧，教学中应遵循大纲 所规定的内容和要求，不要随意补充已
被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种 ；同角三角
函数的基本关系式只讲
三人行，必有我师

sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
sin
??tan
?
，
tan
?
?cot
?
?1
三个；除
cos
?
可通过用科学计算器
ta
?
n?(2k
?
)?ta
?
n
（k∈Z）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能 灵活
运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan
0
120
sin1 20
0
或者转化为 来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，
0
cos120
出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化
和 差与和差化积公式、半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下，结果
不要求记忆，更不要求运 用；此外，也不要补充“把
asin
?
?bcos
?
化成一个
角的三角函数的形式”这样的例习题
(二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性 事实上，角的
概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建
立起 一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数
可以取这个角的弧度数，或度数 ，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所
以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是 唯一的所以不要认
为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，
而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科
学上并不具有充足的理由， 因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单
位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我 们总是十进制、六十进
制并用的，例如角
612112
其中61、21、12都是十进 数，而度、分、秒之间
的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是
十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了
0'''
(三)定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有
y?sinx
，
x?R
才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的
函数，都不能说是三角函数，例如
y?sin2x,x?R
可以说是2x的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数
y?sint,t?R
与正比例函数
t?2x,x?R
的复合函数，但不能说是x的正弦函数另一点是函数的定义域，
三角函数或 与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)
“正弦函数y=sinx”，需知“ 函数
y?sinx
，
x?[0,2
?
]
”只是正弦函数的一
个周期，不要把部分当作整体
(四)关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利 用设辅助角(即
通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解，把求解过程
调整为：
三人行，必有我师

1、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角
x
0
，如果函数值为负数，则
先求出与其绝对值相应的锐角
x
0

2、决定角x可能是第几象限角
3、如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出
(0,2
?
)
内对
应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为
象限角，那么可表示为
?
?x
0
;如果它是第三或第四
?
?x
0
或
2
?
?x
0

也可以把 上述辅助角看作参变量(x为自变量)，那么所提供的方法就可以看
作参数的应用新大纲把参数的知识分 散在有关的教学内容中，教学时适时提醒
学生注意使用，这是有好处的
(五)本章所使用的 符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板
书中逐渐达到规范化物理教科书也是这样做的因 此在布置和批改作业时，对于
本章中的几道与物理(力学、电学)有关的习题，解答时使用的符号及其用 法，应
与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适
从
(六)注意符合学生的认识规律除了从实际问题引入数学概念之外，在这方
面的措施有：(1 )重建数形结构首先通过平面直角坐标系 (数形结合)定义任意角
?
的三角函数，在得到“终 边相同的角的同一三角函数的值相等”即第一组诱
导公式后，就引入与单位圆有关的有向线段，将任意角
?
的正弦、余弦、正切
函数值分别用它们的几何形式(三角函数线)表示出来；然后学 习同角三角函数的
两个基本关系式，其他诱导公式，以及两角和与差的三角函数，这一部分属于
式的化简、求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法以数为主，
以形为辅；最后学习三角函 数的图象和性质、其应用包括已知三角函数值求角，
这一部分的研究方法则以形为主，以数为辅 (2) 利用学生已有的认知结构首先
利用二次函数的知识来解决问题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操 节
目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆；画余弦函数的图象时，
利用正弦曲线 和诱导公式，已知三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性
质 (3)精简认知结构，略去或简化不 必要的程序例如，从锐角三角函数直接推
广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程序这样做不 仅节约了课
时，而且密切了“任意角”与 “任意角三角函数”的联系，反而加强了后者这
一知识的发生和形成过程
三人行，必有我师