棱长总和的公式正多边形的面积计算

正多边形的面积计算
我们知道，正四边形（正方形）面积等于

,正三角形的面积等
于




。我不禁想到了：那么正五边形、正六边形呢？通过画图计算，

A
a
B G
F
我发现正六边形的面积公式比较容易推导，
而正五边形的则复杂一些。
如图是一个边长为a的正六边形。连
E
接
C
A
a
B
E
F
AC,DF,过

B作BG⊥AC。

D
BG=
,AC=

。


=










= AC BG=

。






。

正六边形


=
用类似的方法，我求得了正五边形
的面积公式，不过结果十分复杂。我求
得
正五边形



C
G




。我想化简这个结果。
D
通过观察公式 ,我发
现可以将 化简为 ,即 。得到这个结果，
我挺满意，又考虑能不能把 也变成与 有关的形式。
经过尝试，我进行了以下变形： ,而又
有

，所以

。
所以

。




。而利用黄金三角形，可以求得

正五边形





。虽然
这是根式的形式，但是代入原式会异常复杂，还不如三角函数的表示
形式简明。
我又想有没有能够适用于所有正多边形的公式，而不用屡次尝试
化简三角函数。
很快，我找到了一个普遍适用的新
…
方法。作出该正多边形的中心O，连接
OB，OC，过O作OE⊥BC。设该正多
A
O
边形为正n边形，边长为a。 OB=OC,
∠BOC=
D


, BE=CE=,∠BOE=




。
。
OE=

B
∠


=







E
C
正多边形
=


=







。
发现了这个结论，我很高兴，将n=3,n=4,n=6逐一带入，都与之前的
结果相符。
这时，我又联想到了圆。圆可以看成正无数边形，那么圆的面积
公式 =

与这个公式是否统一呢？我发现将边心距OE=
圆




记
为h，那么a=

=




。将其代入
正多边形
=






得到
正多边形


。将这个公式与 =

类比，可得当正n边形变
圆


数无限大时， 就无限接近于 。不过


似 乎不能化简而
我又想到了，前面我用OE来近似表示半径，那如果用OB来表示呢？
同样，我求 得OB=



，记OB=h’， a=



’。代入得

正多边形

=








。同上，当正n边形变数无限大时，





也无限接近于 。当

与





无限接
近似近时，即有







，又


,



等于1，即n无穷大。这说明了该结论的正确性。

由图像可以看出，函数值无限接近