初高中数学教材衔接练习题

一元二次不等式及（含参数）二次函数
1.（1）不等式
?x?3x?10?0
的解集是___________
（2）不等式
?5??x?3x?1?1
的解集是_________.
（3）不等式







2. 已知不等式
x?(a?1)x?a?0
，
（1）若不等式的解集为< br>(1,3)
，则实数
a
的值是_______________；
（ 2）若不等式在
(1,3)
上有解，则实数
a
的取值范围是________ ___；
（3）若不等式在
(1,3)
上恒成立，则实数
a
的取值 范围是_________.










3. 解不等式－12
+2x-1≤2。 4. 已知函数
f(x)?









5.解关于
x
的不等式：
mx?3(m?1)x?9?0(m?R)




2
2
2
2
2x
?1
的解集是____________________
x?1
6
?1
，求f（x）的定义域。
x?1

1
0，
?
成立，求 a的取值范围。 6. 若不等式x
2
＋ax＋1≥0对于一切x∈
?
?
2
?








7. 若函数f(x)=
kx
2
?6kx?k?8
的定义域为R，求实数k的取值范围。










x
2
?8x?20
8. 不等式
?0
的解集为
R
,求实数
m
的取值范围。
2
mx?2(m?1)x?9m?4











9.函数
y??x?4x? 2
在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。






2

10. 已知
2x
2
?3x
，求函数
f(x)?x?x?1
的最值。













2
11. 已知
x?1
，且
a?2 ?0
，求函数
f(x)?x?ax?3
的最值。
2
2



















12. 已知 二次函数
f(x)?ax?4ax?a?1
在区间
?4，1
上的最大值为5， 求实数a的值。






22
??

13. 如果函 数
f(x)?(x?1)?1
定义在区间
t，t?1
上，求
f(x)
的最小值。


















2
??
参考答案及详解
1.（1）____
x?5 或 x? ?2
_______（2）____
(?1,1)?(2,4)
_____.（3）_
(?1,1)
____
2．已知不等式
x?(a?1)x?a?0
，（1）__
3
____；（2）__
(1,??)
_______；（3） __
[3,??)
___。
2
?
x
2
?2x?1 ??1,
?
?
x
2
?2x?0,
?
x??2或x? 0,
?
x(x?2)?0,
?
3. 解原不等式可化为
?
2
即
?
2

?
??
?
??
?
?3?x?1.
?
(x?3)(x?1)? 0,
?
x?2x?1?2,
?
x?2x?3?0,

6x?5
?1?0
，即
?0
，得
?1?x?5
，
x?1x?1
5.解：(1) 当
m?0
时
?3x?9?0
∴
x?3

4. 由

(2) 当
m?0
时
m(x?
若
m?0
， 则
3
)(x?3)?0

m
3
?x?3

m
3
或x?3

m
3
综上所述：（略）
m
若
m?0
，则 ①当
0?m?1
时，
x?

②当
m?1
时，
x?3
③当
m?1
时，< br>x?3
或
x?
1
aa1
0，
?
上是减函数，
6. 设f(x)＝x
2
＋ax＋1，则对称轴为x＝－，若－
≥
， 即a≤－1时，则f(x)在
?
?
2
?
222
1
?
5
应有f
?
≥0?－≤a≤－1
?
2
?
2
1
a
0，
?
上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0 若－
≤0，即a≥0时，则f(x)在
?
?
2
?
2
a
?
a
2
a
2
a1a
2
5
?若0≤－
≤
，即－1≤a≤0，则应有f
?
－
2
?＝－＋1＝1－
≥0恒成立，故－1≤a≤0.综上，有－≤a.
224242
7. ∵函数f(x)的定义域为R,∴
kx?6kx?k?8
≥0的解集为R。
∴ g(x)=
kx?6kx?k?8
函数的图像全在轴上方或与轴相切且开口向上。
当k=0时， g(x)=8,显然满足；当k≠0时，函数g(x)的图像是抛物线，要使抛物线全在x轴上方或与x轴相切且 开口向
上，必须且只需：
2
2
?
k?0,
解得0?
2
?
??36k?4k(k?8)?0,
8. .解：
x
2
?8x?20?0恒成立,?mx
2
?2(m?1)x?9m?4?0须恒 成立

当
m?0
时，
2x?4?0
并不恒成立；
?
m?0
?
m?0
1
?
当
m?0
时，则< br>?
得
?m??
?
11
2
2
m?,或 m??
?
??4(m?1)?4m(9m?4)?0
?
?42
9. 解：函数
y??x?4x?2??(x?2)?2
是定义在区间[0，3]上的二次函数，
其对称轴方程是
x?2
，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐
标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为
f(2)?2
，最小值为
f (0)??2
。
22
10. 解：由已知
2x?3x
，可得
0?x?
2
3
?
3
?
，即函数
f(x)
是定义在区间
?
0，
?
上的二次函数。
2
?
2< br>?
1
1
?
3
?
13
?
?
将 二次函数配方得
f(x)?
?
x?
?
?
，其对称轴方程x??
，顶点坐标
?
?，
?
，
?
24
?
?
2
2
?
4
?
3
?
2
且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间
?
0，
?
内，如图2所示。函 数
f(x)
的最小值为
f(0)?1
，最大值为
2
??

?
3
?
19
f
??
?
。
?
2
?
4
11. 解：由已知有
?1?x?1，a?2，于是函数
f(x)
是定义在区间
?1，1
上的二次函数，将
f (x)
配方得：
??
?
a
a
a
2
?a
?
a
2
?
；二次函数
f(x)
的对称轴方程 是
x??
；顶点坐标为
?
?，3?
f(x)?
?
x ?
?
?3?
?
，图象开口向上
??
2
4
?
24
?
2
由
a?2
可得
x??
2
a
??1
，显然其顶点横坐标在区间
?1，1
的左侧或左端点上。
2
??
函数的最小值是
f(?1)?4?a
，最大值是
f(1)? 4?a
。
222
12. 解：将二次函数配方得
f(x)?a(x?2)? a?4a?1
，其对称轴方程为
x??2
，顶点坐标为
(?2，a?4a?1 )
，
图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间
?4，1
上。 < br>若
a?0
，函数图象开口向下，如图4所示，当
x??2
时，函数取得 最大值5
即
f(?2)?a?4a?1?5
；解得
a?2?10

2
??
故
a?2?10(a?2?10舍去)

若
a?0
时，函数图象开口向上，如图5所示，当
x?1
时，函数取得最大值5
即
f(1)?5a?a?1?5
；解得
a?1或a??6

故
a?1(a??6舍去)

综上讨论，函数
f(x)
在区 间
?4，1
上取得最大值5时，
a?2?10或a?1

解后反思： 例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是
固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。
13. 解：函数
f(x)?(x?1)?1< br>，其对称轴方程为
x?1
，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图6所 示，若顶点横坐标在区间
t，t?1
左侧时，有
1?t
。当
x?t< br>时，函数取得最小值
2
2
??
??
f(x)
min
?f(t)?(t?1)
2
?1
。
如图7所示，若顶点横坐标在区 间
t，t?1
上时，有
t?1?t?1
，
即
0?t?1< br>。当
x?1
时，函数取得最小值
f(x)
min
?f(1)? 1
。
如图8所示，若顶点横坐标在区间
t，t?1
右侧时，有
t? 1?1
，即
t?0
。
??
??

2
当
x?t?1
时，函数取得最小值
f(x)
min
?f(t?1)? t?1

综上讨论，
f(x)
min
?
(t?1)
2
?1,t?1
?
?
?
1,0?t?1

?
t
2
?1t?0
?