高中数学新人教版回归教材2-1

2014届高三数学回归教材（选修2-1）

一、知识网络
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.2 充分条件与必要条件
1.3 简单的逻辑联结词
1.4 全称量词与存在量词
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.2 椭圆
2.3 双曲线
2.4 抛物线
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.2 立体几何中的向量方法
二、习题重温
1.（P8）证明：若
a?b?2a?4b?3?0
，则a?b?1
.



2.（P12-3）下列各题中，
p是q
的什么条件？
（1）
p:x?1,q:x?1?
22
x?1
；
（2）
p:|x?2|?3,q:?1?x?5
；
（3）
p:x?2,q:x?3?3?x
；
（4）
p:
三角形是等边三角形，
q:
三角形是等腰三角形.


3.（P 27-3）写出下列命题的否定：
（1）
?x?N,x?x
；
（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）
?x
0
?R,x
0
?x
0
?1?0
；
（4）存在一个四边形，它的对角线相互垂直.



1 2
32

4.（P31-1）在一次射击训练中，某战士连续射击了两次.设 命题
p
是“第一次射击击中目标”，
“且”“非”（或
?,?,?
） 表示
q
是“第二次射击击中目标”.试用
p,q
以及逻辑联结词“或”
下列命题：
（1）两次都击中目标；
（2）两次都没有击中目标.



5.（P42-4）点A、B的坐标分别是
(?1,0)
，
(1, 0)
，直线AM，BM相交于点M，且直线AM
的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹 是什么？为什么？





6.①（P48-5）比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
x
2
y
2
??1
； （1）
9x?y?36与1612
22
x
2
y
2
??1
. （2）
x?9y?36与
610
22



②（P 72-2）在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大
小与方程中x
的系数有怎样的关系：
（1）
y?



2
1
x
；（2）
y
2
?x
；（3）
y2
?2x
；（4）
y
2
?4x
.
2
x
2
y
2
3
??1
，一组平行直线的斜率是. 7.（P49-8）已知椭圆
2
49
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.






2

8.（P50- 4）如图，矩形
ABCD
中，|
AB
|=8，|
BC
|=6 .
E
，
F
，
G
，
H
分别是矩形四条边的中
点，
R
，
S
，
T
是线段
OF
的四 等分点.
R
?
，
S
?
，
T
?
是线 段
CF
的四等分点.请证明直线
ER
x
2
y
2与
GR
?
、
ES
与
GS
?
、
ET与GT
?
的交点
L
，
M
，
N
都在椭圆
??1
上.
169













y
2
? 1
，过点
P(1,1)
能否作一条直线
l
，与双曲线交于
A ,B
两9.（P62-4）已知双曲线
x?
2
2
点，且点
P
是线段
AB
的中点？





10.（1）（P74-3）已知点
A,B
的坐标分别是
(?1
，0），（ 1，0），直线
AM,BM
相交于点
M
，
且直线
AM
的斜率与直线
BM
的斜率的差是2，求点
M
的轨迹方程.





M
，（2）（P81-5）已知点
A,B
的坐标分别是
(?1
，0），（1，0）.直线
AM,BM相交于点
且它们的斜率之和是2，求点
M
的轨迹方程.






3

11.（P80-2）人造地球卫星的运动轨道是 以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R，卫星近
地点、远地点离地面的距离分别为
r
1
,r
2
，求卫星轨道的离心率.





12.（P80-7）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点，另外两个顶
点在抛物线上，求这个等边三角形的边长.





13.（P80-10）已知
?ABC
的 两个顶点
A,B
的坐标分别是
(?5
，0），（5，0），且
AC, BC
所
在直线的斜率之积等于
m(m?0)
，试探求顶点
C
的轨迹.






14.（P81-6）就
m
的不同取值，指出方程
(m?1)x
2
?(3?m)y
2
?(m?1)(3?m)
所表示的
曲线的形状.








15.（P94-1）已知向量
{a, b,c}
是空间的一个基底，从
a,b,c
中选哪一个向量，一定可以与向
量
p?a?b,q?a?b
构成空间的另一个基底？



4

16.（P99-1）如图，空间四边形
ABCD
中，
O A?BC,OB?AC
，求证：
OC?AB
.









17.（P107-2）如图，60
?
的二面角的棱上有
A,B
两点，直线
AC,BD
分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
AB
.已
知
AB?4,AC? 6,BD?8
，求
CD
的长.







18.（P111-2）如图，两条异面直线
a,b
所成的角为
?
，在直线
a,b
上分别取点
A
?
,E和点A,F
，
使
AA
?
?a,
且
AA
?
?b ,
（
AA
?
称为异面直线a,b的公垂线
）.
已知
A
?
E
?m,AF?n,EF?l
，求公垂线
AA
?
的长.










19.（P112-6）已知
?ABC和?DBC
所在的平面互相垂直，且
AB?BC?BD
，
?CBA

=
?DBC?120
，求：
（1）直线
AD
与平面
BCD
所成角的大小；
5 ?

（2）直线
AD
与直线
BC
所成角的大小；
（3）二面角
A?BD?C
的余弦值.








20.（P113-12）一条线段夹在一个直二面角的两 个半平面内，它与两个半平面所成的角都是
30
?
，求这条线段与这个二面角的棱所成 角的大小.







21.（P 118-12）如图，把正方形纸片
ABCD
沿对角线
AC
折成直二面角，点
E,F
分别为
AD,BC
的中点，点
O
是原正方形
ABCD
的中心，求折纸后的
?EOF
大小.








三、归纳总结
第一章 常用逻辑用语
1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系：
② 逆否命题同真同假
2. 充分条件与必要条件
p
是
q
的充要条件：
p?q

原命题
若p则q
互 否
互 逆
逆命题
若q则p
互

为 逆
为 逆
互 否
互 逆
互

p
是
q
的充分不必要条件：
p?q,q?p

p
是
q
的必要不充分条件：
q?p,p?q

p

p
是
q
的既充分不必要条件：
p靠q,q否否
逆否命题
若
?q
则
?p

3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.
6

逆否命题
若
?q
则
?p

第二章 圆锥曲线与方程
1. 三种圆锥曲线的性质（以焦点在
x
轴为例）
椭圆
与两个定点的距离和等于
定义
常数
2a (2a?|F
1
F
2
|)

双曲线 抛物线
与一个定点和一条定
直线的距离相等
与两个定点的距离差的
绝对值等于常数
2a (2a?|F
1
F
2
|)

x
2
y
2
??1(a,b?0)

a
2
b
2
标准方程
x
2
y
2
??1(a?b?0)

a
2
b
2
y
2
?2px(p?0)

图形

顶点坐标
对称轴
(±a,0),(0,±b)
x轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b
(±
a?b
,0)
22

(±a,0)
x轴，实轴长2a
y轴，虚轴长2b
(±
a?b
,0)
22

(0,0)
x轴
焦点坐标
(
p
,0)
2
e＝1
c
离心率
a
准线
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??

c

a
2
x??

c
y??

知二 求二

x??

p

2
渐近线
b
x

a
焦半径
a,b,c,e，p
|PF< br>1
|?a?ex
0
|PF
2
|?a?ex
0
|PF|?x
0
?

p

2
2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某
种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲 线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲
线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时， 常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）
的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用 定义把到焦点的距离转化为到
准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
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