最新人教版高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一般地,“若p则q”为真命题,即由p
?
q，就说p是q的充分条件 (sufficient condition),q
是p的必要条件 (necessary con dition).充分条件和必要条件是重要的数学概念，主要用来区
分命题的条件和结论间的关系.
由p
?
q，就说p是q的充分条件.所谓“充分”意味着使q成立，有p成立就足够了. < br>若q
?
p，就说p是q的必要条件.所谓“必要”，意味着p是q成立的必不可少的条件 ，缺其
不可.
在判断充分条件和必要条件时，首先要把命题写成“若p则q”的形式，并正确把握命
题的条件和结论.
充分条件和必要条件反应了条件和结论间的因果关系，在结合具体问题判断充分条件和
必要条件时，只需判断命题“若p则q”和“若q则p”的真假.“若p则q”为真命题，则p是q
的充 分条件；“若q则p”为真命题，则q是p的充分条件.因此，条件能推出结论，则条件是
结论的充分条 件，结论是条件的必要条件；结论能推出条件，则结论是条件的充分条件，条
件是结论的必要条件.因此 在判断充分条件和必要条件时，要注意以下几点：确定命题的条
件和结论分别是什么；尝试从条件推结论 ，从结论推条件；确定条件是结论的什么条件.
联想发散 给定两个条件p和q，要判断p是 q的什么条件，也可考虑集合：A=｛x|x
满足条件q｝，B=｛x|x满足条件p｝.(1)若A< br>?
B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若B
?
A,则 p是q的必要条件，q是p的充分条件.
问题·探究
问题 从集合的角度如何理解充分条件和必要条件呢？
探究:从集合A与集合B之间的关系上看:
(1)若A
?
B,则A是B的充分条件；
(2)若A
?
B,则A是B的必要条件；
(3)若AB且BA,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件；
A,则A是B的充分不必要条件；
B,则A是B的必要不充分条件.
(4)若A< br>?
B且B
(5)若A
?
B且A
典题·热题
例1 “a>2,b>2”是“a+b>4”的什么条件？
思路分析：设条件“a>2,b>2”为p，“a +b>4”为q，要判断两者之间的关系，只需看“若p则q”
和“若q则p”的真假即可.
解：因为“a>2,b>2”
?
“a+b>4”而“a+b>4”“a>2,b>2”，所以“ a>2,b>2”是“a+b>4”的充分不必
要条件.
方法归纳 对于涉及充分必 要条件判断的问题,必须以准确理解充分条件和必要条件的
概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才 容易判断.
例2 命题“p:x≠2或y≠3”是“q:x+y≠5”的_______________条件？
思路分析：此题直接判断比较困难,我们可看它的等价命题.原命题的逆否命题是:
?q< br>：x+y=5,
?p
：x=2且y=3.不难看出
?p
?
?q
,即原命题的否命题成立,则与它等价的逆
命题成立即q
?
p,故p是q成立 的必要不充分条件.
答案：必要不充分
方法归纳 命题不易直接判断时可转换命题的形式,利用命题的等价性加以判定.

例3 已知两个命题p:2x+3=x
2
,q:
x2x?3
=x
2
，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既充分又必要条件 D.既不充分又不必要条件
思路分析：本题的两个命题实际上是表示方程的解集，因此可用集合的观点 解决.命题
p:x∈{x|2x+3=x
2
}={-1,3}，命题q:x∈{x|< br>x2x?3
=x
2
}={0,3}，则pDq且qDp,则p是
q的不 充分条件又不必要条件.
答案：D
例4 已知h>0,设命题甲为:两个实数a、b满足| a-b|<2h,命题乙为:两个实数a、b满足|a-1|且|b-1|A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
C.甲是乙的充分必要条件
D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
思路分析：在判定充分条件和必要条件时,可以利用充分条件和必要条件的定义.
因|a-1 |?
?
?h?a?1?h,(1)

?
?h?b?1?h.(2)
由①-②,得-2h由于|a-2|不是乙的充分条件.
答案：B
方法归纳 在判定充分条件和必要条件时,应利用充分条件和必要条件的定 义或从集合
的角度考虑或从逻辑推理的角度考虑.
例5 已知p:|1-
x?1|≤2,q:x
2
-2x+1-m
2
≤0(m>0),若
?p< br>是
?q
的必要不充分条件,求实数m的取
3
值范围.
思路分 析：本题首先化简不等式，再确定命题
?p
和
?q
的关系，然后再作判断；或 者先直
接判断p和q的关系，然后再判断命题
?p
和
?q
的关系.
解：由p:|1-
x?1
|≤2
?
-2≤x≤10,
3
由q可得(x-1)
2
≤m
2
(m>0),
所以1-m≤x≤1+m.
所以
?p
:x>10或x<-2,
?q
:x>1+m或x<1-m.
因为
?p
是
?q
的必要不充分条件,所以
?q
?
?p
,
?
1?m?10,
故只需满足
?
所以m≥9.
1?m??2.
?
方法归纳 解决这类问题时,一是直接求解；二是转化为等价命题求解,如
?p
是
?q
的必要不充分条件等价于q是p的充分不必要条件.

拓展延伸 已知p:|1-
x?1
|≤2,q:x
2
-2x+1-m
2
≤0(m>0),若
3
?p
是
?q
的充分不必要条件,求实数m的范围.
思路 分析：本题首先化简不等式，在确定命题
?p
和
?q
的关系，然后再作判断； 或者先直
接判断p和q的关系，然后再判断命题
?p
和
?q
的关系.
x?1
解：
|≤2,得-2≤x≤10,所以?
?p
:x<-2或x >10.
3
由x
2
-2x+1-m
2
≤0,得1-m≤x ≤1+m(m>0),
所以
?p
:x>1+m或x<1-m(m>0).
因为
?p
是
?q
的充分不必要条件,
所以AB,结合数轴有m>0,1+m≤10且1-m≥-2.
解得0此级HS4的大图若接排前加，若另面则不加